Soluciones ecuaciones diferenciales en series de potencias.

1. GUIA 8
Soluciones en series de potencias
El Teorema Fundamental de existencia y unicidad de soluciones permite definir una funci´on
x = x(t) como la ´unica soluci´on de un problema de valores iniciales. Un problema de valores
iniciales en el punto t = t0 consiste en una ecuaci´on diferencial de orden n
dn
x
dtn
= f t, x,
dx
dt
, . . . ,
dn−1
x
dtn−1
junto con n condiciones de la forma
x(t0) = x0,
dx
dt
(t0) = x
(1)
0 , . . . ,
dn−1
x
dtn−1
(t0) = x
(n−1)
0 .
Muchas de las llamadas funciones especiales, que aparecen en relaci´on con diversos problemas
tanto de la matem´atica pura como de la matem´atica aplicada, surgen de forma natural en
este contexto. Por ejemplo, las funciones de Bessel y los polinomios de Hermite y de Legendre
son soluciones de las respectivas ecuaciones:
ecuaci´on de Bessel: t2 d2
x
dt2
+ t
dx
dt
+ t2
− p2
x = 0,
ecuaci´on de Hermite:
d2
x
dt2
− 2t
dx
dt
+ λ x = 0,
ecuaci´on de Legendre: 1 − t2 d2
x
dt2
− 2t
dx
dt
+ λ x = 0.
Tambi´en las funciones del c´alculo elemental se pueden caracterizar en t´erminos de ecua-
ciones diferenciales. As´ı, la funci´on exponencial x = et
es la ´unica soluci´on del problema de
valor inicial
dx
dt
= x, x(0) = 1,
mientras que la funci´on x = sen t puede verse como la soluci´on del problema de valor inicial
d2
x
dt2
+ x = 0, x(0) = 0, x (0) = 1.
Se deja al lector la tarea de encontrar un problema de valores iniciales que determina a la
funci´on x = cos t.
Varias de las funciones especiales, entre ellas las funciones de Bessel y los polinomios de
Hermite y Legendre mencionados antes, se obtienen como soluciones de ecuaciones lineales
homog´eneas de segundo orden
d2
x
dt2
+ a(t)
dx
dt
+ b(t) x = 0,
cuyos coeficientes a(t) y b(t) son funciones racionales de t, esto es, son cocientes de polinomios
en t. En general no existen m´etodos que permitan calcular las soluciones de estas ecuaciones
1

2. en t´erminos de funciones elementales. Si en un problema de inter´es pr´actico se requiere del
estudio de una de estas funciones soluci´on es necesario recurrir a otras t´ecnicas.
El m´etodo de las soluciones en series, utilizado por Newton en sus Philosophia Natura-
lis Principia Mathematica (1686), es uno de los m´etodos m´as antiguos de la teor´ıa de las
ecuaciones diferenciales. Consiste en determinar los coeficientes c0, c1, c2 . . . de modo que la
funci´on
x(t) = c0 + c1 (t − t0) + c2 (t − t0)2
+ · · · =
∞
n=0
cn (t − t0)n
(1)
sea soluci´on de una ecuaci´on dada, en un intervalo alrededor del punto t = t0.
Ejemplo 1. Consideremos el problema de valor inicial
dx
dt
= x, x(0) = 1.
Si suponemos que la soluci´on buscada x = x(t) tiene una expansi´on en serie de potencias
alrededor del punto t0 = 0, entonces
x(t) = c0 + c1t + c2t2
+ . . . =
∞
n=0
cnt n
, (2)
para ciertos coeficientes c0, c1, c2, . . .. Derivando t´ermino a t´ermino se obtiene la expansi´on
para la derivada
dx
dt
= c1 + 2c2t + 3c3t2
+ . . . =
∞
n=1
n cn tn−1
.
Sustituyendo ahora en la ecuaci´on dx
dt
− x = 0 obtenemos
c1 + 2c2t + 3c3t2
+ · · · − c0 + c1t + c2t2
+ . . . = 0
Sumando t´erminos se concluye que
(c1 − c0) + (2c2 − c1) t + (3c3 − c2) t2
+ . . . =
∞
n=0
((n + 1) cn+1 − cn) tn
= 0.
Teniendo en cuenta la unicidad de las expansiones en series de potencias, el coeficiente de
cada t´ermino tn
en la serie anterior debe ser igual a 0; por lo tanto para todo n = 0, 1, 2, . . .
se sigue que
(n + 1) cn+1 − cn = 0,
de donde se tiene una relaci´on de recurrencia para los coeficientes cn:
cn+1 =
cn
n + 1
, n = 0, 1, 2, . . . .
En consecuancia cn = cn−1
n
= cn−2
n(n−1)
= · · · = c0
n!
. Reemplazando t = 0 en (2) se sigue que
x(0) = c0 de donde la condici´on inicial x(0) = 1 implica c0 = 1, de forma que cn = 1
n!
para
n = 0, 1, 2, . . . y
x(t) = 1 + t +
t2
2
+
t3
6
+ . . . =
∞
n=0
tn
n!
,
que es el desarrollo en serie de Taylor de la funci´on exponencial.
2

