Ejercicios de-estructura-cristalina resueltos

Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos
Tomados de los libros de Askeland y Smith
Primero de 2012
1
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. El radio atómico del níquel CCC es 1.243 Å. Calcular: a) el
parámetro de red y b) la densidad del níquel, si se sabe que la masa atómica
del níquel es de 58.71 g/mol.
Datos:
mol/átomos6.02x10AvogadrodeN.
teoría)(porátomos4daÁtomos/cel
g/mol58.71M
Å243.1a
23
0
Solución:
a) Parámetro de red. En la celda CCC los átomos se contactan entre
si a través de la diagonal de las caras del cubo, de forma que la relación
entre la longitud del lado de cubo a0 y el radio atómico r es:
)1(
2
r4
abienor4a2 00
Entonces, sustituyendo los datos en la relación anterior
cm3.5157x10a
2
)cm10x243.1(4
a
8-
0
8
0
b) Densidad. Para determinar la densidad del níquel, basta con
calcular el volumen de celda y sustituir su valor con los datos en la relación:
Avogadro)deerocelda)(númdevolumen(
atómica)da)(masaátomos/celdenúmero(
)2(

Primero de 2012
2
Cálculo del volumen de celda: Por ser una celda cúbica los valores de lados
son iguales, de manera que el volumen viene dado por:
3
0aceldadeVolumen
323-
38
cm4.3455x10celdadeVolumen
)10x5157.3(celdadeVolumen
Ahora bien, sustituyendo en (2)
3
23323
cm/g977.8
)mol/átomos10x02.6)(cm10x3455.4(
.71g/mol)átomos)(584(
2. La densidad del potasio, que tiene una estructura CC y un átomo
por punto de red es 0.855 g/cm3
. La masa atómica del potasio es 39.09
g/mol. Calcule:
a) el parámetro de red y
b) el radio atómico del potasio
Solución:
Datos:
mol/átomos10x6.02AvogadrodeN.
teoría)(porátomos2daÁtomos/cel
g/mol39.09atómicaMasa
g/cm855.0
23
3
a) Parámetro de red. Como el potasio tiene una estructura cúbica, su
3
0aceldadevolumen , el cual puede obtenerse a través de la relación:

Primero de 2012
3
Avogadro)deerocelda)(númde(volumen
atómica)lda)(masa(átomos/ce
donde:
Avogadro)de(número
celdadeolumenv
Entonces, sustituyendo los valores:
322-
233
cm10x1.5189celdadevolumen
)átomos/mol10x)(6.02g/cm855.0(
g/mol).09átomos)(39(2
celdadeolumenv
y como
3
0aceldadevolumen , despejando se obtiene el parámetro de red
Å3355.5a
cm10x3355.5acm10x1.5189a
celdadevolumena
0
8-
0
3 322-
0
3
0
b) Radio atómico. Como en la celda CC los átomos se contactan
entre si a través de la diagonal del cubo, la relación entre la longitud de la
diagonal de cubo a0 y el radio atómico r es: r4a3 0 , por lo que el radio
atómico puede calcularse despejando dicha relación
Å2.3103ócm10x3103.2r
4
)cm10x3355.5(3
r
4
a3
r
8-
8-
0
3. Un metal con una estructura cúbica tiene una densidad de 1.892
g/cm3
, un peso atómico de 132.91 g/mol y un parámetro de red de 6.13 Å. Un

Primero de 2012
4
átomo asociado a cada punto de la red. Determinar la estructura cristalina del
metal.
Solución:
Datos:
mol/átomos6.02x10AvogadrodeN.
Å13.6a
g/cm1.892
23
0
3
Para determinar la estructura cristalina y en base a los datos obtenidos,
basta con calcular el número de átomos por celda.
De la formula de densidad, se tiene
(1)
atómicamasa
daátomos/cel
Cálculo de volumen de celda. Como el metal tienen una estructura
cúbica, el
3
0aceldadevolumen , entonces:
322-
3-8
)cm10x(6.13celdadevolumen
Una vez determinado el volumen de celda y con los datos obtenidos,
determinamos el tipo de estructura sustituyendo en la relación (1)

