Este documento describe un curso de 40 horas sobre el uso de software matemático para comprender conceptos de geometría analítica. El curso cubrirá temas como geometría euclidiana, geometría cartesiana, coordenadas cartesianas y polares, ecuaciones de rectas, y cálculo de pendientes y puntos medios. El objetivo es utilizar el software para verificar cálculos y hacer los temas más comprensibles.
Sistemas de coordenadas Cilíndricas y Esféricas. Transformación de coordenadas en el espacio tridimensional. Presentación dedicada a estudiantes de Geometría Analítica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad José Antonio Páez. Valencia, Venezuela. Abril 2015.
Momento de fuerza y equilibrio de una particulaHernan Romani
Este documento trata sobre el momento de fuerza y el equilibrio de una partícula. Explica cómo calcular el momento de una fuerza y aplica este concepto para resolver un problema de ingeniería. También define el equilibrio de una partícula y aplica esta noción para resolver otro problema de cálculo de tensiones. Concluye que aplicar conceptos de física como el momento y el equilibrio es importante para analizar problemas ingenieriles y obtener resultados precisos.
El documento presenta los resultados de un experimento sobre péndulos simples. El objetivo era determinar la relación entre el periodo y la longitud del péndulo, variando la longitud y midiendo los periodos. Los resultados mostraron que a menor longitud corresponde un periodo menor, y la gráfica de T vs √L dio una recta con pendiente 2,057, consistente con la teoría. El periodo resultó independiente de la masa.
El documento trata sobre los conceptos de trabajo, energía y potencia. Explica que el trabajo total realizado sobre un cuerpo está relacionado con los cambios en su energía cinética. También define la potencia como la rapidez con que se realiza el trabajo. Finalmente, presenta varios ejemplos y ejercicios para aplicar estos conceptos.
1. Se calcula la intensidad de corriente en un alambre donde pasan 5x1014 electrones por segundo, obteniendo 8.045x105 A.
2. Se calcula la intensidad de corriente debida a la rotación de una esfera con carga de 60nC que gira a 120 rad/s, obteniendo 3.6x106 A.
3. Se calcula la cantidad de carga que pasa a través de un conductor donde la intensidad de corriente varía con el tiempo entre t=3s y t=6s, obteniendo 1659.8 C.
Este documento presenta los objetivos, materiales, fundamentos teóricos y procedimiento de un experimento para determinar y representar las líneas equipotenciales y de campo eléctrico entre electrodos. Se explican conceptos como campo eléctrico, potencial eléctrico y diferencia de potencial. El procedimiento incluye armar un circuito con electrodos y medir las diferencias de potencial para trazar las líneas equipotenciales y analizar las características del campo eléctrico generado.
La ley de Gauss permite calcular campos eléctricos de distribuciones simétricas de carga. Establece que el flujo neto a través de cualquier superficie cerrada es igual a 4πε0 veces la carga neta interior. Se utiliza para derivar una expresión cuantitativa relacionando el flujo con la carga interior.
Este documento presenta los resultados de un laboratorio sobre circuitos eléctricos en serie, paralelo y mixto. El laboratorio tuvo como objetivo calcular la resistencia, intensidad y voltaje usando la ley de Ohm y distinguir entre diferentes tipos de circuitos. Se realizaron mediciones en circuitos construidos con 5 resistencias y se compararon los valores medidos con los valores calculados. El documento concluye que se logró reconocer cómo varían las magnitudes eléctricas en cada tipo de circuito.
Sistemas de coordenadas Cilíndricas y Esféricas. Transformación de coordenadas en el espacio tridimensional. Presentación dedicada a estudiantes de Geometría Analítica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad José Antonio Páez. Valencia, Venezuela. Abril 2015.
Momento de fuerza y equilibrio de una particulaHernan Romani
Este documento trata sobre el momento de fuerza y el equilibrio de una partícula. Explica cómo calcular el momento de una fuerza y aplica este concepto para resolver un problema de ingeniería. También define el equilibrio de una partícula y aplica esta noción para resolver otro problema de cálculo de tensiones. Concluye que aplicar conceptos de física como el momento y el equilibrio es importante para analizar problemas ingenieriles y obtener resultados precisos.
El documento presenta los resultados de un experimento sobre péndulos simples. El objetivo era determinar la relación entre el periodo y la longitud del péndulo, variando la longitud y midiendo los periodos. Los resultados mostraron que a menor longitud corresponde un periodo menor, y la gráfica de T vs √L dio una recta con pendiente 2,057, consistente con la teoría. El periodo resultó independiente de la masa.
El documento trata sobre los conceptos de trabajo, energía y potencia. Explica que el trabajo total realizado sobre un cuerpo está relacionado con los cambios en su energía cinética. También define la potencia como la rapidez con que se realiza el trabajo. Finalmente, presenta varios ejemplos y ejercicios para aplicar estos conceptos.
1. Se calcula la intensidad de corriente en un alambre donde pasan 5x1014 electrones por segundo, obteniendo 8.045x105 A.
2. Se calcula la intensidad de corriente debida a la rotación de una esfera con carga de 60nC que gira a 120 rad/s, obteniendo 3.6x106 A.
3. Se calcula la cantidad de carga que pasa a través de un conductor donde la intensidad de corriente varía con el tiempo entre t=3s y t=6s, obteniendo 1659.8 C.
Este documento presenta los objetivos, materiales, fundamentos teóricos y procedimiento de un experimento para determinar y representar las líneas equipotenciales y de campo eléctrico entre electrodos. Se explican conceptos como campo eléctrico, potencial eléctrico y diferencia de potencial. El procedimiento incluye armar un circuito con electrodos y medir las diferencias de potencial para trazar las líneas equipotenciales y analizar las características del campo eléctrico generado.
