Construcción Modelos de Programación Lineal

1. Prof. Pura Castillo. |Investigaciónde Operaciones Guía 2. |Noviembre 2022
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL
ANDRÉS ELOY BLANCO
MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL
Investigación deOperaciones

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PROGRAMACIÓNLINEAL
ANTECEDENTES HISTORICOS.
 Debido al éxito obtenido en las campañas de la segunda guerra mundial, entonces, en la década de 1950 se
usa en la industria, los negocios y el gobierno.
 Dio origen a las carreras como ingeniería mecánica, química e Industrial.
 Inglaterra dio origen a esta disciplina y a los EEUU se le atribuye el rápido crecimiento gracias al método
simplex desarrollado en 1947 por George Dantzing. Otras herramientas de IO son PL, P. Dinámica, Líneas
de Espera y teorías de inventario hasta antes de terminar la década de 1950.
DEFINICIÓN DE PROGRAMACIÓN LINEAL.
Es una técnica matemática de análisis que permite determinar cual es la asignación más eficiente de los
recursos limitados en actividades que desarrolla la empresa con el propósito de optimizar los objetivos de la
organización, esto es, maximizar beneficios o minimizar costos.
FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
Este paso es quizás el más difícil y complejo. Deben especificarse las variables que son verdaderamente
relevantes y clarificarse los objetivos que se pretenden alcanzar; cuales son las unidades involucradas y cuál
es la magnitud o importancia del problema que se desea resolver. Deben especificarse además, cuáles son
los factores bajo control de quien toma la decisión y cuáles no. En resumen, se debe tener una descripción
exacta de las metas y objetivos, una identificación de las alternativas y un reconocimiento de las limitaciones,
restricciones y requerimientos del sistema.
ELEMENTOS DE UN MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL.
VARIABLES DE DECISIÓN:
Incógnitas del Modelo (X1, X2, X3, ... , Xn)
PARAMETROS: Variables controlables del sistema. ( aij )
FUNCION OBJETIVO : Maximización o Minimización. ( Max Zo. Ó Min Zo. )
RESTRICCIONES: Expresadas como ecuaciones restrictivas, representan los recursos límites del sistema.
REGIÓN FACTIBLE. Son el conjunto de valores de Xi que verifican todas y cada una de las restricciones.
Todo punto de esa región puede ser solución del problema; todo punto no perteneciente a ese conjunto no
puede ser solución.
La solución óptima del problema será un par de valores (Xa, Xb) del conjunto factible
que haga que f(Xa,Xb) tome el valor máximo o mínimo.

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FORMULACION DE PROBLEMAS UTILIZANDO EL MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL.
El modelo de programación lineal para representar un sistema tiene, al igual que cualquier otro modelo
simbólico, una función objetivo y un conjunto de restricciones.
Paso1: Defina el conjunto de actividades y asigne niveles no negativos X1 , X2 , …, Xn. Estas serán las
variables de decisión. Seleccione para cada actividad una unidad de medida (Horas, unidades, litros etc.)
Paso2: Defina la medida de efectividad del sistema (ganancia de dinero, costo, volumen, etc.) y exprese
esa medida de efectividad como una función de las variable de decisión. Esto es, construya la función
objetivo del modelo
Paso3: Establezca el conjunto de restricciones mediante el reconocimiento de los recursos limitados (número
de horas, número de máquinas, horas, hombre, etc.)
En resumen, el modelo matemático será:
(Maximizar o Minimizar) Zo= C1X1+ C2X2 +...+ Cn-1Xn-1+ CnXn
Sujeto a:
a11X1 + a12X2 + ... + a1jXj + . . . + a1nXn (< = > ) b1
a21X1 + a22X2 + ... + a2jXj + . . . + a2nXn (< = > ) b2
: :
ai1X1 + ai2X2 + ... + aijXj + . . . + ainXn (< = > ) bi
: :
am1X1 + am2X2 + ... + amjXj + . . . + amnXn (< = > ) bm
Xj >= 0 ( j = 1,2,3, . . . , n ; i = 1, 2, 3, . . ., m )

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En General:
 Todas las restricciones son ecuaciones (con los segundos miembros no negativos si el modelo se soluciona
por medio del método simplex primal.
 Todas las variables son no negativas.
 La función objetivo puede ser la maximización o la minimización.
TIPOS DE VARIABLES EN UN MODELO DE PL
 Si la restricción es de la forma  entonces se suma una VARIABLE DE HOLGURA Si
 Si la restricción es de la forma  entonces se agrega una VARIABLE DE EXCESO - Si
 Variables Artificiales (Ai) : Hace las veces de una variable de holgura en restricciones de la forma =
 Variables No Básicas: Son aquellas variables que tienen valor igual a cero.
 Variables Básicas: Son aquellos que cuyo valor son distintos de cero. Si son positivos se dicen que son
Variables Básicas Factibles.
 Variable Irrestricta (o no restringida) : yi puede representarse en términos de dos variables no negativas
mediante la sustitución de:
YI = YI’ – YI’’ YI’, YI’’  0
Solo una de las dos variables puede tomar un valor positivo, Es decir:
Si YI’>0 , entonces, YI’’=0 y viceversa.
Si YI (irrestricta) representa holgura y exceso, entonces:
YI’ es Holgura y YI’’ es Exceso.
FORMULACION Y SOLUCION DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL.
FORMULACION DE UN MODELO DE MAXIMIZACIÓN.
Problema Nº 01
En una urbanización se van a construir casas de dos tipos: A y B. La empresa constructora dispone para ello
Maximización o Minimización



