Dsp7

Procesamiento Digital de Señal

Tema 2 : Análisis de Señal e Introducción a los Sistemas
• Definición de señal y sistema
• Señales continuas y discretas
• Transformaciones elementales
• Funciones elementales continuas y discretas
• Definición de sistemas y propiedades

Francisco.Gomez@ii.uam.es

Señales

• Definición de Señal
– Las señales son patrones de variación que representan
información codificada.
– Una señal se define como una magnitud física que varía con el
tiempo el espacio o cualquier otra variable independiente y
permite transmitir información.
Ejemplos:
– El sonido es una función de una variable, el tiempo, para cada
instante de tiempo (variable independiente) existe un valor
único de la función (variable dependiente).
– Una imagen es un función de dos variables (x,y), o si está en
movimiento de tres variables(x,y,t) que toma un valor que
codifica el color RGB del punto en cada instante.


1

Señales

• Señales continuas y discretas.
– Analógicas, x(t) : Amplitud y Tiempo continuos.
– Muestreadas, xs[n] : Tiempo Discreto, Amplitud continua.
– Cuantizada, xQ(t) : Tiempo Continuo, Amplitud discreta.
– Digital, xQ[n] : Tiempo y Amplitud discretos.

t t

t t


Señales
Definición de Energía y Potencia de una señal:
∞
– Energía de una señal :
E x = ∫ x ( t ) dt
2

−∞
– Potencia de una señal :
1
∫ x(t )
2
Px = lim dt
T0 →∞ T0 T0

Clasificacion en función de su energía y potencia
– Una señal se dice que es de energía si Ex es finito, lo que
implica que Px es 0. Ej. Pulsos limitados en el tiempo.
– Una señal se dice que es de potencia si Px es finito, lo que
implica que Ex es infinito. Ej. Una señal periódica.


2

Señales

Propiedades de las señales para su clasificación
– Continuas: Se definen para todo tiempo t.

– Periódicas: Aquellas que verifican xp(t) = xp(t±nT),
donde T es el periodo y n es un entero.
– Causales: Son 0 para t<0.
Se definen sólo para el eje positivo de t.
– Anticausales: Son 0 para t>0.
Se definen sólo para el eje negativo de t.
– No causales: Se definen para todo el eje de t.


Señales

Clasificación de señales basadas en simetrías:
– Simetría Par: x(t) = x(-t)
– Simetría Impar: x(t) = -x(-t)

Ejercicio: Se pide demostrar que una señal no simétrica
puede siempre expresarse como la suma de una función
par fp(t) y una función impar fi(t) .


3

Señales

Transformaciones elementales:
Desplazamiento en el tiempo:
– Señal adelantada y retrasada en el tiempo
• x(t-t0), desplazamiento a la derecha. (Retrasada)
• x(t+t0), desplazamiento a la izquierda. (Adelantada)
Reflexión:
– Inversión en el tiempo de x(t) = x(-t)
Cambios lineales de escala en la variable independiente:
– Compresión en el tiempo de x(t) = x(2t)
– Dilatación en el tiempo de x(t) = x(t/2)


Señales

• Ejemplos de Transformaciones elementales:
Sea
s ( t ) = t , para 0 ≤ t ≤ 1
s ( t ) = 1 2 ( 3 − t ), para 1 ≤ t ≤ 3
s ( t ) = 0 , para el resto

El desplazamiento en el tiempo y(t) = s (t-2) es:

y ( t ) = t − 2 , para 2 ≤ t ≤ 3
y ( t ) = 1 2 ( 5 − t ), para 3 ≤ t ≤ 5
y ( t ) = 0 , para el resto


4

Señales

Funciones elementales(continuo) : Funciones elementales(discreto) :

– Escalón unidad : u(t) – Escalón unidad : u(t)
u (t ) = 0 , t 〈 0 u [ n ] = 0 , para n 〈 0
u ( t ) = 1, t 〉 0 u [ n ] = 1, para n ≥ 0

– Impulso δ(t) o función delta de – Impulso unitaro δ[n] o delta de
Dirac Kronecker
δ (t ) = 0 , t ≠ 0
∞
δ [ n ] = 0 , para n ≠ 0
∫ δ (τ ) d τ =1 δ [ n ] = 1, para n = 0
−∞


Señales

Otras Funciones elementales:
– Escalón unidad : u(t)
– Rampa : r(t)=t u(t)
– Pulso : u(t+1/2)-u(t-1/2)
– Triangular : tri(t)=r(t+1)-2r(t)+r(t-1)

