Este documento presenta una introducción al procesamiento digital de señales. Explica que el objetivo es presentar conceptos básicos para apoyar un curso sobre el tema. Detalla los contenidos principales como señales continuas y discretas, sistemas, discretización de señales, herramientas matemáticas como transformadas de Fourier y la transformada Z. También describe algunas aplicaciones importantes del procesamiento digital de señales como el reconocimiento de patrones y el control automático.

1. Introducción al
Procesamiento Digital de Señales
Objetivo:
Estas notas presentan el material introductorio básico encaminado a soportar un curso
de Procesamiento Digital de Señales. Dicho curso está dirigido a quienes ya han cursado
materias básicas en el area de circuitos eléctricos y electrónica además de los cursos básicos
de cálculo diferencial e integral, números complejos y ecuaciones diferenciales.
Contenido:
1.- ¿Qué es el Procesamiento Digital de Señales?
2.- Conceptos básicos (Señales y sistemas)
2.1.- Señales continuas y discretas.
2.2.- Sistemas
2.3.- Discretización de señales continuas
3.- Herramientas matemáticas básicas del Procesamiento de señales
3.1.- Series y Transformada de Fourier (Caso Continuo)
3.2.- Series y Transformada de Fourier (Caso Disreto)
3.3.- La Transformada Z
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2. 1. ¿Qué es el Procesamiento Digital de Señales?
El campo del procesamiento digital de señales ha conllevado tremendos
cambios desde su aparición en la década de los setentas tanto de caracter teórico
como tecnológico. Conviene aquí mencionar algunas de las preocupaciones
principales del área a lo largo de su evolución:
En los primeros años el principal interés en este campo era el desarrollo de
algoritmos para la Transformada Rápida de Fourier y el diseño de filtros digitales.
Actualmente un profesional de vanguardia en el área debe poseer un buen
background en diversas áreas, tales como: Teoría de las aproximaciones, procesos
estocásticos, teoría de matrices y sistemas dinámicos por mencionar sólo algunas.
Aunque a primera vista estos tópicos parecieran ser cosa de investigadores
académicos, es una realidad el hecho de que un ingeniero actual en el área
continuamente tiene que diseñar sistemas para filtraje óptimo, filtraje adaptivo y
estimación espectral. De manera que los tópicos mencionados se han colado en la
formación básica en el area.
Actualmente, se considera que un curso introductorio en procesamiento digital
de señales debe cubrir por lo menos los siguientes tópicos: transformada Z, respuesta
al impulso, convolución, respuesta a la frecuencia, el teorema del muestreo,
transformada discreta de Fourier, algoritmos de transformada rápida de Fourier, diseño
de filtros de respuesta finita al impulso (FIR) y diseño de filtros de respuesta infinita al
impulso (IIR). Es importante mencionar que dado que estos temas son bien conocidos,
existe ya un buen número de paquetes de software que manejan este material
estándar (por ejemplo, MATLAB) y que pueden servir como un soporte paralelo a estas
notas, sobre todo en cuanto a ejercicios de tipo numérico y gráfico.
Quizás una mejor manera de ubicar el área para alguien ajeno a ella es la de
mencionar las aplicaciones y los frutos que ha logrado esta disciplina en diferentes
campos. Como resultaría muy extenso dar una lista exhaustiva de dichas aplicaciones,
mencionaremos aquí más bien cinco contextos en los cuales se pueden encontrar
éstas:
Un primer conjunto de aplicaciones lo presenta el problema de diseñar un
sistema para procesar señales y predecir su comportamiento futuro. El pronóstico
económico presenta un ejemplo común de esta situación, por ejemplo, muchos
programas de computadora han sido realizados para realizar análisis detallados de los
promedios del índice bursátil (y de otras señales económicas) y realizar predicciones
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3. en base a la historia de estas señales. Si bien, la mayor parte de estas señales no son
totalmente predecibles, es un hecho importante el que su comportamiento futuro sí
puede ser predicho, al menos aproximadamente y dependiendo de la técnica de
análisis utilizada en la predicción.