3. 1. Soluciones cerca a un punto ordinario
En seguida estableceremos condiciones bajo las cuales una ecuaci´on lineal de segundo
orden posee soluciones que pueden escribirse como una serie de potencias y que en conse-
cuencia son susceptibles de ser determinadas mediante el m´etodo de las series que estamos
discutiendo. Consideremos la ecuaci´on en forma normal
d2
x
dt2
+ a(t)
dx
dt
+ b(t) x = 0. (3)
Definici´on 1. Se dice que t0 es un punto ordinario de la ecuaci´on (3) si los coeficientes a(t)
y b(t) son funciones anal´ıticas en t0. Es decir, si poseen representaci´on en serie de potencias
alrededor de t = t0:
a(t) =
∞
n=0
an(t − t0)n
, | t − t0 |< Ra, Ra > 0,
b(t) =
∞
n=0
bn(t − t0)n
, | t − t0 |< Rb, Rb > 0.
A un punto que no es ordinario se le llama punto singular
Ejemplo 2. En la ecuaci´on d2x
dt2 + x = 0, los coeficientes a(t) ≡ 0, b(t) ≡ 1, son funciones
anal´ıticas en todo punto t0. Sus expansiones en serie de potencias alrededor de t = t0 se
reducen al t´ermino constante. Para a(t) se tiene a0 = a1 = · · · = 0. Similarmente, para b(t)
se tiene b0 = 1 y b1 = b2 = · · · 0.
Ejemplo 3. Para las ecuaciones de Cauchy-Euler
d2
x
dt2
+
a
t
dx
dt
+
b
t2
x = 0,
(a y b constantes), el punto t0 = 0 es un punto singular si a = 0 o b = 0, pues ni a(t) = a
t
ni b(t) = b
t2 son funciones anal´ıticas en t0 = 0. Estas funciones ni siquiera est´an definidas
en t0 = 0 ni se pueden redefinir alrededor de t = 0 de manera que resulten anal´ıticas.
Posteriormente veremos que en general las ecuaciones de Cauchy-Euler no poseen soluciones
en series de potencias alrededor de t = 0 fuera de la soluci´on nula.
Ejemplo 4. Para la ecuaci´on de Hermite
d2
x
dt2
− 2t
dx
dt
+ λx = 0,
λ un par´ametro real, todo punto t = t0 de la recta real es un punto ordinario. En efecto,
puede verse que
a(t) = −2t = −2t0 − 2(t − t0), y b(t) = λ,
de donde a0 = −2t0, a1 = −2 y an = 0 para n ≥ 2, en tanto que b0 = λ y bn = 0 para n ≥ 1.
3

4. Ejemplo 5. La ecuaci´on de Legendre escrita en forma normal es la ecuaci´on
d2
x
dt2
−
2t
1 − t2
dx
dt
+
λ
1 − t2
x = 0,
donde λ es un par´ametro real. De esa forma a(t) = − 2t
1−t2 y b(t) = λ
1−t2 . El punto t0 = 0 es
un punto ordinario. En efecto, teniendo en cuenta la serie geom´etrica
1
1 − s
=
∞
n=0
sn
,
que converge para −1 < s < 1, se tiene que
a(t) = −2t
1
1 − t2
= −2t
∞
n=0
t2n
= −
∞
n=0
2t2n+1
, −1 < t < 1,
b(t) =
λ
1 − t2
=
∞
n=0
λt2n
, −1 < t < 1.
Por el contrario, los puntos t = 1 y t = −1 son puntos singulares pues los coeficientes a(t) y
b(t) no admiten representaci´on en serie de potencias alrededor de t0 = 1 o de t0 = −1.
En el caso de la Ecuaci´on de Legendre, como ocurre en general, puede requerir cierto
trabajo obtener expl´ıcitamente las series de potencias que representan a(t) y b(t) alrededor
de un punto ordinario. Sin embargo, se puede demostrar que si P(t) y Q(t) son polinomios
sin ra´ıces comunes y Q(t0) = 0, entonces la funci´on racional
f(t) =
P(t)
Q(t)
puede escribirse como una serie de potencias alrededor del punto t0.
Ejemplo 6. La ecuaci´on de Bessel escrita en forma normal es
d2
x
dt2
+
1
t
dx
dt
+
t2
− p2
t2
x = 0, p un par´ametro real,
con a(t) = 1
t
y b(t) = t2−p2
t2 . Su ´unico punto singular es t0 = 0.
Teorema 1 (Soluciones anal´ıticas alrededor de un punto ordinario). Si t0 es un punto
ordinario de la ecuaci´on diferencial lineal homog´enea (3), entonces para cada par de n´umeros
x0 y v0 dados, la ´unica soluci´on x = x(t) de (3) que satisface las condiciones iniciales
x(t0) = x0 y x (t0) = v0. puede representarse en la forma de una serie de potencias
x(t) =
∞
n=0
cn (t − t0)n
,
convergente en un intervalo | t − t0 |< R, R > 0. El intervalo t0 − R < t < t0 + R de validez
de la expansi´on de x = x(t) es por lo menos igual al mayor de los intervalos alredededor de
t = t0 sobre el cual ambos coeficientes a(t) y b(t) tienen representaci´on en series de potencias
alredededor de t = t0.
4