Primero de 2012
5
átomos2átomos1.974celda/átomos
)g/mol(132.91
)mol/átomos10x(6.02)cm10x(2.3035)g/cm(1.892
daátomos/cel
atómicamasa
daátomos/cel
233·22-3
Finalmente, en base al resultado, se puede decir que el metal tiene una
estructura CC
4. El galio tiene una estructura ortorrómbica, con a0=0.45258 nm,
b0=0.45186 nm y c0=0.76570 nm. El radio atómico es 0.1218 nm. La
densidad es de 5.904 g/cm3
y la masa atómica es de 69.72 g/mol. Determine
a) el número de átomos en cada celda unitaria y
b) el factor de empaquetamiento de la celda unitaria
Solución:
Datos:
átomos/mol10x6.02AvogadrodeN.
g/cm5.904
nm0.76570c
nm0.45186b
nm45258.0a
23
3
0
0
0
a) Número de átomos por celda. Se determinan despejándolos de la
relación de densidad
(1)
atómicamasa
daátomos/cel

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6
Cálculo del volumen de celda. Para determinar el volumen se
multiplican cada uno de los parámetros de red, es decir
322-
7-7-7-
000
)cm10x76570.0)(cm10x45186.0)(cm10x(0.45258celdadevolumen
cxbxaceldadevolumen
ahora, sustituyendo los valores en (1)
átomos8átomos7.98celda/átomos
g/mol69.72
)átomos/mol10x(6.02)cm10x(1.5659)g/cm(5.904
daátomos/cel
atómicamasa
daátomos/cel
23322-3
b) Factor de empaquetamiento. Se calcula por medio de la relación
(2)
celda)de(volumen
átomo)devolumen)(celda/átomos(
FE
Cálculo del volumen de átomo. Considerando a los átomos
como esferas rígidas, se obtiene a través de la expresión
324-
37-
3
cm10x7.5875átomodevolumen
)cm10x1219.0(
3
4
átomodevolumen
r
3
4
átomodevolumen
Ahora bien, sustituyendo los datos en la ecuación (2)
0.3876FE
)cm10x(1.5659
)cm10x7.5875)(8(
FE 322-
3-24

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7
5. Una de las formas del manganeso tiene un radio atómico de 1.12
Å, un parámetro de red de 8.931 Å, y un factor de empaquetamiento de
0.479. ¿Cuántos átomos hay en la celda unitaria?
Datos:
0.479FE
cm10x8.931Å8.931a
cm10x1.12Å1.12r
8-
0
-8
Solución: En base a los datos suministrados, el número de átomos por celda
unitaria se puede obtener mediante un simple despeje de la expresión:
(1)
átomodevolumen
celda)deen(FE)(volum
aátomo/celd
celdadevolumen
átomo)devolumen)(celda/átomos(
FE
Para ello, se determinan el volumen de átomos y el volumen de celda
Cálculo del volumen de átomo: Considerando a los átomos como
esferas sólidas
324-
38-
3
cm10x5.8849átomodevolumen
)cm10x1.12(
3
4
átomodevolumen
r
3
4
átomodevolumen
Cálculo del volumen de celda:
322-
38-
3
0
)cm10x(8.931celdadevolumen
aceldadevolumen

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8
Sustituyendo en (1)
átomos58daátomos/cel
57.98aátomo/celd
cm10x5.8849
)cm10x1236(0.479)(7.
aátomo/celd 324-
3-22
Determine los índices de Miller correspondientes a las direcciones de la
celda cúbica que aparece en la figura
Solución:
Dirección A
1) Se determinan coordenadas iniciales (1,0,0) y coordenadas finales
(0,0,1)
2) Se restan las coordenadas finales menos las iniciales:
10,1,-)0,0,1()1,0,0(
3) No hay fracciones por simplificar o enteros por reducir
4) ]101[
z
y
x
z
y
x
1/2
3/4
A
B
C

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Dirección B
1) Se determinan coordenadas iniciales (1/2,1,0) y coordenadas
finales (1,0,1)
11,-1/2,-)0,1,2/1()1,0,1(
3) Se simplifican fracciones: 22,-,1)1,1,21(2
4) ]221[
Dirección C
1) Se determinan coordenadas iniciales (0,3/4,1) y coordenadas
finales (1,0,0)
4,-13-1,)1,43,0()0,0,1(
3) Se simplifican fracciones: 4-3,-4,)1-,43,1(4
4) ]434[
6. Determine los índices para los planos de la celda unitaria cúbica
que aparece en la figura
z
y
x
z
y
x
1/3
B
A

