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1 de 46
MECÁNICA DE FLUIDOS
(3925)
“Análisis Diferencial del
Movimiento de un Fluido”
Docente:
JAIME JIMYY CONDORI QUISPE
GRUPO 5:
RAMIREZ TENORIO, ALESKEY ADRIAN
SEDANO CASQUENA, SERGIO
TAPIA DÁVILA, COLLINS
Arequipa - Perú
2023
ANÁLISIS DIFERENCIAL MOVIMIENTO DE UN FLUIDOS
COLLINS
OBJETIVO:
DESCRIBIR EL MOVIMIENTO DE UN
FLUIDO DESDE UN ENFOQUE
DIFERENCIAL
INTRODUCCIÓN
● 2 Enfoques: Integral y Diferencial.
● Capítulo 4: Desarrolla ecuaciones integrales
para entender el comportamiento general
del campo de flujo en un volumen de control.
● Capítulo 5: Se enfoca en analizar
detalladamente el movimiento de los fluidos
punto por punto dentro del campo de
flujo, utilizando ecuaciones diferenciales[1].
Enfoque Euleriano: En este enfoque, el observador se coloca en un punto fijo en
el espacio y estudia las propiedades del fluido que pasan por ese punto a medida
que pasa el tiempo. Se centra en el análisis de campos de flujo en un punto dado
del espacio en función del tiempo. Por ejemplo, se puede estudiar la velocidad, la
presión o la temperatura en un punto específico del fluido a lo largo del tiempo. Este
enfoque es útil para analizar el comportamiento general del fluido en un sistema.
Enfoque Lagrangiano: En este enfoque, el observador sigue el movimiento de
partículas individuales de fluido a medida que se desplazan a través del espacio y el
tiempo. Se centra en el análisis de las trayectorias individuales de las partículas de
fluido. Por ejemplo, se puede estudiar cómo se mueve una partícula de fluido
específica a medida que pasa el tiempo. Este enfoque es útil para analizar el
comportamiento de partículas individuales en un fluido.
¿CÓMO ES QUE EL ANÁLISIS DIFERENCIAL DE
MOVIMIENTO DE UN FLUIDO ME LLEVA A LA
ECUACIÓN GENERAL DE TRANSPORTE DE UN
FLUIDO?
Considerando las ecuaciones de:
- CONSERVACIÓN DE MASA
- CANTIDAD DE MOVIMIENTO
- ENERGÍA.
Estas ecuaciones describen cómo
cambian las propiedades del fluido, como
la densidad, la velocidad y la presión, en
función del tiempo y la posición en el
espacio.
[1] Cengel y Cimbala - 1°Ed. (p. 400).
“La técnica diferencial se puede
considerar el análisis de millones de
pequeños volúmenes de control
apilados extremo con extremo y
encima unos de otros a todo lo largo
del campo de flujo”
CONSERVACIÓN DE
LA MASA
La ecuación de conservación de la masa establece que, la tasa de cambio de
masa en un volumen de control es igual al flujo de masa que entra y sale de
ese volumen.
Fuente: Mecánica de Fluidos, Robert Fox.
Si tienes una función que se puede derivar varias veces en un punto
“a”, entonces puedes aproximar dicha función a un polinomio.
Comentario: Desde la perspectiva de límites, cuando un conjunto de pequeños
volúmenes de control tiende al infinito, y estos se reducen a un punto, las
ecuaciones de conservación se sintetizan a un grupo de ecuaciones
diferenciales parciales que se pueden emplear en cualquier punto del flujo.
Como resultado de estas ecuaciones nos permite conocer a detalle acerca de la
velocidad, densidad, presión y entre otras características del elemento
analizado. (Cengel y Cimbala, 1era edición)
CONSERVACIÓN DE
LA MASA
ALESKEY
CANTIDAD DE
MOVIMIENTO
La ecuación de cantidad de movimiento describe cómo cambia la velocidad del
fluido en función de las fuerzas que actúan sobre él, como la presión y la
gravedad.
DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE MOMENTUM
Balance de momentum
Dado que el momentum es un
vector, se debe realizar un
balance en cada una de las
tres direcciones ( x , y y z ).
Transporte advectivo de momentum en la dirección (x)
El transporte advectivo de momentum depende del producto ρvv.
Transporte viscoso de momentum en la dirección (x)
En estos términos, se consideran todas las fuerzas de origen viscoso que
actúan en la dirección x .