5. Demostraci´on. La demostraci´on consiste en aplicar en general el m´etodo de las series utili-
zado en el ejemplo 1. Las relaciones algebraicas que conducen a las relaciones de recurrencia
son sencillas, aunque un poco largas. El ´unico punto delicado es la convergencia de la se-
rie obtenida. Los detalles pueden consultarse en Theory of Ordinary Differential Equations,
Coddingnton and Levinson, McGraw Hill, 1955.
La ecuaci´on de Hermite. En el caso de la ecuaci´on de Hermite
d2
x
dt2
− 2t
dx
dt
+ λ x = 0,
cada punto t0 es un punto ordinario. En particular las expansiones para a(t) y b(t) alrededor
de t0 = 0 est´an dadas por
a(t) = −2t, b(t) = λ,
y son v´alidas en el intervalo −∞ < t < ∞. De acuerdo al teorema 1, todas las soluciones de
la ecuaci´on de Hermite son anal´ıticas y su representaci´on en serie de potencias
x(t) = c0 + c1 t + c2 t2
+ · · · =
∞
n=0
cn tn
converge para todo t real. Los coeficientes c0, c1, c2, . . . se determinan sustituyendo las expan-
siones en series de potencias de las funciones x(t), x (t) y x (t) en la ecuaci´on de Hermite:
x (t) = c1 + 2c2 t + . . . =
∞
n=1
n cn tn−1
,
x (t) = 2c2 + 6c3 t + . . . =
∞
n=2
n (n − 1) cn tn−2
.
Substituyendo ahora en la ecuaci´on de Hermite se obtiene
x − 2t x + λ x =
∞
n=2
n (n − 1) cn tn−2
− 2t
∞
n=1
n cn tn−1
+ λ
∞
n=0
cn tn
=
∞
n=0
(n + 2) (n + 1) cn+2tn
−
∞
n=1
2n cntn
+
∞
n=0
λcntn
= 2c2 + λc0 +
∞
n=1
((n + 2) (n + 1) cn+2 − (2n − λ) cn) tn
= 0.
Para que esta serie se anule en un intervalo abierto sus coeficientes deben ser todos nulos,
as´ı que
c2 = −
λ
2
c0, y cn+2 =
(2n − λ)
(n + 2) (n + 1)
cn , n = 1, 2, . . . . (4)
5

