Cap9 ejem flexion 1 otazzi

Concreto Armado 1 - 152
Ejemplo 9-1 - Comportamiento de una Sección en Flexión Pura
Estudiemos el comportamiento de una sección rectangular de concreto armado sometida
a flexión pura. Someteremos al concreto de la sección a una deformación que se
incrementa desde cero hasta su agotamiento por compresión. La deformación que
controlaremos es la correspondiente a la fibra más comprimida (la más alejada del eje
neutro). Con las hipótesis para el análisis de secciones de concreto armado en flexión,
es suficiente para describir el comportamiento de la sección en todo momento La sección
analizada, el modelo supuesto para el comportamiento del acero en tracción y para el
comportamiento del concreto en compresión, se indican a continuación.
Asumiremos que el concreto resiste tracciones hasta un instante antes de producirse la
fisuración por flexión, de allí en adelante se ignora el aporte que podría tener el concreto
en tracción que aún no se ha fisurado.
En todo instante deberán cumplirse los tres bloques de condiciones: Equilibrio,
Compatibilidad, Relaciones Constitutivas. La resultante de las compresiones en el
concreto deberá calcularse mediante:
El procedimiento utilizado es el siguiente:
- Variar la deformación del concreto de la fibra extrema en
compresión (εc) desde cero hasta su valor máximo (εcu = 0.004) con incrementos de,
por ejemplo, 0.0001.
- Para cada valor de εc seleccionado, será necesario variar (iterar) la profundidad del
eje neutro (c) hasta lograr el equilibrio de fuerzas horizontales en la sección, es decir
la compresión total en el concreto debe ser igual a la tracción en el acero:
Cc = As fs
Para ello será necesario para cada valor de la posición del eje neutro, integrar
(conviene numéricamente) los esfuerzos en el concreto para calcular la compresión
total.
- En todo instante hay que calcular la deformación en el acero y su
esfuerzo, el cual deberá cumplir fs ≤ fy.
∫=
c
dybyCc
0
)(σ

La figura a continuación muestra esquemáticamente una de las tantas iteraciones
necesarias.
Las principales variables de este problema se han resumido en los dos gráficos insertos
a continuación. En ellos se puede apreciar la variación de: el momento flector, el
esfuerzo en el acero, la posición o profundidad el eje neutro, la curvatura de la
sección, la deformación del acero y del concreto.
Se distinguen claramente tres etapas:
- la primera asociada al comportamiento de la sección antes de alcanzar el momento
de agrietamiento (Mcr ≈ 10.3 ton-m) es decir la etapa en la cual el concreto aún resiste
tracciones. Nótese el salto brusco que se produce tanto en la posición del eje neutro,
en la curvatura de la sección así como en el esfuerzo en el acero, al pasar la sección
de no agrietada a agrietada.
- la segunda asociada al comportamiento de la sección con el acero trabajando en el
rango elástico (fs<fy)
- la tercera etapa una vez que se ha excedido el momento flector que produce la
primera fluencia del acero (My ≈ 56.2 ton-m) hasta alcanzar el agotamiento del
concreto en compresión el cual se produce para un momento flector Mn ≈ 58 ton-m
Nótese la similitud entre el momento de fluencia de la sección (My) y la resistencia
nominal o momento último (Mn) la diferencia es de tan solo un 3%. Esto se debe, en
parte, al modelo elastoplástico adoptado para el acero. Si se hubiera adoptado un
modelo con endurecimiento por deformación, la diferencia hubiera sido mayor.
La ductilidad de curvatura de la sección es de:
ϕu /ϕy = 23.26/5.35 ≈ 4.3
ε(y) = (εc / c) y
σ(y)
y
0
10
20
30
40
50
60
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
Deform. (εc) del Concreto x E-03
Momento (ton-m) Esf. Acero/100 (kg/cm2)
Pos Eje Neutro (cm) Curvatura 1/m*E-03
Momento
Esfuerzo acero
Posicion Eje Neutro
Curvatura
Fluencia

Ejemplo 9-2 - Influencia del valor de - εcu -en la Resistencia a Flexión
Por medio de un ejemplo, intentemos cuantificar la influencia que tiene la deformación
máxima del concreto εcu en la resistencia a la flexión en una sección rectangular de
concreto armado. Para ello analicemos la sección mostrada en la figura, reforzada con
tres cantidades distintas de acero y utilicemos dos modelos de comportamiento en
compresión del concreto (modelos M1 y M2):
Los modelos M1 y M2 utilizados para caracterizar el comportamiento en compresión del
concreto, se muestran a continuación y se diferencian únicamente en la zona de la rama
descendente. Se ha adoptado una de formación de rotura εcu = 0.006.
0
10
20
30
40
50
60
0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0
Curvatura 1/m x E-03
Momento(ton-m)
0.000
0.002
0.004
0.006
0.008
0.010
0.012
Deformación
Deform. Concreto
Momento
Deform. Acero
My
Mcr
As1 = 12 cm2
(0.25 Asbal) Caso 1
As2 = 24 cm2
(0.50 Asbal) Caso 2
As3 = 36 cm2
(0.75 Asbal) Caso 3