– Seno Cardinal , Senc :

sen (π t )
senc ( t ) =
πt


5

Señales

Función delta de Dirac Función triangular unidad Función rampa unidad
2
1 1

0.8 0.8 1.5

0.6 0.6 1
0.4 0.4
0.5
0.2 0.2
0 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0 0
0.5 1 1.5 2 -2 -1 0 1 2 -2 0 2
Tiempo (t) Tiempo (t) Tiempo (t)
Función pulso unidad Función escalón unidad Función Sinc
1 1 1
0.8
0.8 0.8
0.6
0.6 0.6 0.4
0.4 0.4 0.2
0.2 0.2 0

0 -0.2
0
-2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 -5 0 5
Tiempo (t) Tiempo (t) Tiempo (t)


Señales

Propiedades de interés entre las funciones elementales:

d u (t )
δ (t ) = δ [ n ] = u [ n ] − u [ n − 1]
dt
∑
∞
t
u[ n ] = δ [n − k ]
u (t ) = ∫
− ∞
δ (τ ) d τ k =0

1
δ [α ( t − β )] = ⋅ δ (t − β ) x[ n ]δ [ n ] = x[ 0 ]δ [ n ]
α
x ( t ) ⋅ δ ( t − α ) = x (α ) ⋅ δ ( t − α ) x[ n ]δ [ n − n0 ] = x[ n0 ]δ [ n − n0 ] = x[ n0 ]
∞

∫ x ( t ) ⋅ δ ( t − α ) ⋅ dt
−∞
= x (α )


6

Procesamiento Digital de Señal

Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo
• Sistemas LTI. Principio de Superposición
• Respuesta al impulso de un sistema LTI
• Concepto y definición convolución
• Representación de sistemas en tiempo discreto.


Sistemas

• Un sistema físico es un conjunto de dispositivos conectados entre
sí, cuyo funcionamiento está sujeto a leyes físicas.
– Desde nuestro punto de vista, es todo aquello que realiza un
proceso sobre una señal ≡ un procesador de señal.
La representación de un sistema en tiempo continuo se realiza normalmente a
través de ecuaciones diferenciales. Se relacionan la salida y(t) y la entrada x(t)
mediante constantes, parámetros y variables independientes (tiempo):

d n y(t ) d n −1 y (t ) dy (t ) d m x(t ) dx (t )
a0 n
+ a1 n −1
+ ... + an −1 + an y (t ) = b0 m
+ ... + bm −1 + bm x(t )
dt dt dt dt dt
La representación de un sistema en tiempo discreto se realiza por su ecuación en
diferencias o por su diagrama de bloques.
N −1 M −1
y[n] = −∑ ak • y[n − k ] + ∑ bk • x[m − k ]
k =1 k =0


7

Sistemas

• La señal o señales a ser procesadas forman la excitación o
entrada x del sistema.
• La señal procesada es la respuesta o salida y del sistema.
Dominios de interés:
– El análisis de sistemas implica el estudio de la respuesta del
sistema a entradas conocidas.
– La síntesis de sistemas se realiza especificando las salidas que
deseamos para una entradas dadas y estudiando que sistema
es el más adecuado (Identificación de sistemas).


Sistemas
x(t) y(t) x: entrada del sistema
y: salida del sistema
x[n] y[n] t ó n ; variable independiente

• Clasificación de los sistemas:
– Lineales: Los coeficientes no dependen de x ó y. No hay
términos constantes.
– No lineales: Los coeficientes dependen de x ó y. Hay
términos constantes.
– Invariantes en el tiempo: Los coeficientes no dependen de t.
– Variantes en el tiempo: Los coeficientes son funciones
explícitas de t.