6. La relaciones de de recurrencia anteriores determinan los coeficientes cn, n ≥ 2, en t´erminos
de c0 y c1 como sigue:
c2 = −
λ
2
c0,
c3 =
2 · 1 − λ
2 · 3
c1,
c4 =
2 · 2 − λ
3 · 4
c2 = −
λ (2 · 2 − λ)
2 · 3 · 4
c0,
c5 =
2 · 3 − λ
4 · 5
c3 =
(2 · 1 − λ) (2 · 3 − λ)
2 · 3 · 4 · 5
c1,
y en general se tiene
c2k = −
λ (2 · 2 − λ) · · · (2 (2k − 2) − λ)
(2k)!
c0 ≡ h2k c0, k = 1, 2, . . . (5)
c2k+1 =
(2 · 1 − λ) · · · (2 (2k − 1) − λ)
(2k + 1)!
c1 ≡ h2k+1 c1 k = 1, 2, . . . . (6)
Si adem´as hacemos h0 = 1 y h1 = 1 se puede escribir
x(t) =
∞
k=0
c2k t2k
+
∞
k=0
c2k+1 t2k+1
= c0
∞
k=0
h2k t2k
+ c1
∞
k=0
h2k+1 t2k+1
, (7)
con c0 y c1 constantes que dependen de las condiciones iniciales. Se tiene en efecto que
x(0) = c0 y x (0) = c1. En vista del teorema 1, estas series son convergentes en (−∞, ∞).
Podemos verificar directamente este hecho. En efecto, de acuerdo con las relaciones (5) y
(6), si escribimos
u(t) ≡
∞
k=0
h2k t2k
, v(t) ≡
∞
k=0
h2k+1 t2k+1
,
se observa que
h2k+2
h2k
=
(2 (2k) − λ) (2k)!
(2k + 2)!
=
(2 (2k) − λ)
(2k + 1) (2k + 2)
=
4 − λ
k
2 + 1
k
(2k + 2)
,
de donde l´ımk→∞
h2k+2
h2k
= 0. Teniendo en cuenta el criterio del cociente puede concluirse
que el radio de convergencia de la serie u(t) es ∞. De manera similar se demuestra que el
radio de convergencia de la serie v(t) es ∞. Se observa que cada una de las soluciones puede
expresarse como combinaci´on lineal de u(t) y v(t) :
x(t) = c0 u(t) + c1 v(t).
Es decir, las funciones u(t) y v(t) forman un conjunto fundamental de soluciones de la
ecuaci´on de Hermite.
6

7. Un caso interesante de la ecuaci´on de Hermite se da cuando el par´ametro λ es un entero
positivo par, digamos λ = 2p. En ese caso la relaci´on de recurrencia (4) muestra que cp+2 =
cp+4 = · · · = 0. Si adem´as p es par y se toma c1 = 0 la soluci´on x = (t) dada en (7) se reduce
a un polinomio de grado p:
x(t) = c0
p/2
k=0
h2k t2k
= c0 h0 + h2 t2
+ · · · + hp tp
. (8)
An´alogamente, si p es impar y se toma c0 = 0 en (7) la soluci´on x = x(t) se reduce a un
polinomio de grado p.
x(t) = c1
(p−1)/2
k=0
h2k+1 t2k+1
= c1 h1 t + h3 t3
+ · · · + hp tp
. (9)
Si adem´as los respectivos coeficientes c0 y c1 se escojen de manera que el coeficiente del
t´ermino en tp
sea 2p
, las correspondientes soluciones polin´omicas reciben el nombre de Poli-
nomios de Hermite de grado p y se denotan por Hp(t). A continuaci´on se muestran algunos
de estos polinomios
H0(t) = 1, H1(t) = 2t,
H2(t) = −2 + 4t2
, H3(t) = −12t + 8t3
.
Ejercicios
1. Encuentre la soluci´on general de la ecuaci´on
1 + t2
x − 4t x + 6x = 0
en la forma c0 x1(t) + c1 x2(t), donde x1 = x1(t) y x2 = x2(t) son series de potencias.
R. x(t) = c0 (1 − 3t2
) + c1 t − t3
3
2. Resuelva la ecuaci´on de Airy
d2
x
dt2
+ t x = 0
en t´erminos de series de potencias alrededor del punto t = 0. Determine directamente
el radio de convergencia de las series obtenidas. Halle adem´as la soluci´on que satisface
x(0) = 1 y x (0) = 1.
3. Halle la soluci´on general de la ecuaci´on
1 + t2
x + 2t x − 2x = 0
en t´erminos de una serie de potencias alrededor de t = 0 ¿puede identificar esta serie
en t´erminos de funciones elementales?
R. x(t) = c0 1 + t2
−
1
3
t4
+
1
5
t6
−
1
7
t8
+ · · · + c1 t = c0 (1 + t arctan t) + c1 t.
7