Para el acero asumiremos un modelo elastoplástico perfecto con fy = 4,200 kg/cm2
y
módulo de elasticidad Es = 2x106
kg/cm2
.
El procedimiento, al igual que en el ejemplo 9-1, consiste en ir variando la deformación
del concreto en la fibra extrema y para cada una de las variaciones, calcular la
resistencia de la sección utilizando las ecuaciones de compatibilidad, relaciones
constitutivas y equilibrio. Este proceso se realizó con la ayuda de un programa de
computadora.
La resistencia nominal (Mn) de la sección predicha por el ACI, se calculó con las
ecuaciones 9-16 y 9-17:
La tabla a continuación resume los resultados para las tres áreas de acero analizadas y
para los dos modelos del concreto.
La figura a continuación muestra para el modelo de concreto M-1 y para las tres
cantidades de acero, la variación del momento resistente en función a la deformación del
concreto en la fibra extrema en compresión. El comportamiento de la sección es
prácticamente elastoplástico para las tres cantidades de acero, lo cual indica que el
momento de fluencia es muy parecido a la resistencia nominal o última de la sección.
)
2
()(
a
dfyAsjdTMn −==
0.85 bcf
As fy
a
′
=
Caso As (cm2) Mn ACI (t-m) M. Fluencia Mod 1 Mod 2
1 12 0.25 Asbal 30.73 29.48 14.48 16.81
2 24 0.50 Asbal 57.39 56.19 6.14 7.13
3 36 0.75 Asbal 79.98 80.61 3.52 4.09
Def. Concreto Mod 1 (t-m) Mod 2 (t-m) Mod 1 (t-m) Mod 2 (t-m) Mod 1 (t-m) Mod 2 (t-m)
0.0005 18.07 18.07 23.08 23.08 26.22 26.22
0.0010 29.86 29.86 43.11 43.11 48.80 48.80
0.0015 30.54 30.54 56.65 56.65 67.48 67.48
0.0020 30.82 30.82 57.74 57.74 80.78 80.78
0.0025 30.90 30.92 58.06 58.15 81.50 81.70
0.0030 30.90 30.96 58.07 58.33 81.51 82.09
0.0035 30.87 30.98 57.95 58.42 81.24 82.30
0.0040 30.82 31.00 57.77 58.47 80.84 82.42
0.0045 30.77 31.01 57.55 58.50 80.34 82.49
0.0050 30.70 31.01 57.30 58.53 79.77 82.54
0.0055 30.64 31.01 57.02 58.54 79.15 82.58
0.0060 30.57 31.01 56.77 58.55 78.60 82.60
Resistencia a Flexión de la Sección (Mn)
Ductilidad de Curvatura
Caso 1 As=12 Caso 2 As=24 Caso 3 As=36
Modelo Concreto M1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0.E+00 1.E-03 2.E-03 3.E-03 4.E-03 5.E-03 6.E-03
Deform. concreto
Momento(ton-m)
As = 12
As = 24
As = 36

Para comparar los resultados de la resistencia en flexión con los que se obtienen con el
ACI, se han elaborado los dos gráficos que se presentan a continuación. En ellos se
muestran el cociente entre la resistencia calculada con los modelos M1 y M2 y la
resistencia calculada con el ACI.
Del análisis de los resultados, resulta claro que a partir de un valor de la deformación del
concreto en la fibra extrema mayor o igual a 0.002 la resistencia en flexión de una
sección de concreto armado es prácticamente independiente del valor de εcu que se
adopte.
El valor de εcu = 0.003 adoptado por el ACI, resulta adecuado y conservador para el
cálculo de la resistencia de secciones en flexión. Para este nivel de deformación, el
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006
Def. Concreto en la Fibra Superior - Modelo Concreto 1
MomentoResitente/MomentoACI
As = 12
As = 24
As = 36
Modelo de Concreto M1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006
Def. Concreto en la Fibra Superior - Modelo Concreto 2
MomentoResitente/MomentoACI
As = 12
As = 24
As = 36
Modelo de Concreto M2

concreto comprimido en una sección en flexión, normalmente no mostrará agrietamiento
ni se presentará estallido del recubrimiento, a pesar de que la deformación adoptada de
0.003 es mayor que la correspondiente al valor para el cual se produce el esfuerzo
máximo (f′c) en los ensayos de compresión en probetas (aproximadamente 0.002). Esto
probablemente se debe al gradiente de esfuerzos presente en la zona comprimida de
una viga, donde las fibras menos esforzadas (las cercanas al eje neutro) tienden a
estabilizar a las más esforzadas.
El valor de εcu que se adopte tiene una marcada influencia en la curvatura última de la
sección, de allí que el valor del ACI puede ser demasiado conservador para los cálculos
de la curvatura. Diversos autores recomiendan que para los cálculos de la curvatura
última se adopte un valor de 0.004 o mayor dependiendo del grado de confinamiento que
tenga el concreto comprimido.
El modelo M-2 presenta una ductilidad de curvatura mayor que la correspondiente al
modelo M-1, esto se debe a la forma de la rama descendente de la curva esfuerzo –
deformación.
En el caso analizado el modelo de concreto tiene poca influencia en la resistencia de la
sección, la variable más importante es la cantidad de acero en tracción.
El momento de fluencia resultó ser independiente del modelo de concreto adoptado. Esto
debido a que la fluencia del acero se presentó cuando el concreto se encontraba en la
zona parabólica de comportamiento, la cual es la misma para ambos modelos.
Se sugiere la lectura de los artículos 3.3 y 3.4 del libro de Park y Paulay que tratan sobre
este tema y sobre la validez del empleo del bloque equivalente de compresiones en
secciones no rectangulares.
Ejemplo 9-3 - Análisis de una sección rectangular
Se desea calcular la resistencia de diseño de la sección rectangular mostrada en la
figura para momento positivo (compresiones en la fibra superior).
Con las hipótesis para el análisis de secciones de concreto armado en flexión, es
suficiente para determinar la resistencia, es decir, no utilizaremos las ecuaciones que se
han deducido para el caso particular de las secciones rectangulares. La sección
mostrada es la misma que se utilizó en el ejemplo de introducción del Capítulo 8.
La altura del bloque equivalente de compresiones, para f′c =210 kg/cm2
, seobtiene a partir
del valor de β1 = 0.85, en consecuencia a = 0.85c. Asumiremos, con cargo a verificar, que
se trata de una falla dúctil (sección subreforzada), es decir que el acero fluye antes de la
falla.
• Tracción en el acero: T = As fy = 10 x 4,200 = 42,000 kg
d = 55
5
30
0.85 f′c
Asfy
a = β1
c
εs
εcu = 0.003
c
d - c
As = 10 cm2
ρ = 10/(30x55) = 0.61%