8

Sistemas

• Propiedades que definen los sistemas:
– Continuos.
– Discretos
– Lineales
– Invariantes en el tiempo
– Con Memoria.
– Invertibles
– Causales
– Estables e Inestables


Sistemas Lineales

Definición de sistema Lineal
– Sea y1(t) la respuesta de un sistema a una entrada x1(t), y sea y2(t)
la salida correspondiente a la entrada x2(t). Entonces el sistema es
lineal si :

1. La respuesta a x1(t)+ x2(t) es y1(t)+ y2(t)
PROPIEDAD de ADITIVIDAD
2. La respuesta a kx1(t) es ky1(t) donde k es una constante compleja
cualquiera
PROPIEDAD de ESCALAMIENTO u HOMOGENIEDAD


9

Principio de Superposición
Un sistemas lineal satisface el principio de superposición:
– Si al aplicar individualmente, como entradas al sistema, las señales x1(t), x2(t), ...
,xn(t))
– obtenemos como salida del sistema las señales y1(t), y2(t), ...,yn(t)).

x1(t) y1(t)
x2(t) y2(t)

x3(t) y3(t)

– La respuesta del sistema a una señal de entrada x(t) formada por la combinación
lineal de dos o más señales
x(t) = ax1(t)+b x2(t) +...+ kxn(t)
es igual a la combinación lineal de la suma de las respuestas del sistema a cada
una de las señales
y(t) = ay1(t)+ by2(t) +...+ kyn(t) x(t) y(t)


Sistemas Invariantes en el tiempo

Se dice que un sistema es invariante en el tiempo cuando su
comportamiento y sus características permanecen fijos en el tiempo
– La respuesta y(t) depende sólo de la entrada x(t) y no de en que
tiempo se aplica al sistema .

Si T{x(t)} = y(t), entonces T{x(t- t)} = y(t- t ), donde T{ } representa el sistema. Por
tanto, conocida y(t) si el sistema es invariante la salida a x(t- t ) se pueda calcular
a partir de un desplazamiento temporal.

x(t) y(t) x(t-t)
y(t- t)

y(t- t)
(t- t)


10

Sistemas LTI

• Muchos sistemas continuos de interés son del tipo lineal
invariante en el tiempo (LTI).
– La respuesta al impulso de un sistema se representa por h(t) y
corresponde a la salida de un sistema LTI cuando la entrada es la
señal impulso unidad d( t).
δ(t) h(t)

– A partir de la respuesta al impulso se puede estudiar la respuesta a
cualquier tipo de entrada. Para ello basta con conseguir expresar la
entrada x(t) en función del impulso unidad
– Por esta razón h(t) también se denomina función de transferencia del
sistema.


Concepto y Definición de Convolución

Mediante la convolución calcularemos la respuesta de un sistema
(y(t)) a una entrada arbitraria (x(t)).
• Dos condiciones para realizar la convolución:

– Sistema LTI.
– Se conoce que la respuesta al impulso del sistema es h(t).
• Basándonos en el principio de superposición y en que el sistema
es invariante en el tiempo:
Si T {δ (t )} = h(t ) → T {K ⋅ δ (t − t0 )} = K ⋅ h(t − t0 )
• Una señal arbitraria de entrada x(t) puede expresarse como un
tren infinito de impulsos.


11

Definición de Convolución

Una señal arbitraria de entrada x(t) puede expresarse como un
tren infinito de impulsos.
∞ t=0
Se define la función δ (t ) = 
impulso d(t) como: 0 t≠0

y su versión desplazada ∞ t = t0
δ (t − t 0 ) = 
0 t ≠ t0
con las siguientes ∞
propiedades:
∫ δ (τ )dτ = 1
−∞
∞

∫ x(τ )δ (t − τ )dτ = x(t )
−∞

Concepto y Definición de Convolución

La última propiedad permite la descomposición de una entrada
arbitraria x(t) como una suma de impulsos mediante la formula:
∞
x(t ) = ∫ x(τ )δ (t − τ )dτ
−∞

Aplicando el principio de superposición al ser un sistema LTI:
∞  ∞ ∞
y(t) = T{x(t )} = T ∫ x(λ) ⋅δ (t − λ) ⋅ dλ = ∫ x(λ) ⋅T{δ (t − λ)}⋅ dλ = ∫ x(λ) ⋅ h(t − λ) ⋅ dλ = x(t ) ∗h(t )
−∞  −∞ −∞

Mediante convolución se consigue determinar la respuesta del sistema a
una señal de entrada a partir de la respuesta del sistema al impulso.


