Carlos herrera palma

I.E “SANTA MARIA REINA” Quinto A-B-C-D Lic. HUGO RIVERA PRIETO
1
SISTEMA CARTESIANO
Esta formado por dos rectas orientadas
secantes y perpendiculares en el origen,
llamados ejes, al plano que determinan se le
llama cartesiano y esta constituido por cuatro
cuadrantes.


x : Eje de Abscisas


y : Eje de Ordenadas.
PAR ORDENADO
Es un arreglo de dos números reales que
indican la posición de un punto en el plano
cartesiano. A otros puntos se les llama
componentes o coordenadas del punto.
Ejemplo: Ubicar los puntos : A(3 , 4) ; B (-1,4) ;
C(6, -5)
PROPIEDADES:
a) Punto medio de un segmento de recta
 M = 




 
2
yy
;
2
xx 2121
b) Distancia entre dos puntos
 por el T. Pitágoras : ABH :
d = 2
12
2
12 )yy()xx( 
d = 22
)y()x( 
P(x , y)
y
x
x : Primera componente o
abcisa
y : Segunda componente u
ordenada
A
O
y
x
(x1,y1)
(x2,y2)
(x2-x1)
d
B
(y2- y1)
II I
III IV
x
y
xm =
ym =
P1
M
O
y
x
(x1,y1)
(xm,ym)
(x2,y2)
P2
C(6,-5)
(3,4)B(-1,4)
x

2
1. Calcular el punto medio de AB
a) (3,5) b) (3,4) c) (-3,5)
d) (3,-4) e) (3,5)
2. Calcule el punto medio de PQ
a) (3,3)
b) (4,4)
c) (0,4)
d) (3,0)
e) (4,3)
3. Del grafico, calcular “M”
a) 





 1,
2
1
b) 





1,
2
1
c) (1,1)
d) 





2
1
,
2
1
e) 






2
1
,
2
1
4. Calcular la distancia entre los puntos A y B
A = (3,4) ; B = (6,3)
a) 2 b) 5 c) 10
d) 2 e) 6
5. Calcular la distancia entre P y Q.
Si: P = (1,1) y Q = (3,3)
a) 2 b) 2 2 c) 3 2
d) 2 e) 6
6. Calcular la distancia que une los puntos medios
de AB y CD
a) 7
b) 13
c) 39
2 5
d) 29
7. Calcular la distancia que une los puntos medios
de los segmentos AB y CD .
a) 1
b) 2
c) 3
d) 2
e) 5
8. El punto A se encuentra sobre el eje X y el
punto B sobre el eje Y; si el punto P (-3;5)
biseca al segmento de recta
AB. Determinar las coordenadas de dichos
puntos
9. Los puntos medios de los lados de un triángulo
son (2;5), (4;2) y (1;1). Hallar las coordenadas
de los tres vértices.
10. Encuentre un punto sobre el eje Y que sea
equidistante de los puntos (3;1) y (6;4)
1. Hallar el punto medio del segmento AB .
Si: B = (3,5) y A = (1,7)
a) (2,6) b) (3,3) c) (2,5)
d) (3,5) e) (2,7)
B(13,5)
A(1,7)
D(4,1)
C(6,11)
M
B(8,4)
A(-2,6)
y
x
(0,0)
y
x
Q
6
P
8
M
(0,0)
x
(7,5)
(0,0)
y A
B (-8,-3)
x
y
A
B (3,9)
(1,3)
C
D
(2,3)
(6,1)

3
2. De la figura, calcule el punto medio M = (x,y). Dar
como respuesta x-y.
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
3. Calcular la distancia entre A = (3,5) y B = (2,3)
a) 1 b) 2 c) 5
d) 10 e) 15
4. Calcule el punto medio de AB ,
a) (3,3)
b) (4,5)
c) (8,0)
d) (8,4)
e) (6,4)
5. Calcule la distancia de “A” al lado BC
a)
2
3
b)
2
3 3
c)
2
3 2
d)
4
3
e)
2
2
6. Encuentre el punto sobre el eje X que equidista
de los puntos (3;1) y 6;4)
7. Determine el punto P(x;y) en el primer cuadrante
tal que con los puntos O(0;0) y Q(-3;4) forme un
triángulo equilátero.
8. Determine el punto (x;y) tal (4;5) está a dos
tercios del camino que va de (2;1) a (x;y) en el
segmento que conecta a dichos puntos.
9. Dados A(-4;3) y B(21;38), determine las
coordenadas de los cuatro puntos que dividen a
AB en cinco partes iguales.
Ecuación de la Recta:
Es una expresión matemática que sólo se verifica o
satisface para los puntos de la recta.
De acuerdo a la forma de la ecuación se tiene la
ecuación punto-pendiente y la ecuación general.
EcuaciónPunto Pendiente
a, b y c:
Ec. General: ax + by + c = 0 constantes
Recta que pasa por el origen de coordenadas
Sea la ecuación: Y = - X
Vemos que la ecuación anterior carece de ordenada al
origen, es decir: b = 0. La recta pasa por el origen 0
b = 0 m = tg =


