1) El documento describe el modelo Probit, el cual estima la probabilidad de que ocurra un evento como función de variables explicativas. 2) Explica que el modelo se puede estimar para datos agrupados o individuales usando máxima verosimilitud. 3) También compara el modelo Probit con modelos Logit y MPL, indicando cómo transformar coeficientes entre ellos.

1. El modelo Probit

2. 1) Supongamos que en el caso de la propiedad de
vivienda, la decisión de la i-esima familia de poseer
una casa o de no poseerla depende de un Índice
de conveniencia(Ii ), este índice nos indica la
capacidad, el deseo de poseer casa propia
2) Este índice de conveniencia ( I ) esta determinado
por una o varias atributos de la i-esima familia, ( en
este caso estos atributos o variables pueden ser;
ingreso familiar, trabajo estable, numero de hijos,
precio del alquiler de la vivienda, etc), mientras
mayor sea el valor del índice de conveniencia (I ),
mayor será la probabilidad de que la familia posea
vivienda
3) => podemos expresar dicha relación así:
Ii = B1 + B2 X

3. 4) Es razonable suponer que para cada familia
hay un nivel critico o umbral del índice ( I*
i ) tal
que:
Ii > I*
i => la familia poseerá una casa, o sea Yi
= 1
Ii < I*
i => la familia no poseerá una casa, o sea
Yi = 0
5) Dado el supuesto de normalidad, la
probabilidad de que I*
i sea menor o igual que Ii
puede ser calculada a partir de la FDA normal
estandarizada:
*

4. 7) P es la probabilidad de que ocurra un evento, en
este caso la probabilidad de poseer una casa,
esta se mide por el área de curva normal
estándar de -∞ a Ii. Dado Ii se lee Pi
I
P
-∞ 0
1

5. 8) Dado el valor de Pi se lee Ii en la abscisa de la
figura:
Ii
Pi
0
1
-∞

6. Interpretación del modelo Probit
1) Sabemos que :
a) P = P( Y=1/X ) = P(Ii
* ≤ Ii ) = F(B1 + B2 X )= F(Ii
)
b) P = F( Ii ) = F(B1 + B2 X )
c) ∂Pi /∂ xi = F(B1 + B2 X )Bi
d) ∆ Pi / ∆xi = F(B1 + B2 X )Bi
=> si ∆xi = 1=> ∆ Pi = F(B1 + B2 X )Bi

7. 2) Los cocientes entre valores estimados de dos
parámetros:
Bj / Bk miden la importancia relativa de los
efectos que las variables Xj y Xk tienen sobre
la probabilidad de escoger la alternativa Y =1.
debido a esta propiedad , si bien los
coeficientes de un modelo probit no son
directamente interpretables sus valores
relativos si lo son:

8. Estimación del modelo Probit
En la estimación del modelo probit tambien se
presenta dos casos en su estimación:
I. Estimación del modelo probit para datos
agrupados
II. Estimación del modelo probit para datos dados
en forma individual

9. Estimación del modelo probit para
datos agrupados
1) Se calculan las frecuencias relativas pi = ni / Ni
2) Luego se lee en la FDA estándar normal los Ii
correspondientes
3) Luego se regresiona el modelo: Ii = B1 + B2 X
por el MCO
4) Una vez estimado el modelo dado en ( 3) se
estiman las probabilidades estimadas o
predichas respectivas

10. Aplicando al ejemplo a los datos de la propiedad de
la vivienda:
Pi Ii = F-1(Pi )
0.20
0.24
0.30
0.35
0.45
0.51
0.60
0.66
0.75
0.80
-0.84
-0.71
-0.53
-0.39
0.13
0.02
0.25
0.41
0.67
0.84

11. b) El modelo es: Ii = B1 + B2 X + u
c) El modelo estimado es:

12. 2) Los cocientes entre valores estimados de dos
parámetros:
Bj / Bk miden la importancia relativa de los
efectos que las variables Xj y Xk tienen sobre
la probabilidad de escoger la alternativa Y =1.
debido a esta propiedad , si bien los
coeficientes de un modelo probit no son
directamente interpretables sus valores
relativos si lo son:

13. Estimación del modelo probit para
datos individuales
1) Tambien en el caso del modelo Probit se utiliza el
método de la máxima verosimilitud
2) Y =(1 si la familia tiene una PC en su casa; 0: si la
familia no tiene una PC en su casa)
3) Variables explicativas:
IF: ingreso familiar
HU=(1: tienen hijos universitarios,=: si no tiene hijos
universitarios)
PP=( 1: si los padres son profesionales, 0: si los
padres no son profesionales)
3) El modelo Probit:
Ii = B0 +B1 IF + B2 HU + B3 PP + ui

