1. Cap. 5Cap. 5
Funciones trigonométricasFunciones trigonométricas
de números realesde números reales
Precálculo
Quinta edición
Prof. Juan Serrano, MA
1© copywriter

2. Bosquejo
• Círculo unitario
• Funciones trigonométricas de números reales
• Gráficas trigonométricas
• Más gráficas trigonométricas
© copywriter 2

3. 5.1 Círculo unitario
• En esta sección se estudian algunas
propiedades del círculo unitario con radio 1
con centro en el origen.
• Círculo unitario
El conjunto de puntos a una distancia de 1 a
partir del origen es un círculo de radio 1.
© copywriter 3

4. © copywriter 4
CIRCULO UNITARIO
El círculo unitario es el que tiene un radio igual a 1 y su centro está en el origen de un
plano xy. Su ecuació es:
122
=+ yx
1
1
-1
-1
0 x
y

5. • Ejemplo: Un punto en el círculo unitario
Demuestre que el punto está en el círculo unitario.
Solución:
P está en el círculo unitario.
© copywriter 5








3
6
,
3
3
P
1
9
6
9
3
3
6
3
3
22
=+=







+








6. • Ejemplo: Localización de un punto en el
círculo unitario
El punto P está en el círculo unitario en IV. Encuentre
su coordenada en y.
Solución: Puesto que el punto está en el círculo unitario,
entonces;
© copywriter 6








y,
2
3
2
1
2
1
4
1
4
3
1
1
2
3
2
2
2
-y
y
y
y
=
±=
=−=
=+







CIRCULO UNITARIO

7. • Puntos sobre la circunferencia del círculo unitario
Suponga que t es un número real. Recorramos una distancia t a lo largo
del círculo unitario, empezando en el punto (1, 0) y desplazándonos en
sentido contrario al de las manecillas del reloj si t es positiva. Por otro
lado si t es negativa, es a favor de las manecillas del reloj.
© copywriter 7
1
1
-1
-1
0 x
y
t > 0P(x, y)
1
1
-1
-1
0 x
y
t < 0
P(x, y)
Punto P(x, y) sobre la circunferencia determinado por t > 0. Punto P(x, y) sobre la circunferencia determinado por t < 0.

8. • Puntos sobre la circunferencia:
© copywriter 8
t = π/2
P(0, 1)
t = π
P(-1, 0)
t = 3π/2
P(0, -1)
t = 2π
P(1, 0)

9. • Determinación de los puntos sobre la circunferencia
Calcule el punto sobre la circunferencia del círculo unitario determinado
por cada número real.
a) t = 3π b) t = - π c) t =
Solución:
a) El punto determinado por 3π: b) El punto determinado
por t = - π:
P(-1, 0)
© copywriter 9
2
π
−
P(-1, 0)

10. © copywriter 10
t = - π/2
P(0, -1)
Determinación de los puntos sobre la circunferencia
c) t =
2
π
−
Puntos Determinados por t

11. • Determinación de puntos sobre la circunferencia
Calcule el punto sobre la circunferencia determinada por cada número real dado t.
© copywriter 11
4
)
π
−=ta
P(-1, 0)
Puntos sobre la circunferencia
4
3
)
π
=tb
P(-1, 0)
Puntos sobre la circunferencia
6
5
)
π
−=tc
P(-1, 0)
Puntos sobre la circunferencia

12. Uso de los números de referencia para los puntos sobre
la circunferencia
Para determinar el punto P definido por cualquier valor de t,
seguimos los pasos siguientes.
a) Encontrar el número de referencia.
b) Encontrar el punto sobre la circunferencia Q(a, b) definido por t.
c) El punto determinado por t es P(+ - a, + - b), donde los signos se eligen
de acuerdo con el cuadrante en el cual está este puno sobre la
circunferencia.
© copywriter 12

13. • Determinación de los números de referencias
Encuentre el número de referencia para cada valor de t:
© copywriter 13
48.080.52)
33
2
)
44
7
2)
66
5
6
5
)
≈−=
=−=
=−=
=−==
π
ππ
π
ππ
π
ππ
π
π
td
tc
tb
ta

