Explicación del Modelo Lineal General

1. 1
Tema 3
Primera parte
El Modelo Lineal General:
Especificación y estimación
Monia Ben Kaabia
2
1) ESPECIFICACIÓN E INTERPRETACIÓN DEL MLG
2) HIPÓTESIS DEL MODELO.
3) RECTA DE REGRESIÓN MUESTRAL Y POBLACIONAL
4) ESTIMACIÓN POR MCO DE LOS PARÁMETROS DE
POSICIÓN.
5) PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES MCO DE LOS
PARÁMETROS DE POSICIÓN.
6) PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LA ESTIMACIÓN MCO
7) ESTIMACIÓN MCO DEL PARÁMETRO DE DISPERSIÓN.
PROPIEDADES.
8) ESTIMACIÓN DE MÁXIMA VEROSIMILITUD DE LOS
PARÁMETROS.
9) BONDAD DE AJUSTE DEL MODELO
10) FORMA FUNCIONAL Y CAMBIO DE ESCALA
INDICE
3
Especificación del Modelo Lineal General (MLG)
Con el MLG se pretende cuantificar una supuesta relación
estocástica lineal unidireccional entre una variable Y (Variable
endógena o dependiente) y K≥1 variables X1, X2, ,...,Xk
(variables explicativas)
Para ello es necesario disponer de una colección de datos o
muestra de T observaciones
211
2221212
1211111
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
kTTTT
k
k
xxxy
xxxy
xxxy
L
MMMM
L
L
1- ESPECIFICACIÓN DEL MLG
4
1- ESPECIFICACIÓN DEL MLG
El MLG con (k) variables explicativas y dada una muestra de T
observación de cada una de las variables, tiene la siguiente
especificación:
T1,2,..,i2211 =++++= ikikiii uXXXY βββ K
La terminología del MLG es:
• Yi: observación i-ésima de la variable endógena o dependientes
• X1i, X2i,...,Xki: observaciones i-ésimas de las k variables explicativas o exógenas
• ui: i-ésimo valor del término del error o perturbación aleatoria (no observable)
• β1, β2, ..., βk, son los parámetros de posición (desconocidos, a estimar)
Por tanto el MLG define una relación:
-Lineal entre una variable endógena y k variables explicativas
-Estocástica, ya que admite errores de ajuste
-Útil para inferir los valores Yi, conociendo los valores de Xji (j=1,2,..,k)

2. 5
1- ESPECIFICACIÓN DEL MLG
El MLG tiene término constante cuando X1i=1 para todo
i=1,...,T. En este caso, El MLG con (k-1) variables explicativas y
una constante tiene la siguiente especificación:
T1,2,..,i221 =++++= ikikii uXXY βββ K
β1 es el término constante y β2, β3,...,βk las pendientes del modelo
Muy importante: El MLG es Lineal porque los parámetros que
figuran en su lado derecho lo hacen de forma lineal ( a lo sumo,
están multiplicados por un término que no depende de ningún
parámetro del modelo)
6
1- ESPECIFICACIÓN DEL MLG
• Ejemplos:
- Análisis de los determinantes de las ventas anuales de una empresa
tttt uecioGpubventas +++= Pr321 βββ
• Venta son las ventas anuales de la empresa en miles de euros
• Gpub son los gatos anuales en publicidad realizados por la empresa en miles de euros
• Precio es el precio de ventas del productos en euros por unidad
- Análisis de los determinantes de los salarios de los trabajadores
iiii uExpEduSalario +++= 321 βββ
• Salario del individuo en euros por hora
• Edu es su nivel de educación en años
• Exp es el número de años que lleva trabajando
7
Especificación: representación matricial del MLG
-La información asociada a la variable
endógene se almacena en un vector
columna Y de tamaño Tx1)
-La información (datos) asociada a las
variables explicativas se recoge en una
matriz X de tamaño (Txk)
-Las perturbaciones en un vector U de
tamaño (Tx1) y los parámetros en un
vector B de tamaño (kx1)
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
Ty
y
y
Y
M
2
1
1
1
1
2
222
121
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
kTT
k
k
xx
xx
xx
K
MOMM
L
L
U 2
1
2
1
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
Tk u
u
u
MM
β
β
β
β
1- ESPECIFICACIÓN DEL MLG
8
1- Especificación: Representación Matricial del MLG
UXY += β
1T1kkT1T
2
1
2
1
21
22212
12111
2
1
××××
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
TkkTTT
k
k
T u
u
u
xxx
xxx
xxx
y
y
y
Y
MM
K
MOMM
L
L
M
β
β
β
(Observaciones
Vble. Endógena)
Observaciones en periodo t=1 de todas las variables
Observaciones variable x1
X
Observaciones
Vbles. Exp.
Parámetros Perturbaciones

