El pensamiento numérico a partir del aprendizaje colaborativo mediado con recursos educativos abiertos

UNIVERSIDAD DE LA GUAJIRA
Presentado por:
ALEXI MANUEL MONTERO SANTIAGO
Directores:
INÉRIDE ÁLVAREZ SUESCÚN
FAUSTO PEÑA RODRÍGUEZ
EL PENSAMIENTO NUMÉRICO APARTIR DEL APRENDIZAJE
COLABORATIVO, MEDIADO CON RECURSOS EDUCATIVOS ABIERTOS
UNIVERSIDAD DE LA GUAJIRA
MAESTRIA EN PEDAGOGÍA DE LAS TIC
PROYECTO DE PROFUNDIZACION
RIOHACHA - LA GUAJIRA- COLOMBIA
2015

V
Dedicatoria
A Dios porque le debo todo.
Haber nacido de dos seres maravillosos quienes me han respaldado incondicionalmente,
y me han enseñado el temor de Dios, para triunfar en la vida.
A mis hijos yussy, Santiago y “Manuel Santiago” porque son mi alegría y motor de mi
vida.
A mis hermanos y amigos porque he tenido el privilegio de compartir con ellos gratos
momentos.
A Loraine, que con paciencia y amor ha esperado en mis largos días de ausencia.

VI
Agradecimientos.
A mis padres, por su invaluable apoyo y confianza que depositaron en mí.
A la Universidad de la Guajira por brindarme la oportunidad de participar en este
magnífico proyecto.
A la doctora Inéride Álvarez Suescún por su apoyo en cada una de las etapas del proyecto
para que este fuera un éxito.
Al profesor Oscar Castañeda Toledo por sus sugerencias significativas en cada uno de sus
seminarios.
A mi compañera y amiga Yelenis López por su colaboración en los momentos difíciles.
… y a todos los docentes y directivos de la Maestría, por sus invaluables enseñanzas y por
acompañarnos y apoyarnos en el transcurso de esta nueva experiencia significativa.

VII
Tabla de Contenido
1. Identificación del tema y del contexto................................................................................1
1.1 Descripción del tema ........................................................................................................1
1.2 Caracterización del contexto de la Innovación................................................................8
1.3 Fundamentación del tema...............................................................................................13
1.3.1 pensamiento Numérico y sistema numérico...............................................................13
1.3.2. Dificultad en el aprendizaje de los Racionales..........................................................16
1.3.3 Trabajo colaborativo....................................................................................................19
1.3.4 Recursos educativos Abiertos (REA)..........................................................................22
2. Diseño de la innovación ................................................................................................24
2.1 Metodología....................................................................................................................24
2.1.1 Descripción de la innovación ......................................................................................24
2.1.2 Estrategia pedagógica..................................................................................................27
2.1.3 Orientación Tecnológica. ............................................................................................30
2.2 Plan de acción.................................................................................................................32
2.2.1. Objetivo General........................................................................................................33
2.2.2. Objetivos específicos..................................................................................................33
2.2.3 Actividades de aprendizaje..........................................................................................34
2.2.3 Evaluación de los Objetivos. .......................................................................................43
2.2.3.1 Análisis.....................................................................................................................44
2.2.3.2 Análisis de Resultados..............................................................................................45
3.0. Conclusiones..................................................................................................................51
4.0. Recomendaciones..........................................................................................................54
5.0 Reflexiones sobre las estrategias pedagógicas implementadas, una aproximación a la
sistematización. ....................................................................................................................55
5.1 Objetivo ..........................................................................................................................55
5.2 Objeto de reflexión........................................................................................................58
5.3 Eje de reflexión. ............................................................................................................58

VIII
5.4 Plan de la implementación ............................................................................................59
5.5 Reconstrucción Histórica. .............................................................................................60
5.5.1Relato............................................................................................................................62
5.6 Análisis e interpretación...............................................................................................80
5.7 Conclusiones. ................................................................................................................84
5.8 Recomendaciones..........................................................................................................86
Bibliografía...........................................................................................................................87

1
1. Identificación del tema y del contexto
1.1 Descripción del tema
El Instituto Colombiano para la evaluación de la educación (ICFES), adscripto al
Ministerio de Educación Nacional ha venido desarrollando unas pruebas censales a
partir de 1991 a nivel nacional a los grados quinto y noveno en las áreas de matemáticas,
lenguaje, ciencias y competencias en ciudadanía para obtener información confiable
acerca de los procesos de enseñanza -aprendizaje en la terminación de los ciclos de la
básica primaria y secundaria de los establecimientos educativos, con el fin de tomar
decisiones acertadas en la política educativa de Nuestro País.
A nivel Institucional contar con este tipo de información de las pruebas saber en
los grados tercero, quinto y noveno se convierte en la línea base de la autoevaluación del
proceso enseñanza aprendizaje ya que estas pruebas muestran el nivel de competencia,
debilidades y fortaleza del grupo evaluado en cada área, permitiendo la construcción de un
plan de mejoramiento académico para fortalecer cada una de estas áreas, y poder dar
respuesta a interrogantes como. ¿Cuál es la debilidad de la institución de acuerdo a las
pruebas? ¿En qué se falla? ¿Cómo mejorar? ¿Qué se debe mejorar? ¿Cuál es la meta
propuesta?
Resultados pruebas saber 2009-2012
En la Institución estos resultados muestran una gran debilidad en el área de
matemáticas donde prácticamente más de la mitad de los estudiantes presentan serias

2
dificultades en las dos últimas pruebas aplicadas, tal como lo muestra la gráfica, en ella se
puede observar que a pesar de existir una leve mejoría en los rangos de nivel insuficiente
y mínimo, desaparece para el año 2012 el porcentaje en el nivel satisfactorio. El ICFES
en sus orientaciones para las lecturas e interpretaciones de los resultados expresa que estar
en el nivel insuficiente significa no superar las preguntas de menor complejidad de las
pruebas, lo que pone de manifiesto la situación crítica de esta área en la institución, en el
2012, el 100% del estudiantado del grado noveno se encuentra ubicado en los rangos más
bajos, insuficiente y mínimo.
Muchas son las variables a tener en cuenta en dicho informe, uno de ellos es el tipo
de evaluación, ya que muchos de los estudiantes apenas se están familiarizando con éste
tipo de prueba de selección sobre todo en el grado tercero y quinto, debido a que es poco
propuesto por los docentes en el aula de clases, otro factor es el de evaluar contenidos que
no han sido vistos por los estudiantes en clases, dichos factores inciden en los resultados de
este tipo de prueba, sin embargo, el de mayor peso se encuentra en la comprensión
conceptual y algorítmica de los procesos numéricos a la hora de resolver los problemas.
Todo lo anterior se refleja en las evaluaciones internas desarrolladas en la
institución, donde el gráfico anterior se sigue comportando de igual manera e incluso
podría aumentar el porcentaje en el rango de insuficiente, debido a que los estudiantes
deben justificar matemáticamente sus resultados en la mayoría de las evaluaciones
internas y solo pocos logran formalizar matemáticamente sus respuestas, llegando a la
misma conclusión que define el ICFES en el documento sobre las orientaciones para la
lectura e interpretaciones de los resultados de las pruebas saber. Los estudiantes que se
ubican en el nivel de insuficiente “no superan las preguntas de menor complejidad de la
prueba” (ICFES, 2010, p.9).
¿Pero cuáles son esas preguntas de menor complejidad?, ¿Que requiere el
estudiante para poder resolverlas adecuadamente? Analizando las 54 preguntas de
matemáticas propuestas para las pruebas saber 2012 en el grado 9 podríamos hablar de
algunas de ellas, por ejemplo la número 56 y 57 que corresponden a la segunda y tercera
pregunta del cuadernillo, veamos.

3
Observa la secuencia:
Fila 1. 1+3=4
Fila 2. 1+3+5=9
.
.
Fila 5. 1+3+5+7+9+11=
56. ¿Cuál es el resultado de la suma de los términos de la fila 5? Las posibles
respuestas están dadas como potencias así: aunque el
problema es netamente aritmético sin contexto el estudiante no logra asociar su respuesta
(36) con la posible solución .
57-¿Cuál es el mayor sumando de la fila 4? Las posibles respuestas son: a) 4, b)7,
c) 9, d) 11. Aquí podríamos hablar de dos aspectos que se deben tener en cuenta, el
primero tiene que ver con el significado (lenguaje matemático) de “el mayor sumando” y
el segundo aspecto es la construcción mental o escrita que debe hacer el estudiante de la
fila 4, la cual no aparece en la secuencia.
Estos problemas involucran claramente los tres aspectos básicos y fundamentales
para el desarrollo del pensamiento numérico de los estudiantes, (1) la comprensión de los
números, (2) comprensión del concepto y (3) el cálculo, aplicaciones y operaciones
(Lineamientos curriculares, 1998, p.45). Este es el punto neurálgico que debe ser atendido
para propiciar una comprensión conceptual y algorítmica de las operaciones de los
sistemas numéricos en la aritmética y el álgebra buscando que el estudiante desarrolle
gradualmente su pensamiento numérico a través de problemas contextualizados que den
origen y conduzcan al reconocimiento y a la integración de estos tres aspectos en los
sistemas numéricos.
Pero si bien estos dos problemas de menor complejidad se desarrollan en el campo
de los enteros, la situación se agudiza cuando se plantean estos tipos de problemas en el
sistema numérico de los racionales, debido a que dicho contenido solo es estructurado
desde la operatividad algorítmica sin ningún significado lo que ocasiona errores y
olvido en los aprendices, “estos errores se fundamentan en la memorización de algoritmos

4
o rutinas sin fundamentos teóricos, y en apelar a reglas poco trascendentes como requisito,
indispensable para la ejecución de cálculos aritméticos”, (Abrate, Pochulu, & Vargas,
2006,p.111.), de modo que es necesario poner en juegos estrategias integradoras que
permitan desarrollar el pensamiento numérico y el razonamiento matemático de los
estudiantes articulando elementos teóricos y prácticos que conduzcan a la comprensión
verdadera de los sistema numéricos y sus operaciones para integrarlos al contexto social.
La enseñanza de las matemáticas no debe limitarse solo a la destreza algorítmica,
sino de lograr entender y comprender la utilidad de ellos en la resolución de problemas de
la vida diaria, es por eso que se debe proponer diversas situaciones que relacionen las
operaciones básicas de los sistemas numéricos con el fin de que el estudiante reconozca
todas estas transformaciones. La adición y la sustracción deben proponerse desde varios
enfoques que se puedan asociar a ellas, agregar o quitar no son los únicos argumentos que
se derivan de dichas operaciones, en el problema 56 su resultado fue transformado y
asociado a la potenciación, debilidad que muestran nuestros aprendices en la comprensión
de las propiedades matemáticas de las operaciones que son trasmitidas como simples
reglas y que su uso es reducido pero que resulta siendo evaluado constantemente.
Con respecto a la multiplicación y a la división el problema es más complejo ya
que muchas veces estas dos palabras no hacen parte claramente del contexto del
problema ocasionando que el estudiante no reconozca la operación a utilizar, pero al
igual que la adicción y la sustracción proponer diversas situaciones contribuirá al
reconocimiento y asociación gradual de estas operaciones en diferentes tipos de
problemas. Es importante para este caso poner al descubierto las relaciones inversas
existentes entre las operaciones, ya que esto proporcionará otros puntos de vista para
pensar en los problemas. Por ejemplo “de mi media gaseosa te regalaré la mitad”
Aunque el problema no involucra claramente la palabra división ni mucho menos
suma repetida en el caso de la multiplicación, se podría pensar inicialmente en la acción de
dividir como primer juicio valorativo del problema , , pero también existe la
posibilidad de entender el problema como una multiplicación (relación inversa de
operaciones) así: es imprescindible entonces abrir un abanico de situaciones para