• Equilibrio Cc = T 0.85 f′c a b = As fy
0.85x210x a x30 = 42,000 ⇒ a = 7.84 cm
Verificación: Cc = 0.85x210x7.84x30 = 41,983 kg
Posición del eje neutro:
• Verificación de la fluencia en el acero:
La fluencia en el acero de tracción, también se pudo verificar comparando la relación c/d
con la correspondiente a la falla balanceada:
Cb/d = 0.588 (en la falla balanceada para fy = 4,200 εcu = 0.003)
en la sección analizada: c/d ≈ 0.17 < 0.588 (por lo tanto el acero fluye)
• La resistencia de la sección la obtendremos por equilibrio de la misma:
x42,000 51.08 21.45 ton-mnM = ≈ x0.9 21.45 19.31 ton-mnMφ = ≈
La cantidad de acero que produce la falla balanceada de la sección es, en este caso, de
35 cm2
y la cantidad máxima de acero permitida por la Norma es 0.75 x 35 ≈ 26 cm2
.
Evidentemente otra manera de verificar la fluencia del acero, es comparar la cantidad de
acero colocada con la que produce la falla balanceada. Cuando el acero colocado es
menor que el balanceado, el acero de refuerzo en tracción estará en fluencia.
Es interesante aprovechar este ejemplo para analizar la forma como cambia la
resistencia en flexión de la sección con la cantidad de acero colocada. Para ello se han
elaborado los dos gráficos a continuación, suponiendo que el peralte efectivo se
mantiene constante (d = 0.55 m).
En el primer gráfico se muestra la variación de la resistencia nominal con el aumento en
la cuantía de acero. La relación es casi lineal hasta la cuantía balanceada, de allí en
adelante la resistencia de la sección se incrementa poco ya que la falla está controlada
por la capacidad del concreto y el acero permanece elástico. En consecuencia aumentos
del acero por encima del balanceado, son poco eficientes, es decir incrementan poco la
resistencia de la sección, además de producir una falla frágil en la sección o elemento.
εcu = 0.003
c = 9.22 cm
d – c = 45.78 cmεs
0.003
9.22 45.78
sε
=
0.0149 7.1s yεε ≈ ≈
0.0021
y
y
f
Es
ε = =
7.84
0.85x210 = 178.5 kg/cm2
T = 42,000 kg
51.08 0.93
2
a
d d jd− = ≈ =
Cc ≈ 42,000 kg
17.0cm9.22
0.85
7.84
≈==
d
c
c

En el segundo gráfico se aprecia la variación de las relaciones c/d, εs/εy y del brazo
interno de palanca medido a través del parámetro j (jd = d – a/2). El cociente c/d varía
linealmente hasta la cuantía balanceada donde cambia de pendiente, similar observación
es válida para jd.
El cociente c/d en una sección rectangular sin acero en compresión, para las cuantías de
acero que se emplean normalmente, varía entre 0.1 y 0.4, mientras que el brazo interno
de palanca (jd) varía aproximadamente entre 0.95, para cuantías bajas, y 0.80 para
cuantías de acero altas. Para estimar de manera rápida la resistencia de una sección
rectangular, puede suponerse un brazo interno de palanca aproximado de jd = 0.9, con
esta suposición tendremos:
φ Mn = φ As fy (0.9 d)
Finalmente, en el segundo gráfico es posible apreciar la manera como, en una sección
rectangular sin acero en compresión, cambia la deformación del acero de tracción a
medida que se incrementa la cantidad de acero. Dependiendo del peralte de la viga, para
cuantías bajas la deformación del acero está entre 7 y 15 veces la deformación de
fluencia, mientras que para cuantías altas esta se va reduciendo hasta llegar a 1.8 veces
la deformación de fluencia para cuantías cercanas a 0.75 Asb.
c/d j Es/Ey - Area acero
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
0 10 20 30 40 50 60
As (cm2)
c/d-j
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Es/Ey
c/d
j
εs/εy
Resistencia Nominal - Area acero
0
10
20
30
40
50
60
70
0 10 20 30 40 50 60
As (cm2)
Mn(ton-m)
Asb