La ley de Gauss permite calcular campos eléctricos de distribuciones simétricas de carga. Establece que el flujo neto a través de cualquier superficie cerrada es igual a 4πε0 veces la carga neta interior. Se utiliza para derivar una expresión cuantitativa relacionando el flujo con la carga interior.
Este documento presenta los resultados de un laboratorio sobre circuitos eléctricos en serie, paralelo y mixto. El laboratorio tuvo como objetivo calcular la resistencia, intensidad y voltaje usando la ley de Ohm y distinguir entre diferentes tipos de circuitos. Se realizaron mediciones en circuitos construidos con 5 resistencias y se compararon los valores medidos con los valores calculados. El documento concluye que se logró reconocer cómo varían las magnitudes eléctricas en cada tipo de circuito.
El producto vectorial es una operación binaria entre dos vectores en un espacio tridimensional que produce un vector perpendicular a los dos vectores originales. Define el área del paralelogramo formado por los dos vectores y su sentido depende del ángulo entre ellos. Se utiliza frecuentemente para resolver problemas matemáticos, físicos o de ingeniería que involucren vectores perpendiculares.
Este documento presenta la resolución de un ejercicio de equilibrio rotacional. Se describe una situación en la que una niña de 300N y un niño de 400N están parados en una plataforma de 200N sostenida por dos soportes. Para determinar las fuerzas ejercidas por los soportes, se traza un diagrama de cuerpo libre y se aplican las dos condiciones de equilibrio: la suma de fuerzas verticales debe ser cero y la suma de los momentos de torsión en torno a un eje también debe ser cero. Esto permite
Este documento describe tres tipos de trabajo: trabajo activo, trabajo resistivo y trabajo neto. Trabajo activo se refiere al trabajo realizado por fuerzas que forman un ángulo agudo con el desplazamiento, lo que aumenta la velocidad de la partícula. Trabajo resistivo se refiere al trabajo de fuerzas con un ángulo obtuso al desplazamiento, disminuyendo la velocidad. Trabajo neto es el trabajo total cuando varias fuerzas actúan sobre un cuerpo, igual a la suma de todas las fuerzas multiplicadas por el desplazamiento
Este documento resume los conceptos clave de la desintegración radiactiva. Explica la ley de desintegración radiactiva, la producción y desintegración de radionucleidos, la actividad y sus unidades, el periodo de semidesintegración y la vida media. También describe las series radiactivas como cadenas de desintegración de núcleos inestables hasta alcanzar la estabilidad, incluyendo ejemplos de series radiactivas naturales como la del 232Th.
La cuantización de la carga eléctrica establece que los valores que puede tomar la carga son múltiplos enteros de la carga elemental del electrón, que es -1.6x10-19 C. Millikan desarrolló un experimento usando gotas de aceite cargadas en un campo eléctrico entre placas metálicas para medir directamente la carga elemental del electrón. Mediante la observación del equilibrio entre las fuerzas eléctrica y gravitatoria sobre las gotas, pudo determinar valores de carga que correspondían a múltiplos
Este documento presenta el procedimiento y resultados de un experimento sobre un péndulo simple. El objetivo era determinar el periodo del péndulo para varias longitudes de la cuerda y masas, y comparar los resultados experimentales con los valores teóricos. Se midió el periodo variando la longitud para una masa fija, variando la masa para una longitud fija, y variando el ángulo inicial. Los resultados muestran que el periodo aumenta con la longitud pero no depende de la masa, y que el sistema no describe un movimiento armónico simple.
Este documento explica las características de las funciones constantes, pares e impares. Las funciones constantes tienen pendiente cero y su gráfica es una línea horizontal. Las funciones pares son simétricas respecto al eje y y satisfacen la ecuación f(-x)=f(x), mientras que las funciones impares satisfacen f(-x)=-f(x) y son simétricas respecto al origen luego de una rotación de 180 grados. Algunos ejemplos de funciones pares son x^2, cos(x) y valor absoluto, m
El documento describe el Marco Lógico, una herramienta para el diseño, seguimiento y evaluación de proyectos. Explica que el Marco Lógico establece una relación causa-efecto entre los objetivos de un proyecto y provee indicadores para medir el progreso. También describe los pasos para construir un Marco Lógico, incluyendo el análisis de situación, problemas, objetivos, alternativas y la matriz final.
El documento presenta información sobre campos magnéticos. Define el campo magnético B y discute cómo se puede determinar la dirección de las fuerzas sobre cargas en movimiento utilizando las reglas de la mano derecha y izquierda. También explica que una carga que se mueve perpendicular a un campo B experimentará una fuerza centrípeta y describie dispositivos como el selector de velocidad y el espectrómetro de masa que usan esta interacción entre cargas y campos magnéticos.
Fuentes de campo magnetico 2. ing Carlos Moreno. ESPOLFrancisco Rivas
El documento describe la ley de Biot-Savart, que proporciona una expresión matemática para el campo magnético en un punto debido a una corriente eléctrica. El campo magnético depende de factores como la distancia al elemento de corriente, la magnitud de la corriente y el ángulo entre el elemento de corriente y la línea que une este punto con el punto de interés. También se discuten aplicaciones como el campo magnético producido por un lazo de corriente circular.
