El documento presenta diferentes formas de presentar datos estadísticos organizados, incluyendo tablas y gráficos. Explica cómo construir tablas de distribución de frecuencias para variables discretas y continuas, indicando cómo calcular las frecuencias absolutas, relativas y acumuladas. También describe los pasos para construir histogramas y otros gráficos a partir de tablas de datos.

1. 4° Año de Secundaria
1. PRESENTACIÓN DE DATOS ESTADÍSTICOS:
En general hay tres formas de presentar datos organizados:
1) Presentación con palabras. 2) cuadros o tablas de distribución de
frecuencias y 3) gráficos estadísticos. Cuando una serie de datos
incluye solamente unos pocos ítems, la palabra escrita puede ser
usada para presentar apropiadamente los hechos. Sin embargo
cuando un gran número de datos está siendo presentado, la
presentación escrita se vuelve ineficiente y pesada. En este caso
tablas y gráficas son preferidas.
1.1. Presentación – Cuadros o tablas de distribución de
frecuencia:
Pueden presentarse los datos originales en cuadros tal como se
recoge de la fuente, (lugar donde se toma la información) y a
su vez cuando se dispone de un gran número de datos
referentes a una características en estudio, resulta más
económico, distribuir estos datos en categorías, clases o
grupos. El término “frecuencia” nos indica el número de veces
que se repite cada dato, en el cuadro de datos originales, la
frecuencia de cada dato es uno; en cambio cuando los datos se
distribuyen en clases, hay una frecuencia de clase constituida
por el número de datos que se encuentran en cada clase.
La presentación de una tabla donde se aprecie las clases con
sus respectivas frecuencias toma el nombre de “Distribución de
frecuencia” o simplemente “Tablas de frecuencia”.
Tanto los cuadros como las tablas deben enumerarse, y tener
un título claro en la parte superior y en la parte inferior indicar
siempre la fuente de donde se obtuvo la información y tal vez
alguna nota o llamado.
Es de suma importancia también indicar ya sea en el título o en
la fuente el período de tiempo correspondiente a la información
por la sencilla razón de que una información puede ser muy
buena para un determinado período, pero no para otros
períodos un poco distantes.
1.2. Construcción de tablas de frecuencia:
Para la construcción de una tabla de frecuencia
desarrollaremos un ejemplo, tomando como datos las
observaciones de los pesos en kilogramos de 54 personas que
a continuación presentamos:
 Tabla de frecuencias para variables discretas.
TABLA 1 DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS ABSOLUTAS
Valores Diferentes Observados
y1
Frecuencias Absolutas
n1
y1
y2
y3
.
.
.
ym
n1
n2
n3
.
.
.
nm
Total n
Ejemplo: Se entrevista un conjunto de 15 familiares sobre el número de
hijos. Los resultados son:
X1 = 1 X5 = 2 X9 = 4 X13 = 2
X2 = 3 X6 = 4 X10= 1 X14 = 2
X3 = 2 X7 = 0 X11 = 3 X15 = 0
X4 = 1 X8 = 2 X12 = 1
PREGUNTA.-
1. Construir Tabla de distribución de frecuencia absoluta.
2. Interpretar cada frecuencia absoluta.
SOLUCIÓN:
1.
a. Identificar el número de observaciones diferentes m = 5 y son:
y1 = 0 y2 = 1 y3 = 2 y4 = 4 y5 = 4