Ejemplo 9-4 - Influencia en la resistencia de la forma del bloque de compresiones
En el Ejemplo 9-2 fue posible observar, que la forma del bloque de compresiones no
tiene una marcada influencia en la resistencia a flexión de la sección que se analizó. Es
decir, la resistencia a flexión que se calculó con los modelos del concreto M1 y M2,
difiere poco de la predicha con las hipótesis del ACI, en particular con el uso de un
bloque equivalente de compresiones.
A continuación calcularemos la resistencia en flexión de la sección rectangular analizada
en el ejemplo 9-3. Utilizaremos dos modelos para el concreto, el bloque equivalente de
compresiones del ACI y el modelo del CEB (figura 9-17) que se reproduce en la figura a
continuación. La resistencia de la sección con las hipótesis del ACI se calculará con las
ecuaciones 9-16 y 9-17 si se presenta fluencia en el acero y con las ecuaciones 9-26 y 9-
18 si no hubiera fluencia. La resistencia de la sección con el modelo del CEB se calculará
con la ayuda de un programa de computadora.
Para el acero se ha supuesto un modelo elastoplástico perfecto, es decir sin
endurecimiento por deformación. Se ha supuesto además que el peralte efectivo (d)
permanece constante cualquiera sea la cantidad de acero colocada en la sección.
La tabla a continuación resume los resultados. Es claro que los valores de la resistencia
nominal (Mn) obtenidos con el modelo “simple” del ACI son muy parecidos a los
obtenidos con el modelo más elaborado del CEB. En conclusión, para flexión simple el
modelo del ACI suministra resistencias suficientemente “precisas” para fines de diseño.
En la tabla a continuación se comparan las ductilidades de curvatura para los dos
modelos. Se presenta también el momento flector que da inicio a la fluencia en el acero
(My) calculado con el modelo del CEB ya que con el modelo del ACI no es posible
calcular este valor. El momento de fluencia es ligeramente inferior al momento nominal
de la sección, con lo cual el adoptar un diagrama momento curvatura del tipo bilineal no
conduciría a errores importantes.
La ductilidad de curvatura calculada con el modelo del CEB es mayor que la calculada
con el ACI. Esto se debe principalmente a que el CEB acepta una deformación de
agotamiento del concreto εcu (0.0035) mayor que la del ACI. Nótese que para As = 40 cm2
d = 55
5
30
Sección
As = variable Modelo del CEB
f′c= 210 kg/cm2
fy= 4,200 kg/cm2
Es= 2x106
kg/cm2
εy = 0.0021
As (cm2) As / Asb c (cm) εs /εy
Mn
(kg-m)
c (cm) εs /εy
Mn
(kg-m)
10 0.29 9.23 7.09 21,455 9.66 7.82 21,410
20 0.57 18.45 2.83 39,610 19.32 3.08 39,450
30 0.86 27.68 1.41 54,475 28.99 1.50 54,110
40 1.14 33.59 0.91 62,270 35.47 0.92 62,055
ACI CEB

no llega a producirse fluencia en el acero, en consecuencia no es posible (en teoría)
definir o calcular la ductilidad de curvatura de la sección.
Ejemplo 9-5 - Análisis de una sección no rectangular
Se desea calcular la resistencia de diseño de la sección triangular mostrada en la figura,
reforzada con 10.2 cm2
(2 φ 1”) de acero para momento positivo (compresiones en la fibra
superior).
Igual que en el ejemplo 9-3 utilizaremos solamente las hipótesis para el análisis de
secciones de concreto armado en flexión. Lo importante en este ejemplo radica en
aceptar que aún con un bloque comprimido no rectangular, se sigue cumpliendo la
hipótesis simplificadora de trabajar con un bloque equivalente de compresiones. Una
discusión sobre la validez del empleo del bloque equivalente de compresiones en
secciones no rectangulares, se puede encontrar en el libro de Park y Paulay.
Adicionalmente en este ejemplo veremos como analizar secciones no rectangulares para
las cuales no se han derivado ecuaciones.
Asumiremos, con cargo a verificar, que se trata de una falla dúctil (sección
subreforzada), es decir que el acero fluye antes de la falla. Para f′c =210 kg/cm2
β1 = 0.85
T = As fy = 10.2 x 4,200 = 42,840 kg
• Equilibrio: Cc = T (área del bloque comprimido equivalente = a2
/ 2)
Cc = 0.85 x 210 x a2
/ 2 = 42,840 kg ⇒ a= 21.91 cm
c = a / 0.85 = 25.78 cm c/d ≈ 0.47
• La fluencia en el acero de tracción, se puede verificar comparando la relación c/d con
la correspondiente a la falla balanceada:
Cb/d = 0.588 (en la falla balanceada para fy = 4,200 εcu = 0.003)
en la sección analizada: c/d ≈ 0.47 < 0.588 (por lo tanto el acero fluye)
a c
60
30 30
c
d ≈ 55
d – c
c
εcu = 0.003
εs
a = β1 c
0.85 f′c
T= As fs
3
a2
djd −=
Cc
3
a2
εcu = 0.003
c =25.78 cm
d – c = 29.22 cm
εs
0.003
25.78 29.22
sε
=
εy = 0.0021
εs ≈ 0.0034 ≈ 1.62 εy
As (cm2) As / Asb
My (CEB)
(kg-m)
ϕ y (CEB)
1/m x 10E-03
ACI CEB
10 0.29 20,410 5.711 5.97 6.35
20 0.57 38,430 7.026 2.31 2.58
30 0.86 53,730 8.770 1.24 1.38
40 1.14 -- -- -- --
Ductilidad Curvatura