3. 9
1- Especificación: MLG con término constante
UXY += β
Y = X β + U
1T1kkT1T
1
1
1
2
1
2
1
2
222
121
2
1
××××
⎟⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
TkkTT
k
k
T u
u
u
xx
xx
xx
y
y
y
MM
K
MOMM
L
L
M
β
β
β
(Observaciones
Vble. Endógena)
Observaciones en periodo t=1 de todas las variables
Observaciones variable x1=1 para i=1,...,T
10
1- Especificación: MLG con término constante
obs ventas publicidad precio
1 120 8 100
2 115 9 102
3 130 10 95
4 142 14 90
5 148 12 92
6 144 16 94
7 165 20 88
8 160 22 86
9 175 26 90
10 180 24 86
Ejemplo: ventas de una empresa de aspiradores
tttt uecioGpubventas +++= Pr321 βββ
Tabla de datos para la estimación del modelo
T=1,2,...,10
Especificación en forma matricial
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
180
175
160
165
144
148
142
130
115
120
VENTAS
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
86241
90261
86221
88201
94161
92121
90141
95101
10291
10081
X
UXVENTAS += β
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
3
2
1
β
β
β
β
11
1.2- Interpretación gráfica del MLG: Gráfico de nube de puntos
iii uxy ++= 121 ββ i=1,2,..,T
*
*
*
*
* *
*
*
*
* *
**
*
xi
yi
Pdte = β2
Ord. Origen
*
ui
β1
Interpretación de β1
-Gráfica: Ordenada en el origen
Interpretación de β2
- Gráfica: pendiente de la recta de
regresión
- Económica: Efecto parcial
- Matemática: Derivada parcial
1- Especificación y interpretación del MLG
12
1-2) Interpretación Económica y matemática del del MLG
Cuando las variables explicativas son continuas (Cuantitativas),
los parámetros del MLG pueden interpretarse como:
Matemáticamente: derivadas (parciales) de la variable endógena
con respecto a las variables explicativas.
Económicamente: Efecto parcial de las variables explicativas
sobre la endógena
iii uxy ++= 110 ββ
i
i
i
i
X
Y
dx
dy
11
1
Δ
Δ
==β
β1 representa la variación absoluta en la variable endógena
ante una variación de 1 unidad en la variable X1

4. 13
1.2) Interpretación Económica y matemática del del MLG
Importante. Cuando en el MLG hay mas de una variables
explicativas, en la interpretación de los parámetros hay que
añadir la coletilla ceteris paribus .
T1,2,..,i221 =+β++β+β= ikikii uXXY K
βi representa la variación absoluta de la endógena (y) debido a
una variación en una unidad de la explicativa (xi), suponiendo
que los demás factores en (2) se mantienen constantes.
14
β0: es la constante o el término independiente
β1:mide el cambio absoluto en Y ante un cambio en una unidad
en la variable X1, manteniendo X2 constante (efecto ceteris
paribus):
β2: mide el cambio en Y ante un cambio en una unidad en la
variable X2, manteniendo X1 constante (efecto ceteris paribus)
iiii uxxy +++= 22110 βββ
uxxy Δ+Δ+Δ=Δ 2211 ββ
02 =Δx 11 xy Δ=Δ β
01 =Δx 22 xy Δ=Δ β
1-2) Interpretación Económica y matemática del del MLG
15
Ejemplos del MLG:
iiii uExpLEducSal +β+β+β= 210
β1: mide el efecto ceteris paribus del nivel de educación en el
salario percibido. Es decir, representa la variación absoluta en el
salario de cualquier trabajador debido a un año adicional de
educación, suponiendo que los demás factores se mantienen
constantes
β2: mide el efecto ceteris paribus de los años de experiencia en el
salario, es decir, representa la variación absoluta en el salario de
cualquier trabajador debido a un año adicional de experiencia,
suponiendo que los demás factores se mantienen constantes
1-2) Interpretación Económica del del MLG
16
2- Hipótesis del MLG
La especificación completa del MLG no incluye
solamente la forma de la relación entre Y y las k
variables explicativas;
Sino también la especificación de la distribución de
probabilidad de la perturbación así como de la forma en
que se han generado los valores de las explicativas
Hace falta establecer una serie de hipótesis básica
sobre la parte aleatoria y la parte sistemática del
modelo

5. 17
2- Hipótesis del modelo
• Supuesto 1: Muestreo aleatorio:
{(yi, xi1, x2i,…xki); i=1, …, T} muestra aleatoria
del modelo poblacional de tamaño T
• Supuesto 2: Ausencia de error de especificación
- Lineal
- No se omiten variables relevantes
- No se incluyen variables irrelevantes
• Supuesto 3: Hipótesis de linealidad en los
parámetros. Establece la linealidad en los
parámetros en la relación entre la variable endógena
y las explicativas. Es decir, en la función de consumo
tendremos:
ttt uRC ++= 21 ββ 18
2- Hipótesis del modelo
• Supuesto 4: Grados de libertad suficientes:Tenemos mucho
mas observaciones en la muestra que parámetros a estimar. Es
decir, T-k>0.
• Supuesto 5: Hipótesis de parámetros constantes. Esta
hipótesis supone que los parámetros β1, β2, …,βk son
constantes en el tiempo
• Supuesto 6. Las variables explicativas son
linealmente independientes
Ausencia de multicolinealidad exacta
1
)(
0||)()(
−
′∃⇒
≠′⇒=′⇒=
XX
XXkXXrkXr
19
Supuesto 7. Regresores no estocaticos. Esta hipótesis implica
que los datos de las variables explicativas son fijos en muestras
repetitivas. Es decir:
la parte sistemática y aleatoria son independientes:
Cov(X,u)=0
Supuesto 8: Hipótesis de convergencia
2- Hipótesis del modelo
xx
T T
XX
Σ=
′
∞→
lim Una matriz de constantes
20
2- Hipótesis del modelo
Hipótesis referentes a las perturbaciones aleatorias
• Supuesto 9. Esperance cero de las perturbaciones
aleatorias: no hay error sistemático
E(U)=0⇒ E(ui)=0 i
T
TT
T
uE
uE
uE
u
u
u
EUE 0
0
0
0
)(
)(
)(
)( 2
1
2
1
1 =
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=×
MMM