14. 4) El modelo estimado es:
I = -3.359613 + 0.00029 IF+ 2.312936 HU +
1.752474 PP
5) Hallar la probabilidad de que una familia tenga
una PC en su hogar si su ingreso es 3000
HU=1 y PP=1
I = -3.359613 + 0.00029(3000)+ 2.312936(1)+
1.752474(1)
I = 1.575797 => P= 0.9418, es decir hay una
probabilidad del 94.30% de que tengan una PC en
su hogar
6) ¿Qué significa B2 / B3 ? => 2.312936/ 1.752474 =
1.3198, eso significa que el efecto de B2 es 1.3198
veces que el efecto de B3 sobre la variable Y

15. 7) Probar la significancia total del modelo probit
estimado para 5% de significación

16. Los modelos MPL, logit y Probit
1) Aunque los modelos logit y probit son similares,
no son directamente comparables
2) Si se multiplica el coeficiente Probit por
aproximadamente 1.81, se obtendrá
aproximadamente el coeficiente logit:
3) Así: El coeficiente Probit de HU= 2.312936=>el
coeficiente logit de HU = 2.312936(1.81)=
4.186414
4) De manera alternativa, si se multiplica un
coeficiente logit por 0.5525 se tendrá el
coeficiente Probit
Así: El coeficiente logit de PP=3.170859 => el
coeficiente probit de PP=
3.170859(0.5525)=1.751899

17. 6) Anemiya tambien demostró que los coeficiente
de los modelos MPL y logit están relacionados
de la siguiente forma:
7) BMPL = 0.25 Blogit(Para cualquier parámetro de
pendiente)
8) BMPL = 0.25 Blogit + 0.25 (para la intersección )

18. Modelos de rezagos distribuidos
1) En economía cuando una variable tal como Xt
cambia en el tiempo t y el efecto de este cambio
sobre otra variable tal como Yt no se da en su
totalidad en el tiempo t, si no en varios periodos, a
este hecho se denomina rezagos , retardo o
desfase
2) Los rezagos se dan porque existen rigideces
sicológicas, tecnológicas e institucionales :
 Sicológicas ( consumo, ingreso y precios)
 Tecnológicas( precio, capital, sustitución de K)
 Institucionales(las obligaciones contractuales,
depósitos de ahorro, cambio de proveedores de
insumos por empresas, etc?

19. 3) Los modelos que expresan este tipo de
fenómenos se llama modelos de rezagos
distribuidos:
 Se llama de rezagos, porque el efecto se retarda
o rezaga , es decir el impacto total no se da en su
totalidad en el mismo periodo en que cambia x
 Se llama distribuido porque el impacto total se
distribuye en varios periodos

20. 4) Este fenómeno se puede interpretar mediante
dos enfoques:
 dado la relación Yt = f(Xt)
Si ∆ Xt ∆Yt
∆Yt+1
∆Yt+2

21.  Dado la relación Yt = f(Xt)
∆Yt contiene cambios ocasionados por cambios
de x en el periodos t, t-1, t-2, t-3 , etc
∆Yt ∆Xt
∆Xt +1
∆Xt +2
∆Xt +3

22. 5) Por cuestiones practicas para especificar un modelo
de rezago distribuido lo haremos de acuerdo al
segundo enfoque.
Yt = α + B0 Xt +Bt Xt-1 + B2 Xt-2 + B3 Xt-3 + …+ ut
Tipos de modelos de rezagos distribuidos:
1) Modelos de rezagos distribuidos finitos cuando se
conoce el # de rezagos :
Yt = α + B0 Xt +Bt Xt-1 + B2 Xt-2 + B3 Xt-3 + …+Bk Xt-k
+ ut
Por ejemplo: cuando K=4
Yt = α + B0 Xt +Bt Xt-1 + B2 Xt-2 + B3 Xt-3 +B Xt-4+ut

23. 2) Modelos de rezagos distribuidos infinito:
Yt = α + B0 Xt +Bt Xt-1 + B2 Xt-2 + B3 Xt-3 +…+ ut
Estimación del modelo de rezago distribuido infinito
el método de Koyck
1) Koyck tomando como base el modelo de
rezado distribuido infinito
Yt = α + B0 Xt +Bt Xt-1 + B2 Xt-2 + B3 Xt-3 + …+ ut
2) Supone que los Bs disminuyen
geométricamente de la siguiente manera
3) Bk = B0 λk