5
forjar una comprensión conceptual, sistemática, lógica y bien fundada de los procesos
matemáticos en la resolución de problemas y que además nos permita minimizar el
impacto de la aritmética al algebra.
El paso de la aritmética al álgebra se ve afectado por muchos factores,
uno de ellos es la poca comprensión que tienen la mayoría de los estudiantes sobre la
parte conceptual y algorítmica de los sistemas numéricos y en especial del sistema
numérico de los números racionales (Q) como se mencionó anteriormente, es decir, la
aritmética misma, otro factor es el manejo del lenguaje algebraico que se utiliza para
representar situaciones reales simbólicamente a través de letras y números denominada
expresiones algebraicas, donde el estudiante no le encuentra sentido a expresiones como:
agudizando más el problema .
Aunque las instituciones Educativas cuentan con cierta autonomía curricular en
los contenidos desarrollados en cada grado, en el grado octavo se inicia con un breve
repaso de los conjuntos numéricos vistos hasta ese momento (Naturales, Enteros,
Racionales), encontrándose serias dificultades no sólo en el sistema de los números
racionales sino en la conexión de los sistemas numéricos entre sí; además, se observa el
poco entendimiento conceptual más que algorítmico de las operaciones, donde un alto
porcentaje de los estudiantes no logran una eficiente conexión en forma clara de estos
sistemas numéricos, los estudiantes terminan arrastrando todas estas debilidades a los
grados siguientes donde es imposible a veces apoyar los nuevos conocimientos que implica
un nuevo grado.
Para comenzar el camino hacia el álgebra se necesita inicialmente conocer de una
manera clara la conceptualización y el significado de la operatividad de cada uno de los
sistema numéricos, es difícil que un estudiante desarrolle la siguiente expresión
cuando ese mismo estudiante muestra dificultad en la suma de los coeficientes de esa
estructura algebraica , o desconozca significativamente lo que se quiere sumar ( las
dos terceras partes de un número más la mitad del mismo número), lo que limita la
conexión conceptual de los sistemas numéricos. Se debe entonces tener en cuenta que el

6
desarrollo algorítmico, procedimental de carácter algebraico que se hace con los números
racionales sin sentido en sus operaciones básicas, suma, resta, multiplicación y división
no ayuda a comprender lo que se pretende hacer convirtiendo al algebra en algo que no
tiene sentido, solo reglas operativas difícil de descifrar.
Por eso, no contar con bases sólidas en estos sistemas numéricos imposibilita
no solo el paso de la aritmética al algebra, sino la comprensión de la aritmética misma con
fundamentos claros para muchos estudiantes, por lo que se necesita del entendimiento no
solo algorítmico sino conceptual de los conjuntos numéricos, denominado por los
lineamientos curriculares de 1998 como pensamiento numérico y sistema numérico1
. Todo
esto implica un fracaso seguro de los estudiantes en los grados siguientes y en las pruebas
propuestas por ICFES, sino se corrigen de manera oportuna.
Para lograr construir este puente entre aritmética y el álgebra en el grado octavo se
necesita que el estudiante desarrolle unas buenas bases del pensamiento numérico y esto
se puede lograr a través de situaciones problemáticas en contextos donde el estudiante
tenga la capacidad de aplicar y entender matemática para la vida. Encontrando la respuesta
a una pregunta que muy frecuente ellos hacen ¿para qué me sirve esto profe? Donde el
estudiante valore lo aprendido, no solo en una hoja de papel, sino que pueda aplicar lo
aprendido en una situación real fuera de aula del salón de clases el cual debe ser el objetivo
de la matemática escolar.
Un buen contexto puede actuar como mediador entre el problema concreto y las
matemáticas abstractas. En el proceso de resolución, el problema se transformará en un
modelo que puede evolucionar desde un modelo de la situación a un modelo para todos
los problemas que se le asemejan desde el punto de vista matemático (Lineamientos
curriculares, 1998, p.42)
Llinares & Sanchez (1988) también afirman que un buen trabajo con los
sistemas numéricos contribuye a que estas expresiones algebraicas no carezcan de sentido,
por lo tanto antes de iniciar el camino hacia el álgebra existe la necesidad de comprender
1
Uno de los cincos pensamiento definidos por los lineamiento curriculares 1998

7
la operatividad de estos sistemas numéricos con miras a lograr un buen desempeño de los
aprendices en el álgebra. Es por eso que lo que proponen estos autores tiene que ver
mucho con la aplicabilidad de la matemática en contextos ricos y retadores para los
estudiantes, donde estas situaciones problémicas inviten y despierten la creatividad a querer
resolver las situaciones planteadas no sólo desde lo operativo sino desde el entendimiento
conceptual, donde se logre una firme conexión entre los sistemas numéricos, con el fin de
poder utilizarlo como eje central de la comunicación matemática.
La matemática es una ciencia progresiva y necesita de bases elementales para
poder crear bases más robustas como es el caso del paso de la aritmética al algebra. Pasar
de un sistema numérico a otro permite desarrollar gradualmente el pensamiento numérico
pero se debe propiciar no solo ejercicios que inviten al reforzamiento de los algoritmos
aprendidos sino, problemas que ayuden a la comprensión del número y a la comprensión
del concepto de las operaciones. Por eso entender el significado de las operaciones de los
sistemas numéricos será el camino que asegure de cierto modo un paso menos complejo
de la aritmética al algebra.
Poder comprender que porque se aplicó el algoritmo de la división y se
simplifico, pero además porque cabe solo dos veces en y se puede tener una
representación clara de lo hecho matemáticamente, como lo muestra la gráfica, es lo que se
pretende lograr con los estudiantes en este Proyecto de Profundización para facilitar y
potencializar el desarrollo del pensamiento numérico proponiendo situaciones que inviten
a la reflexión matemática, dándole vida a los ejercicios que comúnmente se plantean el
aula de clases.
1/2 1/2
1/4 1/4 1/4 1/4
Una vez Dos veces

8
1.2 Caracterización del contexto de la Innovación
El proyecto se desarrollará en La Institución Educativa Técnica Agrícola Ismael
Rodríguez Fuentes, ubicada al sur del Departamento de la Guajira, Municipio de El Molino,
es una Institución Pública que cuenta con dos sedes donde ofrece sus servicios educativos
en los niveles de Preescolar, Básica Primaria, Básica Secundaria y Media Técnica, el
proyecto se abordará en el grado octavo de la Institución que cuenta con 57 estudiantes
divididos en dos grupos A y B con las siguientes características.
Tabla 1: Número de estudiantes
Grupos Número de estudiantes Director de Grupo Docente de Matemática
del Curso
8°A 30
Hombres:20 Luz Inés Salina
Docente de Ingles
Alexi Montero
Docente de Matemáticas
Mujeres 10
8°B 27
Hombres:15 Alexi Montero
Alexi Montero
Mujeres 12
La Institución Educativa Técnica Agrícola Ismael Rodríguez Fuentes del
Municipio de El Molino Guajira en su proyecto educativo institucional (P.E.I) se basa en
un modelo formativo participativo. Este modelo que toma como métodos de enseñanza-
aprendizaje el trabajo en equipo, mesa redonda, pregunta – respuesta, debate – foro,
excursiones o visitas a sitios de interés, prácticas en los talleres, no se ve reflejado en el
área de matemática ya que apunta más a un aprendizaje de transferir información y evaluar
contenidos, basado en la memorización y repetición de lo que se explica, es decir, un
modelo Tradicional. En este modelo, la técnica de operar los sistemas numéricos es la idea
principal de la enseñanza abandonando la comprensión general de los sistemas
numéricos en la resolución de problemas.
Lo anterior conlleva que los estudiantes presenten una serie de dificultades en el
aprendizaje de los sistemas numéricos en su parte conceptual y algorítmica, al respecto,
Fandiño (2009) enumeró ciertos errores típicos que cometen los estudiantes en el
aprendizaje de las Fracciones:
Dificultades en el ordenamiento

9
Dificultades en la realización de las operaciones
Dificultad en el reconocimiento de esquemas
Dificultad en la gestión de la equivalencia
Dificultad en la gestión de la fracción irreducible
Dificultad en la gestión de figuras no estándar
Dificultad al pasar de una fracción a la unidad que la generó
Otras dificultades observadas frecuentemente son las operaciones con números
enteros lo que tiene que ver con la suma y la resta además con la comparación de
elementos de este sistema.
Algunas de estas dificultades fueron observadas en los estudiantes del grado 8A y
8B de la Institución educativa Ismael Rodríguez Fuentes al aplicar un instrumento de
evaluación el 11 de marzo de 2013, el cual fue diseñado con los siguientes ítems.
Tabla 2: Contenido de la evaluación de pre saberes
1-Representa en una gráfica la fracción 2/6
2-Comparar si ambas Fracciones son equivalentes: 2/6 5/15
3-Resolver las siguientes Operaciones a- 5/8+1/8 b- 8/3-3/5
4- La señora Martha horneó 2 tortas iguales, una la partió en 6 y la otra en 15 partes. Su hijos
Juan comió 2 trozo de los grandes y su hija Juana comió 5 trozo de los chicos. La señora Martha
afirma que ambos comieron lo mismo. ¿Es verdad?
5-Juan llevó al colegio 5/8 de una resma de papel carta. En recreo Lucia se dio cuenta que
necesitaba papel para hacer un trabajo y le pidió 1/8 a su hermano de la resma ¿con cuanto papel
quedó Juan?
En los tres primeros ítems enfocados en la parte algorítmica muchos no se
acuerdan de lo que tenían que hacer. Los estudiantes están acostumbrados a resolver
ejercicios y no problemas como es el caso de los dos últimos ítems, donde no saben qué
hacer, según Morales (2010) afirma que “los estudiantes se paralizan ante actividades
textuales ya que no comprenden lo que se le pregunta en el problema” y un alto porcentaje
de las preguntas de las pruebas saber están enfocadas hacia este tipo.