Este documento compara cinco teorías sobre motivación y comportamiento en el trabajo: la pirámide de necesidades de Maslow, la teoría X y Y, la teoría de expectativas de Vroom, y la teoría de los dos factores de Herzberg. Cada teoría define factores como necesidades, actitudes hacia el trabajo, motivación, satisfacción e insatisfacción de manera diferente. Algunas teorías como Maslow y Herzberg comparten similitudes en cómo describen necesidades básicas, mientras que las demás se enfocan en
Este documento describe las características de las ondas transversales y longitudinales. Explica que las ondas transversales involucran movimiento perpendicular a la dirección de propagación, mientras que las ondas longitudinales involucran movimiento paralelo. También describe las características de las ondas sinusoidales como amplitud, longitud de onda y período. Finalmente, cubre conceptos como velocidad de propagación, frecuencia y energía transportada por las ondas.
El documento presenta los conceptos fundamentales de la física cuántica, incluyendo la constante de Planck, la naturaleza cuántica de la luz como fotones con energía discreta dada por la ecuación de Planck, el efecto fotoeléctrico y su explicación, y la dualidad onda-partícula manifestada en las longitudes de onda de los fotones y las partículas subatómicas. El documento también explica cómo se puede usar el experimento de Planck para determinar la constante de Planck.
1) El documento describe las cantidades escalares y vectoriales, y define un vector geométricamente como un segmento de recta con magnitud y dirección.
2) Explica cómo representar la magnitud y dirección de un vector, y cómo determinar las direcciones en un plano y en el espacio tridimensional usando ángulos.
3) Describe los conceptos de igualdad de vectores, suma, resta, multiplicación por un escalar, componentes y cosenos directores de vectores. Presenta ejemplos y métodos gráficos para ilustrar los conceptos.
Este informe de laboratorio describe experimentos realizados para establecer relaciones entre la carga, el voltaje y la capacitancia de un condensador de placas paralelas. Los estudiantes mantuvieron constante uno de estos factores y variaron los otros dos para generar relaciones empíricas. También compararon los coeficientes dieléctricos de diferentes materiales insertados entre las placas del condensador. El informe incluye un marco teórico, procedimientos experimentales detallados y datos obtenidos que muestran las relaciones entre las variables medidas
Este documento presenta los resultados de un experimento de física sobre el movimiento de caída libre. El objetivo era determinar el valor de la aceleración de la gravedad mediante cinco ensayos experimentales utilizando un sensor de movimiento. Los resultados mostraron que el valor experimental de la gravedad estuvo entre 9,346 y 9,916 m/s2, lo que es muy cercano al valor teórico de 9,8 m/s2. El ensayo con menor porcentaje de error fue el número 2, arrojando un valor de 9,7 m/s
El documento describe un experimento sobre las propiedades de los campos magnéticos. Se analizaron las fuerzas y patrones de los campos magnéticos utilizando imanes y materiales como limaduras de hierro, clavos de hierro y cobre. Los resultados mostraron que los materiales ferromagnéticos como el hierro son atraídos por los imanes, mientras que otros materiales no magnéticos no son atraídos.
Problemas de campo eléctrico entre placas metálicasJuan Ramírez
El documento presenta dos problemas de física sobre campos eléctricos. El primero involucra una partícula cargada que pasa a través de dos placas paralelas con carga. La fuerza sobre la partícula se calcula como 1.28 x 10-14 N. El segundo problema determina la carga sobre una esfera suspendida entre placas cargadas como 4.24 x 10-9 C.
Este documento describe un experimento para estudiar el comportamiento de un péndulo simple. Los estudiantes midieron el período de oscilación para varias longitudes de cuerda y utilizaron estos datos para calcular el valor de la gravedad. El resumen experimental incluye tablas de datos de períodos de tiempo, cálculos de la gravedad y un análisis de errores.
Este documento presenta el informe de una práctica de laboratorio sobre el movimiento rectilíneo uniforme. La práctica tuvo como objetivo comprobar experimentalmente las leyes de este tipo de movimiento usando un carrito eléctrico. Se midieron tiempos y distancias recorridas, y con estos datos se graficaron posición vs tiempo, velocidad vs tiempo y se calculó la aceleración. Los resultados experimentales coincidieron con las ecuaciones teóricas del movimiento rectilíneo uniforme.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre el sistema de coordenadas rectangulares, incluyendo la distancia entre puntos, el punto medio de un segmento, la pendiente y ecuación de una recta, y cómo graficar una recta a partir de su ecuación. También introduce conceptos sobre ángulos entre rectas y rectas paralelas y perpendiculares. El documento contiene ejemplos y ejercicios para reforzar los conceptos presentados.
El documento trata sobre la ecuación de la recta. Explica que la ecuación general de una recta es ax + by = c, y que esta ecuación se puede poner en forma principal como y = mx + n. La pendiente m representa la inclinación de la recta, mientras que n es el intercepto con el eje y. El documento provee ejemplos para ilustrar cómo calcular la pendiente y el intercepto a partir de la ecuación de una recta.
El producto vectorial es una operación binaria entre dos vectores en un espacio tridimensional que produce un vector perpendicular a los dos vectores originales. Define el área del paralelogramo formado por los dos vectores y su sentido depende del ángulo entre ellos. Se utiliza frecuentemente para resolver problemas matemáticos, físicos o de ingeniería que involucren vectores perpendiculares.