14. • Ejercicios 5.1:
Página 406 y 407
© copywriter 14

15. 5.2 Funciones trigonométricas de números
reales
• Ya estudiamos que una función es una regla que asigna a cada
número real otro número real.
Como las funciones trigométricas se pueden definir en términos del círculo
unitario, en ocaciones se les llama funciones circulares.
© copywriter 15
DEFINICION DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Sea t un número real y sea P(x, y) el punto del círculo unitario determinado
por t. Definimos
sen t = y cos t = x tan t = y / x (x ≠ 0)
csc t = 1 / y (y ≠ 0) sec t = 1 / x (x ≠ 0) cot t = x / y (y ≠ 0)

16. Ejemplo:
Evaluación de las funciones trigonométricas
Calcule las seis funciones trigonométricas de cada número real.
a) t =a) t = ππ/3/3
© copywriter 16
=
=
=
3
tan
3
cos
3
π
π
π
sen
2
3
=y
2
1
=x
3
2
1
2
3
==
x
y =
=
=
3
cot
3
sec
3
csc
π
π
π
3
321
=
y
2
1
=
x
3
3
2
3
2
1
==
y
x

17. Calcule las seis funciones trigonométricas de cada número real.
b) t =b) t = ππ/2/2
© copywriter 17
=
=
=
=
2
cot
2
csc
2
cos
2
π
π
π
π
sen 1=y
0=x
1
1
11
==
y
0
1
0
==
y
x
Las funciones; tantan ππ/2/2 y secsec ππ/2/2
no están definidas porque x = 0,
aparece en el denominador.

18. © copywriter 18
DOMINIO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
FUNCION DOMINIO
sen, cos Todos los números reales
tan, sec Todos los números reales diferentes de
π/2 + nπ para cualquier entero n.
cot, csc Todos los números reales que no sean nπ
para cualquier entero n.
Se puede observar que algunas de las funciones trigonométricas no están
definidas para ciertos números reales. Así que necesitamos determinar sus
dominios.

19. © copywriter 19
Valores de funciones trigonométricas
Para calcular otros valores de las funciones trigonométricas tenemos que determinar los
signos. Los signos de las funciones trigonométricas dependen del cuadrante que se
encuentre. VEAMOS. VEAMOS:
SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
CUADRANTE FUNCIONES POSITIVAS FUNCIONES
NEGATIVAS
I TODAS NINGUNA
II SEN, CSC COS, SEC, TAN, COT
III TAN, COT SEN, CSC, COS, SEC
IV COS, SEC SEN, CSC, TAN, COT
TodasSeno
Tangente Coseno

20. Ejemplo:
Evaluación de las funciones trigonométricas
Determine cada uno de los valores.
© copywriter 20
⇒
=





−
=
4
19
)
3
tan)
3
2
cos)
π
π
π
senc
b
a
2
1
3
cos −=−⇒⇒
π
referenciax
3
3
tan −=−⇒⇒
π
referencia
x
y
Como (19π/4) - 4π = 3π/4 los puntos determinados por 19π/4 y 3π/4 son
iguales. El número de referencia para 3π/4 es π/4. Entonces:
2
2
44
3
=+===
ππ
senseny
Puntos Determinados por t

21. • Para realizar en el salón:
Pág. 416Pág. 416
Calcule el valor exacto de la función trigonométrica en el número real
dado.
© copywriter 21
=
=
=
π
π
π
15tanc)
14cosb)
13))21 sena
0sen
1213
=
=−
π
πππ
10cos
01414
=
=− ππ
0nta
1415
=
=−
π
πππ
Referencia es π
Referencia es 0
Referencia es π

22. Ejemplo:
Uso de la calculadora para evaluar funciones trigonométricas
© copywriter 22
=
=
≈
≈
98.0csc)
28cot)
1.1cos)
2.2)
d
c
b
sena 808496.0
453596.0
553286.3
28tan
1
−≈
204098.1
98.0
1
≈
sen
Si notas los valores son de manera aproximada.