10
En el instrumento de evaluación los estudiantes del grado 8° la pregunta dos y
cinco, apuntan a lo mismo (fracciones equivalentes). Mientras 14 estudiantes acertaron en
la primera pregunta, solo 4 de esos 14 estudiantes respondieron de manera clara la misma
pregunta en contexto apoyándose en un plan para resolverlo.
No superar las preguntas de menor complejidad en las pruebas saber, está
relacionado con lo que pasó en el instrumento aplicado, donde el estudiante no comprende
lo que se está preguntando en el problema, lo que está muy relacionado con la forma como
se proponen los problemas en el aula de clases ya que al no ser significativos el estudiante
solo se apropia del concepto en el momento y luego lo olvida. Frecuentemente en el aula
de clases se proponen ejercicios repetitivos para que el estudiante se apropie solo del
proceso algoritmo y su operatividad, según Constance Kamii, en su libro,
Reinventando la aritmética III de 1996, postula que este énfasis en la enseñanza de los
algoritmos, perjudica, antes que beneficiar, el desarrollo del pensamiento matemático de
los niños, (Como se cita en Obando zapata & vazques lasprilla, 2008), por lo tanto se
necesita que el estudiante no solo conozca los sistemas numéricos y sus algoritmos sino
aspectos que son de vital importancia para el desarrollo del pensamiento numérico como
son: la comprensión de los números y de la numeración, la comprension del concepto de
las operaciones y el cálculo con números y aplicaciones de números y operaciones,
aspectos que son definidos en los lineamientos curriculares del Ministerio de Educación
Nacional (1998).
En contravía de lo anterior, el docente sigue potenciando a través de la clase
magistral la operatividad de los sistemas numéricos, cuando se desarrolla algún tema, se
inicia con un título, inmediatamente una definición y luego un ejemplo, mostrando solo la
operación de los algoritmos, mas no el significado de él. Los estudiantes no le prestan
atención a las definiciones, y menos cuando esas definiciones tienen estructuras
algebraicas y símbolos incompresibles para ellos; obsérvese la definición del conjunto de
los racionales { ( } 2, el profesor supone que los
estudiantes tienen claro esta definición y no la socializa, dejando en el aire un factor
2
Definición del conjunto de los Racionales tomada de Hipertexto 7 Editorial Santillana S.A 2010

11
importante como es la definición conceptual del número racional, del mismo modo pasa
con las operaciones de los números Racionales donde el factor común es la técnica de como
operarlos sin tener en cuenta los conocimientos o ideas previas de los estudiantes.
En la suma de los números racionales con igual denominador se puede expresar
con lenguaje algebraico,( ) o con una definición textual, aunque ambas son
claras el docente sigue insistiendo en el ejemplo y no en la definición, no comprendiendo
que si el estudiante tiene clara esta definición desarrollará cualquier estructura que tenga
una conceptualización igual a la definida. Además es importante que el estudiante
construya su propio conocimiento, ya que le permitirá un aprendizaje más duradero
convirtiéndolo en el eje central del proceso que es lo que se pretende.
Otra situación muy particular dada en nuestro entorno es que al terminarse el tema
de los racionales o fraccionarios, no se proponen actividades que contengan este tipo de
números en los temas y cursos siguientes, propiciando que el estudiante olvide las reglas
aprendidas para operar este tipo de sistema. Al respecto Biggs (2006), afirma que entre
mas actividades se vinculen a múltiples modalidades sensoriales, mejor será el aprendizaje.
No se debe olvidar que los números naturales y los números enteros son números
Racionales y por lo tanto al trabajar con este sistema numeríco se estaría desarrollando
los otros dos sistemas numéricos.
Según Biggs (2006), las clases magistrales solo funcionan para los buenos
estudiantes donde ellos de forma innata utilizan los procesos superiores de aprendizaje,
dejando a un lado a aquellos estudiantes que no encuentran un valor distinto a superar la
asignatura con el mínimo esfuerzo utilizando la técnica sin ningun sentido, esto es
precisamente lo que ocurre en la matematica escolar donde lo que importa es la respuesta
dándole importancia solo a la forma de operar los algoritmos, sin importarle el analisis
conceptual y algoritmica de la respuesta.
Estas clases magistrales giran en funcion del docente y están diseñadas para los
estudiantes que tienen habilidades para esta asignatura, en consecuencia, el docente inicia
su clase con el título del tema en el tablero “Operaciones con expresiones algebraicas” y
advierte que se debe tener un conocimiento “claro” sobre las operaciones de los números

12
naturales, enteros y racionales para el éxito de este tema. Hace un breve recuento de los
sistemas numéricos y sus operaciones para tener un punto de apoyo pero apuntando
siempre a la forma mecánica de operar estos sistemas numéricos, suponiendo que ya
deben tener un conocimiento bastante “claro” de cada uno de ellos y así no perder mucho
tiempo en algo que ya deberían saber. Además les sugiere que algo que les podría ayudar
en esta labor es tener un texto guía de matemáticas para sus respectivas consultas.
No es muy difícil recordar una clase de matemáticas en el colegio, creo que la
diferencia solo consistía en el nombre de la institución o del profesor que impartía la
clase, lo demás era un común denominador. Con el título bien definido y aclarando
conceptos anteriormente vistos, se iniciaba con un dictado donde el docente anotaba en el
tablero palabras o expresiones matemáticas que los estudiantes no comprendían. Cuando se
daba inicio a la parte simbólica a través de ejemplos se le pedía al grupo que respondiera
cual era el resultado de los ejemplos escritos en el tablero, donde solo participaban un
grupo muy reducido y muchas veces en voz baja. Todas estas situaciones relatadas hacen
parte de una matemática vista como producto terminado donde solo el formalismo
impecable y bien elaborado tenían cabida, lo demás no era tenido en cuenta, era
impensado ganar cualquier tipo de evaluación si el resultado no era el ideal.
El docente sólo utiliza el tablero como la única ayuda para trasformar la parte
conceptual a un lenguaje más básico (gráfico), donde recrea situaciones imaginarias y para
darle un poco de profundidad a algo que puede ser muy plano para los estudiantes menos
aventajados y que muy probablemente no logran imaginar esas ideas matemáticas
trasmitidas por el docente.
En los talleres que sirven para el reforzamiento del tema se hacen de manera
grupal. Dentro del salón de clases la mayoría de la veces son los estudiantes quienes
escogen a sus compañeros buscando que se encuentren a gusto en sus grupos de trabajo,
pero esto propicia que algunos grupos se encuentren en desventajas ya que no se consigue
la heterogeneidad académica en los grupos, sacrificando los objetivos planteados por esta
actividad como son la construcción del aprendizaje entre pares y el mismo desarrollo de
las actividades.

13
Las evaluaciones fueron diseñadas siguiendo la estructura tipo ICFES donde el
estudiante escoge la respuesta, pero se debe justificar matemáticamente porque la tomó,
estas evaluaciones fueron planeadas sin contexto, solo problemas sin ningún
enunciado(ejercicios), muchas veces se trató de evadir problemas que tuvieran
fracciones debido a las dificultades observadas en los estudiantes con respecto a este
sistema numérico, estas evaluaciones siempre son individuales.
En la entrega de informe de cada periodo el docente hablo con los padres de familia,
dándoles una serie de recomendaciones para que el estudiante pueda mejorar
académicamente en el siguiente periodo. Como por ejemplo que busque una persona que le
refuerce los temas de operaciones con números enteros y fraccionarios, que tenga un
texto guía para sus consultas, que estén muy atentos a las actividades que tiene que
desarrollar en casa.
1.3 Fundamentación del tema.
1.3.1 pensamiento Numérico y sistema numérico.
Una idea clara del pensamiento numérico la expone Mcintosh (1992) “El
pensamiento numérico se refiere a la comprensión general que tiene una persona sobre los
números y las operaciones junto con la habilidad y la inclinación a usar esta compresión en
formas flexibles para hacer juicios matemático…” (Como se cita en los lineamientos
curriculares, 1998, pág. 43)
El Ministerio de Educación Nacional estableció en los lineamientos curriculares de
1998 cinco tipos de pensamiento: pensamiento numérico y los sistemas numéricos, el
pensamiento espacial y los sistemas geométricos, el pensamiento métrico y los sistemas
métricos de medidas, el pensamiento aleatorio y los sistemas de datos y el pensamiento
variacional y los sistemas algebraicos y analíticos, donde establece que ser
matemáticamente competente se concreta de manera puntual en el pensamiento lógico
matemático que está inmerso en estos cinco tipos de pensamiento.
Aunque el desarrollo de estos tipos de pensamiento no es lineal, ya que se pueden
desarrollar al mismo tiempo, es necesario y fundamental el conocimiento pleno del

14
pensamiento numérico con miras a desarrollar de forma clara los otros tipos de
pensamientos, permitiendo entender además, las operaciones en los procesos propuestos
en la resolución de problemas.
Los estándares Básicos de competencia en matemáticas publicados por el Ministerio
de Educación Nacional en 2003, establecen una serie de criterios en cada uno de los
pensamientos donde el estudiante debe desarrollar unas capacidades básicas en cada uno
de ellos, por ejemplo, al terminar el grado séptimo en el pensamiento Numérico, el
estudiante debe utilizar los números racionales en sus diferentes representaciones y en
diferentes contextos para resolver problemas en contextos, además debe de ser capaz de
formular y resolver problemas asociados a las operaciones entre sistemas numéricos.
Estas subdivisiones del pensamiento matemático apuntan al desarrollo de procesos
generales en los estudiantes como, formular y resolver problemas; modelar procesos y
fenómenos de la realidad; comunicar; razonar y la formulación, comparación y ejercitación
de procedimientos.
Desarrollar estas habilidades solo es posible cuando se tiene un conocimiento claro
del pensamiento numérico, que no solo es el reconocimiento de los cincos sistemas
numéricos (números naturales N, números enteros Z, números racionales Q, números
irracionales I, e imaginarios D), es poder hacer inferencias dentro de cada uno de estos
procesos donde se tenga la capacidad no solo de aplicar los algoritmos, es poder mirar
múltiples estrategias para resolver problemas y determinar si la respuestas son razonables
desde todo punto de vista.
El pensamiento numérico se va desarrollando gradualmente y se robustece cuando
el estudiante tiene la capacidad de conectar y usar los sistemas numéricos en diferentes
contextos, pero cuando se llega al sistema numérico de los racionales el estudiante
comienza a presentar mayor dificultad tal como lo expresan Fandiño (2009) y Llinares &
Sanchez, (1988) , según Pujadas & Eguiluz,( 2000), lo cual se debe a que “este proceso de
aprendizaje se halla condicionado por la variedad de estructuras cognitivas a las que están
conectadas las diferentes interpretaciones del concepto de fraccion”, esto tiene que ver con
la variedad de formas de entender este concepto y el contexto donde es utilizado, ya que

15
de este último depende la interpretación que se le da y la forma sobre cómo desarrollar las
estructuras algorítmicas.
Al respecto, los estándares básicos de competencias expresan que “el paso del
concepto de número natural al concepto de número racional necesita de una
reconceptualización de la unidad y del proceso mismo de medir, así como una extensión del
concepto de número” (2003, pág. 59). Al respecto, Gairín Sallán (1998) afirma que una
construcción del concepto de número racional cognitivamente efectiva exige un proceso
lento de dominio e integración de nuevos significados, que se articulen con los dominios
del campo numérico de los números naturales y de los números enteros. También supone la
incorporación de nuevas especificidades simbólicas, operatorias, estructurales, relacionales
y de representación, que hay que acomodar a una variedad de nuevos significados.
Por eso es importante que el estudiante encuentre la conexión y articulación entre
estos sistemas numéricos, donde se pueda dar cuenta que el sistema de los racionales es
una extensión mucho mayor de los naturales y enteros, y que cualquier elemento de estos
dos conjuntos puede ser representado por el conjunto de los racionales, pero también que
puedan identificar que hay problemas que se salen del marco de estos dos sistemas
numéricos y es ahí donde entran las incorporaciones de las nuevas especificidades
simbólicas y operatorias relacionadas para este sistema numérico y que probablemente lo
que era una verdad absoluta en los naturales y enteros en cuanto a la multiplicación de
amplificar no se cumple todas las veces en los racionales.
Entonces el desarrollo del pensamiento numérico depende de las conexiones que se
hagan entre los sistemas numéricos y las formas de querer representar un mismo objeto
matemático, que para el caso de los racionales existen múltiples como lo cita Fandiño P.
(2009).
La fracción como parte de una unidad-todo, a veces continua y a veces discreta
La fracción como cociente
La fracción como operador
La fracción en probabilidad

