Clase Datos de Panel.pdf

Datos de Panel
Marco Morales
Universidad Diego Portales
Departamento de Economía
Semestre I de 2022
M. Morales (Departamento de Economía) Econometría II Semestre I de 2022 1 / 14

Datos Longitudinales
Hasta ahora hemos estudiado métodos econométricos que nos
permiten estimar modelos, ya sea de series de tiempo o de corte
transversal. Sin embargo, es posible también estimar modelos que
combinen ambos tipos de datos, lo que se conoce como datos
longitudinales.
yit = α + Xit β + εit

longitudinales.
Considere el siguiente modelo, donde los individuos (unidades de corte
transversal) están indexados por i = 1, ..., N mientras los períodos de
tiempo corresponden a t = 1, ..., T.

longitudinales.
Considere el siguiente modelo, donde los individuos (unidades de corte
transversal) están indexados por i = 1, ..., N mientras los períodos de
tiempo corresponden a t = 1, ..., T.
Sí consideramos que todos los coe…cientes α, β son …jos a través del
tiempo y comunes a todos los individuos, entonces el modelo anterior
puede ser estimado por MCO Agrupado ("Pooled OLS").

Heterogeneidad Individual
Considere ahora que el error poblacional contiene un componente
individual no observable y constante en el tiempo,
εit = µi + uit , uit iid(0, σ2
u )

Heterogeneidad Individual
Considere ahora que el error poblacional contiene un componente
individual no observable y constante en el tiempo,
εit = µi + uit , uit iid(0, σ2
u )
Sí estimamos el modelo mediante MCO Agrupado sin tomar en
cuenta la heterogeneidad individual no observable, obtendremos una
estimación inconsistente de los coe…cientes del modelo sí
Cov(µi , Xit ) 6= 0. Sí Cov(µi , Xit ) = 0 entonces el estimador MCO
será ine…ciente debido a la presencia de autocorrelación en los errores
εit .

Modelo de Efectos Fijos Individuales
El modelo de Efectos Fijos Individuales, especi…ca el componente
individual no observable como una constante distinta para cada
individuo en la muestra,
yit = αi + Xit β + uit
b
βEFI = (X 0X ) 1X 0Y , Y = vec(yit yi ) , X = vec(Xit Xi )
b
αEFI = y X b
βEFI , b
αiEFI = yi b
αEFI Xi
b
βEFI

Asumiendo que Cov(Xit , uit ) = 0, el estimador de Efectos Fijos
Individuales para β se obtiene mediante MCO sobre variables a las
que se les ha restado su media a través del tiempo (para eliminar los
efectos …jos), además de apilarse en vectores con NT …las,
b
b
αEFI = y X b
βEFI , b
αiEFI = yi b
αEFI Xi
b
βEFI

Asumiendo que Cov(Xit , uit ) = 0, el estimador de Efectos Fijos
Individuales para β se obtiene mediante MCO sobre variables a las
que se les ha restado su media a través del tiempo (para eliminar los
efectos …jos), además de apilarse en vectores con NT …las,
b
Luego podemos estimar una constante global y los efectos …jos
individuales a partir del β estimado,
b
αEFI = y X b
βEFI , b
αiEFI = yi b
αEFI Xi
b
βEFI

La varianza del vector β estimado esta dada por,
V (b
βEFI ) = b
σ2
e (X 0X ) 1
V (b
αiEFI ) = b
σ2
e
T + X
0
i V (b
βEFI )Xi

La varianza del vector β estimado esta dada por,
V (b
βEFI ) = b
σ2
e (X 0X ) 1
Mientras para los efectos individuales,
V (b
αiEFI ) = b
σ2
e
T + X
0
i V (b
βEFI )Xi

Test de Efectos Fijos Individuales
Es posible probar la hipotesis de homogeneidad versus heterogeneidad
individual modelada con efectos …jos, mediante un test F,
H0 : α1 = ... = αN vs H1 : α1 6= ... 6= αN
Fc = (e0eR e0eNR )/(N 1)
e0eNR /(NT N K )
F(N 1, NT N K)

Test de Efectos Fijos Individuales
individual modelada con efectos …jos, mediante un test F,
H0 : α1 = ... = αN vs H1 : α1 6= ... 6= αN
Fc = (e0eR e0eNR )/(N 1)
e0eNR /(NT N K )
F(N 1, NT N K)
Si se rechaza H0 entonces MCO Agrupado sería inconsistente y es
necesario estimar el modelo mediante el estimador de Efectos Fijos
Individuales.