6. 21
2- Hipótesis del modelo
Supuesto 10: Varianza de las perturbaciones
aleatorias es constante a lo largo de la muestra:
homoscedasticidad:
i)()var( 22
∀== σii uEu
Supuesto 11: Covarianzas nulas entre un par
de perturbaciones aleatorias distintas:
Ausencia de autocorrelación en todo instante
de tiempo
ji0)(),cov( ≠∀== jiji uuEuu
22
.
.
xix1=80 x2=100
y if(yi)
Las varianzas de ui en dos niveles distintos de
renta familiar, xi , son identicas.
gasto
Caso Homoscedastico
renta
23
.
xtx1 x2
y
i
f(yi)
La varianza de ui aumenta con la renta de la
familia xi.
gasto
Caso Heteroscedastico
x3
.
.
renta
24
2- Hipótesis del modelo
Matriz de varianzas y covarianzas del vector de perturbaciones aleatorias
)(
2
121
2
2
112
121
2
1
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=′
uuuuu
uuuuu
uuuuu
EUUE
TT
T
T
L
MOMM
L
L
Teniendo en cuenta S10+S11
TIUUE 2
2
2
2
00
00
00
)( σ
σ
σ
σ
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=′
L
MOMM
L
L
Las perturbaciones que cumplen ambos supuestos se denominan
esféricas matriz de varianzas y covarianzas escalar

7. 25
2- Hipótesis del modelo
Supuesto 12. ui se distribuye como una normal
U ~ ),0( 2
TIN σ
Nui ≈
Teniendo en cuenta: S9+S10+S11+S12
diiN ..),0( 2
σui ~
26
2- Hipótesis del modelo
UYEUYE
XUEXUXEYE
=⇒+=
=+=+=
)(-Y)(Y
)()()( βββ
),( 2
TIXNY σβ≈
Características de la variable endógena bajo el cumplimiento de
las hipótesis básicas del MLG
UXY += β
-Media y Varianza
Y es un vector de
variables aleatoria
- Distribución: teniendo en cuenta en supuesto 12, entonces:
S.9
[ ] TIUUEYEYYEYEYV 2
)())())((()( σ=′=′−−=
S5+S7
),0( 2
TINU σ≈S.12:
S10+S11
27
3- Recta de regresión poblacional y muetral
Ejemplo: Función de consumo keynesiano
Especificación del modelo econométrico
Yi=β1+β2Xi+ui
E(Yi) = α + β Xi
Cada media E(Yi) es una función de Xi.
diiN ..),0( 2
σui ~
Teniendo en cuenta las hipótesis básicas del MLG:
Esta ecuación se conoce como
la recta de regresión poblacional (RRP).
28
Yi=α+βXi+ui
80 100 120 140 160 180 200 220
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+150
100
50
X
Y
Para cada valor de X existe una distribución de
probabilidad completa de valores de Y

8. 29
+
+
+
+
Y
X
E(Yi)=α+βXi
80 100 120
89
77
65
Distribución de Y
dado X=120
Media: E(Yi)
Recta de Regresión
Poblacional+
+
+
+
+
+
+
+
30
Especificacion Estocastica de la RRP
Dado un nivel de renta Xi, el consumo familiar se concentra
alrededor del consumo medio de todas las familias con
nivel de renta Xi .. Es decir alrededor de su media E(Yi).
La desviacion de un individuo Yi es:
ui = Yi - E(Yi)
o Yi = E(Yi) + ui
o Yi = α + β X i+ ui
Error estocastico o
Perturbación aleatoria
31
La RRP es desconocida, al ser desconocidos los valores de
α y β. Al estimarlos obtenemos la recta re regresión
muestral (RRM):
ii XˆˆYˆ β+α=
Los valores de diferirán de los de Yi. Estas
diferencias reciben el nombre de residuos :
iYˆ
iii uˆYˆY =−
iuˆ
Los residuos pueden considerarse como estimaciones de
las perturbaciones
3-RECTA REGRESIÓN MUESTRAL
32
Recta de Regresión Muestral (RRM)
.
.
.
.
Y4
Y1
Y2
Y3
x1 x2 x3 x4
}
}
{
{
1
2
3
4
Y = α + βX
x
Y
^ ^ ^
E(Y) = α + βX
(RRM)
(RRP)
Diferentes muestras tienen diferentes RRM
uˆ
uˆ
uˆ
uˆ

9. 33
RRM:
Yi = α + β Xi
o Yi = α + β Xi + ui
o Yi = b1 + b2 Xi + ei
RRP:
Yi = α + β Xi + ui
Yi = estimador de Yi (E(Yi)
β y = estimadores de β y α
Residuo
Término del
Error
^
^ ^^
^ ^ ^
^
^
αˆ 34Relacion entre Y, u y la recta de regresión verdadera.
.
.
Y4
Y1
Y2
Y3
x1 x2 x3 x4
}
}
{
u1
u2
x
Y (RRM)
(RRP)
E(Y2)
u2
^
Y2
^
XˆˆYˆ β+α=
X)Y(E β+α=
35
4) Estimación MCO de los parámetros de
posición
4.1) Introducción
Supongamos que queremos estimar los parámetros de la función de
consumo keynesiano:
Yt=β1+β2Xt+ut
Para ello, se dispone de una muestra de T datos de consumo y
renta que se pude representar en un plano Yt y Xt
Gráfico: Nube de puntos real
* * * *
* *
* * * * *
* *
*
Yt
Xt
36
Una estimación de los parámetros del modelo se obtiene
ajustando una recta a la nube de puntos
* * * *
* *
* * * * *
* *
*
Yt
Xt
Recta de ajuste:
tt XY 21
ˆˆˆ ββ +=
El objetivo ahora es conseguir una estimación de los
parámetros de manera que se cumpla algún criterio de
optimización.
¿Qué criterio?

