Este documento presenta los conceptos básicos de sistemas de coordenadas, incluyendo el eje numérico, plano cartesiano, recta y circunferencia. Explica cómo usar coordenadas para representar puntos y calcular distancias entre puntos. También describe cómo encontrar ecuaciones para rectas y circunferencias usando puntos, pendientes y radios.

1. Sesión 1: SISTEMA DE COORDENADAS
• Eje numérico
• Plano cartesiano
• Recta
• Circunferencia
Departamento Académico de Matemáticas
INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMÁTICO
Prof. Rosario Diomedes Delgado Vásquez
ING. AGROINDUSTRIAL

2. SISTEMA DE COORDENADAS EN LA REALIDAD

3. 1.1 EJE NUMÉRICO
Consideremos la recta horizontal 𝑋′
𝑋 y sea O un
punto fijo sobre la recta L. El punto O se llama
origen del sistema coordenado. Se toma una
longitud adecuada como unidad de medida,
dividiendo la recta a ambos lados de O. A cada
punto de la recta 𝑋′
𝑋 corresponde un número
real. Por convención, si el punto está al lado
derecho de O, tiene coordenada positiva; si está
al lado izquierdo, tiene coordenada negativa. A
esta recta se le denomina recta real o eje
numérico (Ver Figura 1).
Cada punto P sobre la recta tiene una
coordenada x, representado de la forma P(x).
Por ejemplo, en la Figura 2, el punto A tiene por
coordenada A(−3) y el punto Q, tiene
coordenada 𝑄
5
2
O 1 2 3 4
-1
-2
-3
Fig. 1 Eje numérico
ℒ
O 1 2 3 4
-1
-2
-3
Fig. 2 Coordenadas de los puntos A y Q
A Q ℒ
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Dados dos puntos sobre el Eje numérico 𝑃 𝑥1 y Q 𝑥2 , la distancia entre P y Q,
representada por |P Q| está definida por: |𝑃𝑄| = 𝑥2 − 𝑥1

4. Ejemplo 1 Hallar la distancia entre los puntos A(−2) y B(3)
Solución
𝐴𝐵 = 3 − (−2) = 5
O 1 2 3 4
-1
-2
-3
A B
𝐴𝐵
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA
Consideremos los puntos 𝑃 𝑥1 y Q 𝑥2 , extremos del segmento 𝑃𝑄. Supongamos que
se requiere hallar un punto que divida al segmento en una razón r dada a partir de 𝑃.
Sea 𝑅(𝑥), el punto que cumple con esa condición (Ver Figura 4).
𝑃 𝑄
𝑅
𝑥1
𝑥2
𝑥
La razón 𝑟, a partir de 𝑃 es:
𝑟 =
𝑃𝑅
𝑅𝑄
De donde
𝑥 =
𝑥1 + 𝑟𝑥2
1 + 𝑟
Ejemplo 2 Hallar la coordenada del punto 𝑃(𝑥) que está a
2
3
de la distancia de A(−4) a B(2)
Solución
𝑟 =
𝐴𝑃
𝑃𝐵
=
2
3
1
3
, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
𝑥 − (−4)
2 − 𝑥
= 2, 𝑥 = 0
Fig. 3

5. 1.2 EL PLANO CARTESIANO
Este sistema está formado por dos rectas 𝑋𝑋′ y 𝑌𝑌′, perpendiculares entre sí, llamadas ejes
coordenados. Las rectas se cortan en el punto O, llamado origen de coordenadas. A la recta 𝑋𝑋′ se
le llama eje x o eje de abscisas y a la recta 𝑌𝑌′se le llama eje y o eje de ordenadas (Ver Figura 4).
Las coordenadas de un punto 𝑃 en el sistema coordenado rectangular es de la forma 𝑥, 𝑦 y se
representa 𝑃(𝑥, 𝑦), donde 𝑥 es la distancia del punto al eje 𝑥 y 𝑦, la distancia del punto al eje 𝑦.
Observe en la Figura 4 derecha, la ubicación de los puntos C, D y E, con sus respectivas
coordenadas cartesianas.
Se debe adoptar una escala apropiada en cada eje coordenado para poder representar
adecuadamente puntos de coordenadas conocidas. Ambos ejes coordenados pueden tener escalas
iguales o diferentes.
Fig. 4

6. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
𝑃𝑄 = 𝑥2 − 𝑥1
2 + 𝑦2 − 𝑦1
2
La distancia entre los puntos 𝑃 y 𝑄, es:
Ejemplo 3 Hallar la distancia entre los puntos A(−4,-1) a B(2,-5)
Solución
𝐴𝐵 = 𝑥2 − 𝑥1
2 + 𝑦2 − 𝑦1
2
𝐴𝐵 = 2 − (−4) 2 + −5 − (−1) 2
𝐴𝐵 = 6) 2 + −4) 2
𝐴𝐵 = 52
Fig. 5
Fig. 6

7. LA RECTA EN LA REALIDAD

8. 1.3 LA RECTA
La línea recta 𝐿, es el lugar geométrico de los puntos del plano tal que si se toman dos,
cualesquiera de ellos, la razón entre la diferencia de sus ordenadas y la diferencia de las
abscisas es constante.
El ángulo de inclinación de una recta 𝐿, es aquel ángulo formado por la recta dirigida
hacia arriba y la parte positiva del eje 𝑋.
La pendiente 𝑚 de una recta 𝐿, es la tangente del ángulo de inclinación 𝜃, es decir,
𝑚 = 𝑡𝑎𝑛 𝜃 .
𝜃
𝑥
𝑦
𝐿
𝑥
𝑦
𝐿
𝜃
𝑥
𝑦
𝐿
𝜃
𝑥
𝐿
𝑦
0 < 𝜃 < 900
900
< 𝜃 < 1800
𝜃 = 00 𝜃 = 900
𝑚 > 0 𝑚 < 0
𝑚 = 0 𝑚 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
Fig. 7

9. Teorema: La recta que pasa por los puntos 𝑃 𝑥1, 𝑦1 y 𝑄 𝑥2, 𝑦2 , donde 𝑥1 ≠ 𝑥2, tiene pendiente
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
Observaciones
1. Si las ordenadas de los puntos son iguales, la recta es paralela al eje 𝑋 y su
pendiente es igual a cero.
2. Si las abscisas de los puntos son iguales, la recta es paralela al eje 𝑌 y su
pendiente es infinita.
Teorema:Si las rectas 𝐿1 y 𝐿2 tienen pendientes m1 y m2 respectivamente, entonces
el ángulo entre las dos rectas es:
𝑡𝑎𝑛 𝜃 =
𝑚2 − 𝑚1
1 + 𝑚2𝑚1
Corolario: Si las rectas 𝐿1 y 𝐿2 tienen pendientes 𝑚1 y 𝑚2 respectivamente,
entonces:
1. 𝐿1 ∥ 𝐿2 ⟹ 𝑚1 = 𝑚2 (Fig. 9)
2. 𝐿1 ⊥ 𝐿2 ⟹ 𝑚1. 𝑚2 = −1 (Fig. 10)
𝜃
Fig. 8 Fig. 9 Fig. 10