Un segundo conjunto de aplicaciones es la restauración de señales que han
sido degradadas de alguna manera. Por ejemplo, la restauración de grabaciones de
audio antiguas. Otro ejemplo de este tipo de procesamiento se tiene cuando se quiere
depurar una señal de audio que se recibe con ruido de fondo, por ejemplo, en la
transmisión de un pilñoto a la torre de control de tráfico aéreo, la voz del piloto estará
contaminada con el ruido de fondo de la cabina del avión, en este caso se debe
diseñar un sistema para eliminar el ruido de fondo y resaltar la voz del piloto.
Un tercer conjunto de aplicaciones muy similar al anterior, es el de procesar
señales de manera de "mejorar" o resaltar alguna característica de ellas. El
procesamiento de imagenes provenientes de satélite es un caso típico. Así, además de
la restauración que necesariamente se practicará sobre la imagen para compensar
errores debido a limitaciones del equipo, efectos atmosférico y hasta errores en la
transmisión, es posible procesar al señal de manera que se realcen características
deseadas de la imagen, tales como: cauces de ríos, o lagos, regiones cultivadas,
isotermas, etc. o bien, se puede realizar la amplificación de una porción deseada de la
imagen, o la "traslación" de la imagen infrarroja a luz visible (para visión nocturna), etc.
Un conjunto de aplicaciones que ha tenido un gran desarrollo en los últimos
años ha sido el reconocimiento de patrones. Éste se refiere al procesamiento de un
conjunto de señales de la misma naturaleza con el fin de clasificarlas o de "identificar"
cada una de ellas dentro de una categorización dada. Así, se puede mencionar en este
campo, el reconocimiento de voz, la clasificación de piezas mecánicas en una línea de
producción por un brazo mecánico, el reconocimiento óptico de caracteres (OCR), el
reconocimiento de huellas digitales, de firmas, de rostros o de manos, etc.
Otra clase importante de aplicaciones es cuando se desea modificar las
características de comportamiento de un sistema dado, normalmente a través de la
manipulación de señales de entrada específicas, o combinando el sistema dado con
otros sistemas. Este es el campo denominado control automático. Por ejemplo, un área
referida normalmente como control de procesos, la cual se refiere al control de plantas
químicas. En esta clase de aplicaciones, un conjunto de sensores miden las señales
físicas como temperatura, humedad, concentraciones químicas, etc. dichas señales
son procesadas por un sistema encargado de manipular las señales de control (tales
como flujo de combustible o agua de enfriamiento, dosificación de sustancias, etc.)
para regular el proceso químico en marcha.
Ciertamente, la lista no es exhaustiva y no es fácil clasificar toda la gama de
aplicaciones que tiene este campo, es importante sin embargo mencionar otras
aplicaciones que han recibido gran impulso por el desarrollo del procesamiento digital
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4. de señales, tal es el campo de las comunicaciones electrónicas modulación de
señales, transmisión y recepción en AM y FM, microondas, comunicación por fibra
óptica, etc. O el campo de la síntesis de señales como: sintetizadores musicales,
síntesis de voz, etc.
2.- Señales y Sistemas.
Los conceptos de señales y sistemas aparecen en una amplia variedad de
campos, de manera que las ideas y técnicas asociadas con estos conceptos juegan
un papel importante en áreas tan diversas como: comunicaciones, aeronáutica y
astronáutica, diseño de circuitos, acústica, óptica, sismología, ingeniería biomédica,
sistemas de generación y distribución de energía, control de procesos, reconocimiento
de patrones, etc. Si bien, la naturaleza física de las señales y sistemas que aparecen
en estas áreas pueden ser diametralmente diferentes, todas ellas tienen en común dos
características básicas: Las señales y los sistema
Mientras que las señales son funciones de una o más variables
independientes y contienen información acerca de la naturaleza o comportamiento de
algún fenómeno, los sistemas reciben señales como entrada y responden a ellas
produciendo otras señales a la salida. Esta relación entre señales y sistemas puede
ser representada de manera general en un bloque como en la figura 2.1
SEÑALES
DE ENTRADA SISTEMA SEÑALES
DE SALIDA
Figura 2.1 Diagrama de bloques de un sistema en general
Los voltajes y corrientes como funciones del tiempo aplicados a un circuito son
ejemplos de señales y el circuito en sí es ejemplo de un sistema, el cual responderá a
su vez con voltajes y corrientes dependiendo de los que le son aplicados. Cuando el
conductor de un automóvil presiona el acelerador, el automóvil responde
incrementando su velocidad, en este caso, el automóvil es el sistema, la presión sobre
el acelerador es una señal de entrada y la velocidad del automóvil es una señal de
salida. Un programa de computadora para el diagnóstico de electrocardiogramas
puede ser considerado como un sistema que recibe como entrada la señal digitalizada
de un electrocardiograma y produce como salida estimaciones sobre parámetros tales
como ritmo cardiaco, etc.