n
J
J
j
o X
C
Z
1
Sujeto a:



n
j
i
j
ij b
X
a
1
i= 1, 2 , 3 , . . . , m
j = 1, 2, 3, . . . , n

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de un máximo de 1800 millones de ptas, siendo el coste de cada tipo de casa de 30 y 20 millones
respectivamente. El Ayuntamiento exige que el número total de casas no sea superior a 80. Sabiendo que el
beneficio obtenido por la venta de una casa de tipo A es de 4 millones y de 3 millones por una de tipo B
¿cuántas casas deben construirse de cada tipo para obtener el máximo beneficio?
Solución:
Capital a invertir
( millones de ptas.)
Demanda del
Mercado (unids)
Utilidades
(millones ptas)
Casa Tipo A (X1) 30 1 4
Casa Tipo B (X2) 20 1 3
Disponibilidad 1800 80
El modelo de programación lineal es el siguiente:
Maximizar Z = 4X1 + 3X2
Sujeto a:
30X1 + 20X2 1800 (Capital disponible)
X1 + X2 80 (Demanda del mercado)
X1 , X2  0
PROBLEMA N° 02
Una campaña para promocionar una marca de productos lácteos se basa en el reparto gratuito de yogures con sabor a
limón o a fresa. Se decide repartir al menos 30.000 yogures. Cada yogurt de limón necesita para su elaboración 0,5 gr.
de un producto de fermentación y cada yogurt de fresa necesita 0,2 gr. de ese mismo producto. Se dispone de 9 kgs.
de ese producto para fermentación. El coste de producción de un yogurt de fresa es el doble que el de un yogurt de
limón. ¿Cuántos yogures de cada tipo se deben producir para que el costo de la campaña sea mínimo?
Solución:
Promoción
(Unidades)
Producto Fermentación (gr.) Costo de Producción
Unidades monetarias /
unidad
Yogurt de Limón (X1) 1 0.5 1
Yogurt de Fresa (X2) 1 0.2 2
Demanda o disponibilidad 30000 9000

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Luego del Modelo de Programación Lineal será
Minimizar Z = X1 + 2X2
Sujeto a:
X1 + X2  30000 (Unidades Yogurt)
0.5X1 + 0.2X2  9000 (Productos de fermentación)
X1 , X2  0
Para Consolidar Tu Aprendizaje Revisa El Siguiente Material
Con Ejercicios Resueltos
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https://www.youtube.com/watch?v=u_ykcy1AxNE
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Comprobemos Lo Aprendido. Resuelve
Un granjero posee 1000 Ha de tierra donde puede sembrar maíz, trigo y soya. Cada Ha de maíz cuesta bs
2000 prepararla, requiere 7 días-hombre de trabajo y proporciona una ganancia de bs bs 600. Cada Ha de trigo
cuesta bs 2400 prepararla, requiere 10 días-hombre de trabajo y proporciona una ganancia de bs bs 800. Cada
Ha de soya cuesta bs 1400 prepararla, 8 días-hombre de trabajo y proporciona una ganancia de bs bs 400. Si
el granjero tiene bs 2000000 para la preparación y puede contar con 8000 días-hombre de trabajo. ¿Cuántas
Ha debe plantar de cada cultivo para maximizar sus ganancias?
Nota: La lectura de este material, es requisito para nuestra clase
presencial

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Bibliografía
Anderson, D.; Sweeney, D.; Williams, T. (2004). Métodos cuantitativos para los
negocios. México. Editorial Thomson.
Eppen, G.; Gould, F. J.; Moore, J.; Schmidt. C.; Weatherford, L. (1998). Investigación
de Operaciones en la Ciencia Administrativa. México. Editorial Prentice Hall
Hillier, F.; Liberman, G. (2001). Investigación de Operaciones. México. Editorial Mc.
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Mathur, K.; Solow, D (1996). Investigación de Operaciones. El arte de la toma de
decisiones. México. Prentice Hall.
Taha, H. (2004). Investigación de Operaciones. México. Perason Prentice Hall.
Wayne, W. (2005). Investigación de Operaciones. Aplicaciones y Algoritmos. México. Editorial
Thomson.