10. 37
1) Un criterio sería minimizar la suma de los residuos cometidos
en toda la muestra
2) Minimizar la suma de los residuos en valor absoluto
3) Minimizar la suma de los cuadrados de los residuos
∑ =iuˆmin
Problemas: los errores grandes
y (+) se pueden compensar
con los grandes y (-)
∑ =iuˆmin Dificultad analítica de obtener una
solución para
∑ 2
ˆmin iu 2
21 )ˆˆ(min tt xy ββ −−∑
38
El criterio de optimalidad seria obtener una expresión de que
minimice la suma de los cuadrados de los residuos
∑ 2
ˆmin iu 2
21 )ˆˆ(min tt xy ββ −−∑
Ventajas:
- Eliminar la compensación de errores por el signo
- Penalizar más los errores grandes que los pequeños
- Llevar a una solución analítica sencilla.
Este criterio de estimación es el más conocido enEste criterio de estimación es el más conocido en
Econometría y se denomina MCO (MínimosEconometría y se denomina MCO (Mínimos
Cuadrados Ordinarios)Cuadrados Ordinarios)
39
4) Estimación MCO de los parámetros de posición
kikii xxy β++β+β= ˆˆˆˆ 221 K
ikikii uxxy ˆˆˆˆ
221 +β++β+β= K
iikikiii yyxxyu ˆˆˆˆˆ 221 −=β−−β−β−= K
MCO minimiza la SR= ∑ 2
iuˆ
∑ 2
iuˆ Sxxy kikii =β−−β−β−∑ 2
221 )ˆˆˆ( Kmin = min
residuos
4-2) Estimación del modelo Lineal General
40
∑ 2
iuˆ Sxxy kikii =β−−β−β−∑ 2
221 )ˆˆˆ( Kmin = min
Condiciones de primer orden:Condiciones de primer orden:
0)ˆˆˆ(2
0)ˆˆˆ(2
0)ˆˆˆ(2
221
22112
2
221
1
=β−−β−β−−=
β∂
∂
=β−−β−β−−=
β∂
∂
=β−−β−β−−=
β∂
∂
∑
∑
∑
kikiiki
k
kikiiii
kikii
xxyx
S
xxxyx
S
xxy
S
K
M
K
K

11. 41
En forma matricial:
βββ ˆˆˆ2ˆˆˆ
2
XXYXYYUUui
′′+′′−′=′=∑Min S=
0ˆ22
ˆ
ˆˆ
ˆ
=β′+′−=
β∂
′∂
=
β∂
∂
XXYX
UUS
β′=′ ˆXXYX
Sistema de ecuaciones normales: k ecuaciones normales y k
incógnitas
Condiciones de primer orden:
42
Una solución, si existe, es el estimado MCO del
vector de parámetros β:
YX)XX(ˆ 1
′′=β −
A Solución única si
B ∞ soluciones si
0≠′XX
0=′XX
β′=′ ˆXXYX
0=′XX Multicolinealidad exacta (Falla S.9)
Supuestos utilizados
-S2. Especificación correcta
-S3. Linealidad en los parámetros
-S4.Grados de libertad
suficientes
-S5. parámetros constantes
-S6. No multicolinealidad exacta
43
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∑∑∑∑
∑∑∑
∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑
−
−−
2
12
1
2
132
323
232
2
32
32
kikiikkiiki
kiikikii
i
kiiiiii
kiii
xxxxxx
xxxxx
xxx
xxxxxx
xxxT
L
LM
MOO
L
L
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∑
∑
∑
kii
ii
i
xy
xy
y
M
2
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
β
β
β
k
ˆ
ˆ
ˆ
2
1
M
β′=′ ˆXXYX
Las k ecuaciones normales bajo la forma matricial
4) Estimación MCO de los parámetros de posición
44
1
2
12
1
2
132
323
232
2
32
32
−
−
−−
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∑∑∑∑
∑∑∑
∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑
kikiikkiiki
kiikikii
i
kiiiiii
kiii
xxxxxx
xxxxx
xxx
xxxxxx
xxxT
L
LM
MOO
L
L
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∑
∑
∑
kii
ii
i
xy
xy
y
M
2
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
kβ
β
β
ˆ
ˆ
ˆ
2
1
M
Expresión matricial del estimador MCO (modelo
con término constante)
YX)XX(ˆ 1
′′=β −
4) Estimación MCO de los parámetros de posición

12. 45
4) Estimación MCO de los parámetros de posición
Ejemplo: ventas de una empresa de aspiradores
tttt uecioGpubventas +++= Pr321 βββ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
135522
25053
1479
180
175
160
165
144
148
142
130
115
120
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=′
8546514592923
145922977161
92316110
86241
90261
86221
88201
94161
92121
90141
95101
10291
10081
8690868894929095102100
242622201612141098
1111111111
XX
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=′
8690868894929095102100
242622201612141098
1111111111
YX
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=′′=
−
−
135522
25053
1479
8546514592923
145922977161
92316110
)(ˆ
1
1
YXXXβ
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−−
=
3
2
1
ˆ
ˆ
ˆ
46,1
20,2
57,247
135522
25053
1479
38492683398459
26832721291449
39845929144941502841
327464
1
β
β
β
46
4) Estimación MCO de los parámetros de posición
Ejemplo: modelo estimado de las ventas de una empresa de
aspiradores
tttt uecioGpubventas ˆPr46,122,257,247 +−+=
Interpretación de los resultados
- Las ventas esperadas independientemente del precio y los gastos en
publicidad son de 247,57 miles de euros
- Si se incrementan los gastos en publicidad en mil euros, manteniendo el
precio constante, las ventas se incrementan en 2,2 mil euros
-Si se incrementa el precio en un euro, manteniendo los gastos en publicidad
constantes, disminuirán las ventas en 1,46 mil euros
E(ventas)= = 247,57 siendo Gpub = precio=01
ˆβ
Δventas = *ΔGpub = 2,2*ΔGpub si ΔPrecio=02
ˆβ
Δventas = *ΔPrecio = -1,46*ΔPrecio si Δgpub=03
ˆβ
47
4) Estimación MCO de los parámetros de posición
Ejemplo: modelo estimado de las ventas de una empresa de
aspiradores
Dependent Variable: VENTAS
Method: Least Squares
Date: 03/08/06 Time: 13:19
Sample: 2001 2010
Included observations: 10
========================================================
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
=========================================================
C 247.5675 67.35953 3.675315 0.0079
PUBLICIDAD 2.203809 0.545412 4.040634 0.0049
PRECIO -1.464234 0.648685 -2.257233 0.0586
=============================================================
48
5) Propiedades de los estimadores MCO de
los parámetros de posición
un vector de variables aleatoria
A) Propiedad en muestras finitas
Los estimadores MCO son ELIO, es decir,
lineales, insesgados y óptimos (en el sentido
de que cualquier otro estimador lineal e
insesgado tiene una matriz de varianzas y
covarianzas “mayor”)
Teorema de Gauss Markov
βˆ