Para desarrollar las técnicas de análisis de señales y sistemas es necesario
establecer un marco de referencia analítico que capture las ideas intuitivas útiles en
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5. los diversos campos en que aparece este par de conceptos. A continuación se
introduce una descripción y representación matemática de señales y sistemas que nos
permitirá involucrar los conceptos intuitivos básicos y fomalizarlos para posteriormente
obtener herramientas de análisis y diseño suficientemente poderosas que no estén
despegadas de las aplicaciones.
2.1. Señales
Aunque las señales se pueden representar de muchas maneras, en todos los
casos la información contenida en una señal se refiere a un conjunto de variaciones de
algún tipo. Por ejemplo, en la figura 2.2 se muestra la evolución de la respiración en un
individuo con insomnio prolongado tratado con electrosueño (sueño inducido
eléctricamente). A este tipo de diagrama se le llama pneumograma y representa las
variaciones en el caudal del aire respirado por el paciente al transcurrir el tiempo. Otro
ejemplo es la figura 2.3 en la cual se muestra un imagen fotográfica, la cual no es más
que una representación de variaciones de color (longitud de onda) respecto a la
posición horizontal y vertical (este es un ejemplo de señal que depende de dos
variables independientes).
Figura 2.2 Pneumograma de un paciente de insomnio tratado con electrosueño. a) Principio de la
aplicación de los estímulos( a los 20 segundos de de aplicar la corriente aparece un ritmo periódico de
respiración). b) El paciente enmpieza a dormirse. c) el paciente está dormido (la respiración se hace
regular). (Adaptado de Electrosueño. V. A. Guiliarovski, et al, Moscú, 1961)
Aunque las señales se pueden representar matemáticamente como funciones
de una o más variables independientes, aquí se tratará exclusivamente el caso de
funciones de una variable independiente y esta variable normalmente será el tiempo,
aunque en algunas aplicaciones como en la geofísica interesa el comportamiento de la
densidad, porosidad, resistividad eléctrica (por ejemplo) con respecto a la profundidad,
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6. o en la meteorología, interesa la variación de la presión, velocidad del viento,
humedad (por ejemplo) respecto a la altitud.
Figura 2.3 Una imagen fotográfica
2.1.1 Señales continuas y señales discretas
Existen dos tipos básicos de señales: Señales de tiempo continuo y señales de
tiempo discreto.En una señal continua o señal de tiempo continuo x(t), la variable
independiente (tiempo) es una variable continua y por ello estas señales están
definidas para cualquier par de instantes de tiempo y para cualquier instante
comprendido entre este par. Para este tipo de señales usaremos t para denotar a la
variable independiente de tiempo continuo. La figura 2.2 es un ejemplo de señales de
tiempo continuo.
Especies
80
60
40
20
0
0 5 10 15 20 25 30 35
Número de individuos por especie
Figura 2.4 Señal que representa la relación especie-abundancia de una comunidad
ecológica (Adaptada de E.C. Pielou, An introduction to Mathematical Ecology, N. Y. 1969)
Por otro lado, una señal discreta o señal de tiempo discreto x(k) solamente
está definida en ciertos instantes discretos de tiempo, de manera que entre cada
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7. instante y el siguiente no está definida dicha señal. Una señal de tiempo discreto
también se puede por lo tanto representar como una lista o secuencia de valores
{x(1), x(2), x(3),...}. En este tipo de señales usaremos k para denotar la variable
independiente. Son ejemplos típicos de una señal de tiempo discreto: el índice
Dow-Jones semanal del mercado de valores, el censo de población anual, el índice de
desempleo, o bien (ver figura 2.4), la relación especie-abundancia de una comunidad
ecológica.
2.2 Sistemas.
Un sistema se puede ver como cualquier proceso que produce una
transformación de señales. Todo sistema debe tener al menos una entrada x y una
salida y, la señal de salida está relacionada con la entrada mediante una relación de
transformación y = f(x). De manera similar a como lo hicimos con las señales, los
sistemas pueden ser sistemas de tiempo continuo si transforman señales de
entrada de tiempo continuo, en señales de salida de tiempo continuo y serán llamados
sistemas de tiempo discreto si transforman señales de entrada de tiempo discreto en
señales de salida de tiempo discreto.