12

Propiedades de la Convolución

• Supóngase que x(t)*h(t)=y(t)) entonces:
[ x1 ( t ) + x 2 ( t ) ] ∗ h ( t ) = y 1 ( t ) + y 2 ( t )
[K 1 x1 ( t ) + K 2 x 2 ( t ) ]∗ h ( t ) = K 1 y1 ( t ) + K 2 y 2 ( t )
x (t ) ∗ h (t − α ) = y (t − α )
x (t − α ) ∗ h (t − β ) = y (t − α − β )
δ (t ) ∗ h (t ) = h (t ) d(t) h(t)
x ( t ) ∗ h ′( t ) = x ′ ( t ) ∗ h ( t ) = y ′( t )
x ′( t ) ∗ h ′( t ) = y ′′( t )
x m (t ) ∗ h n (t ) = y m + n (t ) x(t) y(t)
1
x (α t ) ∗ h (α t ) = y (α t )
α
y(t)= x(t)*h(t)


Interpretación Gráfica de la Convolución
Enlace original: http://www.jhu.edu/~signals/convolve/index.html


13

Convolución Discreta

La convolución discreta se define en base a la respuesta de un
sistema LTI a cualquier entrada
∞
y[n] = x[n]∗ h[n] = ∑ x [k ]h [n − k ]
s s
k = −∞

– Este resultado se conoce como la suma de convolución y la operación del
miembro derecho define la convolución de las secuencias x[n] y h[n]
• Propiedades sobre la duración de la convolución discreta.
– El índice del comienzo de la convolución es la suma de los índices de comienzo de
las respectivas señales. Si las dos señales comienzan en n=n0 y n=n1, la convolución
comienza en n=n0+n1.
– Para dos secuencias de duración M y N, su convolución se extiende durante M+N-1
muestreos.



Propiedades de la convolución discreta (x[n]*h[n]=y[n])
∞
y [n ] = ∑ x [k ]h [n − k ]
k = −∞

[Ax 1 + Bx 2 ]∗ h = y 1 + y 2
x [n ]∗ h [n − α ] = x [n − α ]∗ h [n ] = y [n − α ]
x [n − α ]∗ h [n − β ] = y [n − α − β ]

δ [n ]∗ h[n ] = h[n ]
h[n ] = δ [n ]∗ h[n ] = {u [n ] − u [n − 1]}∗ h[n ] = yu [n ] − yu [n − 1]
∞
u [n ]∗ x[n ] = ∑ x[k ]
k = −∞

{x[n ] − x[n − 1]}∗ h[n ] = y[n ] − y[n − 1]


14


Métodos para calcular la convolución a partir de dos secuencias
• Método de la tira deslizante
• Método de las Suma por Columnas
• Método de la malla.
x[n]
3 1 2 -1
3 1 2 -1 1
6 2 4 -2 2 h[n]
9 3 6 -3 3
y[n] 3 7 13 6 4 -3
n= 0 1 2 3 4 5

y[n]={3,7,13,6,4,-3,0,…}, n=0,1,2,...,5


Interpretación Gráfica de la Convolución
Enlace original: http://www.jhu.edu/~signals/discreteconv/index.html


15

Correlación

Correlación: Es una operación similar a la convolución, con la diferencia de
que en la correlación no se reflejar una de las señales:
∞

CONTINUO Rxy(t) = x(t) ∗∗y(t) = ∫ x(λ) y(λ −t)dλ = x(t) ∗ y(−t)
−∞
∞
DISCRETO R xy [n ] = ∑ x[k ]y [k − n ] para n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, L
k = −∞
– La correlación nos da una medida de la similitud entre dos señales.
– No existe la propiedad conmutativa por lo que dadas dos señales x(t) e
y(t) se definen dos correlaciones:
∞ ∞
R xy ( t ) = x ( t ) ∗ ∗ y ( t ) = ∫ x (τ ) y (τ − t)dτ R xy [n ] = ∑ x[k ]y [k − n ]
−∞ k = −∞
∞ ∞
R yx ( t ) = y ( t ) ∗ ∗ x ( t ) = ∫ y (τ ) x (τ − t)dτ R yx [n ] = ∑ y [k ]x[k − n ]
−∞
k = −∞
que sólo coinciden en t=0 : Rxy(0)= Ryx(0)

Autocorrelación

La correlación de una señal consigo misma se denomina autocorrelación:
∞
CONTINUO Rxx (t ) = x(t ) ∗ ∗x(t ) = ∫ x(λ ) x(λ − t )dλ
−∞

∞
DISCRETO R xx [n ] = ∑ x[k ]x[k − n ] para n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, L
k = −∞

La autocorrelación representa la similitud entre una señal y su
desplazada.
El máximo de autocorrelación se obtiene cuando no hay desplazamiento
(t=0).
La autocorrelación es simétrica con respecto al origen, ya que
Rxx(t)=Rxx(-t).