13. 49
1) Linealidad de
El estimador MCO de β es una función lineal de las
observaciones de la variable endógena Y (Vble aleatoria)
Si Y aumenta al doble, se multiplica por dos.
YAYXXX ′=′′=β −1
)(ˆ
βˆ
βˆ
A′ Es una matriz (kxT) de
elementos constantes que
cumple la siguiente
propiedad: IXA =′
TkTkkk
TT
TT
yayaya
yayaya
yayaya
+++=
+++=
+++=
...ˆ
...ˆ
...ˆ
2211
22221212
12121111
β
β
β
M
5) Propiedades de los estimadores MCO de
los parámetros de posición
50
2) Insesgadez de
UXXX
UXXXXXXX
UXXXXYXXX
′′+=
′′+′′=
+′′=′′=
−
−−
−−
1
11
11
)(
)()(
)()()(ˆ
β
β
βββ=β)ˆ(E
βˆ
5- Propiedades del estimador MCO
Demostración
)()(]ˆ[ 1
UEXXXE ′′+= −
ββ
ββ =⇒= ]ˆ[0)( EuEsi
Supuestos utilizados
-S5. Parámetros constantes
-S7. Las variables explicativas
son deterministas
-S9. E(U)=0
Supuestos utilizados
-S5. Parámetros constantes
-S7. Las variables explicativas
son deterministas
-S9. E(U)=0
Sesgo = 0)ˆ( =− ββE
51
3) Óptimos: Mínima varianza
[ ] 12
)())ˆ(ˆ))(ˆ(ˆ()ˆvar( −
′=′−−= XXEEE σβββββ
Propiedades del estimador MCO
Matriz de varianzas y covarianzas del estimador MCO
Demostración:
UXXX
UXXX
′′=−
′′+=
−
−
1
1
)()ˆ(
)(ˆ
ββ
ββ
[ ]
[ ]
[ ] 1211
11
)()()(
)()(
)ˆ)(ˆ()ˆ(
−−−
−−
′=′′′′=
′′′′=
′−−=
XXXXXUUEXXX
XXXUUXXXE
EVar
σ
βββββ
Supuestos utilizados
- Todos los utilizados anteriormente
anteriores (S5, S6 , S9) +
- S10.
- S11.
Supuestos utilizados
- Todos los utilizados anteriormente
anteriores (S5, S6 , S9) +
- S10.
- S11.
i)var( 2
∀= σiu
ji0),cov( ≠∀=ji uu
T
2
I)var( σ=U
52
3) Óptimos: desarrollo de la matriz de varianzas y covarianzas
del estimador MCO
12
)()ˆvar( −
′= XXσβ
1
jh
2
hj
1
jj
2
j )XX()ˆ,ˆcov(y)XX()ˆvar( −−
′σ=ββ′σ=β
Matriz de varianzas y covarinzas
Propiedades del estimador MCO
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
)ˆvar()ˆ,ˆcov()ˆ,ˆcov(
)ˆ,ˆcov()ˆvar()ˆ,ˆcov(
)ˆ,ˆcov()ˆ,ˆcov()ˆvar(
)ˆ(
21
2212
1211
kkk
k
k
V
βββββ
βββββ
βββββ
β
L
MOMM
L
L

14. 53
3) Optimalidad de Mejor: mínima varianza
En el sentido de que cualquier otro estimador lineal e insesgado
tiene una matriz de varianzas y covarianzas “mayor”
βˆ
CY=β~
[ ] CVarVar =− )ˆ()
~
( ββ
C es una matriz semidefinida positiva
Propiedades del estimador MCO
ββ =]
~
[EDado cualquier tal que
Se cumple que:
Demostración
54
Demostración
Dado que las estimaciones de los parámetros β por
MCO son una combinación lineal de las
perturbaciones y las perturbaciones son Normales,
entonces las estimaciones se distribuyen como
Normales
Propiedades del estimador MCO
4- Distribuciones de los estimadores MCO
( )12
)(ˆ −
′,Ν XXσββ ∼ Supuestos utilizados
- S5.- Parámetros constantes
- S7.- Variables explicativas son
deterministas
- S9+S10+S11+S12.
Supuestos utilizados
- S5.- Parámetros constantes
- S7.- Variables explicativas son
deterministas
- S9+S10+S11+S12.
)IN(0, T
2
σU ∼UA
UXXX
′+=
′′+= −
β
ββ )(ˆ 1
55
Densidad
)ˆ( if β
iii EE βββ == )~()ˆ( iβˆ
)ˆ( if β
)~( if β
)ˆ( if β
)ˆ( if β
Densidad
iiE ββ =)ˆ( iβˆ
Insesgadez
Eficiencia
Propiedades del estimador MCO
Interpretación gráfica de las propiedades
Por tanto, β es un vector determinista,
pero su estimador por MCO es un
vector de variables aleatorias normales,
centradas en el valor que se quiere
estimar.
La insesgadez significa que esta
muestra probablemente saldrá del
entorno del centro de la
distribución, que coincide con el
verdadero valor.
βˆ
56
CAT.1 Variables explicativas y residuos ortogonales entre si
6. PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LA ESTIMACIÓN MCO
0ˆ0)ˆ( =′⇒=−′ uXYYX
0ˆˆˆˆ ==′ UXUY β
Demostración:
Se deriva del sistema de ecuaciones normales
CAR.2- La variable endógena estimada es ortogonal al residuo
0ˆ =′−′ βXXYX 0)ˆ( =−′ βXYX
∑ =⇒=′ 0uˆYˆ0uˆYˆ
ii