10. Ejemplo 4. Determinar el ángulo obtuso, que forman las rectas 𝐿1: 2𝑦 + 𝑥 = 6, 𝐿2: 𝑦 − 3𝑥 + 1 = 0.
Solución
Ejemplo 5. La recta que pasa por los puntos 𝐴 3,4 y 𝐵 −5,0 intercepta a la recta que pasa por
𝐶 0,0 y 𝐷 −5,0 . Hallar el ángulo de intersección.
Solución
A(0,3) y B(6,0)𝐿1  𝑚1 = −
1
2
P(0,-1)y Q(1/3,0) 𝐿2  𝑚2 = 3
De la gráfica adjunta tenemos que,
𝑡𝑎𝑛 𝜃 =
3 − −
1
2
1 + 3 −
1
2
=
7
2
−
1
2
= −7
𝑚𝐴𝐵 =
4 − 0
3 − (−5)
=
1
2
, 𝑚𝐷𝐶 =
0 − 0
−5 − 0
= 0
Por teorema 2, 𝑡𝑎𝑛 𝜃 =
0−
1
2
1+(0)(
1
2
)
= −
1
2
, 𝜃 = 153.43 0
Ejemplo 6. Dos rectas que pasan por (3,2) forman un ángulo de 45. Si la pendiente de una de las
rectas es 1, encuentre la pendiente de la otra recta.
Solución
𝑚1 = 1, 𝑚2 = 𝑎
tan 450
=
1 − 𝑎
1 + 𝑎
= 1, 𝑎 = 0
Fig. 11

11. ECUACIONES DE UNA RECTA:
1. La ecuación de la recta que pasa por los puntos 𝑃 𝑥1, 𝑦1 y 𝑄 𝑥2, 𝑦2 es: 𝑦 − 𝑦1 =
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
𝑥 − 𝑥1
2. La ecuación de la recta que pasa por el punto 𝑃 𝑥1, 𝑦1 y cuya pendiente es 𝑚 es: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1
3. La Ecuación de la recta que intercepta a los ejes coordenados en los puntos 0, 𝑏 y 𝑎, 0 , es:
𝑥
𝑎
+
𝑦
𝑏
= 1
4. La ecuación de la recta que pasa por el punto 0, 𝑏 y tiene pendiente 𝑚, es: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
5. La forma general de la ecuación de la recta, con variables 𝑥, 𝑦, es de la forma: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
Ejemplo 7. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1,4) y es paralela a la
recta que pasa por los puntos A(-3,2) y B(2,6).
Solución
La recta buscada es: L, además 𝑚𝐴𝐵 = 𝑚𝐿.
La pendiente de la recta que pasa por A y B es:
𝑚𝐴𝐵 =
6 − 2
2 + 3
=
4
5
Aplicando la ecuación de la recta punto pendiente (1), obtenemos la ecuación de la
recta buscada:
𝑦 − 4 =
4
5
𝑥 − 1

12. Ejemplo 8. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto 𝑃 −1,2 y es perpendicular a
la recta 3𝑥 − 4𝑦 + 1 = 0.
Solución
La recta a encontrar lo denotamos por 𝐿, la cual contiene al punto 𝑃 −1,2 .
Primero determinamos la pendiente de la recta 3𝑥 − 4𝑦 + 1 = 0:
3𝑥 − 4𝑦 + 1 = 0 ⟺ 𝑦 =
3
4
𝑥 +
1
4
Entonces la pendiente de la recta 3𝑥 − 4𝑦 + 1 = 0, es 𝑚 =
3
4
.
Como las dos rectas son perpendiculares, entonces:
𝑚𝐿𝑚 = −1
De donde 𝑚𝐿 = −
4
3
. Entonces la ecuación de la recta 𝐿 es:𝑦 − 2 = −
4
3
𝑥 + 1 .
Ejemplo 9. Observa la figura y determina la ecuación de la recta.
Solución
Usando el resultado (3), la ecuación de la recta es:
𝑥
−2
+
𝑦
4
= 1
Fig. 12

