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ME32001/ME32A Ciencia de materiales
 Para que haya reflexión debe cumplirse:
n = 2 d sin
 Donde:
 : ángulo de incidencia
 : la longitud de onda
 d: distancia interplanar de los planos paralelos considerados.
 n: número entero igual o mayor que uno; es el orden de la difracción
 Problema 1:
 Se tiene un monocristal de Fe alfa (CC) y difracción por
planos {110} con d 1.181 [Å]
 Los R-X son emitido por un blanco de Cu. Se considera la
línea K alfa: =1.540 [Å]
Encuentre todas las soluciones posibles θ(n).
 Solución
n = 2 d sin
Reemplazando
θ=sin-1(n /2d)=sin-1(n*1,540/2*1,181)
θ = arc sin (n*0,652)
n 1 2 3 …
θ 40,7º X X
Hay sólo una solución.
 Problema 2:
 Como antes, se tiene un monocristal de Fe alfa (CC) y
difracción por planos {110}, con d=1,181A.
 Pero ahora los R-X son emitido por un blanco de W y se
considera su línea K alfa: = 0,090 Å
Encuentre todas las soluciones posibles, θ(n).
 Solución:
n = 2 d sin
Reemplazando
θ=sin-1(n /2d)=sin-1(n*0,2090/2*1,181)
θ= arc sin (n*0,08848)
n 1 2 … 11 12
θ º 5 10,2 76.7 X
Hay 11 soluciones angulares
 Problema 3:
 Se tiene un monocristal fijo, sobre el cual incide
luz blanca (espectro de RX, sin filtrar).
 El haz contiene todos los  superiores a 0,5 A.
 Además: = 60º y d= 1[Å].
Determine todos los  reflejados
 Solución
 Hay que aplicar n = 2 d sin
 Para que un  sea reflejado, previamente debe
haber incidido.
 De modo que las soluciones en  (s emergentes)
se limitan a aquellas superiores a 0,5 [Å].
n = 2 d sin
n = 2 sin 60º
= (1,732/n) (Å)
n 1 2 3 4
λ (Å) 1,73 0,86 0,5546 NO
 Nótese que aquí se tiene el principio de un filtro para R-X.
 Problema 4:
 Se tiene un monocristal fijo, sobre el cual incide
luz blanca (espectro de RX, sin filtrar).
 El haz contiene todos los  superiores a 0,5 A.
 Además: = 15,5º y d= 1[Å].
Determine todos los  reflejados
n = 2 d sin
n = 2 sin 15.5º
= (0.53/n) (Å)
n 1 2 3 4
λ (Å) 0.534 0.267 NO NO NO
 En este caso se obtuvo un filtro de una sola longitud de onda.
 Objetivo:
Determinar el de estructura cristalina de un material, los
correspondientes ángulos y aristas de la celda, así como el
motivo.
 Antecedentes
Ley de Bragg: n λ = 2 dhkl sen θhkl
Cristales cúbicos: dhkl = a/(h + k + l )
2 2 2 1/2
 Resultados
 Cada cono corresponde a reflexiones de una única familia
de planos {h k l} que satisface la ley de Bragg
 Con este método se puede medir experimentalmente el
ángulo 2θhkl
 Problema 5:
 Un difractograma de rayos X para un elemento
que tiene una estructura BCC o FCC muestra picos
de difraccióna los siguientes valores de 2θ: 40, 58,
73, 86.8, 100.4 y 114.7. λ= 0.145 [nm]
▪ Determinar la estructura cúbica del elemento
▪ Determinar la constante de red
▪ Identificar el elemento
En el contexto del uso de la ley de Bragg,
para problemas de difracción,
debe tenerse en cuenta:
La anterior tabla ha sido hecha para
trabajar siempre con las reflexiones de
primer orden (n= l), evitando la
complicación de utilizar órdenes
superiores. Así, por ejemplo, para un cristal
c, es fácilmente verificable que la reflexión
n= 2 de los planos (100), planos
cristalográficos, con sentido físico,
corresponde a la reflexión n= 1 de los
planos (200), planos sólo con sentido
matemático.
