Este documento presenta varios problemas relacionados con el uso de la ley de Bragg para determinar parámetros cristalinos a partir de datos de difracción de rayos X. Se explican conceptos como estructuras cúbicas, planos cristalinos, factores de esbeltez y sistemas de deslizamiento. También se resuelven problemas prácticos que involucran el cálculo de ángulos de difracción y la identificación de materiales a partir de sus patrones de difracción.

1. ME32001/ME32A Ciencia de materiales

2.  Para que haya reflexión debe cumplirse:
n = 2 d sin
 Donde:
 : ángulo de incidencia
 : la longitud de onda
 d: distancia interplanar de los planos paralelos considerados.
 n: número entero igual o mayor que uno; es el orden de la difracción

3.  Problema 1:
 Se tiene un monocristal de Fe alfa (CC) y difracción por
planos {110} con d 1.181 [Å]
 Los R-X son emitido por un blanco de Cu. Se considera la
línea K alfa: =1.540 [Å]
Encuentre todas las soluciones posibles θ(n).

4.  Solución
n = 2 d sin
Reemplazando
θ=sin-1(n /2d)=sin-1(n*1,540/2*1,181)
θ = arc sin (n*0,652)
n 1 2 3 …
θ 40,7º X X
Hay sólo una solución.

5.  Problema 2:
 Como antes, se tiene un monocristal de Fe alfa (CC) y
difracción por planos {110}, con d=1,181A.
 Pero ahora los R-X son emitido por un blanco de W y se
considera su línea K alfa: = 0,090 Å
Encuentre todas las soluciones posibles, θ(n).

6.  Solución:
n = 2 d sin
Reemplazando
θ=sin-1(n /2d)=sin-1(n*0,2090/2*1,181)
θ= arc sin (n*0,08848)
n 1 2 … 11 12
θ º 5 10,2 76.7 X
Hay 11 soluciones angulares

7.  Problema 3:
 Se tiene un monocristal fijo, sobre el cual incide
luz blanca (espectro de RX, sin filtrar).
 El haz contiene todos los  superiores a 0,5 A.
 Además: = 60º y d= 1[Å].
Determine todos los  reflejados

8.  Solución
 Hay que aplicar n = 2 d sin
 Para que un  sea reflejado, previamente debe
haber incidido.
 De modo que las soluciones en  (s emergentes)
se limitan a aquellas superiores a 0,5 [Å].

9. n = 2 d sin
n = 2 sin 60º
= (1,732/n) (Å)
n 1 2 3 4
λ (Å) 1,73 0,86 0,5546 NO
 Nótese que aquí se tiene el principio de un filtro para R-X.

10.  Problema 4:
 Se tiene un monocristal fijo, sobre el cual incide
luz blanca (espectro de RX, sin filtrar).
 El haz contiene todos los  superiores a 0,5 A.
 Además: = 15,5º y d= 1[Å].
Determine todos los  reflejados

11. n = 2 d sin
n = 2 sin 15.5º
= (0.53/n) (Å)
n 1 2 3 4
λ (Å) 0.534 0.267 NO NO NO
 En este caso se obtuvo un filtro de una sola longitud de onda.

12.  Objetivo:
Determinar el de estructura cristalina de un material, los
correspondientes ángulos y aristas de la celda, así como el
motivo.
 Antecedentes
Ley de Bragg: n λ = 2 dhkl sen θhkl
Cristales cúbicos: dhkl = a/(h + k + l )
2 2 2 1/2

14.  Resultados
 Cada cono corresponde a reflexiones de una única familia
de planos {h k l} que satisface la ley de Bragg
 Con este método se puede medir experimentalmente el
ángulo 2θhkl

15.  Problema 5:
 Un difractograma de rayos X para un elemento
que tiene una estructura BCC o FCC muestra picos
de difraccióna los siguientes valores de 2θ: 40, 58,
73, 86.8, 100.4 y 114.7. λ= 0.145 [nm]
▪ Determinar la estructura cúbica del elemento
▪ Determinar la constante de red
▪ Identificar el elemento

16. En el contexto del uso de la ley de Bragg,
para problemas de difracción,
debe tenerse en cuenta:
La anterior tabla ha sido hecha para
trabajar siempre con las reflexiones de
primer orden (n= l), evitando la
complicación de utilizar órdenes
superiores. Así, por ejemplo, para un cristal
c, es fácilmente verificable que la reflexión
n= 2 de los planos (100), planos
cristalográficos, con sentido físico,
corresponde a la reflexión n= 1 de los
planos (200), planos sólo con sentido
matemático.

17.  Solución:
Cono 2θ [º] θ [º] sen(θ ) sen2(θ ) sen2(θ )i/sen2(θ )1
1 40 20 0.3420 0.1169 1
2 58 29 0.4848 0.2350 2.0092
3 73 36.5 0.5948 0.3538 3.0246
4 86.8 43.4 0.6870 0.4720 4.0357
5 100.4 50.2 0.7682 0.5902 5.0459
6 114.7 57.35 0.8419 0.7089 6.0604
=> Estructura es BCC

18. λ = 2 dhkl sen θhkl (n=1)
dhkl = a/(h + k + l )
a=3.16[Å]
El material que cumple ser BCC y tener un parámetro de
red 3.16 [Å] esW (Tungsteno oWolframio)
2 2
2 1/2

20.  Problema 6:
Se tiene el diagrama de difracción de un cristal pero sobre
este cayó Coca-Cola y la única información que se salvo es la
siguiente:
▪ Determinar la estructura cúbica del elemento
Cono Θ [º]
4 43.4
6 57.35

21.  Solución:

22. Cristal BCC Cristal FCC
=> La estructura del metal es BCC

23.  Estructura cristalina hexagonal compacta (HC) de metales, y
sus planos cristalinos densos
• Ejemplos: Zn yTi

24.  Factor de esbeltez
 El cuociente c/a de una celda HC se llama
factor de esbeltez de la celda.
 Cuando la celda está formada por átomos
esféricos, el valor de esbeltez vale
√(8/3)= 1,633 y se le llama factor de esbeltez
ideal.

25.  Factores de esbeltez reales

26. Tracción.
Deformación plástica
(irreversible) de un
monocristal de Zinc,
apropiadamente
orientado.
El mecanismo de
deformación es por
deslizamiento de los
planos más densos del
cristal.
Bandas de deslizamiento.

27. Un sistema de deslizamiento incluye:
 Una dirección cristalina densa. Se ha observado que ésa es
siempre sólo la 1º más densa
 Un plano cristalino denso. Se ha observado que siempre es
exclusivamente el 1º más denso.
 A un plano hexagonal compacto se asocian tres direcciones
densas. Eso da lugar a tres sistemas de deslizamiento.

28.  Compare los casos del
Cu (CC), Zn(HC) y
Ti(HC).
 ¿Por qué la diferencia
entre el Zn y elTi? Por
el factor de esbeltez.