2. b. Contemos el número de familias en 0, 1, 2, 3, 4, hijos
respectivamente:
n1 = 2 n2 = 4 n3 = 5 n4 = 2 n5 = 2
c. Luego la tabla de distribución de frecuencia absoluta de número de
hijos por familia será:
TABLA 2 DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA DE NÚMERO DE HIJOS
POR FAMILIA
Número de Hijos
y1
Frecuencias Absolutas
n1
0
1
2
3
4
2
4
5
2
2
Total 15
2. N1 = 2 .- Significa que en las familias encuestadas, dos no tienen
hijos.
N2 = 4 .- Significa que en las familias encuestadas, cuatro tienen un
hijo.
Una tabla de distribución de frecuencias también se puede construir
teniendo en cuenta otro tipo de frecuencias como relativas absolutas,
acumulativas, etc.
FRECUENCIA RELATIVA.- (hi) Es el cociente que se obtiene al dividir la
frecuencia absoluta de Y1 y el número total de observaciones.
n
n
nes
Observacio
de
Total
Número
y
de
Absoluta
Frecuencia
h 1
1
1 

1333
,
0
15
2
n
n
h 1
1 


2666
,
0
15
4
n
n
h 2
2 


3333
,
0
15
5
n
n
h 3
3 


1333
,
0
15
2
n
n
h 4
4 


1333
,
0
15
2
n
n
h 5
5 


INTERPRETACIÓN
h1 = 0,1333, es la proporción de familias que no tienen hijos.
h2 = 0,2666, es la proporción de familias que tienen un hijo.
h3 = 0,1333, es la proporción de familias que tienen 4 hijos.
FRECUENCIA RELATIVA PORCENTUAL.- (Pi) Es la frecuencia relativa
hi multiplicada por 100% y viene a ser el porcentaje de observaciones
que corresponde el valor Y1. Esta frecuencia varía entre 0 y 100.
Pi = 100 hi
Así, para el ejemplo anterior tenemos que:
P1 = 100 hi % = 13,33%. Porcentaje de familias que no tienen hijos, en
la muestra.
P2 = 100 h2 % = 26,66%. Porcentaje de familias que tienen un hijo en
la muestra.
FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA.- (Ni) es igual al número de
observaciones menores o iguales a Yi.
N1 = n1 = 2
N2 = n1 + n2 = 2 + 4 = 6
N3 = n1 + n2 + n3 = 2 + 4 + 5 = 11
N4 = n1 + n2 + n3 + n4 = 2 + 4 + 5 + 2 = 13
N5 = n1 + n2 + n3 + n4 + n5 = 2 + 4 + 5 + 2 + 2 = 15

3. FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA.- (Hi) Es la frecuencia relativa
de las observaciones menores o iguales a Yi.
H1 = h1 = 0,1333
H2 = h1 + h2 = 0,1333 + 0,2666
H3 = h1 + h2 + h3 = 0,1333 + 0,2666 + 0,3333
H4 = h1 + h2 + h3 + h4 = 0,1333 + 0,2666 + 0,3333 +
0,1333
H5 = h1 + h2 + h3 + h4 + h5 = 0,1333 + 0,2666 + 0,3333 +
0,1333 + 0,1333
Luego la tabla completa será:
TABLA 3 DISTRIBUCIÓN DEL NÚMERO DE HIJOS POR FAMILIA
Yi ni hi Ni Hi
0
1
2
3
4
2
4
5
2
2
0,1333
0,2666
0,3333
0,1333
0,1333
2
6
11
13
15
0,1333
0,3399
0,7332
0,8665
0,9998
TABLA DE FRECUENCIA PARA VARIABLES CONTINUAS
Para construir una Tabla para variables continuas, el procedimiento es el
siguiente:
1. Determinar el recorrido o rango del total de las observaciones y es
igual a la diferencia que hay entre la observación de valor máximo y
la observación de valor mínimo.
R = Min
Max X
X 
2. Determinar el número de clases:
Clases.- Son los grupos en los que se divide el total de los datos.
El número de clases se puede calcular empleando cualquiera de las
siguientes fórmulas.
K = 2.5 n
K = 1 + 3.3 Log n
donde n = número de datos
Las clases tienen dos extremos llamados límites de clase:
Límite inferior Y’i-1 Límite superior Y’i
3. Determinar la amplitud de intervalo; es igual al cociente que resulta
de dividir el Rango entre el Número de Clases.
I =
K
R
Los límites de clase se obtienen a partir de la observación de menor
valor y se le suma la amplitud del intervalo.
4. Determinar la marca de clase, que es igual a la semisuma de los
límites de clase. Es decir, límite superior más límite inferior entre dos.
5. Determinar las frecuencias absolutas, Frecuencias relativas,
Frecuencia absoluta acumulada y frecuencia relativa acumulada.
Ejemplos:
Supongamos que tenemos a continuación el peso de 54 personas en
kg.
48.1 46.2 76.4 82.9 22.5 33.2
36.5 45.8 88.8 67.7 16.1 85.5
46.8 91.8 68.2 56.6 20.7 13.1
84.9 55.8 13.9 14.4 31.2 58.9
58.1 80.9 15.1 11.0 35.7 42.5
88.2 85.8 51.9 93.0 95.0 57.3
81.5 72.9 53.3 53.7 53.4 40.4
45.1 66.5 83.3 25.2 76.3 42.0
66.9 21.1 82.7 25.7 11.9 76.9