16
La fracción en los Puntajes
La fracción como número racional
La fracción como punto de una recta orientada
La fracción como medida
La fracción como indicador de cantidad de elección
La fracción como porcentaje
La fracción en el lenguaje cotidiano
Los lineamientos curriculares de 1998 establecen que comprender estos conceptos
antes mencionados equivaldría a un grado avanzado en el pensamiento numérico
ratificando la importancia de comprender que un mismo objeto matemático puede ser
representado de manera distinta dependiendo del contexto, por eso se hace necesario que
dentro esa diversidad se puedan establecer relaciones y conexiones entre la
conceptualización teórica con su origen practicó para lograr que el estudiante pueda
establecer esas relaciones y conexiones significantes en el área, y que a través de su
curiosidad por querer aprender se forje un pensamiento indagador, racional, lógico y
creativo de las actividades propuestas.
El profesor tiene en sus manos la llave del éxito ya que, si es capaz de
estimular en los estudiantes la curiosidad, podrá despertar en ellos el gusto por el
pensamiento dependiente; pero, si por el contrario dedica el tiempo a ejercitarles en
operaciones de tipo rutinario, matará en ellos el interés.(...) Más que enseñar a los
estudiantes a resolver problemas, se trata de enseñarles a pensar matemáticamente,
es decir, a que sean capaces de abstraer y aplicar ideas matemáticas a un amplio
rango de situaciones y, en este sentido, los propios problemas serán las
"herramientas" que les llevarán a ello (Urdiain, 2006). (como se cita en Tangarife
Mejia, 2012)
1.3.2. Dificultad en el aprendizaje de los Racionales.
Muchos son los autores que hablan sobre estas dificultades en este sistema
numérico donde la operatividad de los algoritmos sigue siendo la base principal para el

17
aprendizaje, sin tener en cuenta el contexto que es un factor determinante para el desarrollo
del pensamiento numérico.
Fandiño (2009) en su texto las fracciones aspectos conceptuales y didácticos,
capítulo 7, hace una caracterización de nueve errores típicos cometidos por estudiantes
en un contexto internacional, que se asemejan mucho a lo que pasa en nuestras aulas de
clases, uno de ellos tiene que ver con la dificultad en la realización de las operaciones
donde los estudiantes tienen enormes dificultades en reconocer que operación deben
utilizar en un problema, si la multiplicación o la división. Aunque conocen los algoritmos
de estas dos operaciones no saben en qué momento utilizarlos. Sobre esto Mosquera Urrutia
(s.f) docente de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas expone en su artículo
“ el concepto de fracción”, que jóvenes de secundaria memorizan las reglas, pero
muestran incapacidad para resolver situaciones donde deben aplicarse estas reglas en
problemas en contexto.
Muchos investigadores reconocen la resistencia que oponen los aprendices sobre
la comprension conceptual y algoritmica de este tema en la educacion primaria y
secundaria “Adicionalmente, Perera y Valdemoro (2007, p. 210) afirman que
investigadores como Kieren, Freudenthal, y Figueras admiten que las fracciones son uno de
los contenidos de las Matemáticas que presentan dificultades para su enseñanza y
aprendizaje”. (López Arias, 2012 p.17). Lo que impide el desarrollo del pensamiento
numérico de los estudiantes. Según Llinares & Sanchez, (1988), todas estas dificultades de
aprendizaje que se presentan en los niños en los niveles elementales de distintos paises, se
siguen reflejando en todos los niveles educativos, marcado en la apropiacion y el
verdadero significado que representa el concepto de fraccion en todos sus
representaciones semióticas, ademas también afirma que el aprendizaje de los números
naturales tiene mucha influencia en el proceso de aprendizaje de las fracciones a veces
induciendo a los errores como al comparar las fracciones 1/4 y 1/5, toman el orden de los
números naturales para justificar que 1/5 es mayor que 1/4.

18
Adicionalmente este conjunto numérico tiene un factor muy relevante que son las
distintas formas de representar el mismo concepto de número racional (fracciones), y que
dependiendo del contexto existe una manera adecuada para poder entenderlo. Cuando la
fracción actúa como porcentaje, es más adecuado hablar del 50% que expresarlo como 1/2.
Cuando la fracción actúa en el contexto de medida, preferiblemente se puede hablar de 3/4
de litros que expresarlo como 0.75 litros ya que las personas entenderán mucho mejor el
primer concepto.
Además de las dos caracteristicas anteriormente mencionadas, forma y contexto,
otro factor que se le suma lo señala Godino (2004), donde afirma que es posible que los
estudiantes aprendan rápidamente las técnicas para operar fracciones (suma, resta,
multiplicación y división), pero este enfoque algoritmico y memorístico tiene dos peligros.
El primero es que estas reglas no garantizan el significado de las operaciones o por qué
funcionan, y segundo se refiere al dominio observado a corto plazo se pierde rápidamente.
Es mas, Llinares Ciscar & Sanchez Garcia (1988), afirman que la práctica excesiva
de los algoritmos en las operaciones con fracciones no asegura la superación de los
errores cometidos constantemente en estas operaciones. No se trata de darle privilegio a la
operatividad y sobrevaloración de los algoritmos, la idea es que el estudiante reconozca y
comprenda significativamente los procesos que le dan sentido a las operaciones y esto se
logra generando situaciones que atrapen al estudiante a querer resolver un problema.
Pazos (s.f) afirma que otro obstáculo que se presenta, es que las fracciones siempre
son apoyadas mayoritariamente en representaciones gráficas, rectángulos y círculos y esto
deja sin posibilidades otros contextos que son fundamentales para el desarrollo del
pensamiento numérico, además afirma que no se establecen las relaciones entre cantidades
continuas y discretas.
Todas estas dificultades presentadas en los números racionales hacen impensables
un desarrollo ideal del pensamiento numérico, es por eso que el desarrollo del
pensamiento numérico va más allá de la operatividad de los algoritmos en los sistemas
numéricos; existen otros indicadores como la comprensión del significado del número, la

19
utilización de las operaciones y de los números en la formulación y resolución de
problemas, la comprensión de la relación entre el contexto del problema y el cálculo
necesario, en las cuales se desarrollen y se fortalezcan las habilidades de orden superior,
donde el estudiante pueda explorar, conjeturar, reflexionar, visualizar, crear, distinguir y
comunicar en las distintas representaciones de un objeto matemático.
1.3.3 Trabajo colaborativo
La matemática se ha caracterizado por ser una ciencia enseñada desde la
magistralidad y aprendida de manera individual, cargada de procesos mecánicos sin
sentido para los aprendices; por lo que resulta necesario proponer y desarrollar nuevas
ideas con el único fin de mejorar el aprendizaje de los estudiantes.
Teniendo en cuenta factores relevantes como el propiciar una participación más
activa de nuestros estudiantes, tener en cuenta los ritmos de aprendizaje, el trabajo
colaborativo, así como, comprender una matemática con alma, con sentido, pertinente,
asociada al contexto cultural y social que nos rodea, con el único propósito de darle
significado a lo que se aprende. En cuanto al aprendizaje en grupos, Llinares Ciscar &
Sanchez Garcia (1988), expresan que una buena táctica es el trabajo en grupos reducidos
con el fin de que los estudiantes expongan sus ideas, procedimientos y dificultades con el
fin de generalizar en forma común el camino de cada unos de los conceptos
desarrollados donde el resultado final sea la construccion de la reglas a través de las
estrategias presentadas por cada grupo.
Biggs (2006), muestra un buen ejemplo donde se refleja el pórcentaje de lo que
aprenden las personas dependiendo de la actividad desarrollada , advirtiendo que no se
puede tomar al pie de la letra pero, que realmente tiene una incidencia muy notoria cuando
existe la colaboración o la participacion de otros en la misma actividad.
El 10% de lo que se lee.
El 20 de lo que se oye
El 30% de lo que se ve

20
El 50% de lo que se ve y se oye
El 70% de lo que se habla con otros
El 80% de lo que se utiliza y hace en la vida real
El 95% de lo que enseña a otras personas.3
Ademas Sousa (1995), expresa que en estudios realizados se ha comprobado que la
retención del conocimiento adquirido después de 24 horas en un estudiante es de 5% para
clases magistrales, 50% para discusión en grupo, 75% para experiencias prácticas y 90%
por enseñar a otros. (Como se cita en Rodriguez Sandoval y Cortes Rodriguez, 2009 ).
Reafirmando lo mencionado por Llinares Ciscar & Sanchez Garcia, (1988) sobre el
trabajo en pequeños grupos, se evidencia la necesidad de involucrar actividades de
enseñanzas y aprendizaje que tomen como eje central las últimas tres actividades
presentadas por Biggs (2006), dándole la oportunidad a los estudiantes de interactuar y
compartir sus conocimientos con sus compañeros permitiendoles una experiencia distinta a
lo que se viene haciendo en el aula de clases, con situaciones problemicas aplicadas al
contexto, donde no sea una matemática sólo para un pequeño grupo de estudiantes sino,
para todos.
Gavilan Bouzas & Alario Gavilan (2012), realizaron un estudio comparativo en la
asignatura de matemáticas en dos grupos en una Institucion de Educacion secundaria en
la ciudad de Guadalajara España. En dicho estudio se buscaba comprobar si existían
diferencias entre las estrategias de aprendizaje cuando se trabaja en forma individual(grupo
control) y de forma colaborativa(grupo experimental), la experiencia se mantuvo durante
todo el año escolar en el salón de clases. Al inciar la experiencia se comprobó que no
existia una diferencia significativa entre ambos grupos indicando una equivalencia entre
ellos, al terminar la experiencia se comprobó que existía una mejora significativa con el
grupo experimetal en comparación con el grupo control. Otro resultado importante de este
estudio referente al grupo control entre la etapa inicial y la etapa final, fue que hubo un
empeoramiento significativo en el aprendizaje. Velasco Quintana & Dominguez Santos,
(s.f) afirman que el aprendizaje colaborativo permite que el estudiante actúe sobre su
3
Fuentes atribuida a William Glasser

21
mismo aprendizaje integrándose con el tema de estudio y sus compañeros, además en su
investigación hace unos aportes relevadores y muy significativos donde afirman que los
alumnos pueden tener más exitos que el propio profesor en hacer enterder algunos
conceptos a sus propios compañeros, donde estos conceptos aprendidos de forma
autónoma y de colegage permanecen más tiempo que los que han sido memorizados.
Otro estudio realizado por Tangarife Mejia (2012), realizado con estudiantes de
primer semestre de la universidad nacional sede Medellin, demuestra que el trabajo
colaborativo y los problemas en contextos tuvo incidencia positiva en el aprendizaje de los
estudiantes. La autora expresa que poco a poco los estudiantes se fueron sintiendo más
motivados y comprometidos, generando confianza, donde preguntar era parte de esa
colaboracion y además la preocupacion del grupo porque todos entendieran lo que se
quería desarrollar en cada una de las actividades.
La riqueza de la colaboración también reside en que los estudiantes aprenden
reflexionando sobre lo que hacen, ya que en el intercambio los saberes individuales
se hacen explícitos y se tornan comprensibles para los demás. La capacidad para
responder a demandas complejas y llevar a cabo adecuadamente diversas tareas
supone una combinación de habilidades prácticas, conocimientos, motivaciones,
valores, actitudes, emociones que se deben movilizar conjuntamente para lograr una
acción eficaz. Contar con un caudal importante de competencias para trabajar con
otros y colaborar en experiencias de aprendizaje es cada vez más necesario en las
llamadas sociedades de la información y la comunicación. (Pico & Rodriguez,
2012)
Por lo tanto, es importante aplicar verdaderamente el modelo propuesto en el Plan
Educativo Institucional (PEI) con el fin de romper ese esquema tradicional en el aula de
clases, y convertir cada uno de estos métodos de enseñanza- aprendizaje propuestos en
el PEI en una fortaleza para el desarrollo de las competencias matemáticas, a través del
trabajo colaborativo en todos los niveles, buscando la coherencia vertical y horizontal
entre competencias matemáticas y los cinco pensamientos propuestos por los lineamientos