2.2.1. Interconexión de sistemas.
Los diagramas de bloques (ver figura 2.1) nos permiten representar las
operaciones básicas entre sistemas, esto es, su interconexión, la cual puede ser de
tres tipos: interconexión en serie o cascada, en paralelo y de retroalimentación, estos
tipos de interconexión son mostrados en la figura 2.5
x y1 y2 = f2(y1)
A) f1(x) f2(y1)
y1
f1(x)
x +
B) y1+y2
+
y2
f2(x)
x + z y
C) f1(z) y=f1(z)
-
f2(y)
Figura 2.5 Interconexión de sistemas. A) Cascada. B) paralelo. C) Retroalimentación
2.2.2 Propiedades de los sistemas.
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8. A continuación se describen algunas de las propiedades más importantes de los
sistemas. Estas propiedades tienen interpretaciones tanto físicas como matemáticas y
son propiedades muy generales, es decir no atienden a la naturaleza física del sistema
en sí, el cual puede ser eléctrico, químico, mecánico, etc. sino más bien al tipo de
transformación que realiza el sistema sobre las señales de entrada:
2.2.3 Sistemas con y sin memoria
Us sistema se dice sin memoria si su salida en un instante dado depende de su
entrada solamente en ese instante, (un sistema de este tipo en ocasiones es llamado
sistema estático). Por ejemplo, un circuito que contiene una resistencia R alimentada
con una fuente de voltaje x(t) responderá con una corriente y(t) de acuerdo a la ley de
Ohm, y(t) = x(t) / R.
Un sistema cuya salida puede depender de entradas en instantes anteriores al
actual se denomina sistema con memoria. Este tipo de sistemas también suele
llamarse sistema dinámico. El ejemplo más sencillo de un sistema con memoria es el
sistema retardo unitario que produce la salida y(k) como una copia de la entrada x(k)
en el instante anterior al actual, es decir y(k) = x(k-1), este sistema suele representarse
por el operador retardo q-1 de la siguiente manera
y(k) = q-1 x(k) = x(k-1)
Un segundo ejemplo es el algoritmo computacional que se encarga de acumular en
una sumatoria todos los valores de la entrada x(k) desde que empezó a contar el
tiempo hasta el instante actual
k
y(k) = S x(k − j)
j =0
Es fácil ver que este algoritmo puede ser visto como la implementación de la ecuación
de diferencias y(k) = y(k) +y(k-1), con la condición inicial y(0) = 0.
Un ejemplo de un sistema analógico con memoria es un simple capacitor C
alimentado por una fuente de corriente x(t), el cual producirá un voltaje en sus
terminales y(t) dado por
t
y(t) = ° x(t)dt
1
C
0
el cual nuevamente puede verse como la implementación de la ecuación diferencial
dy(t) /dt = x(t) /C con la condición inicial y(0) =0.
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9. 2.2.4 Causalidad.
Un sistema es causal si su salida en cualquier instante depende sólo de los
valores de la entrada en el instante actual o en instantes anteriores. A este tipo de
sistemas también se le llama no anticipativo, ya que la salida del sistema no anticipa
valores futuros de la entrada. Una consecuencia fundamental de que un sistema sea
causal es el hecho de que si dos entradas a un sistema causal son idénticas desde las
condiciones iniciales hasta un instante to las salidas correspondientes también serán
iguales hasta ese mismo instante.
Un automóvil es un sistema causal, ya que no puede anticipar acciones futuras
del conductor, de hecho todos los sistemas físicos que evolucionan con el tiempo son
causales, ya que no pueden anticipar acciones de la entrada antes de que esta ocurra.
Sin embargo, cuando los valores de la evolución de un sistema se tienen
almacenados, como suele ocurrir en señales de voz, señales meteorológicas,
indicadores económicos, etc. de ninguna manera se está obligado a procesar estos
datos en forma causal (es decir, en el orden estricto en que fueron ocurriendo) ya que
se tiene la información de todos los instantes de interés en un intervalo dado.
Otro tipo de sistemas que normalmente no son causales son los sistemas en
que la variable independiente no es el tiempo, tales como las imágenes, así, el
procesamiento de ellas no tiene porque ser causal.