16

Sistemas Digitales

Una señal discreta se puede descomponer en
Sistema discreto función de δ[n] ∞
x [n ] = ∑ x [k ]δ [n − k ]
k = −∞
x[n] y[n]
T Si el sistema esta caracterizado por la respuesta
h[n] y es LTI
h [n ] = T {δ [ n ]}
h [n − k ] = T {δ [ n − k ]}
Sistema Lineal e Entonces:
Invariante en el Tiempo ∞

x[n] y [n ] = T { x[ n ]} = T { ∑ x [k ]δ [n − k ]}
y[n] k = −∞
h[n] ∞ lineal
y [n ] = ∑ x[k ] T {δ [n − k ]}
k = −∞
∞ invariante
y [n ] = ∑ x[k ] h[n − k ]
k = −∞


Sistemas Discretos LTI

El sistema se caracteriza por la respuesta al
impulso h[n]
Sistema discreto h [n ] = T {δ [ n ]}
x[n] y[n] Características
T Causal h [n ] = 0 , n<0
Estable ∑ h[n ] < ∞
Sistema Lineal e La salida depende de x[n] y h[n]
Invariante en el Tiempo y[n] es la convolucion de x[n] con h[n]
x[n] y[n]
Ecuación de convolución
h[n]
∞
y [n ] = x[ n ] * h[ n ] = ∑ x[k ] h[n − k ]
k = −∞


17

Sistemas Discretos

La mayor parte de los sistemas digitales de interés son LTI

Las señales de entrada vienen dadas por secuencias y la operación
que realiza el sistemas es una ecuación del tipo

y [n ] + A1 y [n − 1] + A 2 y [n − 2 ] + L + A N y [n − N ]
= B 0 x [n ] + B1 x [n − 1] + L + B M x [n − M ]

que se denomina ecuación en diferencia.
Es fácil comprobar que este tipo de sistema satisface
– Linealidad
– Invariancia en el tiempo


Sistemas Discretos

Clasificación de sistemas digitales
Por la respuesta del sistema h[n]
Sistemas FIR: caracterizado por tener una respuesta al
impulso finita
Sistemas IIR: con respuesta al impulso infinita

En cuanto a su realización
Sistemas No Recursivos
Sistemas Recursivos
Sistemas Realizables


18

Sistemas Digitales
Sistemas caracterizados por ecuaciones en diferencias finitas
Sistema de interés práctico


Sistemas Digitales
Sistemas de interés Práctico: IMPLEMENTACION


19

Sistemas Digitales
Ejemplo: sistema de orden 2


Sistemas Digitales

Sistemas caracterizados por ecuaciones en diferencias
Función de transferencia H(z)
Relacion entre la salida y la entrada del sistema H(z) = y[n]/x[n]

Para obtener una expresión de H(z) se tiene en cuenta que almacenar un
dato significa retrasar su uso un tiempo igual al periodo de muestreo. Este
retraso se representa mediante z-1 (retraso de una unidad),y así z-2 (dos
unidades, etc).
Ejemplo: y[n] –y[n-1] = b x[n]+b x[n-1]
0 1

y[n] – z-1 y[n] = b0x[n]+b1 z-1 x[n]
(1 – z-1 )y[n] = (b0+b1 z-1 )x[n]

y[n]/x[n]=H(z)= (b0+b1 z-1 )/ (1 – z-1 )


20

Realización de Sistemas Digitales

• Para realizar estos sistemas digitales se debe partir de un
diagrama con las operaciones a realizar:
– Software :diagrama de flujo

– Hardware: diagrama de bloques, que especifica los elementos
del circuito y sus interconexiones.

• Una correcta elección del diagrama de bloques puede optimizar
significativamente las prestaciones de la realización (tiempo de
computación, memoria necesaria, minimizar los efectos de
cuantización, etc).