23. © copywriter 23
PROPIEDADES DE LOS IMPARES
El seno, la cosecante, la tangente y la cotangente son funciones impares; el
coseno y la secante son funciones pares.
sen (- t) = - sen t sec (- t) = sec t
= - y = - sen t = 1/x = sec t
cos (- t) = cos t cot (- t) = - cot t
= x = cos t = 1/-y/x = - cot t
tan (- t) = - tan t csc (- t) = - csc t
= - y/x = - tan t = 1/-y = - csc t

24. Ejemplo
Funciones trigonométricas pares e impares
Solución: De acuerdo con las funciones pares e impares:
© copywriter 24
=





−
=





−
4
cos)
6
)
π
π
b
sena parsen ⇒−=−
2
1
6
π
par⇒=
2
2
4
cos
π

25. © copywriter 25
Ejemplo
Funciones trigonométricas pares e impares
Solución: De acuerdo con las funciones pares e impares:
Ejercicio 71, Pág. 417
xsenxxf )()71 2
=
)(-)()( 2
xsenxxf −=
)(-)( 2
xsenxxf =
xsenxxf )( 2
−=
impar)()( xfxf −=
csc (- t) = - csc t = 1/-y = - csc t

26. © copywriter 26
IDENTIDADES FUNDAMENTALES
IDENTIDADES RECIPROCAS IDENTIDADES PITAGORICAS
t
t
t
t
sen t
t
tan
1
cot
cos
1
sec
1
csc
=
=
=
sen t
t
t
t
sen t
t
cos
cot
cos
tan
=
=
tt
tt
ttsen
22
22
22
csccot1
sec1tan
1cos
=+
=+
=+
Por definición, cos t = x y sen t = y, donde x y y son las coordenadas de unP(x, y) en el círculo unitario. Puesto P(x, y) están
sobre el círculo unitario, tenemos x2
+ y2
= 1. Entonces:
tt
ción:Por defini
tt
tsen
tt
t
t
tsen
22
2
2
22
2
2
2
sec1tan
cos
1
1
cos
cos
1
cos
cos
cos
=+
=+





=+
Por consiguiente si dividimos por sen2
t, (siempre que sen t ≠ 0) obtenemos:
tt
ción:Por defini
tsentsen
t
tsentsen
t
tsen
tsen
22
2
2
22
2
2
2
csccot1
1cos
1
1cos
=+
=





+
=+

27. Ejemplo
Cálculo de todas las funciones trigonométricas a partir del valor de una.
Si cos t = 3/5 y t está en el cuadrante IV, calcule los valores de todas las funciones
trigonométricas en t.
Solución: De acuerdo con las identidades pitágoricas tenemos.
© copywriter 27
1cos) 22
=+ ttsena
Este punto está en el cuadrante IV y sen t es negativo, entonces es -4/5.
1
5
3
2
2
=





+tsen
25
9
12
−=tsen
25
16
25
9
25
252
=−=tsen
5
4
5
4
25
16
−=±=±=tsen

28. © copywriter 28
Ahora podemos hallar las otras identidades recíprocas
1cos
tcos)
22
=+ ttsen
b
1cos
5
4 2
2
=+





− tt
25
16
1cos2
−=t
25
9
25
16
25
25
cos2
=−=t
5
3
5
3
25
9
cos =±=±=t
3
4
5
3
5
4
cos
tan
tan t)
2
2
−=
−
==
t
tsen
t
c
4
5
5
4
11
csc
tcsc)
2
−=
−
==
tsen
t
d
3
5
5
3
1
cos
1
sec
tsec)
2
===
t
t
e
4
3
3
4
1
tan
1
cot
cot t)
2
−=
−
==
t
t
f

29. Ejemplo
Expresar una función trigonométrica en función de otra.
Escriba tan t en forma de cos t, donde t está en el cuadrante III.
© copywriter 29
1cos
costérminostan)
22
=+ ttsen
tdet ena
ttsen 22
cos1−=
ttsen 2
cos1−±=
Como sen t es negativo en el cuadrante III, el signo negativo se aplica. Entonces:
t
t
t
tsen
t
cos
cos1
cos
tan
2
−−
==

30. Expresar una función trigonométrica en función de otra.
© copywriter 30
Expresar una función trigonométrica en función de otra.
Pág. 417
tcossen t,)53
1tcostsen 22
=+
t22
cos-1tsen =
t2
cos-1sen t ±=
t2
cos-1sen t =
ttsent cos,sec)62 22
⋅
( )t
t
en 2
2
22
cos1
cos
1
tstsec −⋅=⋅
1
cos
1
2
−=
t

31. © copywriter 31
Ejercicios 5.2:
Pág. 416 y 417
Asignación para entregar:
Valor 10 pts
Ejercicios 79, 80, 81, 82

32. 5.3 Gráficas de funciones trigonométricas
Las gráficas de una función nos proporciona un mejor idea de su
comportamiento. En esta sección estaremos graficando varias de estas
funciones.
© copywriter 32
PROPIEDADES PERIODICAS DEL SENO Y EL COSENO
Las funciones seno y coseno tienen periodo 2π;
sen (t + 2π) = sen t cos (t + 2π) = cos t
Significa que las funciones seno y coseno repiten sus valores en cualquier
intervalo de longitud 2π. Tenga presente que sen t es la coordenada y del
P(x, y) en el círculo unitario determinado por el número real t.