22
curriculares, donde el trabajar en equipo permite el intercambio de ideas, generar debates,
hacer que los estudiantes tímidos y pasivos cambien su postura hacia las buenas
actividades de enseñanza - aprendizaje, propuestas, y que puedan realizar preguntas
sobre dudas referente a la actividad. Generar esta interacción entre los estudiantes en el
aula de clases permitirá la construccion colectiva del conocimiento.
1.3.4 Recursos educativos Abiertos (REA)
Los avances tecnológicos han permitido la creación de infinitos caminos para llegar
a la información, donde además, en esta era tecnologica ha puesto a nuestro alcance no
solo formas mas favorables de representar objetos matemáticos para que sean mas y mejor
comprensibles, sino tambien formas para poder manipularlo y expresar lo que se quiere
de una forma mas clara. Acceder a estos recursos de forma gratuita permite contar con
herramientas que facilitan la comprensión de muchos conceptos matemáticos de una
manera mas significativa permitiendo mirar con mayor profundidad aspectos que
serían muy planos para muchos estudiantes, logrando enriquecer aún más el contexto en el
aula de clases y de paso estimulando el proceso de enseñanza- aprendizaje.
Ramírez y Burgos (2010), establecen que estos recursos deben ofrecer ejemplos
que favorezca la conexión de semiótica con la noética donde se puedan ver la
conceptualización y la compresión de los objetos matemáticos y no como un medio para
resolver simples algoritmos como se cita en Alvares Mendez, Brunell Cabello, Diaz
Morales, & Hernandez Reyes,( 2012). Además Marquez (2000), expresa que estos recursos
deben generar motivación, diversificando los recursos didácticos debido a la
heterogeneidad del grupo y que ofrezcan medios de expresión, creación, procesos e
intercambio de ideas, y brindar una autoevaluacion donde se trascienda lo instrumental.
Aunque no existe evidencia concreta de la utilización de estos recursos en el
área de matemáticas en la institución, se nota la cercanía que tienen los estudiantes a estos
medios tecnologicos y que a pesar que solo son utilizados para el ocio, pueden ser
orientados con fines académicos, adaptandolos a los procesos de enseñanza aprendizaje
con una planeacion adecuada y coherente, buscando no solo la motivación hacia la

23
asignatura sino una participacion más activa y una comunicación alternativa que
contribuya al aprendizaje de los estudiantes.
El enrequicimeinto del contexto a travez de los recusros educativo abierto vas más
allá de la simple operación del recurso para obtener una respuesta, nuestro objetivo apunta
hacia la construccion del conocimiento y del concepto matemático soportado en el
aprendizaje colaborativo. “En este sentido, nuestra pretensión pedagógica consiste en
enriquecer los contextos y procesos de interacción entre personas a través de la
potencialidad tecnológica de hoy, conformando para ello, redes de aprendizaje entre
alumnos, vale decir, hacer invisible la tecnología para así dar protagonismo a los procesos
de interacción social” (Castañeda, 2012).
La existencia de estos recursos educativos en la web son cada día mas y de mejor
calidad, debido a que están en una contaste mejoras de sus contenidos, por lo que es
importante realizar una verdadera exploración y evaluación de ellos para luego llevarlos al
salón de clases, además existe la posibilidad de poder crear recursos educativos propios
con una valor agregado importante.
Entonces se puede pensar en construir recursos educativos propios, además de los
que existen en la web sumándole un valor agregado a la motivación del estudiante donde
su participación sea supremamente alta y se contagie a cada uno de los integrantes del
curso al favorecimeinto del aprendizaje. ¿Qué pasaría si al curso se le mostrara un video
donde se le explicará como sumar fracciones homogeneas? Ahora agreguemos al caso
anterior que quien explica es uno de sus compañeros y además que el video está en el canal
yootube. ¿Incíde esto en el aprendizaje? Este valor agregado motiva a los estudiantes,
porque son ellos el centro de atención y no el docente, ademas la clase se vuelve más
atractiva, participativa para sus compañeros atrapando su atención.
En este sentido, Biggs (2006), reconoce que la motivacion debe ser el producto de
la buena enseñanza donde los significados no se trasmiten mediante la enseñanza directa
si no que se construyen mediante actividades de aprendizajes para llegar a un

24
conocimiento profundo del pensamiento numérico y no quedarse sólo en lo operacional y
algoritmico que al final de cuenta termina olvidánsose. Es importante aclarar que estos
recursos no deben tener como finalidad lo algoritmico y lo procedimental como eje
central ya que estaríamos donde iniciamos, por el contrario, serían recursos que inviten al
estudiante a construir su propio conocimiento desde su contexto. Ahora existen muchos
recursos con la finalidad anterior, pero es posible que con un análisis de las necesidades
se pueda dar la orientacion que se quiere para el contexto particupar del Proyecto de
Profundización.
2. Diseño de la innovación
2.1 Metodología
2.1.1 Descripción de la innovación
La interacción social ha sido un factor determinante para el desarrollo de la sociedad
del conocimiento, por ese motivo no se puede aislar la matemática escolar de esta
interacción, por lo tanto, la creación colectiva del conocimiento a través de trabajo
colaborativo a partir de situaciones ricas y significativas en contexto será la clave de la
innovación de este proyecto, donde esa interacción docente -estudiante, estudiante-
estudiante, estudiante - contenido propicie factores de seguridad y confianza para que los
estudiantes pierdan el miedo de participar en cada una de las actividades presentadas en
las clases.
Aunque “la creación del conocimiento es un proceso personal se necesita de un
diálogo solidario con los demás, una dialéctica entre lo individual y lo colectivo”(Gómez
Garcia,2002,p.33), para generar espacios de reflexión donde cada estudiante realice sus
aportaciones y puedan ser confrontadas, analizadas y discutidas en forma crítica por cada
uno de sus miembros. Según esto, Gómez García (2002), afirma que el diálogo es una
herramienta imprescindible para una construcción democrática de los conceptos y
algoritmos matemáticos, aunque el sistema funcione guiado por otras prioridades. Generar
espacios de diálogos “matemáticos” en el aula de clases entre los mismos estudiantes
implica una manera distinta y retadora de llegar al conocimiento por métodos pocos
explorados en nuestros entornos educativos, donde existe la posibilidad no solo de integrar

25
al grupo sino de permitirle dar sus opiniones en un contexto más agradable y muy
posiblemente de mayor confianza para ellos, eliminando barrera invisibles que les impide
a veces dar sus opiniones por miedo a ser juzgado incluso por el mismo docente.
Llinares Ciscar & Sanchez Garcia, (1988) exponen que estructurar las clases en
grupos reducidos(cuatro o cinco) en un primer momento ayudará a que cada grupo exponga
el procedimeinto utilizado y luego debatir en forma general las dificultades que se han
presentado y buscar formas de superarlas, donde la exposicion común ayudará a que los
estudiantes avancen en la generalización de los algoritmos. Esta idea también es expresada
en los lineamientos curriculares (1998):
Las interacciones entre el docente y los estudiantes, y las que se tejen entre
estos últimos provocadas por la situación problemática, generan una negociación
activa de significados de las nociones matemáticas. En este proceso de negociación
todos aprenden. El docente modifica y enriquece los elementos presentes en el
boceto con base en las estrategias, en aprendizajes no previstos, en dificultades y
errores de los estudiantes; podría decirse que para él la experiencia de enseñar es al
mismo tiempo la oportunidad de aprender con los estudiantes. Los estudiantes en
interacción con el docente y en diálogos cooperativos entre ellos mismos, establecen
conexiones entre lo que previamente saben y lo nuevo. La pregunta correcta y
oportuna es de vital importancia, dado que las respuestas son reveladoras del nivel
de comprensión y desarrollo de los procesos y de las nociones matemáticas
involucradas en ellas. En la discusión los estudiantes aprenden a comunicar sus
puntos de vista y a escuchar las argumentaciones de los otros, validan formas de
representación y construyen socialmente el conocimiento. (Lineamientos
curriculares, 1998, pág. 40)
Se necesita entonces de una comunicación de doble vía entre estudiante docente
donde los estudiantes puedan expresar sus ideas y opiniones de lo que realmente están
aprendiendo, lo que solo puede lograrse a través de una verdadera interacción y diálogo
permanente entre los actores de los procesos. Es por eso que el aprendizaje colaborativo

26
debe ser un elemento esencial para mantener una comunicación natural y fluida en todo
el proceso de aprendizaje, logrando que los estudiantes se conviertan en agentes activos y
participativos.
Al respecto, Johnson, Johnson y Holubec (1999), expresan que el aprendizaje
colaborativo le permite al docente alcanzar varias metas, entre ellas elevar el rendimiento
de todos los alumnos logrando una homogeneidad del grupo, otra que no es menos
importante que es la de establecer una relación positiva a través del dialogo para lograr
una comunidad de aprendizaje, y lograr un verdadero desarrollo social psicológico y
cognitivo.
Ahora este trabajo colaborativo propuesto por varios autores se beneficia
también de los avances tecnológicos, obteniendo un ingrediente que lo hace a un más
favorable, atractivo, motivador abocado a lograr una comunicación alternativa a través
de la interacción, denominado recursos educativos abiertos que permite que el estudiante
obtenga una mirada distinta de los objetos matemáticos logrando articular las
conexiones existentes entre el concepto matemático y sus distintas representación. El
Ministero de Educacion Nacional, (1999) hace referencia a los cambios cognitivos que la
tecnología ha logrado a raíz de la llegada a la escuela, facilitando la relación del concepto
con su representación, además manipular de una forma dinámica los objetos matemáticos
y poder conectar a través de simuladores experiencias reales, todos estos valores
agregados nos permite el uso de los recursos educativos abiertos.
Cabe aclarar que no necesariamente se necesitará de la conexión de una red de
internet para que estos recursos promuevan lo favorable, atractivo ya que muchos de
ellos tienen la ventaja de poder ser descargados para trabajar sin ninguna conexión a la
internet, ejemplo de estos son los videos que se encuentran en Khan Academy, el
software pedazzitos y otros recursos que se encuentran en la comunidad educativa tiching,
además, de la hoja de Excel que es un excelente recurso para trabajar la matemática
escolar.