8. 4. Para la ecuaci´on de Legendre
(1 − t2
)
d2
x
dt2
− 2t
dx
dt
+ α(α + 1)x = 0,
α un par´ametro real, a) halle dos soluciones linealmente independientes en forma de
serie de potencias alrededor de t = 0 y determine el radio de convergencia de estas
series. b) Muestre que si α = N es un n´umero entero existe una soluci´on polin´omica de
grado N. c) Tomando α = 3, determine la soluci´on que satisface x(0) = 0 y x (0) = 1.
2. El m´etodo de Frobenius
Cuando las ecuaciones del tipo (3) tienen singularidades las soluciones no son en general
anal´ıticas en esos puntos, tal como lo muestra el siguiente ejemplo
Ejemplo 7. La ecuaci´on diferencial
t2 d2
x
dt2
+ t
dx
dt
−
1
4
x = 0 (10)
no posee soluciones no nulas de la forma x(t) = ∞
n=0 cntn
. Para verificar esto, supongamos
por contradicci´on que si existen soluciones de esta forma. Derivando t´ermino a t´ermino x(t)
se obtienen las expresiones x (t) = ∞
n=1 n cn tn−1
y x (t) = ∞
n=2 n (n − 1) cn tn−2
, que
reemplazadas en (10) dan
t2
x (t) + t x (t) −
1
4
x =
∞
n=2
n (n − 1) cn tn
+
∞
n=1
n cn tn
−
∞
n=0
1
4
cn tn
= −
1
4
c0 + 1 −
1
4
c1 t +
∞
n=2
n2
−
1
4
cn tn
= 0.
Para que esta serie se anule en un intervalo, sus coeficientes deben ser todos iguales a cero.
Esto implica cn = 0 para todo n = 0, 1, . . . . Por tanto, la ´unica soluci´on en serie de potencias
en este caso es la soluci´on nula.
El ejemplo anterior es un caso particular de la ecuaci´on de Cauchy-Euler:
t2 d2
x
dt2
+ a t
dx
dt
+ b x = 0. (11)
Estas ecuaciones tienen soluciones de la forma x(t) = tr
. En efecto el exponente r se puede
hallar reemplazando x(t) = tr
en (11):
t2
x (t) + a t x (t) + b x = t2
r (r − 1) tr−2
+ a t r tr−1
+ b tr
= tr
r2
+ (a − 1) r + b
= 0.
8

9. Es decir, los valores de r est´an determinados por la ecuaci´on de ´ındices
r2
+ (a − 1) r + b = 0. (12)
Si esta ecuaci´on tiene ra´ıces que no sean n´umeros enteros positivos las correspondientes
soluciones x = tr
no son anal´ıticas en t = 0.
Por ejemplo, la ecuaci´on de ´ındices de (10) est´a dada por r2
− 1
4
= 0, de donde la soluci´on
general de esta ecuaci´on en el intervalo (0, ∞) puede escribirse como
x(t) = c1 t
1
2 + c2 t− 1
2
donde c1 y c2 son constantes reales arbitrarias.
Definici´on 2. Un punto sigular t0 de la ecuaci´on (3) se llama singular regular si (t−t0) a(t)
y (t−t0)2
b(t) son funciones anal´ıticas en t0, es decir, si estas funciones pueden representarse
mediante series de potencias en t − t0 :
(t − t0) a(t) =
∞
n=0
αn(t − t0)n
, | t − t0 |< Ra, Ra > 0,
(t − t0)2
b(t) =
∞
n=0
βn(t − t0)n
, | t − t0 |< Rb, Rb > 0.
Resulta claro que si t0 es un punto singular regular entonces la ecuaci´on
d2
x
dt2
+ a(t)
dx
dt
+ b(t) x = 0.
puede escribirse en la forma
(t − t0)2 d2
x
dt2
+ (t − t0) α(t)
dx
dt
+ β(t) x = 0, (13)
con
α(t) =
∞
n=0
αn(t − t0)n
y β(t) =
∞
n=0
βn(t − t0)n
. (14)
Los coeficientes α0, β0 y β1 no son simult´aneamente nulos pues en tal caso t0 ser´ıa un punto
regular.
Ejemplo 8. Para la ecuaci´on de Bessel t0 = 0 es un punto singular regular (ver ejemplo 6).
Lo mismo es cierto para las ecuaciones de Cauchy-Euler (ver ejemplo 3). En la ecuaci´on de
Legendre (ver ejemplo 5) t0 = 1 y t0 = −1 son puntos singulares regulares.
En 1873, F. G. Frobenius tuvo la idea de buscar soluciones en intervalos (t0, t0 + R),
(t0 − R, t0) a los lados de un punto singular regular t0.
9