13. LA CIRCUNFERENCIA EN LA REALIDAD

14. 1.4 LA CIRCUNFERENCIA
La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan
de un punto fijo llamado centro.
Teorema: Formas de la ecuación de la Circunferencia
Forma ordinaria. Sea el centro 𝐶 ℎ, 𝑘 y radio 𝑟, entonces la ecuación de la
circunferencia es: 𝑥 − ℎ 2
+ 𝑦 − 𝑘 2
= 𝑟2
Forma general. Toda circunferencia se puede expresar por medio de la ecuación:
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
que completando a un trinomio cuadrado perfecto da:
𝑥 +
𝐷
2
2
+ 𝑦 +
𝐸
2
2
=
𝐷2
+ 𝐸2
− 4𝐹
4
así el centro es 𝐶 −
𝐷
2
, −
𝐸
2
y el radio 𝑟 =
1
2
𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐹.
Si 𝐷2
+ 𝐸2
− 4𝐹 > 0, la circunferencia es real.
Si 𝐷2
+ 𝐸2
− 4𝐹 < 0, la circunferencia es imaginaria.
Si 𝐷2
+ 𝐸2
− 4𝐹 = 0, la ecuación representa al punto −
𝐷
2
, −
𝐸
2
.
Fig. 11

15. Ejemplo 10. Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos, 𝐴(−1,4) y 𝐵(3, 6).
Hallar la ecuación de la circunferencia.
Solución
El centro de la circunferencia es, 𝐶
3+(−1)
2
,
6+4
2
= 𝐶 1,5
Su radio es, 𝑟 = 1 − (−1) 2 + 5 − 4 2 = 5
La ecuación de la circunferencia es:
𝑥 − 1 2
+ 𝑦 − 5 2
= 5
Ejemplo 11. Encuentre la ecuación de la circunferencia con centro en 𝐶 4. 3 y pasa por el punto
𝑃(5, −2)
Solución
La forma ordinaria de la circunferencia es 𝑥 − ℎ 2
+ 𝑦 − 𝑘 2
= 𝑟2
𝑥 − 4 2
+ 𝑦 − 3 2
= 𝑟2
5 − 4 2
+ −2 − 3 2
= 𝑟2
1 + 25 = 𝑟2
Entonces la ecuación de la circunferencia es:
𝑥 − 4 2
+ 𝑦 − 3 2
= 26
Fig. 12
Fig. 13

16. ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
• Dado el punto de contacto 𝑃 𝑥0, 𝑦0 , la recta tangente es ℒ𝑇: 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚 𝑥 − 𝑥0 .
• Dada su pendiente "𝑚", la recta tangente es ℒ𝑇: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑘
• Dado un punto exterior 𝑃 𝑥0, 𝑦0 , la recta tangente es ℒ𝑇: 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚 𝑥 − 𝑥0 .
En cada caso se aplica la condición de tangencia, es decir que al reemplazar la recta
tangente en la ecuación de la circunferencia, al momento de despejar 𝑥 o 𝑦 el
discriminante se iguala a cero.
𝑃
𝑚
𝑃
Fig. 14

17. Ejemplo 12. Hallar las ecuaciones de las tangentes trazadas desde el punto de coordenadas P(4,-4)
a la circunferencia, 𝑥2
+ 𝑦2
− 6𝑥 + 2𝑦 + 5 = 0
Solución
Consideremos a la recta tangente T, como: 𝑦 + 4 = 𝑚 𝑥 − 4
Reemplazando en la ecuación de la circunferencia, se obtiene:
(𝑥 − 3)2
+(𝑦 + 1)2
−5 = 0
(𝑥 − 3)2
+(𝑚𝑥 − 4𝑚 − 3)2
−5 = 0
𝑥2
1 + 𝑚2
+ 𝑥 −6 − 6𝑚 − 8𝑚2
+ 16𝑚2
+ 24𝑚 + 13 = 0
∆= −6 − 6𝑚 − 8𝑚2 2
− 4 1 + 𝑚2
16𝑚2
+ 24𝑚 + 13 = 0
2𝑚2
− 3𝑚 − 2 = 0
𝑚 =
3 ± 25
4
=
3 ± 5
4
𝑚1 = 2, 𝑚2 = −
1
2
𝑦 + 4 = 2 𝑥 − 4 , 𝑦 + 4 = −
1
2
𝑥 − 4
Fig. 15