1. ESTRUCTURAS RETICULADAS
Prof. Carlos Navarro
Departamento de Mecánica de Medios Continuos
y Teoría de Estructuras

2. A
B
A’’
B’’
A’
B’’
Directriz sin
deformar Directriz
deformada
A
B
A’’
B’’
A’
B’’
Directriz sin
deformar Directriz
deformada
En el cálculo estructuras reticuladas suele despreciarse las
deformaciones inducidas por los esfuerzos axiles y cortantes.
Despreciar el primer tipo de esfuerzo equivale a decir que las
barras de la estructura ni se acortan ni se alargan.
A’’B’’=AB

3. CONCEPTO DE NUDO EN UNA ESTRUCTURA
FORMADA POR BARRAS

4. ESTRUCTURAS RETICULADAS
INTRASLACIONALES

5. CONCEPTO DE ESTRUCTURA INTRASLACIONAL
A
B C
DA
B C
D A
B C
D
P
δ δ
Los nudos no se desplazan, pero las secciones correspondientes sí giran

6. A
B
C
D
P
P
A
B
C
A
B CB’ C’

7. CALCULO DE ESTRUCTURAS INTRASLACIONALES
a) VIGAS CONTINUAS
P
q M’ M
RA RB RC RD
RE
A
B C
E F
G
Viga

11. A
P
B1 M1
C1
M1
B2
M2
C2
E1
G
M2
M’ M3
F
M4
E2
P
q M’ M
RA RB RC RD
RE
A
B C
E F
G
Incógnitas: M1, M2, M3 y M4
)()(
)()(
)()(
21
21
21
antihoarioantihoario
antihoarioantihoario
antihoarioantihoario
EE
CC
BB
θθ
θθ
θθ
=
=
=
Ecuaciones:

12. M3
M4
M
034 =−+ MMM
Viga
MM3
M4
M4M3

13. 21
21
21
EEE
CCC
BBB
AA
RRR
RRR
RRR
RR
+=
+=
+=
=
P
q M’ M
RA RB RC RD RE
A
B C
E F
G
A
P
B1 M1
C1
M1
B2
M2
C2
E1
G
M2
M’ M3
F
M4
E2

14. B1A M
P
B2 CM
)()( 21
antihoarioantihoario BB θθ =
lEI
blPab
EI
Ml
oantihorari
EI
Ml
EI
ql
oantihorari
B
B
6
)(
3
)(
324
)(
2
1
3
+
−=
−=
θ
θ
2
2
4
)(
16 l
blPabql
M
+
+=
A B C
q
l l
a b
P
EJEMPLO:

15. B1A B1A M
ql/2 ql/2 M/l M/l
P
B2 C B2 CM
Pb/l Pa/l M/l M/l
l
M
l
Pa
R
l
M
l
Pb
l
Mql
R
l
Mql
R
C
B
A
−↑=
+++↑=
−↑=
2
2

16. b) SEMIPÓRTICOS
A
B
C
M
2l
l
A
B2
C
M2
M1
B1
B
M2
M1M
( )
( )
EI
lM
horario
EI
lM
lEI
lM
horario
horariohorario
B
B
BB
3
)(
224
2
)(
)()(
1
2
2
2
2
1
21
=
==
=
θ
θ
θθ
21 MMM +=
MMMM
5
3
5
2
12 ==

17. c) PÓRTICOS
l
B
A D
q
l
EI
Ml
EI
Ml
EI
ql
horario
EI
Ml
horario
horariohorario
B
B
BB
6324
)(
3
)(
)()(
3
2
1
21
−−=
=
=
θ
θ
θθ
20
2ql
M =
202
ql
X
ql
Y AA ==
M
B2 C
M
B1
M
XA
YA
A

18. B
A D
C
ql2
/20 B
A D
C
ql/20
ql/2
ql/2
ql/20
ql/2
B ql/20

19. ESTRUCTURAS INTRASLACIONALES CON ROTULAS
P=20 kN
2 m 1 m 1 m
A B C D
L L L
P M = P·L
A B C D
6 m 2 m 3 m 3 m 2 m 2 m 2 m 1 m
20 kN/m 30 kN
50kN.m
10 kN
A
B C M D
E G F
6 m 2 m 3 m 3 m 2 m 2 m 2 m 1 m
20 kN/m 30 kN
50kN.m
10 kN
A
B C M D
E G F
L
L/4 3L/4
A
B
C
D
M
E
L/8
L
L/4 3L/4
A
B
C
D
M
E
L/8