10. Teorema 2 (Frobenius). Si las expansiones dadas (14) son ambas v´alidas en el intervalo
(t0 − R, t0 + R), entonces la ecuaci´on (13) tiene al menos una soluci´on de la forma
x(t) = |t − t0|r
∞
n=0
cn (t − t0)n
, con c0 = 0, (15)
v´alida en cada uno de los intervalos (t0, t0 + R) y (t0 − R, t0), en donde el exponente r es
una de las ra´ıces de la ecuaci´on de ´ındices
r2
+ (α0 − 1) r + β0 = 0. (16)
Demostraci´on. La demostraci´on consiste en suponer la existencia de una soluci´on x(t) de
la forma (15) y reemplazar las expresiones en series de potencias de x(t), x (t) y x (t) en
la ecuaci´on (13) para obtener la ecuaci´on de ´ındices y las relaciones que determinan a los
coeficientes cn de la serie de potencias que define a la soluci´on x(t). Finalmente se demuestra
que las serie de potencias ∞
n=0 cn tn
converge, pero eso requiere t´ecnicas avanzadas del
an´alisis matem´atico.
Ejemplo 9. La ecuaci´on
t2
x (t) − t x (t) + x = 0
es del tipo Cauchy-Euler. Se deja al lector la tarea de verificar que {t, ln t} es un conjunto
fundamental de soluciones en (0, ∞). Obs´ervese sin embargo que la soluci´on x(t) = ln t, t > 0
no puede expresarse en la forma (15) con t0 = 0, lo que no contradice el Teorema 2.
Ejemplo 10. Se puede verificar que t sen 1
t
, t cos 1
t
es un conjunto fundamental de solucio-
nes de
t4 d2
x
dt2
+ x = 0
en el intervalo (0, ∞). Ninguna de estas soluciones se puede expresar de la forma (15) con
t0 = 0. N´otese que t0 = 0 es un punto singular no regular de la ecuaci´on, por lo que no hay
contradicci´on con el teorema 2.
La ecuaci´on de Bessel. Ilustraremos la demostraci´on del teorema anterior en el caso de
la ecuaci´on de Bessel
t2 d2
x
dt2
+ t
dx
dt
+ t2
− p2
x = 0, (17)
donde p es un par´ametro real no negativo. Supongamos que existe una soluci´on de la forma
x(t) = tr
∞
n=0
cn tn
=
∞
n=0
cn tn+r
, con c0 = 0,
definida en le intervalo (0, ∞). Derivando t´ermino a t´ermino se obtienen las expresiones
x (t) =
∞
n=0
(n + r) cn tn+r−1
y x (t) =
∞
n=0
(n + r) (n + r − 1) cn tn+r−2
.
10

11. Reemplazando en (17) tenemos
t2 d2
x
dt2
+ t
dx
dt
+ t2
− p2
x =
∞
n=0
(n + r) (n + r − 1) cn tn+r
+
∞
n=0
(n + r) cn tn+r
+ t2
− p2
∞
n=0
cn tn+r
= tr
∞
n=0
(n + r) (n + r − 1) cn tn
+
∞
n=0
(n + r) cn tn
−
∞
n=0
p2
cn tn
+
∞
n=0
cn tn+2
= 0.
Teniendo en cuenta que tr
> 0 en un intervalo del tipo (0, R) con R > 0, se deduce que
∞
n=0
(n + r) (n + r − 1) cn tn
+
∞
n=0
(n + r) cn tn
−
∞
n=0
p2
cn tn
+
∞
n=0
cn tn+2
= 0,
equivalentemente
∞
n=0
(n + r)2
− p2
cn tn
+
∞
n=0
cn tn+2
=
∞
n=0
(n + r)2
− p2
cn tn
+
∞
n=2
cn−2 tn
= r2
− p2
c0 + (1 + r)2
− p2
c1 t
+
∞
n=2
(n + r)2
− p2
cn − cn−2 tn
= 0.
Se tiene entonces
r2
− p2
c0 = 0, (18)
(1 + r)2
− p2
c1 = 0, (19)
(n + r)2
− p2
cn − cn−2 = 0, n = 2, 3, . . . . (20)
La condici´on c0 = 0 y (18) implican
r2
− p2
= 0.
Esta es precisamente la ecuaci´on de ´ındices, la cual tiene dos ra´ıces r = p y r = −p.
Investigaremos primero la mayor de las ra´ıces, r = p. Reemplazando r = p en (19) y (20)
obtenemos (1 + 2p) c1 = 0 y n (n + 2p) cn + cn−2 = 0, de donde se concluye que c1 = 0 y que
cn = −
cn−2
n (n + 2p)
, n = 2, 3, . . . . (21)
11