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10
Solución:
Plano A
1) Se deberá mover el origen, ya que el plano pasa a través de 0,
0,0. Se mueve también el origen un parámetro de red en la dirección “y” (ver
figura). Entonces 1z-1,y,1x
2) Se determinan los recíprocos de las intersecciones:
1
z
1
;1
y
1
1;
x
1
3) No hay fracciones que simplificar
4) 1)11(
Plano B
1) Se determinan las intersecciones: z3,1y,x
2) Se determinan los recíprocos de las intersecciones:
0
z
1
;3
y
1
0;
x
1
3) No hay fracciones que simplificar
4) 0)30(
y
Z
Y
X

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11
7. Un vector dirección pasa a través de cubo unidad (o celda unitaria)
desde la posición )
4
10,,
4
1( a la )1,
4
3,
4
1( . ¿Cuáles son los índices de
dirección?
Solución: Se sigue el mismo procedimiento que el presentado en el ejercicio
5
4
3,
4
30,
4
10,,
4
11,
4
3,
4
1
2) Se simplifican fracciones: 33,0,
4
3,
4
3,04
3) [0 3 3]
8. Dibuje los vectores dirección en celdas unitarias para las
siguientes direcciones cúbicas: a) ]111[ ; b) ]121[ y c) ]011[
Solución:
Para ]111[ : Las coordenadas de posición para la dirección son (1,-
1,-1). Para su representación tendrá que llevarse el origen del vector
dirección al vértice inferior izquierdo de la parte trasera del cubo.
z
y
x
z
y
x
Nuevo origen
O

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12
z
y
x
z
y
x
1/2
1/2
Para la dirección ]121[ : Las coordenadas posición para la
dirección, se obtienen dividiendo los índices de dirección por 2 de modo que
puedan estar dentro de la celda unitaria. Son,
por tanto
2
1-1,,
2
1
Para la dirección ]011[ : La coordenadas posición para la dirección,
son (1,-1,0). El origen del vector dirección tiene que llevarse al vértice inferior
izquierda de la parte trasera del cubo.
9. Determine los índices de Miller del plano cristalino cúbico que
cortan las siguientes coordenadas de posición: (0,0, 2
1 ); (1,0,0); ( 2
1 , 4
1 ,0)
Solución: Primero, se localiza como A, B y C las tres coordenadas de
posición tal como se indica en la figura
z
y
x
z
y
x
Nuevo origen
O

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13
A continuación, se unen B y C y se prolonga BC hasta D, y se unen A y
B. Por último, se unen A y D hasta completar el plano ABD. El origen para
este plano en el cubo puede ser elegido en E, que da las intersecciones
axiales con el plano ABD en 21z,21y,1x . Los recíprocos de estas
intersecciones axiales son: 1, 2, 2. No hay fracciones que eliminar y
finalmente, los índices de Miller para el plano dado: (12 2)
10. El hierro puro experimenta un cambio polimórfico de CC a CCC
calentándolo al pasar los 912 ºC. Calcular el cambio de volumen asociado
con el cambio de estructura de CC a CCC si a 912 ºC la celda unitaria CC
tiene un parámetro de red de 0.293 nm y la celda unitaria CCC 0.363 nm.
Datos:
(teoría)átomos2daÁtomos/cel
nm0.293a
CCPara
0
(teoría)átomos4/celdaÁtomos
nm0.363a
CCCPara
0
XX
Z
Y
Z
Y
A
D
C
B

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14
Solución: El cambio volumétrico durante la transformación puede calcularse a
partir de datos cristalográficos. El volumen por átomo para la red cristalina
del hierro CC antes de transformarse es:
3
CC
3
3
0
CC
nm0251.0V
2
)nm0.293(
Vcc
2
a
V
El volumen por átomo para la red cristalina CCC que tiene cuatro átomos por
celda unitaria es
3
CC
3
3
0
CCC
nm01196.0V
4
)nm0.363(
Vccc
4
a
V
El cambio porcentual en volumen durante la transformación CC a CCC,
viene dado por:
4.9%-
V
V
100%x
nm0.01258
nm0.01258nm0.01196
V
V
100%x
cióntransformaladeantesV.
cióntransformaladeantesV.-cióntransformaladedespués.V
V
CC
3
33
CC
Esto indica que el hierro se contrae al calentarse 4.9%
11. Un cristal único de un metal CCC está orientado de tal forma que
la dirección [001] es paralela a un esfuerzo aplicado de 5000 psi. Calcular el