2.2.5. Estabilidad.
Intuitivamente, un sistema estable es aquel en que entradas pequeñas
producen salidas que no divergen, es decir, salidas acotadas. Una de las mejores
maneras de ilustrar la diferencia entre sistemas estables e inestables es considerando
la figura 2.6. En dicha figura se muestra una pelota descansando sobre dos tipos
diferentes de terreno. Si se considera que la entrada es un pequeño empujón (fuerza
impulsiva) horizontal y la salida es la posición vertical de la pelota se puede intuir
fácilmente que la figura 2.6(a) es un sistema inestable, mientras que 2.6(b) es estable.
Impulso
Impulso
(a) (b)
Figura 2.6 a) Sistema inestable. b) sistema estable
Aunque el párrafo precedente presenta una idea intuitiva de la estabilidad, una
idea más formal de estabilidad es muy similar, de hecho una de las maneras formales
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10. de definir estabilidad, es la estabilidad entrada acotada - salida acotada o
estabilidad en el sentido B.I.B.O. (Bounded Input - Bounded Output) que nos define un
sistema estable como aquel sistema cuya salida esta acotada siempre y cuando su
entrada esté acotada. La manera de definir el acotamiento de una señal depende del
tipo de análisis que se quiera realizar, de esta manera, se puede usar el concepto de
norma para introducir diferentes tipos de cotas. Algunos ejemplos de normas útiles
para señales discretas, son las llamadas normas lp. Dada una señal discreta x(k), la
norma lp de x se denota llxllp y se define como
º 1/p
Èx(k) È p = S x(k) p
k=−º
2.2.6. Invariancia en el tiempo.
Un sistema se dice invariante en el tiempo si un retardo en la señal de entrada
produce una señal de salida retardada en la misma cantidad de tiempo, es decir, si
y(k) es la salida correspondiente a la entrada x(k) en un sistema invariante en el
tiempo, la entrada x(k-ko) producirá la salida y(k-ko).
Así, por ejemplo, el sistema dado por la ecuación y(k) = sen[x(k)] es invariante
en el tiempo, mientras que el sistema y(k) = kx(k) es variante en el tiempo para
verificarlo calcule la salida para x1(k) = x(k-xo) y compare con y(k-ko).
Cuando un sistema invariante en el tiempo se describe por ecuaciones
diferenciales, o de diferencias, se obtienen coeficientes constantes, en dichos
coeficientes, normalmente aparecen los parámetros físicos del sistema, tales como
resistencias, capacitancias, masas, coeficientes caloríficos, etc.
2.2.7. Linealidad.
Un sistema lineal es aquel que posee la propiedad de superposición. Dicha
propiedad se refiere a que si una entrada es la combinación lineal (suma ponderada)
de varias señales, entonces la salida correspondiente es la combinación lineal de las
salidas correspondientes a cada una de dichas entradas. Es decir, si y1(k) es la salida
de un sistema lineal cuando la entrada es x1(k) y y2(k) es la salida correspondiente a
la entrada x2(k) entonces la salida correspondiente a la combinación lineal
ax1(k)+bx2(k) será ay1(k)+by2(k), donde a, b son constantes complejas cualesquiera.
* Observación. El sistema definido como y(k) = ax(k) + b, donde a, b son
constantes NO es un sistema lineal, sin embargo, se dice que es un sistema
incrementalmente lineal o afín, ya que los incrementos de la salida responden de
manera lineal a incrementos de la entrada, en efecto, es fácil ver que si y1(k) = y(k)
-y(ko) y x1(k) = x(k)- x(ko)y1(k) = ax1(k), el cual es un sistema lineal.
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11. El enfoque principal de este curso es sobre los sistemas discretos que poseen estas
dos últimas propiedades, es decir, los sistemas discretos lineales e invariantes en
el tiempo, o simplemente SLIT, por sus iniciales.
2.3. Discretización de señales continuas
Una señal de tiempo discreto x(k) puede representar un fenómeno para el cual
la variable independiente es inherentemente discreta. Señales tales como las
relaciones especie-abundancia, o los datos demográficos o indicadores económicos ya
mencionados son ejemplos típicos de estas señales. Por otro lado, una señal de
tiempo discreto puede representar muestras de un fenómeno para el cual la variable
independiente es en realidad continua.