 Solución:
Cono 2θ [º] θ [º] sen(θ ) sen2(θ ) sen2(θ )i/sen2(θ )1
1 40 20 0.3420 0.1169 1
2 58 29 0.4848 0.2350 2.0092
3 73 36.5 0.5948 0.3538 3.0246
4 86.8 43.4 0.6870 0.4720 4.0357
5 100.4 50.2 0.7682 0.5902 5.0459
6 114.7 57.35 0.8419 0.7089 6.0604
=> Estructura es BCC
λ = 2 dhkl sen θhkl (n=1)
dhkl = a/(h + k + l )
a=3.16[Å]
El material que cumple ser BCC y tener un parámetro de
red 3.16 [Å] esW (Tungsteno oWolframio)
2 2
2 1/2
 Problema 6:
Se tiene el diagrama de difracción de un cristal pero sobre
este cayó Coca-Cola y la única información que se salvo es la
siguiente:
▪ Determinar la estructura cúbica del elemento
Cono Θ [º]
4 43.4
6 57.35
 Solución:
Cristal BCC Cristal FCC
=> La estructura del metal es BCC
 Estructura cristalina hexagonal compacta (HC) de metales, y
sus planos cristalinos densos
• Ejemplos: Zn yTi
 Factor de esbeltez
 El cuociente c/a de una celda HC se llama
factor de esbeltez de la celda.
 Cuando la celda está formada por átomos
esféricos, el valor de esbeltez vale
√(8/3)= 1,633 y se le llama factor de esbeltez
ideal.
 Factores de esbeltez reales
Tracción.
Deformación plástica
(irreversible) de un
monocristal de Zinc,
apropiadamente
orientado.
El mecanismo de
deformación es por
deslizamiento de los
planos más densos del
cristal.
Bandas de deslizamiento.
Un sistema de deslizamiento incluye:
 Una dirección cristalina densa. Se ha observado que ésa es
siempre sólo la 1º más densa
 Un plano cristalino denso. Se ha observado que siempre es
exclusivamente el 1º más denso.
 A un plano hexagonal compacto se asocian tres direcciones
densas. Eso da lugar a tres sistemas de deslizamiento.
 Compare los casos del
Cu (CC), Zn(HC) y
Ti(HC).
 ¿Por qué la diferencia
entre el Zn y elTi? Por
el factor de esbeltez.

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  • 2.  Para que haya reflexión debe cumplirse: n = 2 d sin  Donde:  : ángulo de incidencia  : la longitud de onda  d: distancia interplanar de los planos paralelos considerados.  n: número entero igual o mayor que uno; es el orden de la difracción
  • 3.  Problema 1:  Se tiene un monocristal de Fe alfa (CC) y difracción por planos {110} con d 1.181 [Å]  Los R-X son emitido por un blanco de Cu. Se considera la línea K alfa: =1.540 [Å] Encuentre todas las soluciones posibles θ(n).
  • 4.  Solución n = 2 d sin Reemplazando θ=sin-1(n /2d)=sin-1(n*1,540/2*1,181) θ = arc sin (n*0,652) n 1 2 3 … θ 40,7º X X Hay sólo una solución.
  • 5.  Problema 2:  Como antes, se tiene un monocristal de Fe alfa (CC) y difracción por planos {110}, con d=1,181A.  Pero ahora los R-X son emitido por un blanco de W y se considera su línea K alfa: = 0,090 Å Encuentre todas las soluciones posibles, θ(n).
  • 6.  Solución: n = 2 d sin Reemplazando θ=sin-1(n /2d)=sin-1(n*0,2090/2*1,181) θ= arc sin (n*0,08848) n 1 2 … 11 12 θ º 5 10,2 76.7 X Hay 11 soluciones angulares
  • 7.  Problema 3:  Se tiene un monocristal fijo, sobre el cual incide luz blanca (espectro de RX, sin filtrar).  El haz contiene todos los  superiores a 0,5 A.  Además: = 60º y d= 1[Å]. Determine todos los  reflejados
  • 8.  Solución  Hay que aplicar n = 2 d sin  Para que un  sea reflejado, previamente debe haber incidido.  De modo que las soluciones en  (s emergentes) se limitan a aquellas superiores a 0,5 [Å].
  • 9. n = 2 d sin n = 2 sin 60º = (1,732/n) (Å) n 1 2 3 4 λ (Å) 1,73 0,86 0,5546 NO  Nótese que aquí se tiene el principio de un filtro para R-X.