24. Donde: K: rezagos;
λ: tasa de caída del rezago distribuido
1-λ: velocidad de ajuste
Demostración:
B0 = B0
B1 = λ1 B0
B2 = λ B1 = λ(λB0) =λ2 B0
B3 = λ B2 = λ(λ2 B2) =λ3 B0
Bk = λk B0

25. Deducción del modelo de koyck
a) Yt = α + B0 Xt +B1 Xt-1 + B2 Xt-2 + B3 Xt-3 +…+ ut
b) Yt = α + B0 Xt + λB0 Xt-1 + λ2 B0 Xt-2 + λ3 B0 Xt-3
+…+ ut
c) λ=> λYt = λα + λB0 Xt + λ2B0 Xt-1 + λ3 B0 Xt-2 + λ4
B0 Xt-3 +…+λ ut
d) (t-1): λYt-1 = λα + λB0 Xt-1 + λ2B0 Xt-2 + λ3 B0 Xt-3
+ λ4 B0 Xt-4 +…+ λut-1
e) (b-d): Yt - λYt-1 = (α-λα) + B0 Xt + ut - λ ut-1
Yt = α0 + B0 Xt + λ Yt-1+ vt (modelo de Koyck)

26. Interpretación del modelo de
Koyck
B0: es la Pmg a corto plazo
B = B0/ (1-λ) : es la Pmg a largo plazo ( es el
impacto total en Y por efecto de un cambio
unitario en X)
B = B0 + B1 + B2 + B3 +. . . = ∑Bk
B= B0 + λB0 + λ2 B0 + λ3 B0 + . . . += B0 /(1-λ)
Betas estandarizados:
B*
i = Bi / B
B*
i: mide la proporción del cambio total o impacto
total que se da en el periodo t por efecto de un
cambio unitario en X en el periodo t

27. Mediana de los rezagos: es el tiempo necesario
para que se de el 50% del cambio total en Y
como consecuencia de un cambio unitario en X
MR = - log 2/ Log λ
Rezago medio para el modelo de Koyck: es un
rezago promedio
RM= λ/ (1-λ)
Rezago medio:
RM= ∑k Bk / ∑Bk
En este caso todas las Bk sean positivas

28. Ejemplo de aplicación
a) Se cuenta con información para el nivel de
inventarios( Y ) y las ventas(X ) ( en miles de
millones de $) de las manufacturas de EEUU.
Sabemos que el nivel de ventas determina el
nivel de inventarios, mas nivel de ventas mas
inventario.
b) Se estima el modelo de Koyck a los datos:
 Modelo de Koyck: INt = α + B0 VEt + λ INt-1 + vt
 El modelo estimado:
 INt = 88 426 + 0.60 VEt + 0.50 INt-1
(4.49) (4.22)
R2 = o.99

29. a) Determine el impacto a corto y LP de un cambio
unitario en X
b) Determine B1, B2 , B3 y B4
c) Determine B1
* B2
* , B3
* y B4
*
d) ¿Qué parte del impacto total se da en el tercer
periodo si consideramos como primer periodo el
periodo t?
e) ¿Qué parte del impacto total se da hasta el
tercer periodo?
f) ¿Que parte del impacto total se da después del
periodo 3?
g) Hallar MR
h) Hallar RM

30. a)Tenemos que : λ= 0.50; B0 = 0.60
 PMg a corto plazo es 0.60
 PMg a LP: B = B0 / 1-λ = 0.50/1-0.60 = 1.25
b) B1 = λ B0 = (0.50)(0.60) = 0.30
c) B1
* = B1 / B = 0.30/ 1.25 = 0.24 => se da el 24% del impacto total
d) Si consideramos B0 como el primer periodo=> B1 será el
segundo periodo y B2 el tercer periodo
B2 = λ2B0 = (0.50)2 (0.60)= 0.15
Pero sabemos que: Bi
* = Bi / B =>B*
2= B2 / B =0.15/1.25= 0.12
=> en el tercer periodo se da el 12% del impacto total

31. e) Hasta el tercer periodo será:
(B 0+ B1 + B2 )/ B =
f) B – ( B0
* + B1
* + B2
* )=
g) MR = -log 2 / logλ= -2(0.30103)/-0.30103 = 2
en el segundo periodo se da el 50% del impacto
total
h) RM= λ/ (1-λ)= 0.50/1-0.50 = 1