Este documento presenta la resolución de un ejercicio de equilibrio rotacional. Se describe una situación en la que una niña de 300N y un niño de 400N están parados en una plataforma de 200N sostenida por dos soportes. Para determinar las fuerzas ejercidas por los soportes, se traza un diagrama de cuerpo libre y se aplican las dos condiciones de equilibrio: la suma de fuerzas verticales debe ser cero y la suma de los momentos de torsión en torno a un eje también debe ser cero. Esto permite
Este documento describe tres tipos de trabajo: trabajo activo, trabajo resistivo y trabajo neto. Trabajo activo se refiere al trabajo realizado por fuerzas que forman un ángulo agudo con el desplazamiento, lo que aumenta la velocidad de la partícula. Trabajo resistivo se refiere al trabajo de fuerzas con un ángulo obtuso al desplazamiento, disminuyendo la velocidad. Trabajo neto es el trabajo total cuando varias fuerzas actúan sobre un cuerpo, igual a la suma de todas las fuerzas multiplicadas por el desplazamiento
Este documento resume los conceptos clave de la desintegración radiactiva. Explica la ley de desintegración radiactiva, la producción y desintegración de radionucleidos, la actividad y sus unidades, el periodo de semidesintegración y la vida media. También describe las series radiactivas como cadenas de desintegración de núcleos inestables hasta alcanzar la estabilidad, incluyendo ejemplos de series radiactivas naturales como la del 232Th.
La cuantización de la carga eléctrica establece que los valores que puede tomar la carga son múltiplos enteros de la carga elemental del electrón, que es -1.6x10-19 C. Millikan desarrolló un experimento usando gotas de aceite cargadas en un campo eléctrico entre placas metálicas para medir directamente la carga elemental del electrón. Mediante la observación del equilibrio entre las fuerzas eléctrica y gravitatoria sobre las gotas, pudo determinar valores de carga que correspondían a múltiplos
Este documento presenta el procedimiento y resultados de un experimento sobre un péndulo simple. El objetivo era determinar el periodo del péndulo para varias longitudes de la cuerda y masas, y comparar los resultados experimentales con los valores teóricos. Se midió el periodo variando la longitud para una masa fija, variando la masa para una longitud fija, y variando el ángulo inicial. Los resultados muestran que el periodo aumenta con la longitud pero no depende de la masa, y que el sistema no describe un movimiento armónico simple.
Este documento explica las características de las funciones constantes, pares e impares. Las funciones constantes tienen pendiente cero y su gráfica es una línea horizontal. Las funciones pares son simétricas respecto al eje y y satisfacen la ecuación f(-x)=f(x), mientras que las funciones impares satisfacen f(-x)=-f(x) y son simétricas respecto al origen luego de una rotación de 180 grados. Algunos ejemplos de funciones pares son x^2, cos(x) y valor absoluto, m
El documento describe el Marco Lógico, una herramienta para el diseño, seguimiento y evaluación de proyectos. Explica que el Marco Lógico establece una relación causa-efecto entre los objetivos de un proyecto y provee indicadores para medir el progreso. También describe los pasos para construir un Marco Lógico, incluyendo el análisis de situación, problemas, objetivos, alternativas y la matriz final.
El documento presenta información sobre campos magnéticos. Define el campo magnético B y discute cómo se puede determinar la dirección de las fuerzas sobre cargas en movimiento utilizando las reglas de la mano derecha y izquierda. También explica que una carga que se mueve perpendicular a un campo B experimentará una fuerza centrípeta y describie dispositivos como el selector de velocidad y el espectrómetro de masa que usan esta interacción entre cargas y campos magnéticos.
Fuentes de campo magnetico 2. ing Carlos Moreno. ESPOLFrancisco Rivas
El documento describe la ley de Biot-Savart, que proporciona una expresión matemática para el campo magnético en un punto debido a una corriente eléctrica. El campo magnético depende de factores como la distancia al elemento de corriente, la magnitud de la corriente y el ángulo entre el elemento de corriente y la línea que une este punto con el punto de interés. También se discuten aplicaciones como el campo magnético producido por un lazo de corriente circular.
Este documento compara cinco teorías sobre motivación y comportamiento en el trabajo: la pirámide de necesidades de Maslow, la teoría X y Y, la teoría de expectativas de Vroom, y la teoría de los dos factores de Herzberg. Cada teoría define factores como necesidades, actitudes hacia el trabajo, motivación, satisfacción e insatisfacción de manera diferente. Algunas teorías como Maslow y Herzberg comparten similitudes en cómo describen necesidades básicas, mientras que las demás se enfocan en
Este documento describe las características de las ondas transversales y longitudinales. Explica que las ondas transversales involucran movimiento perpendicular a la dirección de propagación, mientras que las ondas longitudinales involucran movimiento paralelo. También describe las características de las ondas sinusoidales como amplitud, longitud de onda y período. Finalmente, cubre conceptos como velocidad de propagación, frecuencia y energía transportada por las ondas.
El documento presenta los conceptos fundamentales de la física cuántica, incluyendo la constante de Planck, la naturaleza cuántica de la luz como fotones con energía discreta dada por la ecuación de Planck, el efecto fotoeléctrico y su explicación, y la dualidad onda-partícula manifestada en las longitudes de onda de los fotones y las partículas subatómicas. El documento también explica cómo se puede usar el experimento de Planck para determinar la constante de Planck.
1) El documento describe las cantidades escalares y vectoriales, y define un vector geométricamente como un segmento de recta con magnitud y dirección.
2) Explica cómo representar la magnitud y dirección de un vector, y cómo determinar las direcciones en un plano y en el espacio tridimensional usando ángulos.
3) Describe los conceptos de igualdad de vectores, suma, resta, multiplicación por un escalar, componentes y cosenos directores de vectores. Presenta ejemplos y métodos gráficos para ilustrar los conceptos.