Resistencia de la sección:
Mn = Cc x jd = T x jd = As x fy x jd
Mn = 42,840 x 40.39/100 = 17,305 kg-m
• La resistencia de diseño o capacidad disponible de la sección será:
φ Mn = 0.9 x 17,305 = 15,575 kg-m
• Area de acero en tracción que produce una falla balanceada en la
sección:
cb/d = 0.588 ⇒ cb = 0.588 x 55 = 32.34 cm
profundidad del bloque de compresiones: ab = 0.85 x 32.34 = 27.5 cm
equilibrio en la falla balanceada: Ccb = Asb fy
0.85 f′c (27.5)2
/ 2 = 67,495 = Asb fy ⇒ Asb ≈ 16.1 cm2
• Límite de la Norma: As max = 0.75 Asb = 0.75 x 16.1 ≈ 12 cm2
• Calculemos la deformación en el acero para 12 cm2
(0.75 Asb) de refuerzo en la
sección:
0.85 f′c (a)2
/ 2 = 12 x 4,200 ⇒ a = 23.76 ⇒ c = 27.96 cm c/d ≈ 0.51
⇒ εs = 0.0029 ≈ 1.4 εy
Nótese que para la sección triangular analizada, no es posible definir el concepto de
cuantía de acero en flexión (ρ = As/bd), el concepto de cuantía tal como lo
define la Norma, es aplicable a secciones rectangulares o T.
Para una sección rectangular reforzada con 0.75 Asb la deformación del acero, cuando se
alcanza la resistencia de la sección, es de aproximadamente 1.8 εy (acápite 9.6). En
la sección triangular que hemos analizado, la deformación del acero es de 1.4 εy
para las mismas condiciones, en consecuencia, el requisito de la Norma de limitar
la cantidad máxima de acero al 75% del valor que ocasiona la falla balanceada, no
genera la misma deformación en el acero, es decir la deformación dependerá de la
forma del bloque comprimido.
Este resultado no es consistente, por este motivo (entre varios otros) a partir de la
versión del ACI-95 se introdujo el Apéndice B el cual exige que,
independientemente de la forma de la sección y de la calidad del acero y del
concreto, para que una sección clasifique como subreforzada (falla en tracción) la
deformación del acero más alejado del borde comprimido (εt), debe ser por lo
menos 0.005. A partir del ACI-02, esta exigencia ha pasado a ser parte del cuerpo
de la Norma, dejando de ser un apéndice. En consecuencia el tratamiento de las
secciones sobre reforzadas y subreforzadas ya es uniforme, y no está basado en el
concepto de cuantía balanceada.
También es necesario señalar que la sección analizada no cumple con los requisitos del
ACI-02 para clasificar como sección controlada por tracción (εt ≥ 0.005, equivalente a c/dt
0.003
27.96 27.04
sε
=
d
a
djd 0.73cm40.39
3
21.912
55
3
2
≈=−=−=
×

≤0.375) y así poder usar φ = 0.9. Tampoco cumple con el requisito para vigas de tener una
deformación en el acero de tracción más alejado del borde comprimido, no menor de
0.004. En consecuencia esta sección, de acuerdo al ACI-02 no podría utilizarse, sin
embargo de acuerdo a la Norma Peruana y al ACI hasta el año 1999 sí puede utilizarse.
Para que cumpla con el ACI-02 sería necesario aumentar la calidad del concreto o
reducir la cantidad de acero o añadir acero en compresión.
Ejemplo 9-6 - Uso de tablas y ayudas para el diseño
Para ilustrar el uso de las tablas o ayudas para el diseño de secciones rectangulares,
diseñaremos la siguiente sección:
• Tabla 9.1. La ventaja de esta tabla estriba en que es válida para cualquier calidad del
concreto y del acero. Además son adimensionales, basta utilizar un sistema
consistente de unidades.
Calcular:
Leer en la tabla el valor de ω correspondiente a 0.117:
Con el valor de As se puede calcular a, c, εs
• Tabla 9.2 (Ku). Estas tablas son válidas solo para aceros de 4,200 kg/cm2
y para una
calidad específica del concreto. No son adimensionales, deben emplearse kilogramos
y centímetros.
Calcular:
Leer en la tabla el valor de la cuantía ρ = 0.63% y calcular As.
• Ecuación 9-25 para el cálculo de a. Este método es apropiado para su uso en
calculadoras programables.
• Método de tanteos. Útil cuando no se dispone de tablas. Consiste en suponer un
valor inicial del brazo de palanca interno jd e ir corrigiendo, por aproximaciones
sucesivas, el valor supuesto hasta lograr la convergencia.
55
5
30
60
f′c= 210kg/cm2
fy = 4200 kg/cm2
Mu = 20 ton-m (Resistencia requerida)
b = 30 d = 55 cm
0.117
55302100.9
10020,000
22'
≈
×××
×
=
bdf
M
c
u
φ
%63.0
´
0.126 =⇒== ρ
ρ
ω
c
y
f
f
2
cm10.455300.0063 =××== bdAs ρ
22.04
5530
10020,000
2 2
=
×
×
==
bd
Mu
Ku
cma
bf
M
dda
c
u
15.8
´0.85
22
≈⇒−−=
φ
2
cm10.4
)
2
8.15
(554,2000.9
10020,000
)
2
(
≈
−××
×
=
−⋅
=
a
df
M
A
y
u
s
φ

Ya se ha mencionado que en secciones rectangulares el valor de j se puede
aproximar mediante:
j ≈ 0.95 en secciones rectangulares con poca armadura.
j ≈ 0.80 en secciones rectangulares con armadura cercana a 0.75 Asb.
j ≈ 0.75 en secciones con armadura igual a Asb.
Por lo tanto para cantidades intermedias o usuales de armadura, una aproximación
razonable es j ≈ 0.90. Con este valor es posible calcular un primer estimado de la
armadura necesaria mediante la ecuación (1) e ir corrigiendo el valor supuesto mediante
las ecuaciones (2) y (3):
As = Mu /φ fy(jd) (1) a = As fy/ 0.85 f′c b (2) j = d – a/2 (3)
Apliquemos estas ideas al ejemplo que hemos resuelto con la ayuda de las tablas (f′c =
210, b = 30, d = 55, Mu = 20 ton-m):
• Primer estimado:
j = 0.9 jd = 49.5 cm As = 10.69 cm2
a = 8.38 j = 0.92
• Segundo estimado:
j = 0.92 jd = 50.6 cm As = 10.46 cm2
a = 8.20 j = 0.925
• Tercer estimado:
j = 0.925 jd = 50.88 cm As = 10.40 cm2
a = 8.16 j = 0.926
La convergencia de este método suele ser rápida. En el ejemplo que se ha resuelto, en
el segundo estimado ya se tenía una buena aproximación al área de acero necesaria.
Ejemplo 9-7 - Influencia de f′c en la resistencia.
Para cuantificar la influencia que tiene la resistencia a la compresión del concreto en la
resistencia a la flexión de una sección, analicemos una sección rectangular como la
indicada en la figura a continuación. Manteniendo la cantidad de acero de refuerzo
constante, calcularemos la resistencia de diseño para distintos valores de f′c.
La tabla a continuación resume las resistencias en flexión para diversos valores de f′c:
f′c
(kg/cm2
)
Delta f′c As min
(cm2
)
As max
(cm2
)
c (cm) c /d εs /εy φ Mn
(kg-m)
Delta φ Mn
175 base 3.6 21.9 16.94 0.31 3.2 27,645 base
2
2
4,200 kg/cm (constante)
3 " 15.3 cm (constante) = 0.62%
0.55 m (constante)
yf
As
d
ρ
=
= φ1 =
=55
5
30
60