  • 10.  Problema 4:  Se tiene un monocristal fijo, sobre el cual incide luz blanca (espectro de RX, sin filtrar).  El haz contiene todos los  superiores a 0,5 A.  Además: = 15,5º y d= 1[Å]. Determine todos los  reflejados
  • 11. n = 2 d sin n = 2 sin 15.5º = (0.53/n) (Å) n 1 2 3 4 λ (Å) 0.534 0.267 NO NO NO  En este caso se obtuvo un filtro de una sola longitud de onda.
  • 12.  Objetivo: Determinar el de estructura cristalina de un material, los correspondientes ángulos y aristas de la celda, así como el motivo.  Antecedentes Ley de Bragg: n λ = 2 dhkl sen θhkl Cristales cúbicos: dhkl = a/(h + k + l ) 2 2 2 1/2
  • 13.
  • 14.  Resultados  Cada cono corresponde a reflexiones de una única familia de planos {h k l} que satisface la ley de Bragg  Con este método se puede medir experimentalmente el ángulo 2θhkl
  • 15.  Problema 5:  Un difractograma de rayos X para un elemento que tiene una estructura BCC o FCC muestra picos de difraccióna los siguientes valores de 2θ: 40, 58, 73, 86.8, 100.4 y 114.7. λ= 0.145 [nm] ▪ Determinar la estructura cúbica del elemento ▪ Determinar la constante de red ▪ Identificar el elemento
  • 16. En el contexto del uso de la ley de Bragg, para problemas de difracción, debe tenerse en cuenta: La anterior tabla ha sido hecha para trabajar siempre con las reflexiones de primer orden (n= l), evitando la complicación de utilizar órdenes superiores. Así, por ejemplo, para un cristal c, es fácilmente verificable que la reflexión n= 2 de los planos (100), planos cristalográficos, con sentido físico, corresponde a la reflexión n= 1 de los planos (200), planos sólo con sentido matemático.
  • 17.  Solución: Cono 2θ [º] θ [º] sen(θ ) sen2(θ ) sen2(θ )i/sen2(θ )1 1 40 20 0.3420 0.1169 1 2 58 29 0.4848 0.2350 2.0092 3 73 36.5 0.5948 0.3538 3.0246 4 86.8 43.4 0.6870 0.4720 4.0357 5 100.4 50.2 0.7682 0.5902 5.0459 6 114.7 57.35 0.8419 0.7089 6.0604 => Estructura es BCC
  • 18. λ = 2 dhkl sen θhkl (n=1) dhkl = a/(h + k + l ) a=3.16[Å] El material que cumple ser BCC y tener un parámetro de red 3.16 [Å] esW (Tungsteno oWolframio) 2 2 2 1/2
  • 19.
  • 20.  Problema 6: Se tiene el diagrama de difracción de un cristal pero sobre este cayó Coca-Cola y la única información que se salvo es la siguiente: ▪ Determinar la estructura cúbica del elemento Cono Θ [º] 4 43.4 6 57.35
  • 22. Cristal BCC Cristal FCC => La estructura del metal es BCC
  • 23.  Estructura cristalina hexagonal compacta (HC) de metales, y sus planos cristalinos densos • Ejemplos: Zn yTi
  • 24.  Factor de esbeltez  El cuociente c/a de una celda HC se llama factor de esbeltez de la celda.  Cuando la celda está formada por átomos esféricos, el valor de esbeltez vale √(8/3)= 1,633 y se le llama factor de esbeltez ideal.
  • 25.  Factores de esbeltez reales
  • 26. Tracción. Deformación plástica (irreversible) de un monocristal de Zinc, apropiadamente orientado. El mecanismo de deformación es por deslizamiento de los planos más densos del cristal. Bandas de deslizamiento.
  • 27. Un sistema de deslizamiento incluye:  Una dirección cristalina densa. Se ha observado que ésa es siempre sólo la 1º más densa  Un plano cristalino denso. Se ha observado que siempre es exclusivamente el 1º más denso.  A un plano hexagonal compacto se asocian tres direcciones densas. Eso da lugar a tres sistemas de deslizamiento.
  • 28.  Compare los casos del Cu (CC), Zn(HC) y Ti(HC).  ¿Por qué la diferencia entre el Zn y elTi? Por el factor de esbeltez.