12. En consecuencia cn = 0 si n es impar mientras que si n es par cn se puede escribir en t´erminos
de c0:
c2 =
−1
2 · 2(1 + p)
c0
c4 =
−1
4(4 + 2p)
c2 =
(−1)2
(4 · 2) 22 (1 + p)(2 + p)
c0
y en general,
c2n =
(−1)n
n!(2n)2 (1 + p) (2 + p) · · · (n + p)
c0,
para n = 1, 2, · · · . Sin embargo c0 puede escogerse arbitrariamente. De esta manera llegamos
a la soluci´on buscada
x(t) = tp
∞
n=0
(−1)n
c0
n! (2n)2 (1 + p) (2 + p) · · · (n + p)
t2n
. (22)
Puede verificarse, por ejemplo empleando el criterio de la raz´on, que la serie en la expresi´on
anterior converge para todo t real (ver ejercicios).
En este punto de la discusi´on es conveniente introducir una funci´on que simplificar´a la
escritura de las soluciones de la ecuaci´on de Bessel. La funci´on en cuesti´on es la funci´on
gamma de Euler. Esta funci´on se define para valores s > 0 mediante
Γ(s) ≡
∞
0
e−t
ts−1
dt,
y para valores no enteros s < 0 se define en forma recurrente mediante la f´ormula
Γ(s) =
Γ(s + 1)
s
.
La funci´on gamma generaliza la noci´on de factorial de un n´umero entero. En efecto, no es
dif´ıcil probar que esta funci´on satisface las identidades
Γ(p + 1) = p Γ(p) p real positivo (23)
Γ(m + 1) = m! m entero positivo (24)
Como consecuencia se tiene
(1 + p) (2 + p) · · · (n + p) =
Γ(1 + p)
Γ(1 + n + p)
.
La expresi´on (22) puede entonces reescribirse como
x(t) = c0 tp
∞
n=0
(−1)n
Γ(1 + p)
Γ(1 + n + p) n!
t
2
2k
= c0 Γ(1 + p)
∞
n=0
(−1)n
Γ(1 + n + p) n!
t
2
2n
tp
.
12

13. 0 5 10 15 20 25 30
x
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
J_0(x),J_1(x),J_2(x)
J_0
J_1
J_2
Figura 1: Funciones de Bessel de primer orden J0,J1,J2
Cuando se toma c0 = 1
2p Γ(p+1)
en la expresi´on anterior se tienen las llamadas funciones de
Bessel de primera especie de orden p, que se denotan Jp(t). Esto es
Jp(t) ≡
∞
n=0
(−1)n
n! Γ(p + n + 1)
t
2
2n+p
La figura 1 muestra los gr´aficos de J0, J1 y J2. Se observa que estas funciones oscilan de
modo que hacen recordar a las funciones trigonom´etricas sen t y cos t.
Investigaremos ahora si existen soluciones de la ecuaci´on de Bessel asociadas a la ra´ız
r = −p; esto es, si existen soluciones de la forma
x(t) = t−p
∞
n=0
cn tn
, con c0 = 0.
Reemplazando r = −p en (18), (19) y (20) se obtienen las condiciones
0 c0 = 0, (25)
(1 − 2p) c1 = 0, (26)
n (n − 2p) cn − cn−2 = 0, n = 2, 3, . . . . (27)
Consideremos primero el caso en el que 2p no es un entero. En estas circunstancias las
relaciones (25), (26) y (27) implican que c1 = c3 = · · · = 0 mientras que
c2n =
(−1)n
c0
n! · 22n (1 − p) (2 − p) · · · (n − p)
. (28)
13

14. 0 5 10 15 20 25 30
x
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
J_(-3/2)(x),J_(-1/2)(x)
J_(-3/2)
J_(-1/2)
Figura 2: Funciones de Bessel de orden negativo J−0,5,J−3,5
Si se toma c0 = 1
2p Γ(1−p)
se obtiene una segunda soluci´on
J−p(t) =
∞
n=0
(−1)n
n! Γ(n − p + 1)
t
2
2n−p
. (29)
Puesto que J−p(t) no est´a acotada cerca a t = 0 mientras que Jp(t) si lo est´a, se sigue que
J−p(t) y Jp(t) son linealmente independientes y por tanto forman un conjunto fundamental
de soluciones de la ecuaci´on de Bessel. La figura 2 muestra los gr´aficos de algunas funciones
de Bessel con orden negativo.
¿Qu´e ocurre si 2p es un entero, digamos si 2p = N? N´otese que en este caso, en virtud de
(25), (26) y (27) y si N > 1 se tendr´ıa que cN−2 = 0. Ahora, si p no es un n´umero entero
(de manera que N es impar) se sigue que c1 = c3 = · · · = cN−2 = 0. N´otese sin embargo
que las relaciones (28) correspondiente al t´ermino c2n, k = 1, 2, . . . siguen siendo v´alidas.
De este modo la funci´on J−p definida en (29) sigue proporcionando una segunda soluci´on
para la ecuaci´on de Bessel y las funciones Jp(t) y J−p(t) forman un conjunto fundamental
de soluciones.
Finalmente, cuando p sea un entero de modo que N es un n´umero par, se sigue de
la relaci´on (27), que cN−2 = 0. Iterando hacia atr´as esta misma relaci´on se concluye que
cN−2 = cN−4 = · · · = c0 = 0 lo que significa que no existe una soluci´on de la forma
x(t) = t−p ∞
n=0 cn tn
, con c0 = 0, en el caso en el que p sea entero. As´ı, para tales valores
de p el m´etodo de Frobenius no proporciona un conjunto fundamenta de soluciones.
Una segunda soluci´on podr´ıa obtenerse a partir de Jp(t) empleando el m´etodo de reduc-
ci´on de orden. Alternativamente puede procederse como sigue. Si p no es entero se define la
14