Generación de momentum en la dirección (x)
Acumulación de momentum en la dirección (x)
Balance en la dirección (x) y ecuación diferencial
Escribiendo todas las contribuciones juntas en el balance, E − S + G = A,
se tiene:
Al comparar con la definición
de la primera derivada:
Tomando el límite cuando ∆ →x 0 , ∆ →y 0 , ∆ →z 0 y ∆ →t 0 , se obtienen
Si este proceso se repite para las direcciones y y z se obtienen las ecuaciones
de conservación para los otros dos componentes del momentum:
Estas tres ecuaciones se pueden representar juntas, de forma compacta, empleando
notación vectorial:
Forma alternativa de la ecuación de conservación de momentum
Frecuentemente, la ecuación de conservación de momentum se simplifica con ayuda de
la ecuación de conservación de masa. Esta transformación de la ecuación sólo
involucra los términos transitorio y de advección. Considérese entonces los primeros
términos del componente x de la ecuación conservación de momentum (ecuación 6):
SERGIO
CONDICIONES DE CONTORNO PARA LAS
ECUACIONES
¿Cuáles son las condiciones de contorno apropiadas?
Primero, si el flujo es no estacionario, debe haber condiciones iniciales, esto es, distribuciones
espaciales conocidas para cada variable en el instante inicial:
para todo instante t, debemos saber algo acerca de las variables en cada contorno que encierra
al flujo.
Éstas son las ecuaciones de estado que relacionan las propiedades
termodinámicas, dadas en forma algebraica o mediante gráficos:
En general, la densidad es variable, de modo que estas tres ecuaciones
contienen cinco incógnitas: ρ,V, p, û y T. Por tanto, necesitamos dos
relaciones adicionales para completar el sistema de ecuaciones.
para un gas perfecto con calores específicos constantes, completamos el
sistema con
Condiciones de contorno típicas para
el análisis del flujo de un fluido
viscoso y conductor del calor.
Debe haber igualdad de
velocidades verticales a través de
la superficie de separación, de
modo que no aparezcan huecos
entre el líquido y el gas Ésta es la
llamada condición de contorno
cinemática. equilibrio mecánico
en la entrefase. Los esfuerzos
viscosos tangenciales a la
superficie deben ser iguales
Flujo incompresible con propiedades constantes
Se simplificará el análisis de los flujos haciendo la hipótesis de que ρ, μ y k son constantes
Dado que ρ es constante, sólo hay tres incógnitas: p, V y T. El sistema está cerrado. No
sólo eso, el sistema se divide en dos, puesto que las ecuaciones de la continuidad y de la
cantidad de movimiento son independientes de T. para la presión y la velocidad, utilizando
condiciones de contorno tales como
Aproximaciones para flujos no
viscosos
• Para los cuales la viscosidad μ = 0.
• La condición apropiada para flujo no viscoso es que las velocidades normales sean iguales a las
de las paredes sólidas:
• No hay condición alguna para la componente tangencial a la pared en los flujos no
viscosos. La velocidad tangencial se obtendrá como parte de la solución del análisis del
flujo no viscoso
• En la mayoría de los casos la pared es fija; por tanto, la condición apropiada es
LA FUNCIÓN DE CORRIENTE ψ
La función de corriente ψ es una idea muy ingeniosa que nos permite eliminar la ecuación de
la continuidad y resolver la ecuación de la cantidad de movimiento directamente para una
única variable ψ.
La idea de la función de corriente sólo es aplicable si la ecuación de la continuidad se puede reducir a
dos sumandos.
Eliminamos primero el flujo no estacionario. La aplicación más
común es el flujo bidimensional incompresible, por ejemplo, en
el plano xy
La nueva función ψ debe
definirse de tal modo
que:
Se necesitan cuatro condiciones de contorno para
ψ. Por ejemplo, si el flujo es una corriente uniforme en la
dirección del eje x que incide sobre un cuerpo sólido,
las cuatro condiciones de contorno serían:
Flujo plano, compresible y
estacionario
Suponga ahora que la densidad es variable,
pero que w = 0, de modo que el flujo tiene
lugar en el plano xy. En este caso, la
ecuación de la continuidad es
En estas condiciones, la función de corriente
no es tan útil como en el caso de densidad
constante, y suelen ser necesarias algunas
simplificaciones adicionales para obtener
soluciones analíticas de problemas típicos
Flujo incompresible plano en coordenadas
polares
Supongamos que las coordenadas importantes
son r y θ, con vz = 0, y que la densidad es
constante.