Este informe de laboratorio describe experimentos realizados para establecer relaciones entre la carga, el voltaje y la capacitancia de un condensador de placas paralelas. Los estudiantes mantuvieron constante uno de estos factores y variaron los otros dos para generar relaciones empíricas. También compararon los coeficientes dieléctricos de diferentes materiales insertados entre las placas del condensador. El informe incluye un marco teórico, procedimientos experimentales detallados y datos obtenidos que muestran las relaciones entre las variables medidas
Este documento presenta los resultados de un experimento de física sobre el movimiento de caída libre. El objetivo era determinar el valor de la aceleración de la gravedad mediante cinco ensayos experimentales utilizando un sensor de movimiento. Los resultados mostraron que el valor experimental de la gravedad estuvo entre 9,346 y 9,916 m/s2, lo que es muy cercano al valor teórico de 9,8 m/s2. El ensayo con menor porcentaje de error fue el número 2, arrojando un valor de 9,7 m/s
El documento describe un experimento sobre las propiedades de los campos magnéticos. Se analizaron las fuerzas y patrones de los campos magnéticos utilizando imanes y materiales como limaduras de hierro, clavos de hierro y cobre. Los resultados mostraron que los materiales ferromagnéticos como el hierro son atraídos por los imanes, mientras que otros materiales no magnéticos no son atraídos.
Problemas de campo eléctrico entre placas metálicasJuan Ramírez
El documento presenta dos problemas de física sobre campos eléctricos. El primero involucra una partícula cargada que pasa a través de dos placas paralelas con carga. La fuerza sobre la partícula se calcula como 1.28 x 10-14 N. El segundo problema determina la carga sobre una esfera suspendida entre placas cargadas como 4.24 x 10-9 C.
Este documento describe un experimento para estudiar el comportamiento de un péndulo simple. Los estudiantes midieron el período de oscilación para varias longitudes de cuerda y utilizaron estos datos para calcular el valor de la gravedad. El resumen experimental incluye tablas de datos de períodos de tiempo, cálculos de la gravedad y un análisis de errores.
Este documento presenta el informe de una práctica de laboratorio sobre el movimiento rectilíneo uniforme. La práctica tuvo como objetivo comprobar experimentalmente las leyes de este tipo de movimiento usando un carrito eléctrico. Se midieron tiempos y distancias recorridas, y con estos datos se graficaron posición vs tiempo, velocidad vs tiempo y se calculó la aceleración. Los resultados experimentales coincidieron con las ecuaciones teóricas del movimiento rectilíneo uniforme.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre el sistema de coordenadas rectangulares, incluyendo la distancia entre puntos, el punto medio de un segmento, la pendiente y ecuación de una recta, y cómo graficar una recta a partir de su ecuación. También introduce conceptos sobre ángulos entre rectas y rectas paralelas y perpendiculares. El documento contiene ejemplos y ejercicios para reforzar los conceptos presentados.
El documento trata sobre la ecuación de la recta. Explica que la ecuación general de una recta es ax + by = c, y que esta ecuación se puede poner en forma principal como y = mx + n. La pendiente m representa la inclinación de la recta, mientras que n es el intercepto con el eje y. El documento provee ejemplos para ilustrar cómo calcular la pendiente y el intercepto a partir de la ecuación de una recta.
Este documento presenta conceptos matemáticos como el plano numérico, circunferencias, cónicas, funciones y gráficas de funciones. Incluye definiciones, fórmulas y ejercicios resueltos sobre estos temas. Los estudiantes Carlos Hurtado, Erick Arrieta y Luis Padrón están estudiando estas lecciones con su profesor Miguel Rodríguez.
Plano numerico de joan cortez. unidad 2joan cortez
Este documento presenta información sobre el plano cartesiano y las cónicas. Explica las partes del plano cartesiano como los ejes, cuadrantes y coordenadas. Luego define conceptos como distancia, punto medio y ecuaciones de circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas. Finalmente, indica cómo representar gráficamente las ecuaciones de las cónicas.
Este documento presenta una guía de actividades sobre geometría analítica plana. Introduce conceptos como el plano cartesiano, distancia entre puntos, pendiente de un segmento, ecuaciones de rectas, y posiciones relativas de rectas. Incluye 26 problemas de práctica guiada y 4 problemas de práctica individual relacionados con estos temas.
Este documento describe la ecuación de la recta, incluyendo su forma general, la interpretación de la pendiente y el intercepto, y cómo calcular la pendiente a partir de dos puntos en una recta. También explica cómo determinar si dos rectas son paralelas, perpendiculares o coincidentes dependiendo de sus pendientes y interceptos.
Este documento describe la ecuación de la recta, incluyendo su forma general, la interpretación de la pendiente y el intercepto, y cómo calcular la pendiente a partir de dos puntos en una recta. También explica cómo determinar si dos rectas son paralelas, perpendiculares o coincidentes dependiendo de sus pendientes y interceptos.
Este documento describe conceptos matemáticos relacionados con la ecuación de la recta, incluyendo la pendiente, ecuaciones de rectas horizontales y verticales, paralelismo, perpendicularidad y posiciones relativas de rectas. Explica cómo calcular la pendiente de una recta a partir de dos puntos y cómo identificar el comportamiento de una recta según el valor de su pendiente.
El documento explica los conceptos básicos del plano cartesiano, incluyendo sus ejes, cuadrantes y coordenadas. También describe cómo calcular la distancia entre puntos y encontrar el punto medio de un segmento. Explica las ecuaciones para representar líneas, circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas en el plano cartesiano.
Este documento presenta los conceptos fundamentales sobre rectas en el plano cartesiano. Explica cómo calcular la distancia y punto medio entre dos puntos, así como la pendiente entre ellos. Luego define la ecuación general de una recta y cómo obtener la ecuación principal dada la pendiente y un punto, o dados dos puntos de la recta. Finalmente, describe las posiciones relativas de paralelismo, coincidencia y perpendicularidad entre rectas.