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15
z
y
x
z
y
x
[110]
[111]
esfuerzo cortante resultante que actúa sobre el plano de deslizamiento (111)
en las direcciones de deslizamiento [110] y [011].
Solución:
Para (111)/ [110]: Se aplica un esfuerzo normal en la dirección
[001] de la celda unitaria. Esto produce un ángulo de 90º (por inspección)
con la dirección de deslizamiento [110] y un ángulo con la normal al plano
(111) (dirección [111] por ser celda cúbica). En la gráfica se muestra lo
planteado anteriormente
Cálculo de : Aplicando identidades geométricas
º76.54
3
1
cosAr
a3
a
Cos
0
0
02a
0a
03a
[111]
[110]

Primero de 2012
16
Cálculo del esfuerzo cortante: Aplicando la relación cos.cos y
sustituyendo los valores obtenidos
0
)º76.54)(cosº90(cospsi5000
Para (111)/ [011]: Se aplica un esfuerzo normal en la dirección
[001] de la celda unitaria. Esto produce un ángulo con la dirección de
deslizamiento [011] y un ángulo con la normal al plano (111) (dirección
[111] por ser celda cúbica). En la gráfica se muestra lo planteado
anteriormente
Cálculo de : Aplicando identidades geométricas
º45
)1cos(Ar
a
a
Cos
0
0
z
y
x
z
y
x
[011]
[111]
0a
0a
02a
[011]

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17
Cálculo del esfuerzo cortante: Aplicando la relación cos.cos y
sustituyendo los valores obtenidos
psi2040
)º76.54)(cosº45(cospsi5000
12. Determinar la distancia entre los planos adyacentes (121) en el
cobre, el cual tiene un parámetro de red de 3.615Å.
Solución: Sustituyendo los valores dados en la ecuación general
Å476.1d
121
Å615.3
d
lkh
a
d
)121(
222
121
222
0
)l,k,h(
13. El litio CC tiene un parámetro de red de 3.5089 x 10-8
cm y
contiene una vacancia por cada 200 celdas unitarias. Calcule:
a) el número de vacancias por centímetro cúbico
b) la densidad del litio
Datos:
mol/átomos10x6.02Avogadrode.
tabla)(Porg/mol6.94atómicaMasa
200
1
Vacancias
cm10x5089.3a
23
-8
0
Solución:

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18
a) Vacancias por centímetro cúbico: Para determinarlas, se emplea la
siguiente relación:
(1)
celdadeVolumen
vacanciasdeNúmero
cm
Vacancias
3
Cálculo del volumen de celda
323-
38-
3
0
cm)10x(3.5089celdadevolumen
aceldadevolumen
Sustituyendo
320
3
323-3
cm/Vacancias10x157.1
cm
Vacancias
cm10x4.32029
200
1
cm
Vacancias
b) Densidad del litio. Se obtiene aplicando la relación de densidad.
Cálculo del número de átomos por celda. Considerando que la
celda presenta defectos, es necesario obtener el número de átomos (átomos
calculados), mediante la definición de vacancias y asumiendo que la celda en
condiciones normales presenta 2 átomos
átomos1.995calculadosÁtomos
200
1
-2calculadosÁtomos
Vacancias-normalesscondicioneenÁtomoscalculadosÁtomos
calculadosÁtomos-normalesscondicioneenÁtomosVacancias
Ahora sustituyendo en la relación de densidad