210 20% 4.0 26.3 14.12 0.26 4.1 28,340 3%
280 60% 4.6 35.1 10.59 0.19 6.0 29,205 6%
350 100% 5.1 41.3 9.00 0.16 7.3 29,725 8%
420 140% 5.6 46.4 8.00 0.15 8.4 30,075 9%
En todos los casos la falla de la sección es el tipo subreforzada, la cantidad de acero
colocada (15.3 cm2
) es menor que As max (0.75 Asb). Otra forma de comprobar la fluencia
del acero, es comparar el valor de c/d con el valor de este cociente correspondiente a la
falla balanceada cb/d que en este caso (fy = 4,200 y εcu = 0.003) vale 0.588.
Nótese la poca influencia que tiene f′c en la resistencia de la sección. En el caso que
hemos analizado, un incremento del 140% en f′c produce tan solo un incremento del 9%
en la resistencia a flexión. Sin embargo, mejoras en f′c vienen acompañadas de otras
ventajas, tales como:
- Incremento en la resistencia al corte del concreto.
- Incremento en el módulo de elasticidad del concreto y en consecuencia la posibilidad
de reducir las deflexiones.
- Reducción en la fisuración en elementos a flexión ya que aumenta la resistencia a la
tracción por flexión del concreto.
- Es posible colocar una mayor cantidad de acero en la sección ya que aumenta la
cantidad máxima de acero permitida por la Norma, 0.75 Asb. Con esto es posible
aumentar la resistencia de la sección o modificar su comportamiento de
sobrereforzada a subreforzada. Nótese, en la tabla anterior, el incremento de la
deformación del acero con la mejora del concreto.
- Aumento en la ductilidad de curvatura.
Ejemplo 9-8 - Influencia del ancho de la sección (b) en la resistencia.
Utilizaremos la misma sección del ejemplo anterior, para cuantificar la influencia que
tiene el ancho de la sección en la resistencia a la flexión. Mantendremos constante la
cantidad de acero de refuerzo así como f′c.
La tabla a continuación resume las resistencias en flexión para diversos valores del
ancho de la sección:
b (cm) Delta
volumen
As min
(cm2
)
As max
(cm2
)
c (cm) c /d εs /εy φ Mn
(kg-m)
Delta φ Mn
25 base 3.3 21.9 16.94 0.31 3.2 27,645 base
30 20% 4.0 26.3 14.12 0.26 4.1 28,340 3%
35 40% 4.7 30.7 12.10 0.22 5.1 28,835 4%
40 60% 5.3 35.1 10.59 0.19 6.0 29,205 6%
50 100% 6.6 43.8 8.47 0.15 7.8 29,730 8%
55
5
b (variable)
60
)(constantem0.55
)(constantecm3.15"3
)(constantekg/cm210
)(constantekg/cm4,200
2
2
2
=
=1φ=
=
=
d
As
f'c
fy

En todos los casos la falla de la sección es el tipo subreforzada, la cantidad de acero
colocada (15.3 cm2
) es menor que As max ó 0.75 Asb. Otra forma de comprobar la fluencia
del acero, es comparar el valor de c/d con el valor de este cociente correspondiente a la
falla balanceada cb/d que en este caso (fy = 4,200 y εcu = 0.003) vale 0.588.
Nótese la poca influencia que tiene el ancho (b) en la resistencia de la sección. En el
caso que hemos analizado, un incremento del 100% en el ancho (que significa duplicar el
volumen de concreto) produce tan solo un incremento del 8% en la resistencia a flexión.
Sin embargo, el aumentar el ancho de la sección tiene de otras ventajas, tales como:
- Incremento en la resistencia al corte de la sección.
- Permite un mejor acomodo (menor congestión) del refuerzo, facilitando la colocación
del concreto.
- Es posible colocar una mayor cantidad de acero en la sección ya que aumenta la
cantidad máxima de acero permitida por la Norma, 0.75 Asb. Con esto es posible
aumentar la resistencia de la sección o modificar su comportamiento de
sobrereforzada a subreforzada.
Ejemplo 9-9 - Influencia de la cantidad de acero en la resistencia.
Utilizaremos la misma sección del ejemplo anterior, para cuantificar la influencia de la
cuantía de acero en la resistencia a la flexión. Calcularemos la resistencia de la sección
manteniendo las dimensiones constantes (b =30 cm, d =55cm) y variando la cantidad de
acero. Se analizan dos calidades de concreto.
f′c = 210 kg/cm2
f′c = 420 kg/cm2
As
∆ As εs /εy
φ Mn
(kg-m)
∆ φ Mn εs /εy
φ Mn
(kg-m)
∆ φ Mn
cm2
1 φ1" 5.1 - 15.3 10,215 - 28.0 10,410 -
2 φ1" 10.2 base 6.9 19,665 - 13.3 20,435 base
3 φ1" 15.3 50% 4.1 28,340 44% 8.4 30,075 47%
4 φ1" 20.4 100% 2.8 36,245 84% 5.9 39,325 92%
5 φ1" 25.5 150% 1.9 43,375 121% 4.5 48,195 136%
6 φ1" 30.6 200% 1.4 49,735 153% 3.5 56,675 177%
7 φ1” 35.7 250% 1.0 54,860 179% 2.8 64,775 217%
8 φ1” 40.8 300% 0.9 56,245 186% 2.3 72,485 255%
La figura a continuación muestra la variación de la resistencia en función de la cantidad
de acero en tracción así como la variación de la deformación del acero como fracción de
la deformación de fluencia.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
As (cm2)
Mu(ton-m)
0
5
10
15
20
25
30
Es/Ey
Mu (420)
Mu (210)
Es/Ey (420)
Es/Ey (210)