El documento presenta conceptos básicos sobre ecuaciones de rectas como la ecuación punto-pendiente, ecuación general, casos particulares de rectas paralelas y perpendiculares, ecuación de la recta que pasa por dos puntos, y cómo calcular la pendiente e inclinación de rectas dadas sus ecuaciones o puntos. También explica cómo determinar si puntos son colineales, hallar áreas de figuras geométricas relacionadas a rectas, y resolver problemas que involucran estas nociones.
Este documento presenta los conceptos fundamentales sobre las rectas en un plano cartesiano, incluyendo las diferentes formas de representar una ecuación de recta, el cálculo de pendiente, y las relaciones entre rectas paralelas y perpendiculares. Se define formalmente una recta y se explican métodos para encontrar la ecuación de una recta a partir de un gráfico o dos puntos dados.
Este documento contiene información sobre varios conceptos geométricos y sus ecuaciones analíticas, incluyendo: el plano cartesiano y cómo localizar puntos en él; cómo calcular la distancia entre dos puntos; la definición y ecuación del punto medio de un segmento; las ecuaciones y características de la circunferencia, parábola, elipse e hipérbola; y ejemplos de cómo derivar las ecuaciones de estas curvas a partir de sus definiciones geométricas. También incluye ejercicios de aplicación y
ecuaciones en el plano numerico, la representacon de conicas y desarrollo de ejercicios compuestos, para el mayor aprendizaje de conociminetos enmarcados dentro de la matematica y sus aplicaciones
Este documento presenta información sobre la pendiente de rectas representadas por ecuaciones lineales. Explica cómo calcular la pendiente usando dos puntos y diferentes fórmulas. También cubre conceptos como rectas paralelas, perpendiculares, ecuaciones de rectas y ángulos de inclinación. El objetivo es determinar la pendiente de varias rectas dadas sus ecuaciones o puntos en un plano cartesiano.
El documento describe las características y ecuaciones analíticas de varias curvas planas importantes como el plano cartesiano, la circunferencia, la elipse, la hipérbola y la parábola. Explica cómo representar puntos y curvas en un sistema de coordenadas cartesianas y define conceptos como foco, directriz y vértice que son importantes para describir las cónicas. También incluye un breve historial sobre el estudio de estas curvas.
Este documento presenta los principales conceptos de geometría analítica. Explica cómo calcular la distancia y punto medio entre dos puntos, así como la pendiente entre puntos y la ecuación de una recta a partir de puntos o pendiente. También cubre las posiciones relativas de rectas paralelas, coincidentes y perpendiculares, y introduce el sistema de coordenadas cartesianas tridimensionales.
Este documento trata sobre ecuaciones paramétricas y conceptos relacionados con álgebra vectorial. Explica que las ecuaciones paramétricas permiten representar curvas o superficies mediante valores que varían en función de un parámetro. También describe cómo el álgebra vectorial estudia sistemas de ecuaciones lineales, vectores, matrices y transformaciones lineales, y cómo se pueden usar ecuaciones paramétricas para representar gráficamente estas ideas. Además, ofrece ejemplos de cómo calcular la longitud de arco de una curva y convertir e
Este documento presenta los conceptos fundamentales de geometría analítica, incluyendo cómo calcular la distancia y punto medio entre dos puntos, determinar la pendiente y ecuación de una recta dada un punto y la pendiente o dos puntos, y representar gráficamente ecuaciones de rectas. También explica cómo determinar si dos rectas son paralelas, coincidentes o perpendiculares, y cómo ubicar puntos en un sistema tridimensional.
El documento explica las ecuaciones de las rectas, incluyendo la ecuación general, la ecuación principal y cómo calcular la pendiente. La ecuación general representa una recta como ax + by = c. La ecuación principal tiene la forma y = mx + n, donde m es la pendiente y n es el punto de intersección con el eje y. La pendiente mide el ángulo de inclinación de la recta con respecto al eje x.
1. Facilitador: Ing. Álvaro Fernando Alvizo Cruz
Objetivo:
Utilización de software matemático para
comprobación de cálculos y hacer mas
comprensivos los temas de geometría analítica.
Duración: 40 horas en 5 sesiones de 8 horas c/u.
6. Localizar los siguientes puntos en el plano
cartesiano en el cuaderno y después utilizar
software.
A(2,3) G(13,4)
B(3,5) H(6,7)
C(-10,3) I(-1,-4)
D(8,9) J(-3,-6)
E(12,-3) K(2,-8)
F(12,4) L(3,6)
10. En un sistema de coordenadas cartesianas,
situar los siguientes puntos y calcular sus
distancias respectivas.
A(3,7) Y B(17,5)
C(0,-9) Y D(9,0)
E(-2,2) Y F(-11,7)
G(-4,-6) Y H(-2,-1)
12. Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un
punto P de la recta que contiene al segmento AB, de modo que las
dos partes, PA y PB, están en la relación r:
13.
14. Encontrar las coordenadas del punto P que
divide al segmento determinado por A(8,2) y B(-
5,7) en la razón 3/4.
15. 1) Obtenga las coordenadas del punto P que divide al
segmento cuyos extremos son A(-2,-4) y B(1,4) en la razón
AP/PB=1/6.
2) Hallar las coordenadas del punto P que divide el segmento
AB en la razón AP/PB=2, donde A(1,2) y B(4,5). (Escriba la
razón r como 2/1)
3) Dados los puntos A(-5,-4) y B(-1,2), determine el punto P1
que divide el segmento de recta AB en la razón AP1/P1B=1/2,
encontrar el punto P2 que divide ese mismo segmento en la
razón AP2/P2B=2.
17. Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son:
Las coordenadas del punto medio de un segmento coinciden con
la semisuma de las coordenadas de de los puntos extremos.
21. Encontrar el punto medio de los siguientes
segmentos.
A(3,4) y B(7,7)
C(2,1) y D(5,4)
E(4,3) y F(8,5)
G(3,2) y H(6,8)
I(-2,3) y J(5,8)
22. Para definir las coordenadas polares en el plano
necesitamos un punto al que llamaremos origen
y una línea a la que llamaremos eje polar.
23. El ángulo polar θ de un punto P, P ≠ origen es
el ángulo que hay entre el eje polar y la línea
que une el origen con el punto P. Los valores
positivos del ángulo indican ángulos medidos
en sentido antihorario desde el eje polar.
24. A partir del triángulo rectángulo que se ve en la figura se
establecen las siguientes relaciones entre las
coordenadas cartesianas (x,y) y las coordenadas polares
(r,θ). Se supone que el origen de las coordenadas
polares coincide con el de las cartesianas y que además
el eje polar es el eje X.
25. Ejemplo: ¿qué es (12,5) en coordenadas polares?
Usamos el teorema de Pitágoras para calcular el lado
largo (la hipotenusa):
r2
= 122
+ 52
r = √ (122
+ 52
)
r = √ (144 + 25) = √ (169) = 13
Usa la función tangente para calcular el ángulo:
tan( θ ) = 5 / 12
θ = atan( 5 / 12 ) = 22.6°
26. Convertir de coodernadas cartesianas a polares
los siguentes puntos.
A(2,4)
B(3,8)
C(4,5)
D(8,9)
E(5,6)
27. Ejemplo: ¿qué es (13, 23 °) en coordenadas
cartesianas?
Usamos la función coseno
para x:
cos( 23 °) = x / 13
Cambiamos de orden y
resolvemos:
x = 13 × cos( 23 °) = 13 ×
0.921 = 11.98
Usamos la función seno
para y:
sin( 23 °) = y / 13
Cambiamos de orden y
resolvemos:
y = 13 × sin( 23 °) = 13 ×
0.391 = 5.08
28. Convertir de coordenadas polares a cartesianas.
A(7,23º)
B(5,34º)
C(5,35º)
D(8,54º)
E(7,38º)
29. La pendiente entre dos puntos:
P1(x1,y1) y p2(x2,y2)
Se obtiene mediante la siguiente formula:
y2 – y1
x2 – x1
m =
30. La pendiente es igual ala tangente la que permite
calcular el ángulo que tiene la recta con el eje x.
34. Calcular la pendiente de los siguientes puntos y
su inclinacion.
A(3,4) y B(7,7)
C(2,1) y D(5,4)
E(4,3) y F(8,5)
G(3,2) y H(6,8)
I(-2,3) y J(5,8)
36. 36
OBJETIVO FUNDAMENTAL Conocer y utilizar conceptos matemáticos
asociados al estudio de la ecuación de la recta, sistemas de ecuaciones
lineales, semejanzas de figuras planas y nociones de probabilidad, iniciándose
en el reconocimiento y aplicación de modelos matemáticos.
CONTENIDOS MINIMOS OBLIGATORIOS
• Ecuación de la recta.
• Interpretación de la pendiente y del intercepto con el eje de las ordenadas.
• Condición de paralelismo y perpendicularidad.
Objetivos de Aprendizaje
1) Reconocer la expresión algebraica y la gráfica de la ecuación de la recta.
2) Identificar e interpretar los parámetros de pendiente e intercepto con el eje de las ordenadas tanto en la
forma y = mx como en ax + by + c=0 de la ecuación de la recta.
3) Reconocer la pendiente y el intercepto con el eje de las ordenadas en las respectivas gráficas.
4) Analizar las posiciones relativas que pueden tener dos rectas en el plano.
5) Establecer las relaciones específicas que condicionan el paralelismo y la perpendicularidad entre rectas.
6) Resolver problemas que se pueden modelar usando la ecuación de la recta.
37. 37
Es toda igualdad de la forma ax + by = c , donde a,b,c ∈ R, representa una ecuación
lineal con dos incógnitas llamada ecuación General de la Recta, las soluciones son pares
ordenados de la forma (x, y). Este par ordenado (x, y) corresponde a un punto del plano
cartesiano.
1-1
1
-1
2
2
3
3
4
4
5
•
•
L
x
yEjemplo Nº1 : la ecuación L: x + y - 4 = 0 es la ecuación
general de la recta.
Grafiquemos L en el plano cartesiano:
Tabla de valores Gráfico
X Y (x, y)
2 2 (2, 2)
1 3 (1, 3)
0 4 (0, 4)
-1 5 (-1, 5)
Observaciones:
1. A toda ecuación lineal (de primer grado) con dos incógnitas le corresponde gráficamente una
recta.
• Cada par ordenado de números (x, y) corresponde a las coordenadas de un punto que es
solución de la ecuación dada, es decir satisface esta ecuación.
38. 38
Ejemplo: Sea L2
una recta en el plano cuya ecuación es: 2x – y – 1 = 0
Despejemos ”y” en la ecuación, para darle la forma principal.
Ecuación General
2x – y- 1 = 0
Despejemos “y” en términos de “x” - y = - 2x + 1
Si dividimos la igualdad por -1 para
que el coeficiente de y no sea
negativo
-Y = -2x + 1 / : - 1
Nos queda Y = 2x – 1
se llama Ecuación principal de la recta.