15. 57
CAR.3. La suma de los residuos MCO es igual a cero:
Si en el modelo hay término constante
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=′
∑
∑
∑
0
0
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ111
UˆX 22
1
21
22221
MMM
K
MOMM
L
L
iki
ii
i
TkTkk
T
ux
ux
u
u
u
u
xxx
xxx
0ˆ =∑ iu
CAR.4. La media de las variables (endógena estima) y endógena es la
misma
0ˆ)ˆ(ˆ =−=−= ∑ ∑∑∑ iiiii yyyyu
YYyy ii
ˆˆ =⇒=∑ ∑
6. PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LA ESTIMACIÓN MCO
58
CAR.5. Los residuos son combinación lineal de las perturbaciones
aleatorias
En todos los casos
MUUXXXXXUX
XUXXYU
=′′−−+=
−+=−=
−1
)(
ˆ)(ˆˆ
ββ
βββ
UXXX ′′+= −1
)(ˆ ββ
Demostración
MUU =ˆ XXXXIM ′′−= −1
)(
Simétrica
Idempotente
Semi-D.P.
CAR.6. Los residuos son combinación lineal de v. endógena
MYU =ˆ
MYYXXXXYXYU =′′−=−= −1
)(ˆˆ β
YXXX ′′= −1
)(ˆβDemostración
6. PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LA ESTIMACIÓN MCO
59
CAR.7 Los residuos se distribuyen
En todos los casos
),0( 2
MN σ
6. PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LA ESTIMACIÓN MCO
60
Nota- calculo de la suma de los cuadrados de los residuos
YXYYXYXYUUuSR i
′′−′=−′−=′′== ∑ βββ ˆ)ˆ()ˆ(ˆˆ
2
βββββ ˆˆ)ˆˆ(ˆˆ XXYYUXXYYYXYYSR ′′−′=+′′−′=′′−′=
YYYYXXYYSR ˆˆˆˆ ′−′=′′−′= ββ
βˆˆ XY =
0ˆ =′UX
CAR .8 MYYMUUUUSR ′=′=′= ˆˆ
Demostración
MUUMUMUUUMUU ′=′′=′⇒= ˆˆˆ
MYYMYMYUUMYU ′=′′=′⇒= ˆˆˆ
6. PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LA ESTIMACIÓN MCO

16. 61
22222
2222
ˆˆ'ˆˆ)ˆˆ(
')(
YTYXYTYYYTYYySE
YTYYYTYYyST
ii
ii
−′′=−=−=−=
−=−=−=
∑∑
∑∑
β
Con T. const YY =ˆ
CAR 9. Si el modelo de regresión tiene término constante,
entonces se cumple que:
ST=SE+SR
Demostración
YYYYUUSR ˆˆˆ ′−′=′′=
ˆˆˆˆˆˆ 22
YTYYUUYTYYYYUUYY −′+′′=−′⇒′+′′=′
Definiciones
Restanto 2
YT
6. PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LA ESTIMACIÓN MCO
62
7) Estimación del parámetro de dispersión y
propiedades
7-1) Estimación
kT
SR
kT
UU
kT
u
u i
i
−
=
−
′
=
−
== ∑ ˆˆˆ
ˆ)var(
2
2
σ
kT
MYY
kT
MUU
kT
YXYY
−
′
=
−
′
=
−
′−′
=
β
σ
ˆ
ˆ
2
63
7-2) Propiedades
A. En muestras finitas:
1) Insesgado
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] )()()()(
)()()()ˆˆ(
222
kTMtrIMtrUUMEtr
UMUEtrUMUtrEMUUtrEMUUEuuE
T −===′=
′=′=′=′=′
σσσ
22
ˆˆ
)ˆ( σσ =⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
′
=
kT
UU
EE
)(
)(ˆˆ
)ˆ( 2
kT
MUUE
kT
MUU
E
kT
UU
EE
−
′
=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
′
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
′
=σ
Propiedades de la traza
- tr(escalar)=escalar
- tr(AB)=tr(BA)
- E[tr(A)]=tr(E[A])
- tr(In)=n
kTItrItrXXXXtrItr
XXXXtrItrXXXXItrMtr
kTT
TT
−=−=′′−=
′′−=′′−=
−
−−
)()())(()(
))(()())(()(
1
11
MUUSR ′=
Demostración
64
2) No lineal
3) No ELIO
kT
MYY
kT
uu
−
′
=
−
′
=σ
ˆˆ
ˆ 2
7-2) PROPIEDADES DEL PRÁMETRO DE DISPERSIÓN
A. EN MUESTRAS FINITAS:

17. 65
)I,0(NX N
2
σ≈),0(Nx 2
i σ≈
2
2 r
AXX
χ
σ
≈
′
B. PROPIEDADE ASINTÓTICAS:
Teorema: Sea X=(x1,x2,...,xN) un vector de N variables
aleatorias normales independientes con media cero y varianza
constante
Además si tenemos una matriz A simétrica e idempotente de rango r
66
Aplicando este teorema a nuestro caso se obtiene:
),0( 2
TINU σ≈
2
2 kT
MUU
−≈
′
χ
σ
2
2
ˆˆ
kT
UU
−≈
′
χ
σ
2
kT2
2ˆ)kT(
−χ≈
σ
σ−
A partir de los supuestos s10+s11+s12
kTMrango −=)(
También tenemos una matriz M simétrica idempotente y de rango (T-k)
XXXXIM ′′−= −1
)(
Entonces, aplicando el teorema anterior obtendremos:
Demostración:
kT
MUU
kT
UU
−
′
=
−
′
=
ˆˆ
ˆ
2
σ
2
ˆ)( σkTMUU −=′
67
kT
2
)ˆvar(
4
2
−
σ
=σ
-Asintóticamente insesgado
-Consistente
0
kT
2
lim)var(lim
4
T
2
T
=
−
σ
=σ
∞→∞→
B. PROPIEDADE ASINTÓTICAS:
Para demostrara la consistencia, tenemos que calcular primero la
varianza:
Demostración:
2
kT2
2ˆ)kT(
−χ≈
σ
σ−
Propiedades de
)(2)(
)(
2
2
kTV
kTE
kT
kT
−=
−=
−
−
χ
χ
)(2)ˆvar(
)(ˆ)(
var 2
4
2
2
2
kT
kTkT
−=
−
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
σ
σσ
σ
68
A modo de resumen, concluimos que el estimador
MCO de σ2 es asintóticamente insegado y consistente,
si bien por lo que respecta a las propiedades para
muestras finitas solamente podemos afirmar que es
un estimador insesgado

18. 69
Finalmente sustituyendo por su estimador obtenemos los
estimadores de las varianzas y covarianzas de los estimadores
MCO del vector β:
2
σ 2ˆσ
12
)(ˆ)ˆ(ˆ −
′= XXV σβ
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
′==
′==
⇒ −
−
12
ˆ,ˆ
122
ˆ
)(ˆ)ˆ,ˆcov(ˆ
)(ˆ)ˆvar(ˆ
ijjiji
jjj
XX
XXj
σββσ
σβσ
ββ
β
Es un estimador insesgado
70
8- Estimación por Máxima Verosimilitud
(MV) de los parámetros
• El método de MV se basa en la función de
verosimilitud de la muestra.
• La función MV se define como la probabilidad
de que se den las observaciones muestrales.
• Intuitivamente viene a proporcionar la
probabilidad de que para unos determinados
parámetros de β y σ2 obtengamos una muestra
en concreta.
71
8- Estimación por Máxima Verosimilitud
(MV) de los parámetros
• El método de MV consiste en encontrar aquellos
valores de los parámetros
que maximizan la función de verosimilitud, es
decir la probabilidad conjunta de las
observaciones de la variable endógena
),,,( 2
k21 σβββ K
La función de verosimilitud se puede expresar:
),(),...,,( 2
21 σβ== fyyyfL T
72
• Sabemos que:
• Por tanto la función de densidad conjunta del vector U
será:
• Recordar que:
U = Y-Xβ
),0( 2
TIN σU∼
( ) ⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧ ′
σ
−
πσ
= UUUf T 22/2 2
1
exp
2
1
)(
La estimación MV Requiere distribución del error
(1)