Modelo de Efectos Aleatorios
El modelo de Efectos Aleatorios, especi…ca el componente individual
no observable como parte del error poblacional,
yit = α + Xit β + εit , εit = µi + uit , µi iid(0, σ2
µ) , uit iid(0, σ2
u )
b
θEA = (Z0Ω 1Z) 1Z0Ω 1Y , V (b
θEA) = (Z0Ω 1Z) 1
Y = vec(yit ) , Z = vec(1, Xit )
Ω =
2
6
6
6
6
4
Σ 0 0
0
...
...
.
.
.
.
.
.
...
... 0
0 0 Σ
3
7
7
7
7
5
, Σ = σ2
µiT i0
T + σ2
uIT

El modelo de Efectos Aleatorios, especi…ca el componente individual
no observable como parte del error poblacional,
yit = α + Xit β + εit , εit = µi + uit , µi iid(0, σ2
µ) , uit iid(0, σ2
u )
Con Cov(µi , Xit ) = Cov(Xit , uit ) = 0, MCO es ine…ciente
(autocorrelación en εit ), mientras MCG es e…ciente para estimar
θ = (α, β) .
b
θEA = (Z0Ω 1Z) 1Z0Ω 1Y , V (b
θEA) = (Z0Ω 1Z) 1
Y = vec(yit ) , Z = vec(1, Xit )
Ω =
2
6
6
6
6
4
Σ 0 0
0
...
...
.
.
.
.
.
.
...
... 0
0 0 Σ
3
7
7
7
7
5
, Σ = σ2
µiT i0
T + σ2
uIT

Para poder implementar el estimador de Efectos Aleatorios se requiere
estimar σ2
µ y σ2
u.
(yit yi ) = (Xit Xi )β + (uit ui )
b
σ2
u =
N
∑
i=1
T
∑
t=1
(eit ei )2
NT N K , eit : residuos del estimador EFI
b
σ2
µ =

(ui +µi )
0

(ui +µi )
N K
b
σ2
u
T

estimar σ2
µ y σ2
u.
Primero, la varianza de uit se puede obtener a partir de los residuos
de una regresión por MCO para el modelo de Efectos Aleatorios
menos su media a través del tiempo,
b
σ2
u =
N
∑
i=1
T
∑
t=1
(eit ei )2
b
σ2
µ =

(ui +µi )
0

(ui +µi )
N K
b
σ2
u
T

estimar σ2
µ y σ2
u.
Primero, la varianza de uit se puede obtener a partir de los residuos
de una regresión por MCO para el modelo de Efectos Aleatorios
menos su media a través del tiempo,
b
σ2
u =
N
∑
i=1
T
∑
t=1
(eit ei )2
Por otra parte, V (ui + µi ) = σ2
u
T + σ2
µ y (ui + µi ) = yi b
α Xi
b
β.
Entonces,
b
σ2
µ =

(ui +µi )
0

(ui +µi )
N K
b
σ2
u
T

Test de Efectos Aleatorios
individual modelada con Efectos Aleatorios, mediante un test ML
(Test de Breusch-Pagan),
H0 : σ2
µ = 0 (corr(εit , εit j ) = 0) vs H1 : σ2
µ > 0 (corr(εit , εit j ) 6= 0)
MLBP = NT
2(T 1)
2
6
6
4
N
∑
i=1
(T ei )2
N
∑
i=1
T
∑
t=1
(eit )2
1
3
7
7
5
2
, eit : residuos del estimador EFI
MLBP
D
! χ2(1)

H0 : σ2
µ > 0 (corr(εit , εit j ) 6= 0)
MLBP = NT
2(T 1)
2
6
6
4
N
∑
i=1
(T ei )2
N
∑
i=1
T
∑
t=1
(eit )2
1
3
7
7
5
2
La distribución del Test de Breusch-Pagan esta dada por,
MLBP
D
! χ2(1)

H0 : σ2
µ > 0 (corr(εit , εit j ) 6= 0)
MLBP = NT
2(T 1)
2
6
6
4
N
∑
i=1
(T ei )2
N
∑
i=1
T
∑
t=1
(eit )2
1
3
7
7
5
2
La distribución del Test de Breusch-Pagan esta dada por,
MLBP
D
! χ2(1)
Si se rechaza H0 entonces MCO Agrupado sería ine…ciente y es
necesario estimar el modelo mediante el estimador de Efectos
Aleatorios.

Efectos Fijos vs Efectos Aleatorios
Sí los tests de efectos …jos individuales y de efectos aleatorios
rechazan la hipotesis nula de homogeneidad individual, es necesario
comparar entre los dos modelos alternativos de heterogeneidad
individual.
H0 : Cov(µi , Xit ) = 0 vs H1 : Cov(µi , Xit ) 6= 0
WH = (b
βEFI
b
βEA)0
h
V (b
βEFI
b
βEA)
i 1
(b
βEFI
b
βEA)
WH
D
! χ2(K)

Efectos Fijos vs Efectos Aleatorios
Sí los tests de efectos …jos individuales y de efectos aleatorios
rechazan la hipotesis nula de homogeneidad individual, es necesario
comparar entre los dos modelos alternativos de heterogeneidad
individual.
Lo anterior se puede hacer mediante el test de Hausman. La idea de
este test es que bajo el supuesto de que los efectos individuales no
covarian con las variables independientes, ambos estimadores EFI y
EA son consistentes, pero EFI es ine…ciente. Sí los efectos
individuales covarian con las variables independientes, entonces EA es
inconsistente. Sí se rechaza H0 se debe estimar por EFI.
H0 : Cov(µi , Xit ) = 0 vs H1 : Cov(µi , Xit ) 6= 0
WH = (b
βEFI
b
βEA)0
h
V (b
βEFI
b
βEA)
i 1
(b
βEFI
b
βEA)
WH
D
! χ2(K)