cos
sen
=
u1
u1
Rectas paralelas
Dadas dos rectas que responden a las siguientes
ecuaciones:
y1 = m1 x + b1
y2 = m2 x + b2
Dichas rectas serán paralelas si: m1 = m2
x
y
(-1,1)
(9,5)
M
45º
(4,8)
A
B
y
x
B
A
(4,2)
C
(2,1)
(3,3)
Y
X
(0,b)
(a,0)0
º
L
x
y

4
Ej.: gráfico – numérico
y1 = 2x + 7
y2 = 2x + 3
m1 = m2 = 2
Rectas perpendiculares
Dadas dos rectas y1 , y2 que responden a las
siguientes ecuaciones:
y1 = m1 x + b1
Y2 = m2 x + b2
Si: m1 =
2m
1
las rectas serán perpendiculares.
Ej. gráfico – numérico
y1 = 3x + 6
y2 = -
3
1
x + 3
Casos particulares:
Si: m = 0
resulta y = b = constante
será una recta paralela al eje x.
Ej.: y = 4
Un caso similar se presenta si: x = a = constante
Su representación será una recta paralela al eje Y.
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Dadas las coordenadas de dos puntos de una recta es
posible encontrar la ecuación de la recta que
determine.
Dados Po (xo ; yo) y P1 (x1 ; y1), dos puntos cualesquiera,
representamos ambos en el plano:
y = b
b
x
y
y = a
a
x
y
-x x
-y
3
6
y
3 u
1 u
3 u
1 u

5
sen  =
.hip
.op.cat
=
1o
o1
PP
yy 
cos  =
.hip
.ady.cat
=
1o
o1
PP
yy 
tg  =


cos
sen
=
1o
o1
1o
o1
PP
xx
PP
yy


=
1o
o1
pp
yy 
=
o1
o1
xx
yy 
= m
Tomando un punto cualquiera entre Po y P1, en nuestro
caso M (x,y), la tangente de la recta en ese punto es:
m = tg
o sea m =
o
o
yx
yy


pero como  =  resulta tg = tg
(por correspondiente);
de donde; y – yo =
o1
o1
xy
yy


(x – xo)
Ecuación de la recta que pasa por 2 puntos
Ej.: numérico:
Dados Po (4,3) y P1 (2, -1), reemplazando en la fórmula
se tendrá:
y – yo =
o1
o1
yx
yy


(x – xo)
y – 3 =
42
3)1(


(x – 4)
y = 2x – 8 + 3 = 2x – 5
y = 2x – 5
1. Qué inclinación tienen las siguientes rectas:
i. Si es paralela al eje X
ii. Si es paralela al eje Y
iii. Si es paralela a la bisectriz del primer
cuadrante
iv. Si es paralela a la bisectriz del segundo
cuadrante
2. Qué pendiente tienen las siguientes rectas:
i. Si es paralela al eje X
ii. Si es paralela al eje Y
iii. Si es paralela a la bisectriz del primer
cuadrante
iv. Si es paralela a la bisectriz del segundo
cuadrante
3. Hallar la pendiente de los segmentos
determinados por los siguientes puntos.
i. A(3;4) , B(-1;2)
ii. C(7;8) , D(-1;-5)
iii. E(4;5) , F(-2;5)
iv. G(5;-3) , H(5;7)
4. Haciendo uso de pendientes diga si son
colineales los puntos:
i. A(-3;-2) , B(-1;-2) y C(0;4)
ii. M(10;0) , N(9;2) , P(6;8)
iii. R(-2;-3) , S(2;-1) y T(10;3)
5. Determinar la inclinación de las rectas cuya
pendiente es:
i.
3
3
ii. 1
iii. -1
iv. 3
6. Calcular la pendiente de la recta.

S
a)
4
3
b) 2
c)
2
1
d) 2
e) 1
7. Calcular la ecuación de la recta punto
pendiente:
a) y = x-1 b) y = x+1 c) y = 2x+1
d) y = 1-x e) x – 3
x
y
3
3
3
(0,1)
(-1,0)
y
x