27
La idea es sumar elementos que promuevan la interacción entre los estudiantes a
través de la inserción de nuevos recursos que permitan visualizar y conectar la
conceptualidad con la operatividad a través de las actividades propuestas.
2.1.2 Estrategia pedagógica
Frecuentemente en el aula de clases son muy pocos los estudiantes que tienen
habilidades matemáticas, las cuales se definen como las capacidades para resolver
problemas de una manera crítica, ejecutar cálculos complejos y, establecer relaciones entre
diversos aspectos. Crear un ambiente de aprendizaje propicio para que los estudiantes
desarrollen estas capacidades, es lo que se pretende desarrollar en este Proyecto; con el
propósito de tener en cuenta a los estudiantes que han desarrollado más estas capacidades
para que apalanquen, acompañen y enseñen a quienes hasta el momento se adentran en
ellas. En este sentido, se espera que los primeros, puedan ayudar a sus compañeros a
entender los procesos matemáticos y así promover la inclusión matemática de todos los
actores. Teniendo en cuenta lo anterior, se propone la estrategia pedagógica de aprendizaje
colaborativo para lograr esta inclusión matemática que apunta a una matemática
socialmente activa y participativa dentro del salón de clase, facilitándoles a los estudiantes
que propongan desde sus saberes previos y puntos de vista sus propias estrategias sociales
y académicas para afrontar los desafíos propuestos por el docente.
Por lo tanto, esta estrategia de trabajo colaborativo se desarrollará bajo la premisa
expuesta por Panitz (2001), donde cada grupo estructurará desde su propia postura la
manera estratégica de enfrentar sus propios retos de aprendizajes a partir de su interacción,
buscando a partir del diálogo, debates, discusiones y consensos, estructurar conceptos,
procedimientos y representaciones que ayuden a establecer una comprensión común y
adecuada derivada del pensamiento, razonamiento y cuestionamiento personal de las
actividades contextualizadas, con el objetivo de que el conocimiento sea descubierto y
reconstruido con cada actividad.
Al respecto Gómez García (2002) expresa que el conocimiento es un proceso
personal, pero a partir de ese conocimiento puede entrar a una interacción social con

28
todos los actores y así generar una comunidad de aprendizaje en el aula. Ya que ella
favorece la parte cognitiva, la adquisición del conocimiento y habilidades para la obtención
de un desarrollo matemático que contribuirá a conseguir buenos resultados.
Generalmente los estudiantes en la clase de matemáticas permanecen aislados,
tengan o no evaluaciones, no se les permite una interacción directa con sus compañeros
donde pueden compartir sus puntos de vistas sobre el desarrollo de algún problema, pero
¿qué pasaría si algún estudiante puede comunicar la forma como resolvió el problema?,
esto generaría un diálogo permanente donde se activan mecanismos que permitirían un
verdadero significado a aquellos estudiantes que no pueden visualizar fácilmente la forma
de resolverlo o que por el contrario lo ayuden a salir del error que probablemente pudo
cometer.
Debemos reconocer que los errores hacen parte de nuestra cotidianidad, pero en la
matemática pareciera que estos no son tolerables y además castigados con la mayor
vehemencia sin la posibilidad de una segunda oportunidad, es por eso que “la búsqueda
crítica del error para superar nuestro conocimiento deficiente es una necesidad
epistemológica ineludible” (Rico & Castro, s.f), y es ahí donde la interración generada en
el trabajo colaborativo servirá como vehículo facilitador para esta búsqueda y lograr
replantear comprensiones inadecuadas y deficientes derivadas de ideas previas que son
trasladas de un sistema numérico a otro sin ningún criterio crítico.
Proponer el trabajo colaborativo en la clase de matemáticas es rodear el aula de una
solidaridad académica donde los estudiantes tengan la posibilidad de aprender a
desaprender ideas previas o Mis concepciones4
que puedan obstaculizar el aprendizaje,
Fandiño Pinilla (2009) advierte sobre estas “Mis concepciones” que son muy frecuentes
en el caso de las fracciones, donde el estudiante traslada las operaciones de los naturales a
los racionales impidiendo el desarrollo del pensamiento numérico.
El Ministerio de educación nacional, en los lineamientos curriculares biene
hablando sobre esta propuesta en la cual establece que el papel fundamental del docente es
4
Una mis concepción es un concepto errado y por lo tanto constituye genéricamente un evento a evitar

29
de propiciar una atmósfera cooperativa, para darle una mayor autonomía al estudiante
frente al conocimiento, pero esta atmósfera debe ser acompañada de ambientes
enriquecidos que inviten y permitan al estudiante a desarrollar habilidades de pensamiento
de orden superior, para lograr un aprendizaje profundo a través del desarrollo del
pensamiento numérico.
Johnson y Johnson, (1997). Establecen que en el trabajo colaborativo los términos
como pasivo, memorización, individual y competitivo no hacen parte de la definición del
trabajo colaborativo y que por el contrario, la cooperación, la responsabilidad, la
comunicación, el trabajo en equipo y la autoevaluación lo representan muy bien, pero
lograr lo anterior implica proponer situaciones enriquecedoras atractivas que inviten a
un aprendizaje retador, por eso esta estrategia de trabajo colaborativo estará acompañada de
la técnica didáctica aprendizaje basado en problemas (ABP), donde la matemática no solo
sea para la escuela sino para la vida, reconociendo que como seres humanos estamos
rodeados de problemas sociales, políticos, económicos y muchas de estas soluciones se
basan en modelos matemáticos que muy probablemente nos tocará resolver en algún
momento y que pueden ser planteado desde diferentes puntos de vistas.
Sumado a lo anterior, el ABP incluye factores determinantes para el proceso de
la colaboración como lo establece el Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de
Monterrey en uno de sus artículos denominado: el aprendizaje basado en problemas como
técnica didáctica. En dicho texto se expresa que una de las características fundamentales es
que el estudiante mantiene una actitud positiva hacia el aprendizaje eliminando la
transferencia pasiva de la información, esto expresado en forma matemática se podría decir
que lo importante no es el algoritmo en sí, sino la aplicación de él en contexto, donde se
encuentre el verdadero significado de utilizar lo aprendido. ¿Para qué me sirve comparar
fracciones homogéneas? ¿Dónde la puedo utilizar? La respuesta a estas preguntas son la
clave de un verdadero aprendizaje activo, por eso proponer problemas atractivos que
dirijan el aprendizaje a contestar este tipo de pregunta por parte de los estudiantes será el
eje central de la técnica empleada (ABP).

30
El acercamiento de los estudiantes a las matemáticas, a través de situaciones
problemáticas procedente de la vida diaria, de las matemáticas y de las otras
ciencias es el contexto más propicio para poner en práctica el aprendizaje activo, la
inmersión de las matemáticas en la cultura, el desarrollo de proceso de pensamiento
y para contribuir significativamente tanto al sentido como a la utilidad de las
matemáticas (lineamientos curriculares 1998, p.41).
2.1.3 Orientación Tecnológica.
Nadie pone en duda el auge que han tenido las tecnologías en nuestros medios,
infiltrándose y traspasando fronteras, sociales, económicas, educativas y culturares donde
la tecnología ha aportado un valor significante al desarrollo de cada una de ellas. Llinares &
Sanchez, (1988) argumentan que ha habido un cambio notorio en la enseñanza de las
matemáticas con la llegada de las nuevas tecnologias a la educación, ya que anteriormente
se ponía mayor enfasis en el desarrollo de algoritmos y procemientos mecánicos y
rutinarios en la aritmética “esos procesos dejemoslo a las calculadoras”, ahora el centro
de interés está hacia una mejor compresion de los conceptos. Además con el aporte de la
tecnología se ha mejorado la eficacia y rapidez de los cálculos de los alumnos y los seres
humanos, permitiendo invertir un menor tiempo en cálculos extensos y complejos desde
punto de vista técnico y algoritmico.
Otro argumento a la vista que se le aporta a las nuevas tecnologías es que
mejoran las representaciones semióticas de la Noética, dándole mayor claridad a los
conceptos matemáticos en sus representaciones, facilitando que los estudiantes tengan
la misma posibilidad de imaginación del objeto matemático con el fin de poder interiorizar
la parte conceptual, estos recusros educativos abiertos ayudan a mostrar una matemática
mas amable, posibilitando que los estudiantes construyan su propio conocimiento
teniendo encuenta sus ideas previas.
Además se debe aprovechar que nuestros estudiantes están cada día más
relacionados e interesados con este contexto tecnológico, para fortalecer a través de estos

31
medios una enseñanza matemática más activa y participativa buscando argumentos que
pongan de manifiesto la utilización de estos recursos en el aula de clases.
Con relación a lo anterior el profesor Alvaro Galvis Panquera (2009), nos da ocho
argumentos muy sólidos referente a la utilización de los ambientes de aprendizaje basado
en tics, donde el componente principal del aprendizaje es la motivación la cual se logra a
través de otras actividades basadas en estos ambientes como son la indagación,
experiencias ricas y placenteras, reflexión, interacción, explicitación, socialización y
refuerzo. Estos ocho argumentos tiene como objetivo fundamental traspasar lo
instrumental que es lo que inicialmente el estudiante percibe de los medios tecnológicos en
el ambiente educativo, especialmente en el área de matemáticas donde se tiene la creencia
que con estos recursos se da solución a las dificultades matemáticas por sí solos.
Ahora estos argumentos vistos desde el punto de vista matemático están
relacionados con procesos y habilidades cognitivas que pueden verse favorecidas con
esta orientación tecnológica en el área de matemática, donde la visualización, la
capacidad investigativa, el aprendizaje de la retroalimentación, la observación de patrones,
el establecimiento de conexiones, son ejes fundamentales de estos procesos como lo
reconoce el Ministerio de Educación Nacional en el documento Nuevas tecnologías y
currículo de matemáticas (1999).
Todo esto enlazado con un trabajo colaborativo dentro y fuera del aula ayudará
a convertir esa pasividad existente en el aula de clases por una interacción, ya que el
modelo tradicional de asumir la clase de una forma expositiva tradicional trae esa
consecuencia muy arraigada.
Teniendo en cuenta lo anterior, las herramientas tecnológicas que apoyarán el
aprendizaje en colaboración son el software pedazzito 1.2 y el video educativo, ambos
recursos serán elementos mediadores en la interacción, docente, estudiante, actividad que
busca generar autoaprendizaje pero además mostrar una dinámica distinta a la
convencional y darle el protagonismo a una educación centrada más en el aprendizaje.