19. 73
En la función de verosimilitud (1) sustituyendo el vector
U como función de las variables observables obtenemos
la función de verosimilitud de la muestra Y:
( ) ⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
β−′β−
σ
−
πσ
=σβ= XYXYYfL T
()(
2
1
exp
2
1
),|( 22/2
2
Los parámetros que maximizan L son los mismos que
maximizan Lln=l
)()(
2
1
)ln(
2
)2ln(
2
ln 2
2
ββ
σ
σπ XYXY
TT
L −′−−−−==l
Maximizamos lnL con respecto a β y σ2
)2(
2
1
)ln(
2
)2ln(
2
ln 2
2
β′β′+β′−
σ
−σ−π−== XXXYYY
TT
Ll
74
[ ]
)()(
2
1
2
)(2
2
1
422
2
β−′β−
σ
+
σ
−=
σ∂
∂
β−′−
σ
−=
β∂
∂
XYXY
T
XYX
l
l
Igualando a cero (1 y 2) y llamamos los estimadores
máxima verosimilitud de los parámetros, obtenemos
2~y
~
σβ
2~~~~
2
~
σ=β′β′+′β′−′
β′=′
TXXYXYY
XXYX
1
2
3
4
YXXX ′′=β −1
)(
~
A partir de 3 y 4 la estimación MV de
T
XXYXYY β′β′+′β−′
=σ
~~~
2~2
β=β ˆ~
T
uu ˆˆ′
=
kT
uu
−
′
=σ
ˆˆ
ˆ 2 22 ~ˆ σ≠σ
Condiciones de primer orden
UXYYYU ˆ~~~ =−=−= β
75
Propiedad de los estimadores MV de los
parámetros de posición
Dado que los estimadores MV de β son iguales a los MCO,
cumplen las mismas propiedades
Lineales
Insesgados
Óptimos
ELIO
Eficientes
+
Son los de menor varianza entre todos los
estimadores insesgados
Su varianza alcanza el límite inferior de la
Cota de Cramer-Rao 76
Propiedad del estimadores MV del
parámetros de dispersión
1) Para muestras pequeñas
No ELIO
T
k
T
kT
T
uuE
E
2
2
2
2 )()ˆˆ(
)~(
σ
−σ=
−σ
=
′
=σ
-No lineal:
- Sesgado:
Sesgo negativo: MV infraestima el parámetro de dispersión
T
MYY′
=2~σ
T
k
ESesgo
2
222
)~()~(
σ
σσσ −=−=

20. 77
Propiedad del estimadores MV del parámetros
de dispersión
2) Propiedad asintóticas
a) Insesgadez asintótica
22
)~(lim σσ =
∞→
E
T
b) Consistencia
2
4
2 )(2
)~var(
T
kT σ−
=σ
0
)(2
lim)~var(lim 2
4
2
=
σ−
=σ
∞→∞→ T
kT
TT
Recordar
Bajo el supuesto de
normalidad
2
k-T2
χ
σ
MUU′
Propiedades de
)(2)(
)(
2
2
kTV
kTE
kT
kT
−
−=
−
−
χ
χ
∼
78
Análisis de la eficiencia de los estimadores
MV:Cota de Cramer-Rao
Para obtener la desigualdad de Cramer-Rao, partimos
de la Matriz de Información, que el caso del MLG será
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
σ∂σ∂
∂
σ∂β∂
∂
σ∂β∂
∂
β′∂β∂
∂
−=
22
2
2
2
2
22
lnln
lnln
LL
LL
EMI
Cota CR:menor varianza que pueda tener un estimador
insesgado
79
A partir de las expresiones de las primeras derivadas de la lnL,
obtenemos las segundas derivas:
24
22
ln
)
σσ
σ
ββ
XXXXL
a
′
−=
′
−=
′∂∂
∂
=
−′
−=
∂∂
∂
42
2
)(ln
)
σ
β
σβ
XYXL
b
6
2
6422
2
2
2
)()(
1
2
ln
)
σ
σ
ββ
σσσσ
UUT
XYXY
TL
c
′−
=
−′−−=
∂∂
∂
80
Aplicando la esperanza a cada uno de estos elementos
(a,b y c):
2
1
2
)( σTuEUUE
T
i
i =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=′ ∑=
22
)()
σσ
XXXX
Ea
′
−=
′
−
0
)()(
E) 444
=
′
−=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ′
−=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −′
−
σσσ
β UEXUX
E
XYX
b
46
22
6
2
6
2
22
2
2
)(2
2
2
E)
σσ
σσ
σ
σ
σ
σ TTTUUETUUT
c
−
=
−
=
′−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ ′−
Demostración

21. 81
Obtenemos la matriz de información:
⎟⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
σ
′
=
4
2
2
0
0
T
XX
MI
La cota de C-R es la inversa de la matriz de información:
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛ ′
==
−
−
T
XX
MICR 4
12
1
2
0
0)(
σ
σ
82
Denominamos ahora:
)(
2
)()(
2
4
12
σ
σ
βσ
CR
T
CRXX
=
=′ −
- Eficiencia del estimador de β
Tanto los estimadores MV como MCO tienen la varianza mínima
que puede alcanzar un estimador insesgado de :
12
)()()~()ˆ( −
′=== XXCRVV σβββ
Eficiencia del estimador de σ2
)(
)(2
)~var( 2
2
4
2
σ
σ
σ CR
T
kT
<
−
=
)(
)(
2
)ˆvar( 2
4
2
σ
σ
σ CR
kT
>
−
=
Menor que la cota de Cramer-
Rao, pero es sesgado
83
Resumen
• Estimación MV • Estimación MCO
YXXX ′′=β −1
)(
~ YXXX ′′=β −1
)(ˆ
β=β ˆ~
T
UU ˆˆ~2 ′
=σ
Lineales, Insesgados, Óptimos (ELIO) y eficientes
Asintóticamente insesgados y Consistentes
22 ~ˆ σ≠σ
No lineal, sesgado y
no eficiente
No lineal, Insesgado, no
eficiente
No ELIO
Asintóticamente insesgados y Consistentes
βˆ~ˆ XYY == UYYYYU ~~ˆˆ =−=−=
kT
UU
−
′
=
ˆˆ
ˆ
2
σ
84
9. Mediad de ajuste:
DESCOMPOSICIÓN DE LA VARIANZA:
Si entre las variables explicativas se tiene un término
constante, La variación muestral de la variable endógena
(ST) se puede descomponer en la variación debida a la
regresión (SE) (influencia de X2
, X
3
,...,X
k
) y en variación debida
a los residuos (SR):
ST=SE+SR

22. 85
EXPRESIONES:
YXYYUUuSR
YTYXYTYSE
YTYYYTYST
i
i
i
′β′−=′==
−′β′=−=
−=−=
∑
∑
∑
ˆ'ˆˆ
ˆˆ
'
2
222
222
86
El coeficiente de determinación
El coeficiente de determinación es una medida del poder
explicativo (bondad de ajuste del modelo).
En el MLG con término independiente el R2 puede calcularse:
El mide el porcentaje de la variación de Y que
puede atribuirse a las variaciones de todas las
explicativas X.
==
ST
SE
R2
2
2
'
ˆ
YTYY
YTYX
−
−′β′
2
2
'
ˆ
11
YTYY
YXYY
ST
SR
R
−
′′−′
−=−=
β
R2
87
Yˆ
0yˆ0
i
2
i
2
=⇒
=⇒= ∑
Y
R
0uˆ1 2
i
2
=⇒= ∑R
El aumenta de valor al aumentar el número de regresores
sean estos relevantes o no. Para eliminar este fenómeno se
define el ajustado de grados de libertad”
Características:
10 2
≤≤ R
R2
R2
88
El Coeficiente de determinación corregido )( 2
R
1/)(
/ˆˆ
1
1/
/
1 2
2
−−′
−′
−=
−
−
−=
TYTYY
KTuu
TST
KTSR
R
)1(
1
1 22
R
KT
T
R −
−
−
−=

23. 89
2) si k ↑ y las variables son
muy explicativas SR ↓
T-k↓
SR
T-k↓
3)
4) si k=1
5) el puede tomar valores negativos
↓⇒↑
−
− 2
R
1/
/
TST
kTSR
Características
1) si k ↑ y las variables son
pocas explica
22
RR ≤
22
RR =
2
R
↑⇒↓
−
− 2
R
1/
/
TST
kTSR