Efectos Individuales y Temporales
Más alla del modelo de heterogeneidad individual analizado hasta
ahora, también es posible incorporar heterogeneidad temporal en el
panel.
yit = α + Xit β + εit , εit = µi + λt + uit
b
βEFIT = (X 0X ) 1X 0Y , Y = vec(yit yi yt + y) ,
X = vec(Xit Xi Xt + X)

panel.
Sí solo tuviesemos heterogeneidad temporal, sería su…ciente con restar
al modelo original su media a traves de los individuos y luego estimar
mediante MCO el modelo en variables transformadas (EFT).
b

panel.
Sí solo tuviesemos heterogeneidad temporal, sería su…ciente con restar
al modelo original su media a traves de los individuos y luego estimar
mediante MCO el modelo en variables transformadas (EFT).
Sí tenemos heterogeneidad individual y temporal, el estimador de
Efectos Fijos Individuales y Temporales (EFIT) esta dado por,
b

Modelo Dinámico de Datos de Panel
Asuma que el modelo de datos de panel -con heterogeneidad
individual- contiene un rezago de la variable dependiente en el lado
derecho de la ecuación,
yit = α + Xit β + δyit 1 + εit , εit = µi + uit
(yit yit 1) = (Xit Xit 1)β + δ(yit 1 yit 2) + (uit uit 1)

Dado que µi es …jo a través del tiempo yit 1 covaría con εit , luego los
estimadores de EFI y de EA son inconsistentes.

Primero, el efecto individual se puede eliminar diferenciando las
variables a través del tiempo,

Primero, el efecto individual se puede eliminar diferenciando las
variables a través del tiempo,
Sin embargo, ∆yit 1 esta correlacionada contemporanemente con
∆uit , ya que Cov(yit 1, uit 1) 6= 0. Por esta razón es necesario
utilizar un estimador VI, donde los instrumentos para ∆yit 1 pueden
ser sus rezagos o el nivel de la variable dependiente rezagada a partir
de yit 2 (siempre que uit no este autocorrelacionado).

Estimador de Arellano-Bond (1991)
Considere el modelo sin variables exógenas, solo con endógena
rezagada y en primera diferencia,
∆yit = ∆yit 1δ + ∆uit
Zi =
2
6
6
6
6
4
(yi1) 0 0
0 (yi1, yi2)
.
.
.
.
.
.
... 0
0 0 (yi1, yi2, ..., yiT 2)
3
7
7
7
7
5
G =
2
6
6
6
6
6
4
2 1 0 0 0 0
1 2 1 0 0 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 1 2 1
0 0 0 0 1 2
3
7
7
7
7
7
5

Considere el modelo sin variables exógenas, solo con endógena
rezagada y en primera diferencia,
∆yit = ∆yit 1δ + ∆uit
Con las matrices (T 2)x(T 2) y E(∆ui ∆u0
i ) = σ2
u (IN G)
Zi =
2
6
6
6
6
4
(yi1) 0 0
0 (yi1, yi2)
.
.
.
.
.
.
... 0
0 0 (yi1, yi2, ..., yiT 2)
3
7
7
7
7
5
G =
2
6
6
6
6
6
4
2 1 0 0 0 0
1 2 1 0 0 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 1 2 1
0 0 0 0 1 2
3
7
7
7
7
7
5

Arellano y Bond (1991) proponen un estimador de VI tipo "GMM"
que utiliza como instrumentos todos los rezagos de la variable
dependiente a partir de t 2. En la primera etapa, obtienen residuos
consistentes a través del estimador MCG,
b
δ1 = (∆Y 1)0Z(Z0(IN G)Z) 1Z0(∆Y 1)
1
(∆Y 1)0Z(Z0(IN G)Z) 1Z0(∆Y )
b
δGMM =
h
(∆Y 1)0Z(b
VN ) 1Z0(∆Y 1)
i 1 h
(∆Y 1)0Z(b
VN ) 1Z0(∆Y )
i

Arellano y Bond (1991) proponen un estimador de VI tipo "GMM"
que utiliza como instrumentos todos los rezagos de la variable
dependiente a partir de t 2. En la primera etapa, obtienen residuos
consistentes a través del estimador MCG,
b
δ1 = (∆Y 1)0Z(Z0(IN G)Z) 1Z0(∆Y 1)
1
(∆Y 1)0Z(Z0(IN G)Z) 1Z0(∆Y )
Mientras en la segunda etapa, el estimador GMM utiliza la matriz de
ponderación VN =
N
∑
i=1
Z0
i ∆ei ∆e0
i Zi , donde ∆ei son los residuos de la
primera etapa,
b
δGMM =
h
(∆Y 1)0Z(b
VN ) 1Z0(∆Y 1)
i 1 h
(∆Y 1)0Z(b
VN ) 1Z0(∆Y )
i

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