32
Con respecto al primer recurso cada grupo colaborativo tendrá la posibilidad de
explorar, conjeturar, razonar reflexionar sobre las operaciones más basicas del sistema
númerico de los racionales visto desde el punto de vistas de las fracciones desarrolladas
en el recurso de una manera didáctica, y propiciar una flexibilidad del pensamiento
númerico a travez de las diferentes estrategias propuestas por cada grupo para
comprender y estimar una respuesta coherente de cada actividad.
La utilizacion del video educativo busca afianzar el trabajo colaborativo
permitiendo la construcción del saber con el mismo recurso donde el docente solo cumple
el papel de mediador y organizador de la actividad, ellos mediante una comunicación
matematica”escucharse uno a otros” buscarán el punto de partida para el deselvolvimiento
de la actividad. La utilización de este recurso brinda la posibilidad de ser un elementos
mas del grupo, pero además poder repetirlo las veces que sean necesario para lograr
interiorizar su mensaje y luego realizar las reflexiones necesarias sobre el.
2.2 Plan de acción
Conectar la teoría y la práctica para encontrarle sentido a lo que se hace y porque
se hace, debe ser un requisito primordial de la matemática escolar, ya que sabemos que
toda persona necesitará de argumentos matemáticos para el desarrollo de su vida
cotidiana fuera del aula de clases, donde ella cobra el verdadero sentido de su enseñanza.
“Reconocer que existe un núcleo de conocimiento matemático básico que debe
dominar todo ciudadano” ( lineamiento curriculares 1998. p29), debe ser el norte de la
planificación de los objetivos, el cual se debe propiciar que el estudiante avance en la vida
escolar. El reconocimiento de los sistemas numéricos y el pensamiento numérico son los
actores principales para lograr dichos objetvos, por lo que Fandiño (2009), propone que
el aprendizaje de matemática debe fundamentarse en cinco elementos denominados
aprendizajes: aprendizaje de concepto, aprendizaje de algoritmo, aprendizaje estratégico,
aprendizaje comunicativo y aprendizaje semiótico, lo que conducirá a una relación
directamente con las habilidades de orden superior como el análisis, conceptualización, el

33
manejo de información, pensamiento crítico, Investigación, pensar con información, Meta
cognición, y el pensamiento sistémico.
Se busca propiciar una construcción activa, participativa y colaborativa del
conocimiento de los números racionales para poder mejorar la comprensión conceptual y
operacional de las actividades propuestas y así desencadenar procesos de aprendizajes
relevantes y significativos que contribuyan al desarrollo del pensamiento numérico de los
estudiantes.
2.2.1. Objetivo General
Los estudiantes estarán en la capacidad de encontrar una relación entre el concepto
y el procedimiento matemático orientada hacia la conceptualización del sistema
numérico de los racionales para poder darle significado a las operaciones algorítmicas
planteadas.
2.2.2. Objetivos específicos
 Potenciar de manera positiva las relaciones personales y la integración entre los
estudiantes para que puedan trabajar en pequeños grupos, orientados a sus necesidades
académicas.
 Promover la autonomía en sus procesos de aprendizaje a través de la búsqueda
de información, análisis y reflexiones en la toma de decisiones participativas.
 Mejorar las habilidades del pensamiento numérico y los sistemas numéricos
privilegiando los aspectos conceptuales sobre los algorítmicos basados en:
- Identificar los sistemas numéricos (naturales, enteros y racionales) y sus posibles
limitaciones en sus operaciones mediante problemas en contexto.
- Transformar cualquier número natural o entero en número racional dependiendo la
situación dada.

34
- Definir los algoritmos de la suma y resta de los números Racionales (Q) a través de
experiencias didácticas y cotidianas.
- Reconocer el orden numérico y la densidad de los números racionales a través de
ejemplos y métodos numéricos.
- Reconocer el significado de la multiplicación y la división de los números
racionales a través de ejemplos modelados y graficados.
- Analizar e interpretar problemas que involucren números racionales y darle las
respectivas soluciones aplicando las diferentes operaciones y propiedades.
2.2.3 Actividades de aprendizaje.
La Institución Educativa en su plan educativo institucional establece un modelo
pedagógico formativo participativo teniendo en cuenta que el éxito del desempeño de los
estudiantes radica en que ellos sean los partícipes directos de su proceso de formación con
la orientación y acompañamiento de los docentes a través de métodos como el trabajo en
equipo, mesa redonda, foro, debates y prácticas de campo.
Tomando este marco de referencia las actividades de aprendizajes están
conectadas a la consecución de estos objetivos y propósitos basados en los estándares
básicos de competencia en matemáticas y al currículo propuesto por la Institución
Educativa en el área de matemáticas. Se trabajará con una Unidad denominada números
racionales. Se formarán grupos heterogéneos de cinco a seis integrantes para el desarrollo
de todas las actividades. A continuación se presenta la caracterización de la unidad
temática alineada con estándares básicos de competencias del Ministerio de educación
nacional, las competencias específicas evaluadas por el Instituto Colombiano para la
evaluación de la educación (ICFES) y los lineamientos generales saber grado 9.

35
Tema: Números Racionales
Componente: Pensamiento Numérico y sistemas Numéricos
Subtemas:
Sistema numéricos de los Naturales
Sistema numéricos de los Enteros
Sistema numérico de los Racional
Números Fraccionarios
Estándar Básicos de Competencias:( Ministerio de educación Nacional).
Utilizo números Racionales en sus diferentes representaciones y en diversos contextos
Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los
números racionales y de las relaciones y operaciones entre ellos.
Justifico la elección del método e instrumentos de cálculos en la resolución de
problemas.
Identifico si a la luz de los datos de un problema, los resultados obtenidos son o no
razonables.
Competencia Especificas (Evaluadas por el Icfes).
Razonamiento y la Argumentación
La comunicación y la representación
Planteamiento y Resolución de Problemas

36
Universidad de la Guajira
Maestría Pedagogía de las Tecnologías de la Información y la Comunicación
Institución Educativa Ismael Rodríguez Fuentes
Unidad didáctica 1
Intensidad Horaria: 4 horas (primera semana)
Sección A-1
Tema: Sistemas numéricos de los Naturales, Enteros y Racionales
Objetivos de Aprendizaje: Identificar los sistemas numéricos (naturales, enteros y
Racionales) y sus posibles limitaciones en las operaciones básicas mediante problemas
en contexto.
Actividad Recursos de apoyo
1- Cada grupo definirá cuales son los
elementos que conforman el sistema
numérico de los Naturales, enteros y
racionales y emitir una conclusión.
Textos para consulta
Guía de desarrollo
2-Cada grupo expondrá cuatro ejemplos en
contexto donde se aplique la suma, resta,
multiplicación y división en los sistemas
numéricos naturales y enteros. Luego el
docente expondrá esos mismos ejemplos con
otros valores con el fin de ser analizados
nuevamente por parte de cada grupo y emitir
un juicio sobre el cambio propuesto.
Hoja de taller
Texto para consulta
2- Cada Número en su sitio
En las paredes se colocarán varios diagramas
donde se encuentren los tres sistemas
numéricos, en forma general, cada grupo
deberá ubicar una serie de números dados de
acuerdo a su caracterización “natural” “entero”
o racional.
Diagrama hecho en papelógrafos
Memos
Marcadores

37
Unidad didáctica 1
Intensidad Horaria: 4 horas (Segunda semana)
Sección A-2
Objetivos de Aprendizaje: Transformar cualquier número natural o entero, en un número
racional dependiendo la situación dada.
1-Cada integrante de cada grupo transformará
su edad en un número racional con distinto
denominador y explicará a sus compañeros la
forma en que lo hizo.
Edades de cada integrante
Calculadoras
2-Ir a la tienda.
Para hacer el almuerzo, la mamá de Orozco
le entrega una lista de los ingredientes que se
deben comprar en la tienda, pero el tendero sólo
sabe leer los artículos que estén expresado en
números racionales
Hoja de taller
Lista de los ingredientes a comprar
Calculadora
3-Cada grupo elegirá un número y lo
representará de distintas formas, sin mostrar el
número elegido, los demás grupos deben
adivinar qué número eligió cada grupo.
Hoja de taller
Calculadora
4- los números y sus disfraces.
¿De cuántas maneras podemos representar el
número uno (1) como número racional?
Exponga varios ejemplos.
¿De cuántas maneras podemos representar el
número dos (2) como número racional?
Exponga varios ejemplos.
Cada grupo debe emitir una conclusión sobre:
¿qué se debe cumplir para obtener esos
resultados?
Hoja de taller
Calculadora

38
Unidad didáctica 1
Intensidad Horaria: 4 horas (Tercera semana)
Sección A-3
Objetivos de Aprendizaje:
-Reconocer las clases de fracciones en las actividades propuestas
-Definir los algoritmos de la suma y resta de los números Racionales (Q) a través de
experiencias didácticas.
1-Se les presentará las clases de fracciones
extraída del hipertexto de Santillana Grado 6°
para que hagan una lectura teórica durante 15
minutos.
Luego Cada grupo desarrollará el taller
donde clasificará las clases de fracciones en
una serie de ejemplos en contexto. Además
deben mostrar cual es la diferencia entre la
fracción impropia y la fracción entera.
Guía de apoyo Santillana(teórica)
Hoja de taller
3- De la práctica a la teoría: (fracciones con
igual denominador)
“Un pedazo de panela”
Cada grupo sumará los pedazos de panela
para construir el algoritmo de la suma de
fracciones de igual denominador. Y luego
clasificar la fracción obtenida entre las clases
vistas.
Panela divida en cuatro partes iguales
Octavos de Cartulinas
Hoja del taller
3-El docente le entregará un taller donde se
suman fracciones con distintos denominadores
de forma gráfica utilizando las cartulinas de
cada grupo.
Cada grupo construirá desde su perspectiva
matemática como llega a la respuesta dada.
Cartulinas
Calculadora
Hoja del taller
4-Pedazzitos (recurso educativo abierto).
“socialización del software”
Cada grupo explorará el recurso, mediante la
orientación de dos problemas en contexto.
Portátil para cada estudiantes con el
programa pedazzitos.
Hoja de taller.

39
Unidad didáctica 1
Intensidad Horaria: 4 horas (cuarta semana)
Sección A-4
Objetivos de Aprendizaje: Reconocer el orden numérico y la densidad de los números
racionales a través de ejemplos y métodos numéricos.
1- 1- A cada grupo se le expondrá tres problemas
con el objetivo de comparar dos números
racionales.
2- Cada grupo debe justificar en forma oral y
escrita que cantidad es mayor, o menor
dependiendo de su análisis.
Guía para comparar fracciones
Cartulina
Calculadora
3-Actividad “ me toca el turno”
En el hospital se entregan fichas por orden de
llegada para ser atendido por el médico, la
enfermera ya ha entregado dos fichas. Juan
necesita viajar con su esposa pero necesita de
la valoración del médico por lo que le dice a la
enfermera que le de dos (2) de las primeras
fichas, la enfermera para colaborarle le entrega
dos fichas en blanco y le dice los números de la
dos fichas que entregó para que él pueda marcar
las suyas ¿qué número debe colocarle a cada
una de las fichas para que al menos le toque el
segundo y tercer turno?
Guía sobre densidad de los racionales
Dos fichas marcadas
Dos fichas en blanco
Marcador
calculadora
4-Foro (dilema) :
Se le presentará un caso donde dos estudiantes
discuten acerca de una situación y cada grupo
debe intervenir dándole la solución desde
distintas miradas, gráfica, matemática, para
resolver el problema y que los estudiantes
queden satisfechos con la explicación.
Guía del problema
Pregunta problematizadora

40
Unidad didáctica 1
Intensidad Horaria: 4 horas (quinta semana)
Sección A-5
Objetivos de Aprendizaje: Reconocer el significado de la Multiplicación y la división de
los Números Racionales a través de ejemplos modelados y graficados.
3- 1- actividad “Vamos de paseo”
4- Para ir a un paseo a cada grupo se le solicitará
unos ingredientes para hacer la comida. Ellos
deben mostrar cual es la cantidad de cada uno
de los artículos pedidos mediante una
modelación grafica o matemática.
5-
Ingredientes para la comida
Hoja de trabajo
Calculadora.
2--actividad Agrícola “jornada de
embellecimiento de la institución”
El profesor de agrícola decide hacer una jornada
de limpieza en la institución y decide asignarle
la mitad de una zona para los cursos 8°a , 8°b y
9°. El profesor les pide a los estudiantes que
señalen lo que le corresponde a cada grupo, ya
que la otra mitad de la zona le corresponde a
otros grupos.
Hoja de trabajo
Calculadora
Zona asignada de trabajo
Cal para demarcar
Actividad fuera del salón.
6- 3-Actividad: “Que me piden y como
conseguirlo”
7- Se propondrán problemas en contexto donde se
le preguntará a los estudiantes que es lo que
pide el problema. Además se indagará sobre
cómo se podría conseguir el objetivo de la
pregunta.
Todo debe ser explicado en lenguaje escrito.
Guía de trabajo
Problemas propuestos

