Este documento presenta conceptos básicos de inferencia estadística como población, muestra, estadísticos muestrales, distribuciones de probabilidad de estadísticos muestrales. Explica que la media muestral tiene una distribución normal asintótica y que la varianza muestral sigue una distribución chi-cuadrado con n-1 grados de libertad. También introduce conceptos como la desigualdad de Chebychev, la ley de los grandes números y el teorema del límite central para inferir distribuciones a partir de
El documento trata sobre inferencia estadística. Explica que la inferencia estadística comprende métodos para deducir las características de una población a partir de una muestra. Luego describe diferentes tipos de muestreo probabilístico como el aleatorio simple y estratificado. También define conceptos como muestra, distribución muestral, distribución de probabilidad discreta y continua, y el teorema central del límite. Por último, presenta algunos ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento presenta conceptos básicos de estadística como distribuciones muestrales, estimación puntual e intervalos de confianza. Explica que una distribución muestral describe la variabilidad de un estadístico al tomar muestras repetidas de una población. También introduce la noción de estimar parámetros poblacionales a partir de muestras y calcular intervalos de confianza para dichas estimaciones.
1) El documento trata sobre los pilares de la estadística inferencial que son la estadística descriptiva y la teoría de probabilidad. 2) Explica los métodos básicos de la estadística inferencial como la estimación y el contraste de hipótesis. 3) Detalla las distribuciones muéstrales y cómo a partir de una muestra se pueden hacer inferencias sobre la población.
Este documento trata sobre conceptos estadísticos y de muestreo. Explica que la inferencia persigue obtener conclusiones sobre una población a partir de una muestra, y existen dos tipos: estimación puntual e intervalos de confianza. También describe distribuciones de probabilidad, tipos de muestreo como el sistemático y estratificado, y conceptos como distribuciones muestrales y los teoremas centrales del límite y de Chebyshev.
Este documento trata sobre conceptos estadísticos y de probabilidad como la inferencia, distribuciones de probabilidad, muestreo, y teoremas importantes. Explica que la inferencia persigue obtener conclusiones sobre una población a partir de una muestra, y existen dos tipos: estimación puntual e intervalos de confianza. También define conceptos como variables aleatorias discretas y continuas, y distribuciones como la normal. Finalmente, describe métodos de muestreo como el sistemático, estratificado y por conglomerados, así como teoremas como el de la
Distribucion muestrales y estimacion presentacionJose Diaz
Este documento presenta información sobre distribución de muestras y estimación. Explica conceptos como distribución de muestras, estimación puntual, intervalos de confianza y pruebas de hipótesis. Incluye ejemplos para ilustrar cómo aplicar estos conceptos estadísticos para estimar parámetros poblacionales a partir de muestras.
Este documento describe la distribución normal y el muestreo. Explica que la distribución normal es común en fenómenos naturales donde muchos factores pequeños influyen en un resultado. También describe métodos de muestreo como el aleatorio simple, estratificado y por conglomerados, los cuales eligen participantes de manera aleatoria para que la muestra sea representativa de la población total.
El documento trata sobre inferencia estadística. Explica que la inferencia estadística comprende métodos para deducir las características de una población a partir de una muestra. Luego describe diferentes tipos de muestreo probabilístico como el aleatorio simple y estratificado. También define conceptos como muestra, distribución muestral, distribución de probabilidad discreta y continua, y el teorema central del límite. Por último, presenta algunos ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento presenta conceptos básicos de estadística como distribuciones muestrales, estimación puntual e intervalos de confianza. Explica que una distribución muestral describe la variabilidad de un estadístico al tomar muestras repetidas de una población. También introduce la noción de estimar parámetros poblacionales a partir de muestras y calcular intervalos de confianza para dichas estimaciones.
1) El documento trata sobre los pilares de la estadística inferencial que son la estadística descriptiva y la teoría de probabilidad. 2) Explica los métodos básicos de la estadística inferencial como la estimación y el contraste de hipótesis. 3) Detalla las distribuciones muéstrales y cómo a partir de una muestra se pueden hacer inferencias sobre la población.
Este documento trata sobre conceptos estadísticos y de muestreo. Explica que la inferencia persigue obtener conclusiones sobre una población a partir de una muestra, y existen dos tipos: estimación puntual e intervalos de confianza. También describe distribuciones de probabilidad, tipos de muestreo como el sistemático y estratificado, y conceptos como distribuciones muestrales y los teoremas centrales del límite y de Chebyshev.
Este documento trata sobre conceptos estadísticos y de probabilidad como la inferencia, distribuciones de probabilidad, muestreo, y teoremas importantes. Explica que la inferencia persigue obtener conclusiones sobre una población a partir de una muestra, y existen dos tipos: estimación puntual e intervalos de confianza. También define conceptos como variables aleatorias discretas y continuas, y distribuciones como la normal. Finalmente, describe métodos de muestreo como el sistemático, estratificado y por conglomerados, así como teoremas como el de la
Distribucion muestrales y estimacion presentacionJose Diaz
Este documento presenta información sobre distribución de muestras y estimación. Explica conceptos como distribución de muestras, estimación puntual, intervalos de confianza y pruebas de hipótesis. Incluye ejemplos para ilustrar cómo aplicar estos conceptos estadísticos para estimar parámetros poblacionales a partir de muestras.
Este documento describe la distribución normal y el muestreo. Explica que la distribución normal es común en fenómenos naturales donde muchos factores pequeños influyen en un resultado. También describe métodos de muestreo como el aleatorio simple, estratificado y por conglomerados, los cuales eligen participantes de manera aleatoria para que la muestra sea representativa de la población total.
Este documento describe la distribución normal y el muestreo. Explica que la distribución normal es común en fenómenos naturales donde muchos factores pequeños influyen en un resultado. También describe métodos de muestreo como el aleatorio simple, estratificado y por conglomerados, los cuales eligen participantes de manera aleatoria para que la muestra sea representativa de la población total.
Este documento trata sobre conceptos estadísticos como distribuciones de muestreo, estimación estadística e intervalos de confianza. Explica qué son las distribuciones de muestreo y cómo se pueden aproximar a distribuciones asintóticas. Luego define la estimación estadística y los diferentes métodos como estimación puntual, por intervalos y bayesiana. Finalmente, cubre temas como distribuciones normales, t de Student e intervalos de confianza para proporciones.
Distribuciones Muestrales y Estimación de los Parámetros de una Poblaciónjosegonzalez1606
Distribuciones Muestrales y Estimación de los Parámetros de una Población
Integrantes:
José González C.I: 28.576.187 Marcell Girardi C.I: 24. 491.579 Yulianny Marcano C.I: 26. 385.075 Alejandro Brito C.I: 24.947.747 José Pereira C.I: 28.095. 315
Este documento trata sobre conceptos estadísticos fundamentales como distribuciones de probabilidad, el teorema del límite central, distribuciones normales, estimación de parámetros poblacionales a partir de muestras, y la inferencia estadística. Explica cómo las medias y proporciones muestrales siguen distribuciones normales que permiten hacer conclusiones sobre parámetros desconocidos de una población.
Estadistica inferencial. Funciones y distribuciones de probabilidad.joani-jauregui
Este trabajo tiene por objetivo dar a conocer los diferentes componentes con los que cuenta las distribuciones de la probabilidad, y también tiene diferentes figuras para dar a entender el tema, de igual manera ejemplo, etc.