4. PROCEDIMIENTO
1. Ordenamos los datos en magnitud creciente.
11.0 11.9 13.1 13.9 14.4 15.1
16.1 20.7 21.1 22.5 25.2 25.7
31.2 33.2 35.7 36.5 40.4 42.0
42.5 45.1 45.8 46.2 46.8 48.1
51.9 53.3 53.4 53.7 55.8 56.6
57.3 58.1 58.9 66.5 66.9 67.7
68.2 72.9 76.3 76.4 76.9 80.9
81.5 82.7 82.9 83.3 84.9 85.5
85.8 88.2 88.8 91.8 93.0 95.0
2. Encontrar el rango o amplitud o recorrido: R
R = Min
Max X
X 
R = 95.0 – 11.0
R = 84
3. Encontrar el número de clases:
K = 2.5
4
n
K = 2.5
4
54
K = (2.5) (2.7)
K = 6.75
Se redondea al entero inmediato superior. Luego K = 7
4. Encontrar la amplitud del intervalo.
I =
K
R
I = 0
.
12
7
84

TABLA 5 : DISTRIBUCIÓN DEL PESO EN KG DE 54 ALUMNOS
Yi-1 – Y’i Yi ni hi N1 H1
11 – 23
23 – 35
35 – 47
47 – 59
59 – 71
71 – 83
83 – 95
17
29
41
53
65
77
89
10
4
9
10
4
8
9
0,1851
0,0740
0,1666
0,1851
0,0740
0,1481
0,1666
10
4
23
33
37
45
54
0,1851
0,2591
0,4257
0,6108
0,6848
0,8329
0,9995
Interpretación de la Tabla
n2 = 4, nos indica que de los 54 alumnos existen 4 cuyo peso varía
entre 23 y 35 kilos.
h3 = 0,1666, nos indica la proporción de alumnos cuyo peso varía entre
35 y 47 kilos.
N4 = 33; representa el número de alumnos cuyo peso varía entre 11
y 59 kilos.
H5 = 0,6648; indica la proporción de alumnos cuyo peso varía entre 11 y
71 kilos.
EJERCICIO.- Con los valores que se les da a continuación, construir una
tabla de distribución de frecuencia.
25 – 76 – 42 – 66 – 21 – 82
25 – 11 – 76 – 63 – 67 – 55
57 – 77 – 27 – 14 – 60 – 76
72 – 25 – 64 – 62 – 12 – 64
95 – 91 – 92 – 13 – 18 – 11
66 – 68 – 32 – 37 – 72 – 87
22 – 75 – 12 – 90 – 80 – 15
55 – 22 – 73 – 69 – 89 – 70
98 – 87
REPRESENTACIONES GRÁFICAS
Las representaciones gráficas permiten visualizar mejor y apreciar en
forma objetiva y rápida la información contenida en un cuadro.
Para su construcción debemos tener en cuenta lo siguiente:
a) El eje vertical corresponde a la frecuencia y el eje horizontal
corresponde a la forma de clasificación.
b) La altura debe ser aproximadamente las 3/4 partes del tamaño de la
base.
c) Todo cuadro lleva un título en la parte superior.
Las gráficas más usuales son:
a) Gráfica de barras: sencillas, dobles