Primero de 2012
19
3
23323-
g/cm5323.0
)mol/átomos10x02.6)(cm10x(4.32029
94g/mol)átomos)(6.(1.995
14. Una aleación de niobio se produce al introducir átomos
sustitucionales de tungsteno en la estructura CC; finalmente se produce una
aleación con un parámetro de red de 0.32554 nm y una densidad de 11.95
g/mol. Calcular la fracción de átomos de tungsteno dentro de la aleación.
Datos:
g/mol92.91niobiodelatómicaMasa
g/mol11.95
cm10x0.32554nm0.32554a -7
0
Solución: Para determinar la fracción de átomos de tungsteno dentro de la
aleación, se debe obtener primeramente el número de átomos por celda
unitaria de la aleación, el cual se calcula a partir de la relación de densidad.
(1)
niobiodelatómicamasa
celda/átomos
Cálculo del volumen de celda: Por ser una celda cúbica los valores
de lados son iguales, de manera que el volumen viene dado por:
323-
37-
3
0
aceldadevolumen
Una vez determinado el volumen de celda, se sustituye en (1)

Primero de 2012
20
átomos2.671daátomos/cel
g/mol92.91
)átomos/mol10x)(6.02cm10x(3.44995)g/mol95.11(
celda/átomos
233-23
Una vez conseguidos el número de átomos por celda unitaria de la aleación,
se emplea la definición de átomos sustitucionales para determinar así, el
número de átomos de tungsteno introducido en la aleación
(2)tungstenodeátomosnormalesscondicioneenátomosnalessustitucioátomos
Es importante destacar, que los átomos sustitucionales representa el
número de átomos por celda en la aleación y los átomos en condiciones
normales son el número de átomos por red cristalina en una celda CC (2
átomos). De ahí que el número de átomos por celda de tungsteno se calcula
a través de un simple despeje de la expresión (2)
átomos0.671tungstenodeátomos
átomos2-átomos2.671tungstenodeátomos
normalesscondicioneenátomos-nalessustitucioátomostungstenodeátomos
Cálculo de la fracción de átomos de tungsteno: Se miden por
medio de la relación siguiente
0.335átomosdeFracción
átomos2
átomos0.671
átomosdeFracción
normalesscondicioneenátomos
tungstenodeátomos
átomosdeFracción

Primero de 2012
21
15. El platino CCC tiene una densidad de 21.45 g/cm3
y un parámetro
de red de 3.9231 Å. En promedio ¿qué porcentaje de los puntos de red
contiene vacantes? (asúmase un átomo por punto de red)
Datos:
(teoría)4reddePuntos
mol/átomos10x6.02AvogadrodeN.
(tabla)g/mol195.09atómicaMasa
cm10x3.9232Å3.9232a
g/cm21.45
23
8-
0
3
Solución: Para saber el número de vacancias, es necesario determinar el
número de átomos por celda, el cual se determina despejándolo de la
expresión de densidad
(1)
atómicamasa
celda/átomos
Cálculo del volumen de celda: Por ser una celda cúbica los valores
de lados son iguales, de manera que el volumen viene dado por:
323-
38-
3
0
aceldadevolumen
Sustituyendo en (1)
átomos3.9964529daátomos/cel
g/mol195.09
)átomos/mol10x)(6.02cm10x)(6.0379g/cm45.21(
celda/átomos
233-233

Primero de 2012
22
Como puede observarse, de haber 4 átomos/celda sería un cristal
perfecto de platino; de aquí la diferencia se debe a la presencia de vacantes.
Para obtener el número de vacantes se aplica la definición
0.0035471Vacancias
3.9964529-4Vacancias
calculadosÁtomos-normalesscondicioneenÁtomosVacancias
Cálculo del porcentaje de vacantes por puntos de red: Se obtienen
a través de:
0.000886
reddePtos
Vacantes
4
0035471.0
reddePtos
Vacantes
16. Determinar el ángulo de un borde de grano de ángulo pequeño
en el cobre CCC cuando las dislocaciones están separadas 1000 Å. El
parámetro de red del cobre es de 3.615 Å.
Datos:
(Teoría)[110]compactaDirección
Å1000D
Å615.3a0
Solución: Los granos se encuentran inclinados un vector de Burgers en cada
dirección cada 1000 Å. El vector de Burgers en el cobre CCC es [110], de
manera que la longitud del vector de Burgers es de d110 (distancia
interplanar)

Primero de 2012
23
b
D
b
D
Cálculo de la longitud del vector de Burgers: Se determina
mediante la relación
Å2.557d
011
Å615.3
d
lkh
a
d
110
222
110
222
0
)l,k,h(
Cálculo del ángulo : Aplicando identidades trigonométricas
0.293º
002557.0
2
Sen
Å1000
Å557.2
2
Sen
D
b
2
Sen

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