Después de multiplicar todo por r
Comparando se deduce la forma de la función de
corriente incompresible en coordenadas polares:
Este tipo de función de corriente es muy útil a la hora de
analizar flujos alrededor de cilindros, con torbellinos, fuentes y
sumideros
Flujo incompresible
axilsimétrico
Supongamos que el flujo es tridimensional (vr, vz) pero sin
variaciones circunferenciales,
Por analogía esta ecuación toma la forma
Comparando deducimos la forma de la función de corriente ψ(r, z)
para el movimiento axilsimétrico de un fluido incompresible
CONCLUSIONES
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  • 1. MECÁNICA DE FLUIDOS (3925) “Análisis Diferencial del Movimiento de un Fluido” Docente: JAIME JIMYY CONDORI QUISPE GRUPO 5: RAMIREZ TENORIO, ALESKEY ADRIAN SEDANO CASQUENA, SERGIO TAPIA DÁVILA, COLLINS Arequipa - Perú 2023 ANÁLISIS DIFERENCIAL MOVIMIENTO DE UN FLUIDOS
  • 3. OBJETIVO: DESCRIBIR EL MOVIMIENTO DE UN FLUIDO DESDE UN ENFOQUE DIFERENCIAL
  • 4. INTRODUCCIÓN ● 2 Enfoques: Integral y Diferencial. ● Capítulo 4: Desarrolla ecuaciones integrales para entender el comportamiento general del campo de flujo en un volumen de control. ● Capítulo 5: Se enfoca en analizar detalladamente el movimiento de los fluidos punto por punto dentro del campo de flujo, utilizando ecuaciones diferenciales[1].
  • 5. Enfoque Euleriano: En este enfoque, el observador se coloca en un punto fijo en el espacio y estudia las propiedades del fluido que pasan por ese punto a medida que pasa el tiempo. Se centra en el análisis de campos de flujo en un punto dado del espacio en función del tiempo. Por ejemplo, se puede estudiar la velocidad, la presión o la temperatura en un punto específico del fluido a lo largo del tiempo. Este enfoque es útil para analizar el comportamiento general del fluido en un sistema. Enfoque Lagrangiano: En este enfoque, el observador sigue el movimiento de partículas individuales de fluido a medida que se desplazan a través del espacio y el tiempo. Se centra en el análisis de las trayectorias individuales de las partículas de fluido. Por ejemplo, se puede estudiar cómo se mueve una partícula de fluido específica a medida que pasa el tiempo. Este enfoque es útil para analizar el comportamiento de partículas individuales en un fluido.
  • 6. ¿CÓMO ES QUE EL ANÁLISIS DIFERENCIAL DE MOVIMIENTO DE UN FLUIDO ME LLEVA A LA ECUACIÓN GENERAL DE TRANSPORTE DE UN FLUIDO?
  • 7. Considerando las ecuaciones de: - CONSERVACIÓN DE MASA - CANTIDAD DE MOVIMIENTO - ENERGÍA. Estas ecuaciones describen cómo cambian las propiedades del fluido, como la densidad, la velocidad y la presión, en función del tiempo y la posición en el espacio.
  • 8. [1] Cengel y Cimbala - 1°Ed. (p. 400). “La técnica diferencial se puede considerar el análisis de millones de pequeños volúmenes de control apilados extremo con extremo y encima unos de otros a todo lo largo del campo de flujo”
  • 9. CONSERVACIÓN DE LA MASA La ecuación de conservación de la masa establece que, la tasa de cambio de masa en un volumen de control es igual al flujo de masa que entra y sale de ese volumen. Fuente: Mecánica de Fluidos, Robert Fox.
  • 10. Si tienes una función que se puede derivar varias veces en un punto “a”, entonces puedes aproximar dicha función a un polinomio.
  • 11. Comentario: Desde la perspectiva de límites, cuando un conjunto de pequeños volúmenes de control tiende al infinito, y estos se reducen a un punto, las ecuaciones de conservación se sintetizan a un grupo de ecuaciones diferenciales parciales que se pueden emplear en cualquier punto del flujo. Como resultado de estas ecuaciones nos permite conocer a detalle acerca de la velocidad, densidad, presión y entre otras características del elemento analizado. (Cengel y Cimbala, 1era edición)
  • 13.
  • 14.
  • 15.
  • 16.
  • 17.
  • 18.
  • 19.
  • 20.
  • 21.
  • 23. CANTIDAD DE MOVIMIENTO La ecuación de cantidad de movimiento describe cómo cambia la velocidad del fluido en función de las fuerzas que actúan sobre él, como la presión y la gravedad. DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE MOMENTUM Balance de momentum Dado que el momentum es un vector, se debe realizar un balance en cada una de las tres direcciones ( x , y y z ).
  • 24. Transporte advectivo de momentum en la dirección (x) El transporte advectivo de momentum depende del producto ρvv.
  • 25. Transporte viscoso de momentum en la dirección (x) En estos términos, se consideran todas las fuerzas de origen viscoso que actúan en la dirección x .
  • 26. Generación de momentum en la dirección (x) Acumulación de momentum en la dirección (x)
  • 27. Balance en la dirección (x) y ecuación diferencial Escribiendo todas las contribuciones juntas en el balance, E − S + G = A, se tiene:
  • 28.