5. b) Gráficas de bastones
c) Histograma de frecuencia absoluta o relativa
d) Polígono de frecuencia absoluta o relativa
e) Gráfica de círculos, etc.
GRAFICA DE BARRAS.- Está formada por un conjunto de barras o
rectángulos, los cuales pueden ser representados en forma vertical u
horizontal. Todas las barras son de igual base y su altura proporcional a
su frecuencia. Se emplea cuando se trabaja con variables de tipo
cualitativa o cuantitativa discreta.
TABLA N° 4.- En la siguiente tabla se muestra el número de alumnos.
(hombres y mujeres) y por carrera profesional.
ESCUELA
SEXO
PROFESIONAL
HOMBRES MUJERES
AGRONOMÍA (AG)
ENFERMERÍA (EN)
DERECHO (DE)
BIOLOGÍA (BI)
CONTABILIDAD (CO)
120
20
110
100
140
40
140
80
60
80
TOTAL 490 400
Gráfico N° 1 Número de alumnos por carrera profesional
Interpretación:
1. En las cinco Escuelas profesionales, el número total de hombres es
mayor al número de mujeres.
2. De las cinco Escuelas Profesionales, el mayor número de hombres se
presenta en la Escuela Profesional de Contabilidad.
3. De las cinco Escuelas Profesionales, el menor número de hombres
corresponde a la Escuela Profesional de Enfermería.
4. El menor número de mujeres se presenta en la Escuela Profesional de
Agronomía.
5. El mayor número de mujeres corresponde a la Escuela Profesional de
Enfermería.
GRÁFICO DE BASTONES.- Se emplean cuando se usan variables
cuantitativas discreta.
El gráfico de bastones está constituido por un conjunto de segmentos de
rectas perpendiculares al eje X; con una longitud directamente
proporcional a la frecuencia absoluta simple o frecuencia relativa.
Ejemplo. Gráfico N° 2
HISTOGRAMA DE FRECUENCIA
Es un gráfico que se emplea para representar variable continua. Para
construir un Histograma de frecuencia se puede emplear las frecuencias
absolutas o relativas y está conformada por la unión de varios
rectángulos, todos de igual base (igual a la amplitud del intervalo) y
altura proporcional a su frecuencia absoluta simple o frecuencia relativa.
0
20
40
60
80
100
120
140
160
AG EN DE BI CO
H
OMBRES
MU
JERES
140
120
100
80
60
40
20
AG EN DE BI CO

6. Ejemplo. Con los datos de la Tabla N° 5
Gráfico N° 3 – Histograma de frecuencia absoluta del peso (kg) de 54
alumnos.
POLÍGONO DE FRECUENCIA. - Es la línea poligonal cerrada en un
sistema de ejes cartesianos.
Resulta de la unión de los puntos medios de la base superiores de los
rectángulos que forman un histograma de frecuencia.
Ejemplo: Con los datos de la Tabla N° 5.
Gráfico N° 4 Polígono de frecuencia absoluta del peso (kg.) de 54
alumnos.
GRÁFICO CIRCULAR.- Se emplea para representar las variables
cualitativas y es la unión de un conjunto de sectores circulares.
Ejemplo: Supongamos que tenemos los siguiente datos.
TABLA N° 6: Número de Personas por Grado de Instrucción.
Grado de Instrucción Frecuencia Absoluta
Analfabeto
Primaria
Secundaria
Superior
20
280
210
90
TOTAL 600
Para confeccionar el Gráfico circular, debemos calcular los sectores
circulares.
ANALFABETOS
600 ....... 360º
20 ........ X
X = o
12
600
360
X
20