20. QQ
P
Q1 Q2
P
Barra 1 Barra 2
Q1+Q2=P

21. P
P
d M=Pd
M
A
B
B
A
M

22. 2 m L=1 m L=1 m
A C1 C2 DB Q1 Q2
Q1 Q2
P
P=20 kN
2 m 1 m 1 m
A B C D
Incógnitas:
1 reacción vertical en A
1 reacción vertical en B
1 reacción vertical en D
1 momento en el
empotramiento D
4
Ecuaciones de la estática:
(1) Suma de fuerzas verticales nula
(1) Suma de momentos
en un punto igual a cero
(1) Momentos en la rótula de una
de las partes Igual a cero
3
PROBLEMA HIPERESTÁTICO DE GRADO 1
Ecuación adicional: flecha en C1 igual a flecha en C2

23. P
M=PL
Q
Q Q
Q
A B C1
C2
D
P
M=PL
Q
Q Q
Q
A B C1
C2
D
L L L
P M = P·L
A B C D
Incógnitas:
1 reacción vertical en A
1 reacción vertical en D
1 momento en el empotramiento A
1 momento en el empotramiento D
4
Ecuaciones de la estática:
(1) Suma de fuerzas verticales nula
(1) Suma de momentos
en un punto igual a cero
(1) Momentos en la rótula de una
de las partes Igual a cero
3
PROBLEMA HIPERESTÁTICO DE GRADO 1
Ecuación adicional: flecha en C1 igual a flecha en C2

24. A
B1
Q
N B2 C1
M
Q
N
N
Q C2
D
Q
N
A
B1
Q
N B2 C1
M
Q
N
N
Q C2
D
Q
N
L
L/4 3L/4
A
B
C
D
M
E
L/8
L
L/4 3L/4
A
B
C
D
M
E
L/8
Incógnitas:
1 reacción vertical en A
1 reacción horizontal en A
1 reacción vertical en D
1 reacción horizontal en D
1 momento en el empotramiento A
1 momento en el empotramiento D
6
Ecuaciones de la estática:
(1) Suma de fuerzas verticales nula
(1) Suma de fuerzas horizontales nula
(1) Suma de momentos en un punto igual a cero
(1) Momentos en una de las rótulas, de una de las partes
de la estructura, igual a cero
(1) Momentos en otra de las rótulas, de una de las partes
de la estructura, igual a cero
5
PROBLEMA HIPERESTÁTICO DE GRADO 1
Ecuación adicional: desplazamiento horizontal de B1 nulo

25. ESTRUCTURAS RETICULADAS
TRASLACIONALES

26. Veamos con un ejemplo la filosofía que debemos utilizar para
calcular estructuras traslacionales.
F
AB
C D
ESTRUCTURA REAL ESTRUCTURA DEFORMADA
F
AB
C DC* D*
a a

27. F
AB
C D
ESTRUCTURA REAL
MB
Sean MC y MD los momentos flectores
que aparecen en las secciones en contacto
con los nudos

28. Si prescindimos de todas las cargas que actúan y suponemos que las
barras estuviesen conectadas mediante articulaciones (rótulas)
F
AB
C D
AB
C D

29. La estructura inicial se ha convertido en un mecanismo con un gdl
AB
C D
El movimiento de este mecanismo viene determinado por un
sólo parámetro, como es el desplazamiento CC*=DD*
C* D*

30. El valor de este parámetro (CC* ó DD*) no es conocido a priori, pero si lo
supusiéramos conocido (e idéntico al que se produce en la estructura real “a”)
tendríamos perfectamente determinados los desplazamientos de los nudos de la
estructura.
AB
C DC* D*
Si, ahora, una vez que el mecanismo se ha movido de manera que el nudo C (y el
D) ocupa la posición final que ocuparía en el caso de que estuviésemos
considerando la estructura real, no estaríamos añadiendo nuevas coacciones al
sistema porque ya se había movido
a a

31. Pero, claro, en el caso del mecanismo, las secciones en contacto con la rótula que
exista en un nudo giran diferente, cuando en la estructura real, las secciones de dos
barras coincidentes en un nudo, tendrían que girar lo mismo.
Si, ahora, colocáramos sobre el mecanismo una vez movido, las cargas que actúan
sobre la estructura y, en las secciones en contacto con las rótulas los momentos
flectores que, en la realidad, actúan sobre ellas (MB en B, MC en C* y MD en D*):

32. AB
C DC*
a a
MB
MC
MD
F
¡Obtendríamos la estructura deformada!
D*

33. E
A
B
C
D
q=20 kN/m
F=80 kN8 m
4 m
6 m 2 m
6 m
Veamos un ejemplo:
Deducir las leyes de momentos flectores y esfuerzos cortantesy axiles y los movimientos
De las secciones B y D en la estructura de la figura.
La sección de las vigas es rectangular de 30 cm de ancho y 40 cm de
canto y el material (hormigón) tiene un módulo de elasticidad de 20 Gpa.

34. E
A
B
C
q=20 kN/m
F=80 kN8 m
4 m
6 m 2 m
6 m
2q
2q
2q
2q

35. E
A
B
C
q=20 kN/m
F=80 kN
2q
2q
¿Podemos simplificar más aún la estructura?
A
B
C
q=20 kN/m
F=80 kN
2q
2q

36. F=80 kN
q=20 kN/m 2q
2q
A
B
C C*
B*
a a
M
M
a
B1*
A
F=80 kN
M
C*
B2*
M
q=20 kN/m 2q
2q
=
( ) ( )oantihorarioantihorari **
BB 21
θθ =

37. a
B1*
A
F=80 kN
M
C*
B2*
M
q=20 kN/m 2q
2q
( )
EIEIEI
M
oantihorari*
B
24
620
6
406
3
6 3
2
⋅
−
⋅
+=θ
( )
816
880
3
8 2
1
a
EIEI
M
oantihorari*
B
−
⋅
+−=θ
460
83
14
=+ a
EI
M

38. E
A
B
C
q=20 kN/m
F=80 kN
2q
2q
80 kN
VA
VE
Tomando momentos en B
de las fuerzas y momentos
que actúan sobre la barra AB
(sentido antihorario positivo):
mkNM
M
⋅−=
=⋅+−⋅−
320
0480880
mkN,,EI ⋅=⋅⋅⋅= 320004030
12
1
1020 36
460
83
14
=+ a
EI
M m,a 4880=

39. Ley de momentos flectores
320 kN.m E
A
B
C
D
q=20 kN/m
F=80 kN
40 kN.m
320 kN.m

40. Ley de esfuerzos cortantes
80 kN
E
A
B
C
D
q=20 kN/m
F=80 kN
120 kN
40 kN

41. Ley de esfuerzos axiles
E
A
B
C
D
q=20 kN/m
F=80 kN
160 kN

42. Movimientos de la sección B:
El desplazamiento horizontal será 0,488 m, el vertical nulo y el giro:
a
B1*
A
F=80 kN
M
( ) rad,
,
EIEI
oantihorari*
B
02430
8
4880
16
880
3
3208 2
1
−=−
⋅
+
⋅
=θ
La sección B gira en sentido horario 0,0243 rad

43. Movimientos de la sección D:
El desplazamiento horizontal será 0,488 m.
( )
m,,v
rad,
EIEIEI
horario
D
C
026250201310
01310
6
6320
24
620
3
640
2
3
=⋅↑=
−=
⋅
−
⋅
−
⋅
=θ
El desplazamiento vertical será suma de:
a) El obtenido si la sección C del dintel no girara:
mm,
EI
Lq
v CD
D
251
320008
220
8
44
1
=
⋅
⋅
=
⋅
↓=
b) El de sólido rígido motivado por en giro de la sección C del dintel:
m,,,vD
0250001250026250 =−↑=
El giro de D será (suma del de la sección C más el causado por la
sobrecarga que actúa sobre la ménsula:
( ) rad,
EI
,oantihorariD
01220
6
220
0130
3
=
⋅
−=θ

44. q=20 kN/m
P1=60 kN P2=40 kN
A
B
C
D
E
2,5 m 2,5 m 2,5 m 2,5 m
5 m
En el pórtico de la figura, todas las barras tienen la misma rigidez EI=40000 kN.m.
Cuando actúan las cargas indicadas, determinar:
a) Leyes de esfuerzos en la estructura
b) Desplazamiento horizontal en C

45. A
B
C D
E
Estructura con un grado de traslacionalidad
a
a a
B*
C* D*

46. A
B
C D
E
a
a a
B* C* D*
M2
M1
M3

47. M2
M1
B2* C1*
A
B
a
B1*M1
q
M3M2
C2* D1*
a
M3
E
D2*
P1 P2
EI
LM
EI
LP
EI
LM
oantihorari
L
a
EI
qL
EI
LM
oantihorari
B
B
6163
)(
243
)(
2
2
11
3
1
2
1
+−−=
−+=
θ
θ
Ec.1
EI
LM
EI
LP
EI
LM
oantihorari
EI
LM
EI
LM
EI
LP
oantihorari
C
C
6163
6316
3
2
22
12
2
1
2
1
+−=θ
+−=θ
)(
)(
Ec.2
L
a
EI
LM
oantihorari
EI
LM
EI
LP
EI
LM
oantihorari
D
D
−=
−+−=
3
)(
6163
)(
3
2
2
23
2
1
θ
θ
Ec.3

48. EI
LM
EI
LP
EI
LM
oantihorari
L
a
EI
qL
EI
LM
oantihorari
B
B
6163
)(
243
)(
2
2
11
3
1
2
1
+−−=
−+=
θ
θ
Ec.1
EI
LM
EI
LP
EI
LM
oantihorari
EI
LM
EI
LM
EI
LP
oantihorari
C
C
6163
6316
3
2
22
12
2
1
2
1
+−=θ
+−=θ
)(
)(
Ec.2
L
a
EI
LM
oantihorari
EI
LM
EI
LP
EI
LM
oantihorari
D
D
−=
−+−=
3
)(
6163
)(
3
2
2
23
2
1
θ
θ
Ec.3
¡3 ecuaciones con cuatro incógnitas!
aMMM 321

49. ¡La ecuación que falta la obtenemos aplicando las
ecuaciones de la estática!
A
B
a
B1*M1
q
a
M3
E
D2*
VA
HA VE
HE
Suma de momentos en B1* igual a cero: Suma de momentos en D2* igual a cero:
0
2
2
1 =−+ LH
qL
M A
03 =+ LHM E
Junto con: qLHH AE −=− 0
2
3
2
2
1 =+−+ MqL
qL
M Ec. 4

50. Resolviendo el sistema de las cuatro ecuaciones con las 4 incógnitas:
ma
mkNM
mkNM
mkNM
061,0
25,156
25,31
75,93
3
2
1
=
⋅=
⋅=
⋅=

51. q
P1
P2
A
B
C
D
E
106,25 kN.m
31,25 kN.m
43,75 kN.m
156,25 kN.m
Ley de momentos flectores

52. q
P1
P2
A
B
C
D
E
68,75 kN
31,25 kN
5 kN
55 kN
5 kN
45 kN
31,25 kN
Ley de esfuerzos cortantes

53. q
P1
P2
A
B
C
D
E
5 kN
31,25 kN
45 kN
Ley de esfuerzos axiles

54. ESTRUCTURAS RETICULADAS
ATIRANTADAS

55. AB
C D P
EI
EtAt
L
h/2

56. AB
C D
=
AB
C D P
AB
F F
F F
∆BA=F.L/ EtAt
P

57. AB
C D
P
AB
F F
F F
∆BA=F.L/ EtAt
AB
C D
1 1
ESTADO REAL ESTADO FICTICIO
Teorema de reciprocidad:
real
A
ficticio
D
ficticio
A uuPuF
rrr
⋅−=⋅+⋅− 1

58. real
A
ficticio
D
ficticio
A uuPuF
rrr
⋅−=⋅+⋅− 1
tt
real
A
real
B
real
ABA AE/LFuuu ⋅==−=∆
rrr
tt
real
A AE/LFu ⋅=
r
tt
ficticio
D
ficticio
A
AE
LF
uPuF
⋅
−=⋅+⋅−
rr
tt
ficticio
A
ficticio
D
AE
L
u
uP
F
−
⋅
=
r
r
¡Sólo es preciso resolver
el estado ficticio para
obtener la fuerza en el
tirante!

59. AB
C D
1 1
ESTADO FICTICIO
h
h
h
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−= L
h
EI
h
hhhhhLhhh
EI
u ficticio
A
3
2
3
2
2
1
3
2
2
11 2
r
( )hL
EI
Lh
Lhh
L
hL
EI
v ficticio
A +=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅⋅+⋅⋅↓=
22
1
2
1
( ) ( )hL
EI
h
hL
EI
Lh
L ficticio
B
ficticio
B +=⇒+=⋅
22
θθ

60. AB
C D
1 1
ESTADO FICTICIO
h
h
h
EI
h
hhh
EI
u ficticio
D
63
1
2
11 3
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅⋅=
r
Pero como B gira:
( ) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−=+−=
2326
223
Lh
EI
h
hL
EI
h
EI
h
u ficticio
D
r
( )hL
EI
hficticio
B +=
2
θ

61. tt
ficticio
A
ficticio
D
AE
L
u
uP
F
−
⋅
=
r
r
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−= L
h
EI
h
u ficticio
A
3
22
r
tt AE
L
L
h
EI
h
Lh
EI
h
P
F
−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⋅−
=
3
2
23
2
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−=
23
2
Lh
EI
h
u ficticio
D
r
F>0, luego el tirante trabaja
a tracción, como habíamos
supuesto