Es claro que la cantidad de acero influye de manera aproximadamente lineal en la
resistencia de la sección. A esta misma conclusión se puede llegar si se observa la figura
9-23. En el ejemplo analizado, para el concreto de 210 la linealidad se pierde para
cuantías altas de acero, cercanas a la cuantía balanceada.
De las variables analizadas, las que tienen mayor influencia en la resistencia a la flexión
son, el peralte efectivo (d) y la cantidad de acero en tracción. Cuando no se puede variar
el peralte de la viga, por limitaciones de altura libre de entrepiso, la variable más
influyente es la cantidad de acero en tracción. Sin embargo, cuando el acero excede del
límite impuesto por la Norma, lo más eficiente sería aumentar el ancho de la viga, esto
suele ser mucho más económico que mejorar la calidad del concreto, ya que
normalmente habría que mejorar el concreto en todo el piso, es decir en las vigas y
aligerados o losas con un costo mayor.
Ejemplo 9-10 - Diseño de losas macizas armadas en una dirección.
Utilizando el Método de los Coeficientes de la Norma (sección 6.9), diseñaremos la losa
maciza del edifico cuya planta se muestra en la figura.
A partir de una relación entre los lados de 2 a 1, es posible analizar la losa prescindiendo
de la acción en la dirección larga (ver sección 2.7). En este ejemplo, no existen vigas en
la dirección longitudinal y la relación entre los lados de cada uno de los tramos de la losa
continua es cercana a 4, en consecuencia se puede afirmar que el trabajo de la losa será
básicamente en la dirección corta.
Por comodidad analizaremos una franja de losa de un metro de ancho. En este caso,
siendo la carga la misma en toda la planta, los resultados que se obtengan para la franja
mencionada serán válidos en todas las otras franjas.
• Metrado: por metro de ancho de la losa (h = 0.15 m):
1.0 m
Losa h = 0.15 m
p.p. = 360 kg/m2
p.t. = 100 kg/m2
s/c = 250 kg/m2
f′c = 210 kg/cm2
fy = 4,200 kg/cm2
6
0.25
66
4.25
4.5 4.54.5 4.5
Franja de diseño

CM: pp losa = 2,400x0.15x1.0 = 360 kg/m
p. t. = 100x1.0 = 100
CV: s/c = 300x1.0 = 300 300x1.8 = 540
ω servicio = 760 kg/m ωu = 1,230 kg/m
• Corte longitudinal
• Acero máximo y mínimo
As max = 0.75 x 2.13% x 100 x 12 ≈19.2 cm2
/m (límite que rara vez controla el diseño)
As+
min = 0.0018 x 100 x 15 = 2.7 cm2
/m Smax ≤ 3h Smax ≤ 0.45 m (Acero de contracción y
temperatura).
Si bien la Norma (tanto la Peruana como el ACI) no especifican claramente el acero
mínimo negativo para losas macizas en una dirección, parecería razonable el utilizar
como referencia el acero mínimo de secciones rectangulares. En este caso, de acuerdo
a la Norma Peruana, el acero mínimo negativo podría ser 0.24% x 100 x 12 ≈ 2.9 cm2
/m, sin
embargo cuando este acero resulte excesivo, conviene colocar 1.3 veces al área de
acero que resulte del cálculo.
• Diseño de las secciones de momento máximo negativo y positivo
ωu (ln)2
= 1,230x(4.25)2
= 22,217 kg-m/m
a) M−
u = 1/24 = 925 kg-m/m As = 2.08 cm2
/m
Colocar 1φ8 mm @ 25 = 2.0 cm2
/m φ Mn = 890 kg-m/m (c = 0.55 cm, εs = 29.5 εy)
b) M−
u = 1/10 = 2,220 As = 5.15 cm2
/m
Colocar 3/8”@28+3/8”@28 = 5.07 φ Mn = 2,185 (c = 1.40 cm, εs = 10.8 εy)
c) M−
u = 1/11 = 2,020 As = 4.67 cm2
/m
Colocar 3/8”@30+3/8”@30 = 4.73 φ Mn = 2,045 (c = 1.31 cm, εs = 11.7 εy)
d) M+
u = 1/11 = 2,020 As = 4.67 cm2
/m
Colocar 1φ3/8”@25+1φ8@25 = 4.84 φ Mn = 2,090 (c = 1.34 cm, εs = 11.4 εy)
e) M+
u = 1/16 = 1,390 As = 3.16 cm2
/m
Colocar φ3/8”@22 = 3.23 φ Mn = 1,420 (c = 0.89 cm, εs = 17.7 εy)
460x1.5 = 690
0.15
1.0
Sección
≈ 3
b = 100 cm
d ≈ 15 – 3 = 12 cm
0.25 4.25 0.25
1/24 1/241/10 1/101/11
1/111/11 1/161/16