15. funci´on
Yp(t) =
cos p π Jp(t) − J−p(t)
sen p π
Es claro que Yp(t) y Jp(t) forman un conjunto fundamental para la correspondiente ecuaci´on
de Bessel. Ahora si p = n es un n´umero entero se define
Yn (t) = l´ım
p→n
Yp(t).
Se demuestra en textos especializados (ver [1]) que Yn(t) es una soluci´on de la ecuaci´on de
Bessel y que cualquier soluci´on x = x(t) de la ecuaci´on de Bessel en (0, ∞) es de la forma
x(t) = c0 Jp(t) + c1 Yp(t), 0 < t < ∞,
donde c0 y c1 son constantes. Las funciones Yp se denominan funciones de Bessel de segunda
especie de orden p.
Las funciones Jp(t) y Yp(t) han sido extensamente estudiadas por la importancia que tie-
nen en varios modelos matem´aticos. Existen acerca de estas funciones verdaderos tratados
como el de G. Watson [3], res´umenes muy bien logrados como el de I. Stegun y M., Abra-
mowitz [2] y presentaciones elementales como las de Simmons [4]. Las funciones de Bessel se
encuentran integradas a programas como Mathematica R .
Ejercicios
1. Halle los puntos singulares de las ecuaciones diferenciales siguientes y determine si son
regulares. Suponga que α es constante
a) (1 − t2
) x − 2t x + α (α + 1) x = 0,
b) t2
x + (1 − t) x = 0,
c) t x + sen t x = 0,
d) t3
(t − 1) x − 2(t − 1) x + 3t x = 0,
e) t x + cos t x + t2
x = 0,
f ) t2
(t2
− 1) x − t (1 − t) x + 2x = 0,
2. Demuestre directamente la convergencia de las funciones de Bessel de primera especie.
3. Halle la soluci´on general de t2 d2x
dt2 + t dx
dt
+ 4x = 0, t > 0.
4. Dada la ecuaci´on t x + 2x − t x = 0, t > 0, encuentre todas las soluciones de la
forma x(t) = tr ∞
n=0 cn tn
con c0 = 0. Si es posible escr´ıbalas en t´erminos de funciones
elementales. ¿Forman estas soluciones un conjunto fundamental?
5. Hallar todas las soluciones de t x + (1 − t) x + 2x = 0, t > 0, de la forma x(t) =
tr ∞
n=0 cn tn
. ¿Forman estas soluciones un conjunto fundamental?
6. Resolver 2t x + (1 + t) x − 2x = 0, t > 0.
7. Halle la soluci´on general en t´ermino de funciones de Bessel;
a) t2
x + t x + (36t4
− 1) x = 0, t > 0. Sug. s = 3t2
15

16. b) t2
x + x + x = 0, t > 0. Sug. s = 2
√
t
8. Muestre que x(t) =
√
t J1/2(t) es soluci´on de x + x = 0. Deduzca que para alguna
constante c se tiene J1/2(t) = c sen t√
t
.
9. Para la ecuaci´on t x + x + t x = 0, halle la soluci´on sobre 0 < t < ∞ que satisface
x(1) = 0, x (1) = 1. Muestre que no hay ninguna soluci´on que satisfaga x(0) = 0 y
x (0) = 1.
10. Muestre que la sustituci´on s = 1
t
transforma la ecuaci´on t4 d2x
dt2 + x = 0 en la ecuaci´on
s d2x
ds2 − 2dx
ds
+ s x = 0. Determine si el punto s = 0 es ordinario, singular regular o
singular no regular. Resuelva la ecuaci´on mediante los m´etodos tratados en esta gu´ıa.
Ver ejemplo 10.
Referencias
[1] Rabenstein, A.: Introduction to ordinary Differential Equations. Academic Press, New
York, 1966.
[2] Stegun, I., Abramowitz, M.: Pocketbook of Mathematical Functions (Abridged edition),
Verlag Harri Deutsch, 1984
[3] Watson, G. A: Treatise on the Theory of Bessel Functions. University Press, Cambridge,
1962.
[4] Simmons, G. F.: Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas hist´oricas, McGrawHill,
Mexico, 1993.
16