Donde: m = 2 n= -1
Importante
Tiene la forma y= mx + n y se llama ecuación principal de la recta
donde m es la pendiente de la recta ( ángulo de inclinación de la recta respecto el eje x)
y n es el intercepto con el eje y eje de las ordenadas o el punto donde la recta corta al eje y.
39. 39
Hagamos una gráfica más
acabada utilizando el
programa grahpmática:
En la ecuación principal encontrada m=2 y n= -1 , significa que la
recta tiene pendiente positiva forma un ángulo agudo con el eje “x” y
pasa por el punto (0, -1)
x
y
1 2 31
1
2
Pero ¿Qué son m y n ?
40. 40
¿Qué es la Pendiente en una recta?
¿Para qué sirve la Pendiente de una recta?
Veamos las siguientes imágenes:
41. 41
En estas imágenes
encontramos algo
común……es un
concepto
matemático que
permite modelar
situaciones de la
vida real.
Aterrizaje de un avión
47. 47
Ejemplo:
Para obtener la pendiente de la recta de ecuación x + y =
4
despejamos la variable “y” en función de la variable “x”
así:
Ecuación x + y =4
Despejemos y y = -x + 4
m = -1 pendiente negativa la
recta forma un ángulo
obtuso con el eje x ( mide
más de 90º)
n= 4 la recta corta al eje y en
4, en el punto (0,4)
x
y
48. 48
Ejemplo 2: Sea L2 : 4x - 2y = 8
despejamos la variable “y” en función de la variable “x”
así:
Ecuación 4x -2y - 4 =0
Despejemos y -2y = -4x + 4
Multipliquemos 2y = 4x - 4
Dividimos por 2 y = 4 x - 4
2 2
y= 2x - 2
m=2 n= -2
La pendiente es positiva por lo tanto
la recta forma un ángulo agudo (mide
menos de 90º) con el eje x.
La recta corta al eje y en -2 , en el
punto (0,-2)
x
y
49. 49
m>0 m<0
Si b= 0 entonces m y n no existen si a= 0 entonces m=o
x
y
x
y
x
y
x
y
50. 50
Ejemplo: Si tenemos la gráfica de una recta y queremos calcular la pendiente,
ubica dos puntos del plano que pertenezcan a la recta.
Por ejemplo:
Los puntos ( 2,2) y (-1,5) pertenecen a la recta
Usaremos la ecuación
x-x
y-y
m
12
12
=
donde (x1 , y1) son las coordenadas de uno de los puntos que pertenece a la recta.
( x2 , y2) son las coordenadas del otro punto que pertenece a la recta.
Por lo tanto remplazando tenemos:
Luego la pendiente m = -1
m = = = = -1
12
12
xx
yy
−
−
21
25
−−
−
3
3
−
1-1
1
-1
2
2
3
3
4
4
5
•
•
L
x
y
51. 51
¿Qué pasaría si en este
resbalín los dos lados no
fueran paralelos?
Los lados de este aparato
son paralelos es decir
describen segmentos de
recta que son paralelos.
52. 52
Y ¿SI LOS LADOS DE ESTA PASARELA NO FUERANY ¿SI LOS LADOS DE ESTA PASARELA NO FUERAN
PARALELOS?PARALELOS?
No puede haber un lado
que no sea paralelo al
otro no cumpliría la
función para el cual están
hechas, que es el facilitar
el acceso a los
discapacitados a un
edificio
Veamos a continuación las
distintas posiciones que
pueden adoptar dos rectas.
53. 53
Dos rectas L1 y L2 en el plano pueden adoptar 3 posiciones:
a) Que sean Paralelas b) Que se intercepten
c) Que sean
Coincidentes
1-1
1
-1
2
2
3
3
4
4
5
•
•
L
x
y
1-1
1
-1
2
2
3
3
4
4
5
•
•
L
x
y
1-1
1
-1
2
2
3
3
4
4
5
•
•
L
x
y
54. 54
Dos rectas L1 y L2 son paralelas si sus pendientes son iguales:
Es decir:
Sea L1: recta de ecuación y = m1x + n
L2: recta de ecuación y = m2 x + n L1 // L 2 si m1 = m2
x1 x2
y1
y2
L
•
•
x2 – x1
y2
–
y1
α
x
y
L2
55. 55
Grafiquemos las rectas de ecuaciones
y = x y = x – 2 y = x + 1 y = x - 3
En el mismo plano cartesiano
56. 56
Dos rectas que se cortan en un punto cualquiera se llaman
rectas secantes, pero si además de cortarse en un punto,
ambas rectas forman un ángulo recto ( de 90º), se dice que
son perpendiculares.
si L1 es una recta de
ecuación y=m1 x + n
L2 es una recta de
ecuación
y= m2x +n
L1 ┴ L2 si m1 • m2
= -1
x1 x2
y1
y2
L
•
•
x2 – x1
y2
–
y1
α
x
y
L1
58. 58
Rectas Coincidentes
Rectas coincidentes: Si L1 y L2 son coincidentes entonces sus
pendientes m1 y m2 son iguales y su intercepto con el eje de ordenadas
“n” en ambas rectas son iguales es decir las rectas coinciden punto a
punto.
Si L1: y = m1 x + n1
L2: y = m2 x + n2
L1 y L2 son coincidentes entonces m1 = m2 y
n1 = n2 L1 y L2 son la misma recta.
x1 x2
y1
y2
L1
•
•
α
x
y
L2
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65. Forma punto – pendiente:
Forma Pendiente – Intersección
Forma Simétrica
66. Sea la ecuación de una recta y
un punto que NO pertenece a ella,
entonces: