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1. Difracción de
rayos X
DRA. NELLY ABIGAIL RODRÍGUEZ ROSALES

2. En las estructuras cristalinas cúbicas, el espaciado interplanar
entre dos planos paralelos con los mismos índices de Miller se
indica como dhkl, donde h, k y l son los índices de Miller de los
planos. Este espaciado representa la distancia desde un origen
elegido que contiene a un plano a otro plano paralelo con los
mismos índices que sea cercano al primero. Por ejemplo, la
distancia entre los planos (110) 1 y 2, d110, en la figura es AB. También
la distancia entre los planos (110) 2 y 3 es d110 y su longitud es BC.
2
2
2
l
k
h
a
dhkl
+
+
=
Distancia interplanar
donde
dhkl = espaciado interplanar entre planos paralelos contiguos con índices de Miller h, k y l
a = parámetro de red
h, k, l = índices de Miller de los planos cúbicos considerados

3. 2
2
2
l
k
h
a
dhkl
+
+
=

4. Ejercicios
Utilizando los datos de la tabla 3.1,
1. Calcule el espaciado interplanar para el conjunto de planos (1 1 0) del
aluminio d(110)= 0.2862 nm
2. Para el Fe-, calcule los espacios entre planos para los conjuntos de
planos (1 1 1) y (2 1 1) d(111)= 0.1654 nm, d(211)= 0.117 nm
3. Para el Ni, calcule el espaciado interplanar para el conjunto de planos (1
1 1), (2 2 0), (3 1 1) d(111)= 0.2034 nm, d(220)= 0.1254 nm, d(311)= 0.1062 nm,
4. Para el Cr, determine los dos conjuntos de planos cuyos espaciados
interplanares son de 0.1177 nm y 0.0912 nm

5. 2
2
2
l
k
h
a
dhkl
+
+
=

6. Relación de
la distancia
interplanar
y los
parámetros
de red de
cada
sistema
cristalino

7. Difracción de rayos X
• El conocimiento actual de las estructuras cristalinas se ha
obtenido principalmente por la técnica de difracción de rayos
X que utiliza radiación de aproximadamente la misma longitud
de onda () que la distancia entre los planos de la red cristalina
(dhkl).
• La difracción ocurre cuando una onda encuentra una serie de
obstáculos espaciados regularmente que
• son capaces de dispersar la onda y
• tienen espaciamientos que son comparables en magnitud a la .

8. • Los rayos X son una forma de radiación electromagnética que
tiene altas energías y longitudes de onda ( ) cortas, del orden
del espaciamiento atómico de los sólidos. Cuando un haz de rayos
x incide en un material sólido, una porción de este haz será
esparcido en todas las direcciones por los electrones asociados
con cada átomo o ion que está dentro del camino del haz.
• Dado que las  de algunos rayos X son aproximadamente iguales a
la distancia entre planos de los átomos en los sólidos cristalinos,
pueden generarse picos de difracción reforzados de intensidad
variable que pueden producirse cuando un haz de rayos X choca
con un sólido cristalino.

9. En un experimento de difracción de rayos-X se obtiene un conjunto de
reflexiones, resultantes de las interferencias constructivas, que
contienen información de los planos cristalográficos del material. A
partir de los cuales podemos obtener la forma en la que los
constituyentes de los cristales del material se han ordenado. La
intensidad del haz dispersado por un conjunto de planos dado
depende de la naturaleza de los átomos que definen los planos. Por lo
tanto, es posible, a partir de la medida de la intensidad de las
reflexiones, identificar los distintos átomos del cristal. Actualmente el
resultado de un experimento de difracción de rayos-X consiste en
una curva donde en el eje de las x aparecen los ángulos de difracción
(2) y en el de las y la intensidad del rayo difractado. A esta
representación se le denomina difractograma.

10. Generan la radiación de
rayos X. Las radiaciones
características
usualmente utilizadas en
la difracción de rayos X
son las siguientes:
Las radiaciones características más
importantes son las líneas K-alpha (Kα),
donde los electrones caen a la capa más
interior del átomo (mayor energía de enlace)
Mo Kα : 0.0711 Å
Cu Kα : 0.1542 Å
Co Kα : 0.1790 Å
Fe Kα : 0.1937 Å
Cr Kα : 0.2.291 Å

11. 
 Sen
d
n hkl
2
=
Cuando hacemos incidir un haz de rayos X de longitud de onda () conocida sobre
una muestra, se produce dispersión de la radiación por las nubes electrónicas de
los átomos del cristal.
Como hay muchos planos paralelos entre sí implicados en la dispersión, las
reflexiones procedentes de dichos planos interferirán entre sí, y las
interferencias sólo serán constructivas cuando la diferencia de longitud de
caminos entre los rayos procedentes de planos sucesivos sea igual a un número
entero de longitudes de onda.
En la figura, los rayos con una longitud de
onda determinada, λ, inciden formando un
ángulo θ, sobre un conjunto de planos con
espaciado dhkl. El haz de rayos X se
difracta a un ángulo idéntico al del rayo
incidente siguiendo la ley de Bragg:

12. Si no se cumple la ley de Bragg, la interferencia es de naturaleza destructiva y el campo
del haz difractado es de muy baja intensidad. Cuando la interferencia es constructiva
obtenemos una respuesta, que se conoce con el nombre de difractograma o patrón de
difracción, y que nos proporciona información para identificar y cuantificar los
componentes presentes en los materiales, ya que cada componente tiene un
patrón/difractograma único, es decir, su huella dactilar.

13. Consideremos los dos planos paralelos de
átomos A-A’ y B-B’, los cuales tienen los mismos
índices de Miller h, k, l y son separados por el
espaciamiento interplanar dhkl.
Asumamos que un haz de rayos x paralelo,
monocromático y coherente (en fase) de
longitud de onda  incide en estos dos planos a
un ángulo .
Dos rayos en este haz, nombrados 1 y 2, son
esparcidos por los átomos P y Q.
La interferencia constructiva de los rayos
esparcidos 1’ y 2’ ocurren también en un ángulo
 a los planos, cuando la diferencia de longitud
del camino entre 1-P-1’ y 2–Q–2’ (es decir, SQ
+ QT) es igual a un número entero (n) de longitud
de ondas.
Esto es, la condición para la difracción es .
n = SQ + QT
o
n = dhkl sin  + dhkl sin 
n = 2dhkl sin 
Esta ecuación se conoce como la ley de
Bragg; donde n es el orden de reflexión

14. Para la estructura BCC la difracción tiene lugar sólo en los planos cuyos índices de
Miller sumados (h2 + k2 + l2) dan un número par
En el caso de la estructura cristalina FCC, los principales planos de difracción son los
que sus índices de Miller son todos pares o todos impares (el cero se considera par)
2
2
2
2
2
2
2
2
l
k
h
aSen
n
l
k
h
a
d
Sen
d
n
hkl
hkl
+
+
=
+
+
=
=



 Ley de Bragg
Distancia interplanar
Esta ecuación puede emplearse junto con los datos de
difracción de rayos X para determinar si una estructura es
cúbica centrada en el cuerpo o en las caras.
Para emplear esta última ecuación para difracción de rayos X
deberá conocerse cuáles planos cristalinos son planos de
difracción para cada tipo de estructura cristalina.
Sustituyendo

16. ANALISIS DE DIFRACCION CON RAYOS X
Método de polvo se utiliza una muestra pulverizada de muchos cristales para que tenga
lugar una orientación al azar y asegurar que algunas partículas estarán orientadas en
el haz de rayos X, para que se cumplan las condiciones de difracción de la ley de Bragg.

17. Sabiendo
que:
Interpretación de datos experimentales
y que
Sustituyendo d:
Por lo tanto
IMPORTANTE: la longitud de onda λ y la constante de red son iguales tanto para
la radiación de entrada como para la de salida.
𝜆 = 2𝑑ℎ𝑘𝑙𝑆𝑒𝑛𝜃
𝑑ℎ𝑘𝑙 =
𝑎
ℎ2 + 𝑘2 + 𝑙2
𝜆 =
2𝑎𝑆𝑒𝑛𝜃
ℎ2 + 𝑘2 + 𝑙2
➔  ℎ2 + 𝑘2 + 𝑙2 = 2𝑎 Sen θ
➔
 ℎ2+𝑘2+𝑙2
2𝑎
= Sen θ
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
)
(
2
2
a
l
k
h
Sin
l
k
h
aSin
dSin
+
+
=
+
+
=
=







18. 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
)
(
4
)
(
a
l
k
h
Sin
a
l
k
h
Sin
B
B
B
B
A
A
A
A
+
+
=
+
+
=




Dividiendo una ecuación sobre la otra se obtiene:
Para planos ‘A’ y ‘B’ se obtienen las siguientes ecuaciones:
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
B
B
B
A
A
A
B
A
l
k
h
l
k
h
Sin
Sin
+
+
+
+
=



19. • Para cristales BCC, las dos primeras series de planos de difracción son
los planos {1 1 0} y {200}.
Por lo tanto
• Para cristales FCC las dos primeras series de planos de difracción son
los planos { 1 1 1 } y {2 0 0}
Por lo tanto
5
.
0
)
0
0
2
(
)
0
1
1
(
2
2
2
2
2
2
2
2
=
+
+
+
+
=
B
A
Sin
Sin


75
.
0
)
0
0
2
(
)
1
1
1
(
2
2
2
2
2
2
2
2
=
+
+
+
+
=
B
A
Sin
Sin



20. Metal
Desconocido
Análisis
Cristalográfico
Estructura
Cristalina
FCC
Estructura
Cristalina
BCC
75
.
0
2
2
=
B
A
Sin
Sin


5
.
0
2
2
=
B
A
Sin
Sin


de los planos
primeros dos
picos principales
de difracción
{1 1 0} y {2 0 0}
{1 1 1} y {2 0 0}

21. X-Ray Diffraction Pattern
(110)
(200)
(211)
z
x
y
a b
c
Ángulo de difracción 2
Diffraction pattern for polycrystalline -iron (BCC)
Intensidad
(relativa)
z
x
y
a b
c
z
x
y
a b
c

22. Determinación de la red de Bravais
Determinación del parámetro de red
Aplicaciones de la difracción de rayos X
Tamaño de la cristalita
Esfuerzos residuales
La magnitud llamada tamaño de cristalita (TC) corresponde a las dimensiones dela región que produce la
dispersión coherente de los rayos X, en el cual es posible aplicar la operación de simetría de traslación. Esta
magnitud es del orden de 1000 Å. El término “cristalita” se emplea en sustitución de los términos como “dominio
coherente de difracción” o “tamaño de grano”.

23. EJERCICIO
Prob1 Cap.6 Ashcroft and Mermin: Se han obtenido difractogramas de tres materiales A, B y
C por el método Debye-Scherrer y se han observado los valores de los cuatro primeros
ángulos de desviación (2Ɵ) para cada material:
Si se sabe que uno de ellos tiene estructura bcc monoatómico, otro fcc y otro tiene estructura
de diamante; identifique cada material con su respectiva estructura.
A B C
42,2 28,8 42,8
49,2 41,0 73,2
72,0 50,8 89,0
87,3 59,6 115,0

24. Diffraction angle (2) →
Intensity
→
90 180
0
Crystal
90 180
0
Diffraction angle (2) →
Intensity
→
Liquid / Amorphous solid
90 180
0
Diffraction angle (2) →
Intensity
→
Monoatomic gas
Schematic of difference between
the diffraction patterns of various phases

25. Caracterización de la transformación martensítica inducida por
deformación en fundiciones nodulares austemperadas