• Propiedades de los diagramas de bloques
– Conexiones en cascada: La función de Transferencia global
de una conexión en cascada es el producto de las funciones de
Transferencia individuales.
– Conexiones en paralelo: La función de Transferencia global
de una conexión en paralelo es la suma de las funciones de
Transferencia individuales.
– Conexión en realimentación: La salida se realimenta en la
entrada directamente o a través de otros subsistema. La
función de Transferencia global viene dada por la relación
G( z )
HT (z) =
1 + G( z ) H ( z )


21


H1 H2 H1 H2

Conexión de dos sistemas en Cascada

+
H1 Σ
+
H1+H2

H2

Conexión en paralelo de dos sistemas

+
Σ G
- G
1+GH

H

Un sistema sencillo con realimentación


• Sistemas FIR (MA:Medium Average): Son sistemas no recursivos cuya
función de Transferencia HMA(z) y su correspondiente ecuación diferencia y[n]
son de la forma,
H MA ( z ) = B0 + B1 z −1 +L+ BM z − M y[n ] = B0 x[n ] + B1 x[n − 1]+L+ BM x[n − M ]

puede realizarse utilizando el diagrama de la figura
x[n] B0 +
Σ y[n]
+

z-1

B1 +
Σ
+

z-1

B2 +
Σ
+

z-1

BM


22

• Sistemas Autoregresivos (AR): Son sistemas recursivos cuya función de
Transferencia HAR(z) y su correspondiente ecuación diferencia y[n] son de la
forma,
1
H AR ( z ) = −1 −N
y[n ] = − A1 y[ n − 1]−L− AN y[n − N ] + x[n ]
1 + A1 z +L+ AN z

puede realizarse utilizando el diagrama de la figura,
x[n] +
Σ y[n]
+
z-1

Σ + -A1
+
z-1

Σ + -A2
+

z-1

-AN


• Sistemas ARMA( AutoRegresivo y Medium Average) : Son la combinación de los dos
anteriores. Su función de Transferencia y ecuación diferencia son,
B0 + B1 z −1 +L+ BM z − M
H(z) = = H AR ( z ) H MA ( z )
1 + A1 z −1 +L+ AN z − N
y[n ] = − A1 y[ n − 1]−L− AN y[ n − N ] + B0 x[ n]+L+ BM x[n − M ]
El diagrama puede hacerse de varias formas,
x[n] B0 +
Σ +
Σ y[n]
+ +
z-1 z-1

B1 +
Σ Σ + -A1
+ +
z-1 z-1
Directa I
B2 +
Σ Σ + -A2
+ +

z-1 z-1

BM -AN

HMA(z)·HAR(z)

23

x[n] +
Σ B0 +
Σ y[n]
+ +

z-1 z-1

Σ + -A1 B1 +
Σ
+ +

z-1 z-1

Σ + -A2 B2 +
Σ
+ +

z-1 z-1

-AN BM

HAR(z)·HMA(z)
• Esta dos formas son idénticas. Se denominan forma directa I. Requieren el
uso de (N+M) elementos de memoria, (N+M) sumadores y (N+M+1)
multiplicadores.
• Esta última forma sugiere la eliminación M elementos de memoria, ya que
están repetidos. El diagrama resultante se denomina forma directa II.


x[n] +
Σ B0 +
Σ y[n]
+ +

z-1

Σ + -A1 B1 +
Σ
+ +

z-1

Σ + -A2 B2 Σ Forma Directa II
+
+ +

z-1

Σ -AM BM

z-1

-AN

• De la forma directa II pasamos a la forma transpuesta o canónica. Consiste en
sustituir los nodos por sumas, las sumas por nodos, invertir el sentido de las
flechas y finalmente intercambiar los coeficientes y x[n] e y[n].
• Demostración ver: Crochiere y Oppenheim (1975)


24

x[n] B0 + Σ y[n]
+

z-1

B1 + Σ -A1
+
+

z-1

B2 Σ -A2
+
+
+ Forma Transpuesta o
Canónica
z-1

BM + Σ -AM
+
+

z-1

-AN

• Esta forma da lugar a una realización con N elementos de memoria,
(N+M+1) multiplicadores y N sumadores.


Referencias

WEB
Curso Tratamiento digital de señal por Andoni Irizar Picón
http://www1.ceit.es/asignaturas/tratamiento%20digital/tds5.html

Apuntes en WEB : Digital Signal Processing and Spectral Analysis by
Abdhelhak Zoubir
http://www.ece.curtin.edu.au/~dsp304/docs/notes/manuscript.pdf
Introduction to Digital Filters by Julius O. Smith III
http://www-ccrma.stanford.edu/~jos/filters/
FUNDAMENTALS OF SIGNALS AND SYSTEMSUSING THE WEB
AND MATLAB SECOND EDITION, EDWARD W. KAMEN AND
BONNIE S. HECK 2000 By Prentice-Hall, Inc.
http://users.ece.gatech.edu:80/~bonnie/book/


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