PRIMARIA
600 ....... 360º
280 ........ X
X =
600
360
X
280
X = 168º
10
8
6
4
2
11 23 35 47 59 71 83 95
10
8
6
4
2
5 17 29 41 53 65 77 89 101
y1
n1

7. SECUNDARIA
600 ....... 360º
210 ........ X
X =
600
360
X
210
X = 126º
SUPERIOR
600 ....... 360º
90 ........ X
X =
600
360
X
90
X = 54º
GRÁFICO N° 5 – Número de personas por grado de Instrucción.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Los siguientes datos representan los puntajes de un examen de
aptitud de 46 estudiantes.
69 60 72 71 60
39 55 44 51 53
60 76 61 69 65
71 76 62 58 64
57 45 49 46 46
38 60 71 50 41
56 53 44 36
36 70 69 57
67 56 52 60
47 62 49 48
a) Construir la correspondiente distribución de frecuencias.
b) Haga un gráfico de bastones e interprete.
2. En cierto Centro Educativo se hizo un estudio sobre la edad de los
profesores con el fin de establecer un plan de seguro grupal. Los
resultados fueron los siguientes:
22 32 53 48 42 49
24 29 58 52 53 48
42 46 32 51 33 31
37 48 27 52 51 23
28 39 33 33 60 42
63 36 25 46 58 47
51 40 22 33 24 58
52 61 56 32 30 53
48 21 63 28 27 31
54 54 53 61 53 20
a) Construya una distribución de frecuencias apropiadas para estos
datos.
b) Compare la distribución que Ud. construyó con la siguiente.
PRIMARIA
SECUNDARIA
SUPERIOR
ANALFABETOS
126°
168°
12°
54°

8. c) TABLA N° 6
Edad de los
Trabajadores
Número
20 : 30
30 : 40
40 : 50
50 : 60
60 : 70
14
12
12
17
5
d) Conteste las siguientes preguntas usando la distribución de
frecuencias dadas en b.
1) ¿Cuál es el ancho de la clase común?.
2) ¿Cuál es el límite inferior de la cuarta clase?.
3) ¿Cuál es la frecuencia absoluta de la tercera clase? n3
4) ¿Cuál es la frecuencia relativa porcentual de la quinta clase?
h5%
5) ¿Cuántos trabajadores tienen menos de 40 años o más y que
porcentaje representa?.
6) ¿Cuántos trabajadores tiene entre 30 y 50 años?.
7) ¿Cuántos trabajadores tienen 40 años o más y que porcentaje
representa?.
8) Construya el histograma y polígono de frecuencias.
3. En un examen de Biología aprobaron 40 alumnos, desaprobaron 14 y
no se presentaron 6 alumnos. Construya:
a) Un gráfico de barras.
b) Un gráfico circular.
4. El siguiente histograma muestra las notas obtenidas por los alumnos
de una sección en el curso de Física.
Hallar el número total de alumnos que rindieron la prueba.
a) 16 b) 56 c) 42 d) 32 e) 48
5. La siguiente tabla muestra la distribución del ingreso familias que
corresponden a 80 familias. Si:
i
f = frecuencia absoluta
i
F = frecuencia absoluta acumulada
i
h = frecuencia relativa
Determinar el número de familias que ganan menos de 200 nuevos
soles.
Intervalo de ingreso (Sl.) i
f i
F i
h
[160 – 170>
[170 – 180> 48 60
[180 – 190> 0,125
[190 – 200> 0,175
[200 – 210>
a) 62 b) 68 c) 70 d) 76 e) 78
6. Calcular el rango de los siguientes datos.
35 32 36 40 39
48 41 33 35 38
36 37 38 48 44
38 42 47 33 49
a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 d) 17
6 8 10 12 14 16
18
1
6
1
4
1
2
1
0
8
6
4
2
Nota
s
# de
alumnos