6
8. Determine la ecuación de la mediatriz del
segmento. Si: A (-3,2) y B (1,6)
a) y = x+3 b) y = 2x+3 c) y = -x+3
d) y = -2x+3 e) y = x-3
9. Una recta pasa por el punto P(1;6) la suma de
las coordenadas en el origen es 2. ¿Cuál es la
ecuación general de la recta?
10. Una recta tiene pendiente m = 4; además la
suma de los cuadrados de sus coordenadas en
el origen es 17. ¿Cuál es su ecuación?
11. El punto Q(-3;1) divide al segmento de recta
interceptado por los ejes según la razón:
QA
QB
= -
2
1
Hallar la ecuación de la recta
12. Dados los puntos P(2;3) y Q(-1;0), hallar la
ecuación de la recta que pasa por Q,
perpendicular al segmento PQ
13. Determinar para que valor de a la recta:
(a + 2)x + (a2
– 9)y + 3a2
– 8a + 5 = 0
a) es paralela al eje de abscisas;
b) es paralela al eje de ordenadas;
c) pasa por el origen de coordenadas
14. Determinar para qué valores de a y b las dos
rectas
ax – 2y – 1 = 0 , 6x – 4y – b = 0
a) tienen un punto común;
b) son paralelas
c) son perpendiculares
15. Determinar para qué valores de m y n las dos
rectas:
a) son paralelas
b) coinciden
c) son perpendiculares
d) concurrentes
1. Hallar el área del triángulo formado por las
rectas
1L

: y = 3x – 5
2L

: y =
2
x
3L

: y = 4
a) 6 2
b) 13 c) 7,5
d) 15 e) 30
2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el 1er.,
2do. y 4to. cuadrante. El punto (3,2) pertenece a
ellas y los interceptos son iguales.
a) y = x+5 b) y = -x+5 c) y = x-5
d) y = 2x+5 e) y = x-3
3. Dado el triángulo ABC, se tiene que A(2,3), B(3,6)
y C(5,4). Calcule la ecuación de la recta que pasa
por la altura, relativa al lado AC ,
a) y = 3x+10 b) y = 3x+20 c) y= 2x+30
d) y = x+12 e) y = 3x+15
4. Calcular la ecuación de la recta L
(0,b)
(3,2)A
(b,0)
x
y
60º
60º 60º
(0,4)
(0,0)
10
L
B
A
C
x
y

7
a) y = 3 x-4 d) y = 5 3 x-4
b) y = 




 
5
435 x+4 e) y=
5
)435( 
x-4
c) y = 5 - 4
5. Calcule la ecuación de la recta que pasa por el
punto (7,8) y es paralela a la recta que pasa por
los puntos (-2,2) y (3-4)
a) y = x + 5 d) y =
5
2 x -
5
36
b) y =
5
2 x -
5
26 e) y =
5
x2
+ 30
c) y =
5
2 x +
5
26
6. Calcular el valor de “k”; para que la recta
kx + 3y – 9 = 0, determine en el eje “x”, un
segmento igual a – 4.
a) -
4
9 b) -
3
4 c)
8
9
d) 2 e) 1
7. Determine el área de la región sombreada:
Si:
1L

: y = x + 2
2L

: Y = -2x + 5
a) 11 b) 11,5 c) 22
d) 21 e) 23
8. Calcular el área de la región poligonal ABCD
a) 42 b) 82 c) 164
d) 41 e) 52
9. El área de un triángulo es 8 u2
; dos de sus
vértices son los puntos A(1;-2), B(2;3) y el tercer
vértice C está en la recta
2x + y – 2 = 0
Determinar las coordenadas del vértice C.
10. Dados los vértices de un triángulo A(1;-1), B(-2;1)
y C(3;5), hallar la ecuación de la recta
perpendicular trazada desde el vértice A a la
mediana trazada desde el vértice B.
11. Hallar las ecuaciones de los lados de un triángulo
ABC conociendo uno de sus vértices C(4;-1) y las
ecuaciones de una de las alturas 2x-3y + 12 = 0 y
la mediana.
12. Una recta pasa por el punto de intersección de
las rectas:
2x – 3y – 5 = 0 y x + 2y – 13 = 0
y el segmento que determina sobre el eje X es
igual al doble de su pendiente. Hallar la ecuación
de dicha recta.
13. Determinar los valores de k1 y k2 para que las dos
ecuaciones:
k1x – 7y + 18 = 0 y 8x – k2y + 9k1 = 0
Representan la misma recta
14. Una recta L1, de pendiente negativa cuya
ordenada en el origen es 5, forma con el eje de
ordenadas y con la recta L2 : 7x – y – 19 = 0, un
triángulo de área 36 u2
. Determinar la ecuación
general de la recta L1.
15. Hallar la ecuación de una recta L de pendiente
positiva que intercepta al eje X en un punto A y a
la recta L1 : x = 6 es un punto B de ordenada 8, si
se sabe además que L, L1 y el eje X determinan un
triángulo de área igual a 48 u2
.
x
y (7,8)
(3,4)
(-2,2)
L2
L1
y
x
L1
L2
x
y
(-4,0)
L : kx + 3y – 9 = 0
x
y
(12,1)
(12,12)(6,12)
(2,3)

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