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Diseño y análisis de algoritmos
Ecuaciones de Recurrencia
Ingeniería de Software
2024

Introducción Ecuaciones de Recurrencia:
• Es normal que un algoritmo se base en procedimientos auxiliares,
haga llamadas recursivas para tamaños menores o reduzca el tamaño
del problema progresivamente.
• En el análisis, T(n) se expresa en función del tiempo para T(n-1), T(n-
2)... Ecuaciones de recurrencia.

Ejemplo torres de Hanoi:
Hanoi (origen,pivote,destino,discos)
si discos=1
mover(origen,destino)
en otro caso
Hanoi (origen,destino,pivote,discos-1)
mover (origen,destino)
Hanoi (pivote,origen,destino,discos-1)
T(n)=2T(n-1)+c

Ecuaciones de Recurrencia:
• En general, las ecuaciones de recurrencia tienen la forma:
t(n) = b Para 0  n  n0 Casos base
t(n) = f ( t(n-1), ..., t(n-k), n) en otro caso

Ecuaciones lineales homogéneas:
• La ecuación de recurrencia es de la forma:
a0t(n) + a1t(n-1) + ... + akt(n-k) = 0; ai constante
• Caso sencillo: t(n) = x·t(n-1); t(0)= 1.
• Solución:
t(n) = x·t(n-1) = x·x·t(n-2) = x3 t(n-3) = ... = xn·t(0)  t(n) = xn

Teorema fundamental del álgebra:
• Todo polinomio p(x) de grado k posee k raíces de tal modo
que
p(x) = i=1,k (x-ri) donde ri son las soluciones de p(x)=0
como p(x)=0 y x=ri y tn=xn entonces ri
n es una solución de la
recurrencia
• Toda combinación lineal de soluciones es también una
solución
xn = tn = i=1,k ciri
n donde c1, c2, ... cn son constantes

Elección del grado del polinomio:
• Si la ecuación de recurrencia tiene k llamados la elección del grado
será xk-1
• Por ejemplo,
T(n)=T(n-1) + 3T(n-2)+5T(n-3)
Por lo que T(n)=x3

Raíces distintas:
• Si todas las raíces son distintas, es decir rirj entonces la solución
viene dada por la expresión:
• Donde los coeficientes ci se determinan a partir de las condiciones
iniciales
T(n)=c1r1
n+c2r2
n+…+ckrk
n=Σciri
n

Ejemplo de raíces distintas:
• T(n)=T(n-1)+T(n-2), n>=2
• Condiciones iniciales T(0)=0, T(1)=1.
• Haciendo el cambio t(n)=x2
• Se obtiene la ecuación característica
x2=x+1

• Esta ecuación de segundo grado se resuelve mediante la fórmula
• Si el polinomio es de grado mayor a 2 las raíces se pueden obtener
mediante división sintética
X=-bb2-4ac
2a

• Quedando como raíces
• Por tanto:
n
T(n)=c1 + c2
2
2
1+5
2
2 2
2
2
1-5
2
n
2
2
r1=1+5
2
r1=1+5
2 2
2
5
2
r 2=1-
2

• Para encontrar las constantes c1 y c2 se resuelve el sistema de
ecuaciones planteado con las condiciones iniciales
T(0)=c1 + c2 =c1+c2=0
0
2
2
1+5
2
2 2
2
2
1-5
2
0
T(1)=c1 + c2 =1
1
2
2
1+5
2
2 2
2
2
1-5
2
1

• Así c1=-c2=1/5 sustituyendo en la ecuación anterior resulta
T(0)= - (
n
2
2
1+5
2
2 2
2
2
1-5
2
n

Recurrencias no homogéneas:
• Un recurrencia es no homogénea cuando la combinación lineal no
es igual a 0
• a0tn + a1tn-1 +...+ aktn-k = bn·p(n)
• Donde b es constante y p(n) es un polinomio de grado d
• Solución: reducir al caso homogéneo:
• Aplicando el polinomio característico (tn=xn)
• (a0xk + a1xk-1 + ... + ak)·(x-b)d+1 donde d es el grado de p(n)
• Las constantes se determinan con las condiciones
iniciales y con la propia recurrencia
• Ejemplos:
• tn – 2·tn-1 = 3n
•
• T(n) = 0 si n=0
2t(n-1) + 1 en otro caso

Ejemplo polinomio característico:
• T(n) =2t(n-1) + 1
• T(0)=0, T(1)=1
• En este caso b=1 y p(n)=1, polinomio en n de grado 0.
• Se resuelve la ecuación homogénea con el cambio T(n)=x resultando
• X-2=0, agregando a este binomio el binomio (x-b)d+1

Ejemplo polinomio característico:
• (x-2)(x-1)0+1=(x-2)(x-1), así
• T(n) =c12n+c21n O2n

Raíces múltiples:
• Supongamos que alguna de las raíces tiene multiplicidad m>1
entonces la ecuación característica se escribe:
• En este caso la ecuación de recurrencia viene dada por la expresión
(x-r1)m(x-r2)…(x-rk-m+1)
Σcirn
i-m+1
i=m+1
T(n)=Σcini-1r1
n+
i=1
m k

Recurrencias no homogéneas:
• Ejemplo con raíces múltiples:
tn = 2·tn-1 + n (a)
Polinomio característico: (x-2)(x-1)2
Solución de la forma: tn = c12n + c21n + c3n1n (b)
Solución: (2n)

Métodos de recurrencia:
• Método de cambio de variable
• Método maestro

Resolución de recurrencias mediante cambio de variables :
T(n)  término de una recurrencia original
Ti  término de un nueva recurrencia obtenida de la original mediante cambio de variable
• Ejemplo:
t(n) =
a) n = 2i  i=log2 n ; para transformarla en algo conocido hacemos:
ti = t(2i)
ti = t(2i) = 3t(2i-1) + 2i  ti – 3ti-1 = 2i  (x-2)(x-3)
ti = c1·3i + c22i como i = log2 n y clog n=nlog c
ti = c1nlog 3 + c2nlog 2  t(n)  O(nlog 3), log23=1.5849

Método maestro:
• Provee cotas para las recurrencias de la forma:
• T(n)=aT(n/b)+f(n) a>=1,b>1 y f(n) positiva.
• Describe el tiempo que un algoritmo divide un problema
de tamaño n en a subproblemas cada uno de tamaño n/b.
• El costo de dividir el problema y combinar los resultados se
describe con f(n)

Método maestro (Teorema):
• Si f(n)=O(n ) >0
T(N)=(n )
• Si f(n)=(n )
T(N)=(n logn)
• Si f(n)=Ώ(n )
>0 y af(n/b)<=cf(n)
T(N)=(f(n))
logba-
logba
logba+

Método maestro ejemplos:
• T(n)=9T(n/3)+n
• a=9,b=3, f(n)=n, n =(n2)
• f(n)=O(n ), =1, f(n)=O(n)
T(n)=(n2)
Caso 1

• T(n)=T(2n/3)+1
• a=1,b=3/2, f(n)=1,
• n = n =n0=1,
• f(n)= (n )=(1)
• T(n)=(1logn)
Caso 2
logba log3/21

• T(n)=3T(n/4)+nlogn
• a=3,b=4, f(n)=nlogn,
• n = n =O(n0.793),
• f(n)= Ώ(n )=Ώ(n), =0.2
• af(n/b)=3(n/4)log(n/4)
<=(3/4)nlogn=cf(n), c=3/4
• T(n)=(nlogn)
Caso 3
logba log43
Log43+

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