Por ejemplo, el procesamiento de voz por computadora digital requiere
representar la señal continua de voz por una secuencia discreta de valores que pueda
ser procesado por un algoritmo de computadora, tal es el caso también de todas las
aplicaciones de control de procesos continuos mediante computadora digital.
2.3.1 El proceso de muestreo.
El proceso a través del cual una señal continua x(t) es transformada en una
señal discreta "equivalente" x(k) consiste simplemente en la toma de muestras de la
señal continua en instantes discretos de tiempo k denominados instantes de
muestreo k = {...,-1,0,1,2,3,...}.
El proceso de muestreo se muestra en la figura 2.7. Para realizar dicho proceso
es necesaria una señal adicional que marque el ritmo de la toma de muestras,
idealmente dicha señal p(t) es un tren de impulsos con una frecuencia fs= 1/Ts
denominada frecuencia de muestreo (en hertz). También es usual considerar dicha
frecuencia en radianes/seg p s = 2o/T s . El muestreo puede ser uniforme (Ts constante)
o no uniforme (Ts variable). a Ts se le llama también el periodo de muestreo.
Un sistema muestreador consiste simplemente en un switch que se cierra en el
momento marcado por el tren de impulsos y en todos los demás instantes permanece
abierto. En una computadora digital este proceso tiene lugar en un módulo de
adquisición de datos, o convertidor analógico-digital dado que este proceso de
conversión consume un tiempo significativo, cada muestra de la señal continua deberá
ser "congelada" mientras dura su conversión, este congelamiento se denomina
retención. En la figura 2.8 se muestra un sistema típico muestreador/retenedor.
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12. x(t)
Señal analógica
a) t
p(t) impulsos de muestreo
b)
k
Ts
x(k)
señal discretizada
c)
k
x'(t) señal reconstruida
d)
t
Figura 2.7 El proceso de muestreo
2.3.2 Modelado del proceso de muestreo.
No entraremos en detalle sobre el modelado matemático del proceso de
muestreo y sus consecuencias, sin embargo, de la figura 2.6 puede verse que la señal
continua x(t) actúa como un modulador de amplitud del tren de pulsos p(k), de manera
que la señal muestreada x(k) (figura 2.6(c))es un tren de pulsos de amplitud variable
"controlada" por la amplitud de la señal continua x(t) en los instantes de muestreo
t=kTs. Así, un muestreador puede modelarse simplemente como un modulador de
amplitud de pulso (PAM), o bien, x(k) = p(k) x(t), donde
º
p(k) = S d(k − j)
j=−º
 1 para k = 0
y donde d(k) =  es el impulso unitario discreto.
 0 para k ! 0
Partiendo de este modelo y considerando el contenido de "información"
presente en la señal continua original x(t), así como en su versión discretizada x(k)
Claude Shannon obtuvo el siguiente resultado fundamental de la teoría del muestreo
conocido como en Teorema fundamental del muestreo.
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13. x(t) x(k) - x'(k)
+
p(t)
Muestreador Retenedor
Figura 2.8 Un muestreador/retenedor típico
2.3.3 El teorema fundamental del muestreo
No es difícil intuir al observar el proceso de muestreo que al discretizar una
señal de tiempo continuo se pierde algo de información en el proceso, es decir la
"información" contenida en x(k) no es la misma que la de la señal original x(t), sin
embargo, también es fácil intuir que x(k) aún contiene algo de la información de x(t).
De aquí surge en forma natural la pregunta ¿Es posible recuperar toda la información
de la señal original x(t) apartir de su versión discretizada x(k)?. El Teorema del
muestreo de Shannon da una respuesta a una pregunta aún más específica: ¿Cuándo
y cómo es posible recuperar dicha información y cuándo no lo es?.
La idea intuitiva subyascente en el teorema de Shannon es que entre mas
rápido se realice el muestreo (mayor número de muestras tomadas) mejor representará
x(k) a la señal original x(t), de manera que la condición para poder recuperar la
información original deberá depender de la frecuencia de muestreo. Para ilustrar esto,
obsérvese la figura 2.9, en la cual se está muestreando una onda senoidal a razón de
dos muestras por periodo, es decir, al doble de la frecuencia de la señal original
x(t) = sen(2 pi t)
t
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4 t
Figura 2.9 Senoidal continua muestreada al doble de su frecuencia
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