  • 29. Al comparar con la definición de la primera derivada: Tomando el límite cuando ∆ →x 0 , ∆ →y 0 , ∆ →z 0 y ∆ →t 0 , se obtienen
  • 30. Si este proceso se repite para las direcciones y y z se obtienen las ecuaciones de conservación para los otros dos componentes del momentum: Estas tres ecuaciones se pueden representar juntas, de forma compacta, empleando notación vectorial:
  • 31. Forma alternativa de la ecuación de conservación de momentum Frecuentemente, la ecuación de conservación de momentum se simplifica con ayuda de la ecuación de conservación de masa. Esta transformación de la ecuación sólo involucra los términos transitorio y de advección. Considérese entonces los primeros términos del componente x de la ecuación conservación de momentum (ecuación 6):
  • 32.
  • 33.
  • 35. CONDICIONES DE CONTORNO PARA LAS ECUACIONES ¿Cuáles son las condiciones de contorno apropiadas? Primero, si el flujo es no estacionario, debe haber condiciones iniciales, esto es, distribuciones espaciales conocidas para cada variable en el instante inicial: para todo instante t, debemos saber algo acerca de las variables en cada contorno que encierra al flujo.
  • 36. Éstas son las ecuaciones de estado que relacionan las propiedades termodinámicas, dadas en forma algebraica o mediante gráficos: En general, la densidad es variable, de modo que estas tres ecuaciones contienen cinco incógnitas: ρ,V, p, û y T. Por tanto, necesitamos dos relaciones adicionales para completar el sistema de ecuaciones. para un gas perfecto con calores específicos constantes, completamos el sistema con
  • 37. Condiciones de contorno típicas para el análisis del flujo de un fluido viscoso y conductor del calor. Debe haber igualdad de velocidades verticales a través de la superficie de separación, de modo que no aparezcan huecos entre el líquido y el gas Ésta es la llamada condición de contorno cinemática. equilibrio mecánico en la entrefase. Los esfuerzos viscosos tangenciales a la superficie deben ser iguales
  • 38. Flujo incompresible con propiedades constantes Se simplificará el análisis de los flujos haciendo la hipótesis de que ρ, μ y k son constantes Dado que ρ es constante, sólo hay tres incógnitas: p, V y T. El sistema está cerrado. No sólo eso, el sistema se divide en dos, puesto que las ecuaciones de la continuidad y de la cantidad de movimiento son independientes de T. para la presión y la velocidad, utilizando condiciones de contorno tales como
  • 39. Aproximaciones para flujos no viscosos • Para los cuales la viscosidad μ = 0. • La condición apropiada para flujo no viscoso es que las velocidades normales sean iguales a las de las paredes sólidas: • No hay condición alguna para la componente tangencial a la pared en los flujos no viscosos. La velocidad tangencial se obtendrá como parte de la solución del análisis del flujo no viscoso • En la mayoría de los casos la pared es fija; por tanto, la condición apropiada es
  • 40. LA FUNCIÓN DE CORRIENTE ψ La función de corriente ψ es una idea muy ingeniosa que nos permite eliminar la ecuación de la continuidad y resolver la ecuación de la cantidad de movimiento directamente para una única variable ψ. La idea de la función de corriente sólo es aplicable si la ecuación de la continuidad se puede reducir a dos sumandos. Eliminamos primero el flujo no estacionario. La aplicación más común es el flujo bidimensional incompresible, por ejemplo, en el plano xy
  • 41. La nueva función ψ debe definirse de tal modo que: Se necesitan cuatro condiciones de contorno para ψ. Por ejemplo, si el flujo es una corriente uniforme en la dirección del eje x que incide sobre un cuerpo sólido, las cuatro condiciones de contorno serían:
  • 42. Flujo plano, compresible y estacionario Suponga ahora que la densidad es variable, pero que w = 0, de modo que el flujo tiene lugar en el plano xy. En este caso, la ecuación de la continuidad es En estas condiciones, la función de corriente no es tan útil como en el caso de densidad constante, y suelen ser necesarias algunas simplificaciones adicionales para obtener soluciones analíticas de problemas típicos Flujo incompresible plano en coordenadas polares Supongamos que las coordenadas importantes son r y θ, con vz = 0, y que la densidad es constante. Después de multiplicar todo por r Comparando se deduce la forma de la función de corriente incompresible en coordenadas polares: Este tipo de función de corriente es muy útil a la hora de analizar flujos alrededor de cilindros, con torbellinos, fuentes y sumideros
  • 43. Flujo incompresible axilsimétrico Supongamos que el flujo es tridimensional (vr, vz) pero sin variaciones circunferenciales, Por analogía esta ecuación toma la forma Comparando deducimos la forma de la función de corriente ψ(r, z) para el movimiento axilsimétrico de un fluido incompresible