41
Unidad didáctica 1
Intensidad Horaria: 4 horas (sexta, semana)
Sección A-6
Objetivos de Aprendizaje: Analizar e interpretar problemas que involucren números
racionales y darle las respectivas soluciones aplicando las diferentes operaciones y
propiedades mediante la utilización del software pedazzitos y videos educativos sobre el
tema.
1-Actividad: “Reconocimiento de la
multiplicación en los problemas”.
Se expondrá un video donde explican la
manera de reconocer la multiplicación en un
problema, cada grupo debe exponer lo
aprendido en el video a través de un problema
propuesto en la guía de trabajo.
Guía de trabajo
Computador
Video
2-Actividad:”El video como parte del grupo
colaborativo”.
Se propondrá un problema, cuya solución
inicial será propuesta en el video luego cada
grupo analizará y socializará el resultado
proponiendo otras ideas.
Guía de trabajo
Computador
Video
3- Actividad: “Estrategias para la suma, resta
y comparación de fracciones” Descubrir por
medio de ejemplos presentados en la guía de
trabajo como se estructura estas operaciones
en el software.
Guía de trabajo
Computador
Software pedazzitos
4-Actividad “El software vs el lápiz y el papel”
Se propondrá un problema específico incluido
en el software, para que sea resuelto con lápiz
y papel y que cada grupo exprese su análisis y
reflexión sobre la solución en los dos medios.
Guía de trabajo
Computador
Software pedazzitos

42
Unidad didáctica 1
Intensidad Horaria: 4 horas (séptima y octava semana)
Sección A-7
Objetivos de Aprendizaje: Analizar e interpretar problemas que involucren números
racionales y darle las respectivas soluciones aplicando las diferentes operaciones y
propiedades
1-Actividad : “la respuesta del problema”
Se propondrán problemas con su respectiva
respuesta donde cada grupo propondrá la
estrategia para llegar a la respuesta. Luego se
socializará a nivel grupal.
Problemas propuesto
Calculadora
2-Actividad : “para que me sirve eso profe”
Se les dará ciertas actividades en contexto a
cada grupo. Con el fin de que los estudiantes
vean la funcionalidad de cada tema en la
cotidianidad de la vida.
Problemas propuesto
Calculadora
3- Actividad: “Creación de problemas”
A cada grupo se les propondrá unas
operaciones sin ningún contexto y cada grupo
deberá proponer un problema que contenga
cada una de las operaciones dadas.
Guía de trabajo
Calculadora
4-Actividad individual
Terminada todas las actividades grupales, se
realizará un taller individual con el fin de
observar la incidencia del aprendizaje en grupo
en el aprendizaje individual
Hoja de taller

43
2.2.3 Evaluación de los Objetivos.
Alcanzar los objetivos propuestos en cualquier curso se necesita de una evaluación
profunda que no sólo sea emitir un juicio valorativo o etiqueta, es poder darle al estudiante
las herramientas necesarias para su autoevaluación, donde él mismo pueda valorar lo
aprendido.
“La evaluación debe ser más una reflexión que un instrumento de medición para
poner etiquetas a los individuos; lo que no excluye el reconocimiento de las diferencias
individuales” (lineamientos curriculares, 1998, p. 107). Con el desarrollo del trabajo
colaborativo en el aula y fuera de ella se podría hablar de la evaluación de dos tipos de
objetivos. Unos objetivos de colaboración y lo que produce esa colaboración, siendo los
primeros la base de la evaluación de los objetivos del proyecto, abocados a lograr los
propósitos y metas del modelo pedagógico formativo participativo de la institución, en
consonancia con la misión institucional del plantel.
Formar seres integrales, activos y participativos, con capacidad
emprendedora, que buscan la excelencia en sus actuaciones de la vida diaria, dentro
de los parámetros del respeto, la justicia, el orden, la responsabilidad y el trabajo,
que se reflejan en el hogar, el colegio y la comunidad (plan educativo Institucional
Ismael rodríguez fuentes ,2009,p.7).
Con este marco de referencia que incluye la formación integral como la base
esencial del proceso educativo en la construcción de habilidades sociales que permitan
fortalecer y elevar el rendimiento académico de los aprendices se estableció dos tipos de
evaluación. (1) las habilidades sociales reflejadas en cada grupo colaborativo como la
ayuda mutua, dialogo, empatía, tolerancia, liderazgo, comunicación, desarrollo de la
confianza que pueden ser evaluadas en cada actividad propuesta mediante la observación
de cada grupo colaborativo y la consecución de las metas de las actividades propuesta. (2)
La cognitiva la cual se valorará en dos situaciones, grupal e individual donde se puede
mirar los avances del curso según lo planeado, no sin antes evaluar unos pre saberes
individuales para obtener un punto de partida y establecer unas comparaciones del antes y
el después de la estrategia aplicada.

44
En la evaluación grupal el docente a través de su visita a cada grupo podrá detectar
los posibles avances que tenga en las actividades propuestas en la construcción de dichos
objetivos además, cada estudiante evaluará los aportes de sus compañeros en cada una
de las actividades por medio de rejillas establecidas para tal fin.
Estas actividades grupales serán valoradas individualmente, ya sea de forma
escrita o por la participación de algunos de los miembros de cada grupo donde puedan
intervenir ordenadamente dando su punto de vista sobre el desarrollo de la actividad.
Emitiendo conceptos aprendidos de la práctica, en otras palabras la participación
individual en cada grupo.
Otra forma de evaluar esos objetivos es establecer el desarrollo que ha tenido cada
estudiante en cada actividad en comparación con el pre saber del curso.
2.2.3.1 Análisis
El aula de clases debe ser un laboratorio de investigación donde se puedan
experimentar situaciones que ayuden a mejorar los procesos de enseñanza - aprendizaje, es
por eso que implementar la estrategia del trabajo colaborativo en grupos reducidos en el
área de matemáticas permite analizar alternativas que puedan propiciar procesos de
aprendizajes más dinámicos, participativos y con mayor autonomía intelectual por parte de
los estudiantes, en procura de mejorar el desarrollo del pensamiento matemático.
Sabemos de las dificultades que presentan los aprendices en el área de
matemáticas, por tal motivo modificar la práctica docente en busca de mejores resultados
es una decisión que se debe tomar en el camino de la enseñanza, tratando de presentar una
matemática más amigable rompiendo los esquemas tradicionales propuestos, donde los
resultados no son muy alentadores en la educación secundaria, es por eso que se debe
buscar estrategias donde el estudiante sea participé y coautor de su propio aprendizaje
logrando entender el significado de lo que se aprende y para que se aprende, el cual debe
ser la idea fundamental de la matemática escolar.
Porque de lo contrario solo será memorizar reglas y procedimientos sin ningún
sentido lógico y práctico, pero además sin ninguna posibilidad de que lo aprendido pueda

45
perdurar en el tiempo algo contraproducente para un área progresiva que necesita de
bases fundadas para alojar los nuevos conocimientos.
En la matemática escolar hay contenidos que tienen dificultad para poder
asociarlo al contexto, pero otros tienen una gran facilidad de poder conectarlo y
asociarlo a una realidad y vivencias sociales de los aprendices, como es el caso de la
situación problémica planteada en el proyecto “desarrollo del pensamiento numérico de
los números racionales”, donde, fácilmente los aprendices pueden conectar los
interrogantes que implica lo que se aprende y para que se aprende, en la búsqueda de
contribuir de manera determinante a un aprendizaje retador pero además un aprendizaje
duradero y finalmente un aprendizaje para la vida.
Otro elemento que se sumó a la estrategia fueron los recursos educativos abiertos
(REA) que buscaron propiciar efectos colaterales que se sumaran al trabajo
colaborativo, como la motivación, indagación ,reflexión , refuerzo ,comunicación
alternativa y por supuesto la visualización que da cuenta de la conexión entre la noética
y la semiótica ofreciéndole de forma general a los aprendices una mayor claridad de los
conceptos matemáticos para lograr interiorizar de una manera más amable la parte
conceptual.
Son estos los tres ejes centrales donde giró la situación problémica de la
investigación en busca de lograr los objetivos de aprendizajes propuestos y que los
estudiantes pudieran incrementar las habilidades necesarias para el desarrollo del
pensamiento numérico motor fundamental para lograr entender y dar solución a los
problemas de menor complejidad propuesto en las pruebas saber pero además facilitar la
transición de la aritmética al algebra.
2.2.3.2 Análisis de Resultados
Durante todo mi ejercicio docente nunca había tenido la oportunidad de
desarrollar el tema de los números racionales con tanta profundidad debido a que siempre
me asignaban cursos superiores y lo que hacía era un breve repaso de las cuatro
operaciones ya que “supuestamente” era lo que se necesitaba para apoyar los nuevos
conocimientos y de alguna manera combatir algunas dificultades que traían los alumnos

46
de los cursos inferiores que eran bastante notable. Esta última parte fue lo que me hizo
reflexionar y caer en cuenta sobre el verdadero sentido que debe tener la matemática
escolar para nuestros estudiantes, donde debe ser una matemática para todos y para la
vida pero para conseguir esto no es tarea fácil se deben buscar los caminos y estrategias
para poder lograrlo.
Fandiño pinilla 2009 hace unas observaciones y sugerencias sobre la didáctica
de las fracciones en el aula, donde pone de manifiesto muchos argumentos para poder
enfrentar un problema de grandes proporciones, ella expresa:
Es innegable que el aprendizaje de las fracciones es complejo, sin importar
cómo se estructure o se articule; pero, como todo enemigo en una batalla que se
respete, la adecuada valoración del adversario y su perfecto conocimiento son armas
vencedoras en las manos de quien sepa aprovechar la supremacía ligada a
competencia y conciencia
Quiero reconocer que siempre estuvo en mi mente que saber fracciones era
resolver ejercicios, donde solo lo algorítmico y lo procedimental tenía el valor verdadero,
eso me hicieron creer siempre en mi paso por la escuela. Hoy me doy cuenta que además
de lo algorítmico y lo procedimental se le debe agregar otros elementos de gran valor
como la comprensión del número mismo, la comprensión del concepto y su aplicabilidad
en la resolución de problemas.
Otro elemento que quiero destacar tiene que ver con el curso donde se desarrolló la
propuesta (octavo grado) aunque este tema: sistema numérico de los racionales es
desarrollado en primaria (denominado fracciones) y luego en los grados sexto y séptimo
me pareció muy pertinente desarrollarlo en este grado, aun sabiendo que debía realizar una
reprogramación de los contenidos que se debían desarrollar en dicho grado, con el fin de
garantizar una armonía entre los contenidos pero lo más importante poder extender un
puente entre la aritmética y el álgebra para facilitar la comprensión de esta última ya que
siempre noté una gran debilidad en los estudiantes cuando se enfrentaban a las
operaciones con fracciones en problemas de algebra, trigonometría y cálculo, es más
cometía el error de eliminar problemas que tuvieran esta clase de número porque aunque

El pensamiento numérico a partir del aprendizaje colaborativo mediado con recursos educativos abiertos

El pensamiento numérico a partir del aprendizaje colaborativo mediado con recursos educativos abiertos

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

Similar a El pensamiento numérico a partir del aprendizaje colaborativo mediado con recursos educativos abiertos

Similar a El pensamiento numérico a partir del aprendizaje colaborativo mediado con recursos educativos abiertos (20)

Último

Último (20)

El pensamiento numérico a partir del aprendizaje colaborativo mediado con recursos educativos abiertos