33. © copywriter 33
Gráficas
tseny =
π
•
π2
•
to
0
Para trazar la gráfica con mayor exactitud, determinamos otros pocos de
valores de sen t y cos t. (Tabla). Se podrían determinar más valores con la
ayuda de una calculadora.

34. © copywriter 34
Gráficas
tseny =
π
•
π2
•
0
π3
•
π4
•
π5
•
Periodo 2π
π
•
π2
•
0
π3
•
π4
•
π5
•
Periodo 2π
ty cos=
Calculadora

35. Ejemplo
Curvas del coseno
© copywriter 35
Trace la gráfica de cada función
xxfa cos2)() +=
ty cos=
π
•
π2
•
0
π3
•
π4
•
π5
•
xy cos2 +=
La gráfica es la misma que la de coseno, pero se desplaza dos lugares hacía
arriba 2 unidades.

36. © copywriter 36
Ejemplo
Curvas del coseno
Trace la gráfica de cada función
xxfb cos)() −=
π
•
π2
•
0
π3
•
π4
•
π5
•
Periodo 2π
ty cos=
ty cos−=
Graficas

37. © copywriter 37
Ejemplo
Otras gráficas
La gráfica de y = 2 sen x, multiplicamos la ordenada por cada pun to por 2.
π
•
π2
•
0
xseny 2=
xseny =
xseny
2
1
=
En general, para las funciones y = a sen x y y = a cos x el número Ι a I se llama amplitud y es
el valor más grande que alcanzan estas funciones.

38. Ejemplos: se trazarán las gráficas con calculadora gráfica.
 Determine la amplitud de y = -3 cos x.
 Amplitud y periódo
a) y = 4 cos 3x b) y = - 2 sen ½ x
 Una curva seno desplazada
y = 3 sen 2(x – π/4)
 Una curva seno desplazada
y = ¾ cos(2x + 2π/3)
 ver texto
© copywriter 38
Gráficas

39. • Ejercicios 5.3
– Pág. 429 y 430
• 1 al 74
• 75, 76, 77, 78 (Para entregar. Valor 10pts. )
Con proceso, cada uno de ellos
© copywriter 39

40. 5.4 Más gráficas trigonométricas
• En esta sección se estudian las funciones tangentes, cotangente, secante y
cosecante y transformaciones de estas funciones.
© copywriter 40
PROPIEDADES PERIODICAS
Las funciones tangente y cotangente tienen periodo en π:
tan (x + π) = tan x cot (x + π) = cot x
Las funciones cosecante y secante tienen periodo en 2π:
csc (x + 2π) = csc x sec (x + 2π) = sec x

41. Gráficas: tangente y cotangente
© copywriter 41
Asíntota Vertical
Asíntota Vertical
6
π
4
π
3
π
4.1
2
π
2
π
−
xy tan=
Gráficas
6
π
4
π
3
π
14.0
2
π
3
2π
4
3π
6
5π
3
0
1
Asíntota Vertical
xy cot=
π

42. © copywriter 42
Gráfica: periodo de y = csc xy = csc x
π2
2
π π
2
3π
AsíntotaAsíntota
VerticalVertical
AsíntotaAsíntota
VerticalVertical
Gráficas
sen xy =
xy csc=
xy csc=
sen x
x
1
csc =

43. © copywriter 43
Gráfica: periodo de y = sec xy = sec x
π2
2
π π
2
3π
AsíntotaAsíntota
VerticalVertical
AsíntotaAsíntota
VerticalVertical
xy cos=
xy sec=
x
x
cos
1
sec = xy sec=
xy sec=
Gráficas

44. Ejercicios 5.4
Pág. 441 – 442
Ejercicios de aplicación
55, 56
© copywriter 44

45. © copywriter 45