Para completar el diseño será necesario revisar la capacidad de la losa para fuerzas
cortantes, verificar las deflexiones del tramo exterior, revisar la fisuración y acotar las
longitudes de los bastones (corte de fierro).
• Armado por flexión propuesto
As Negativo
Necesario 2.08 5.15 4.67
Colocado 2.00 5.07 4.73
As Positivo
Necesario 4.67 3.16
Colocado 4.84 3.23
Resistencias Negativas
Exigidas 2,220 2,020
Suministradas 2,185 (-1.6%) 2,045 (+1.2%)
Resistencias Positivas
Exigidas 2,020 1,390
Suministradas 2,090 (+3.5%) 1,420 (+2.2%)
Las resistencias suministradas se aproximan bastante a las exigidas, por lo no se
presentarán excesos o defectos de resistencia importantes. Nótese que el acero positivo
corrido provisto, en ningún caso está por debajo del acero mínimo de retracción y
temperatura, esta exigencia condicionó la elección de las combinaciones de diámetros
para el acero positivo.
Es claro que la sección que gobierna la resistencia de la losa, si se aceptan los
resultados del análisis elástico, es la de momento negativo en el primer apoyo interior,
donde se presenta el mayor defecto en el acero (5.07 cm2
/m colocados contra 5.15
necesarios). Si imaginamos que la carga uniformemente repartida se incrementa desde
un valor cero hasta la carga última, el momento negativo en el primer apoyo interior será
el primero que alcanzará su resistencia disponible o suministrada. En consecuencia el
factor de seguridad de esta losa frente a la falla por flexión, sobre la base de los
resultados del análisis elástico, se obtiene igualando la solicitación a la resistencia a
momento negativo en el primer apoyo interior:
(1/10)ωu (4.25)2
= 2,185 kgm/m ωu ≈ 1,210 kg/m
3/8”@ 30
4.250.25 4.250.25 0.25
CCL
3/8”@ 25
φ8 @ 25 3/8”@28
3/8”@28
3/8”@ 22
3/8”@ 30
φ8 @ 25
0.7 0.5 0.6
0.4
3/8”@ 25 3/8”@ 25

F.S. = 1,210/760 = 1.59 / 0.9 ≈ 1.77
Para el cálculo anterior del factor de seguridad se ha utilizado el momento negativo
proveniente de la aplicación del método de los coeficientes, en consecuencia hay que
tomar en cuenta por un lado que el método de los coeficientes es aproximado y por otro
lado el hecho que este método toma en cuenta la alternancia de la sobrecarga.
Si se hubieran proporcionado áreas de acero exactamente iguales a las exigidas, el
factor de seguridad global, frente a la falla por flexión, hubiera sido:
F.S. = 1,230/760 = 1.62 / 0.9 ≈ 1.80
El haber reducido el área de acero en el primer apoyo interior modifica el factor de
seguridad, frente a la falla por flexión, de 1.80 a 1.77. Esta reducción es insignificante, por
otro lado la resistencia suministrada para los momentos positivos de los tramos extremos
está en exceso de la exigida (3.5% de exceso). En consecuencia será posible una ligera
redistribución del momento negativo (reducción) la que ocasionará un incremento en el
positivo el cual tiene reserva de resistencia.
• Análisis límite: Calculemos el factor de seguridad frente a la falla por flexión utilizando
el análisis límite (formación de un mecanismo plástico) que se describió en la sección
5.10. Supongamos que la falla de la losa es por flexión, sin posibilidad de fallas
prematuras por fuerza cortante o por adherencia. Supongamos además que los
diagramas momento – curvatura de las secciones son del tipo bilineal, en consecuencia
el momento último (resistencia nominal en flexión) es igual al momento de fluencia.
La losa, que se comporta como una viga continua de cuatro tramos, podrá alcanzar la
falla bajo un mecanismo completo o bajo mecanismos parciales. La segunda opción es
la más probable ya que hemos utilizado para el diseño el método de los coeficientes y se
han realizado redondeos en las áreas de acero necesarias. Investiguemos los tramos
interiores y los tramos extremos.
Análisis del tramo interior:
La carga límite para el tramo interior y el coeficiente de seguridad serán:
(2,185+2,045)/2 + 1,420 = (1/8) ωul (4.25)2
⇒ ωul = 1,565 kg/m
F.S = 1,565 / 765 = 2.05 / 0.9 ≈ 2.3
Análisis del tramo exterior:
La carga límite para el tramo interior, asumiendo que el momento máximo positivo se
produce cerca del centro del tramo, y el coeficiente de seguridad serán:
2,185/2 + 2,090 = (1/8) ωul (4.25)2
⇒ ωul = 1,410 kg/m
F.S = 1,410 / 765 = 1.84 / 0.9 ≈ 2.0
φ Mn = -2,045
φ Mn = +1,420
φ Mn = -2,185
l = 4.25
ωul
φ Mn = -2,185
φ Mn = +2,090
φ Mn = 0
l = 4.25
ωul

En consecuencia controla el tramo exterior y la carga límite que puede soportar la viga
es de 1,410 kg/m con un factor de seguridad global frente a la falla por flexión cercano a
2. Nótese que en el análisis realizado no se ha considerado la alternancia de la
sobrecarga, es decir se ha supuesto que la carga es la misma en todos los tramos y que
se incrementa proporcionalmente desde cero hasta formar el mecanismo plástico, en
este caso un mecanismo parcial. Por este motivo los coeficientes de seguridad difieren
de manera importante de los calculados a partir de los resultados del análisis elástico.

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