9. 7. En base a la siguiente tabla de distribución de frecuencias, calcular el
porcentaje de familias que tienen menos de 5 hijos.
i
x = # de hijos por familia
1
f = # de familias
a) 63% b) 68% c) 69% d) 70% e) 72%
8. La gráfica corresponde a las temperaturas tomadas cada hora durante
un día en una ciudad.
A. ¿Cuál fue la temperatura máxima? ¿A qué hora fue?.
a) 29º ; 3 p.m. b) 28º ; 3 p.m. c) 28º ; 2 p.m.
d) 29º ; 4 p.m. e) N.A.
B. ¿Cuál fue la temperatura mínima? ¿A qué hora fue?.
a) 17º ; 5 a.m. b) 17,5º ; 5 a.m. c) 18º ; 5 a.m.
d) 18º ; 4 a.m. e) N.A.
C. ¿Cuánto subió la temperatura de las 6 de la mañana al mediodía?.
a) 9º b) 10º c) 9,5ºd) 10,5º e) N.A.
D. ¿Cuántos grados bajo la temperatura de las 3 de la tarde hasta las
12 de la noche?.
a) 6º b) 7º c) 8º d) 9º e) N.A.
9. Manuel hizo una encuesta entre 100 alumnos de su academia para
averiguar cuáles eran sus deportes favoritos. El gráfico circular
muestra el número de alumnos que escogieron un deporte
determinado como favorito.
A. ¿Qué fracción de la sección circular está representada por los
alumnos que escogieron fútbol?.
a)
3
1
b)
4
1
c)
5
1
d)
8
1
e) N.A.
B. ¿Cuántos alumnos escogieron un deporte diferente de los
mencionados?.
a) 20 b) 15 c) 10 d) 30 e) N.A.
C. ¿Qué ángulo tiene el sector circular correspondiente a Béisbol?.
a) 18º b) 36º c) 54º d) 60º e) 72º
10. Hallar la moda del sistema:
2 ; 3 ; 4 ; 4 ; 4 ; 5 ; 5 ; 7 ; 7 ; 7 ; 9
a) 4 b) 7 c) 3 d) a y b e) N.A.
11. Sean los números:
5 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; 12 ; 15 ; 18, su mediana será:
a) 10 b) 11 c) 12 d) 9 e) N.A.
2 4 6 8 10 12 2 4 6 8 10 12
15
20
25
30
A.M. Medio
Día
P.M. Medio
Noche
25
Fútbol
30
Basketbol
10
Carrera
5 Golf
6 Tenis
Otros
16
Béisbol
2 10
3 8
4 16
5 10
6 6
xi yi

10. D. ¿Qué ángulo tiene el sector circular correspondiente a Basketbol?.
a) 100º b) 108º c) 120º d) 150º e) N.A.
12. En el país se ha extraído, durante 8 años, las siguientes cantidades
anuales de cobre?.
Se puede asegurar que la producción en el año 1990.
a) Aumentará
b) Será igual que el año anterior
c) Será de 280 toneladas
d) No se puede asegurar cuál será la producción
e) Ninguna de las anteriores
13. En la figura se muestra la variación promedio anual de la cantidad de
un mineral almacenado en el depósito de una compañía.
Con relación a este gráfico. ¿Cuál o cuáles de las siguientes
afirmaciones son correcta:
I. El almacenamiento promedio es menor en el mes de
Noviembre.
II. La relación aproximada entre el mayor y el menor
almacenamiento promedio es de 10 : 1.
a) Sólo I es correcta b) Sólo II es correcta
c) I y II son correctas d) Falta más información e) N.A.
Año Toneladas
1982 40
1983 70
1984 100
1985 130
1986 160
1987 190
1988 220
1989 250
82 83 8485 86 87 88 89 90 Año
50
100
150
200
250
300
350

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
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
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Tonelada
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
E F M A M J J A S O N D