Este documento introduce los conceptos fundamentales de la inferencia estadística, la estimación y el contraste de hipótesis. Explica que la inferencia estadística permite extrapolar conclusiones sobre una población completa a partir de una muestra representativa. Describe los métodos básicos de estimación puntual e intervalos de confianza, y los conceptos clave como parámetros, estadísticos, distribuciones muestrales y propiedades deseables de los estimadores. Finalmente, explica los objetivos e importancia de la inferencia estadística en
Este documento describe conceptos básicos de estimación de parámetros poblacionales a partir de muestras. Explica que los estadísticos de una muestra son estimaciones del valor real del parámetro en la población. Detalla dos tipos de estimación: puntual, que proporciona un único valor, e intervalal, que provee un rango de valores posibles expresado con un grado de confianza. Además, define conceptos como parámetro, estimador, intervalo de confianza e introduce métodos para estimar la media, varianza y proporción de una
El documento describe conceptos estadísticos como la inferencia estadística, distribuciones de probabilidad, distribuciones discretas y continuas, la importancia de la distribución normal, propiedades de la distribución normal, contraste de hipótesis de normalidad, muestreo y diferentes métodos de muestreo como el estratificado, por conglomerados y sistemático, error estándar, teorema del límite central y la regla empírica de las tres desviaciones estándar.
Este documento presenta conceptos clave relacionados con el muestreo estadístico, incluyendo muestreo aleatorio simple, población, estadístico, distribución de muestreo, teorema central del límite, estimación puntual e intervalal, e intervalos de confianza. Explica que el muestreo aleatorio simple es útil para poblaciones pequeñas, mientras que el muestreo en etapas se prefiere para poblaciones grandes. También define conceptos como población, estadístico, distribución de muestreo e
El documento trata sobre la distribución normal y su importancia en estadística. Explica que muchas variables siguen esta distribución y que permite estimar parámetros poblacionales a partir de muestras. También describe métodos como el de máxima verosimilitud y momentos para obtener estimaciones puntuales de parámetros, así como el cálculo de intervalos de confianza que contienen los valores reales con cierta probabilidad.
Este documento describe varias distribuciones de probabilidad, incluyendo la distribución de Bernoulli, binomial, Poisson, normal, gamma y t de Student. Explica las fórmulas y parámetros clave de cada distribución, así como ejemplos de su aplicación.
El documento presenta conceptos estadísticos fundamentales como medidas de tendencia central (media, moda, mediana), medidas de dispersión (absoluta y relativa como el coeficiente de variación), distribuciones de probabilidad (normal y de muestreo), y conceptos como aleatoriedad, varianza y desviación estándar. Explica que la estadística resume y analiza datos para entender patrones, y que conceptos como la distribución normal son útiles para describir muchas situaciones reales.
El documento presenta conceptos estadísticos fundamentales como medidas de tendencia central (media, moda, mediana), medidas de dispersión (absoluta y relativa como el coeficiente de variación), distribuciones de probabilidad (normal y de muestreo), y conceptos como fenómenos aleatorios vs determinísticos. Explica que la estadística resume y analiza los datos mediante gráficos, tablas, medidas y distribuciones para describir patrones y tomar decisiones informadas.
Este documento describe conceptos básicos relacionados con variables aleatorias. Explica que una variable aleatoria asocia números reales a elementos de un espacio muestral y puede ser discreta o continua. También describe distribuciones de probabilidad como la uniforme, binomial y normal, así como conceptos estadísticos como media, varianza, distribuciones muestrales y teoremas centrales del límite para inferencia estadística.
Este documento presenta conceptos básicos de estadística inferencial. Explica que la estadística inferencial permite deducir cómo se distribuye una población a partir de una muestra representativa. Define conceptos como población, muestra aleatoria, parámetro, estadístico y provee ejemplos para ilustrarlos. El documento introduce los conceptos fundamentales necesarios para comprender la estadística inferencial.
Este documento trata sobre el Teorema del Límite Central. Explica que cuando el tamaño de la muestra es grande, la distribución de muestreo de la media se aproxima a una distribución normal, independientemente de la distribución de la población. También introduce conceptos como estadígrafos, muestreo aleatorio simple, ley de los grandes números y distribuciones muestrales basadas en la normalidad.
Este documento resume conceptos clave de estadística inferencial, incluyendo muestreo aleatorio, población y muestra, tipos de muestreo (aleatorio y no aleatorio), distribución de la media muestral y proporción muestral, y cómo estas distribuciones tienden a la normalidad a medida que aumenta el tamaño de la muestra debido al teorema central del límite. Explica cómo calcular la desviación típica de la media y proporción muestral para diferentes tamaños de muestra.
Este documento explica los conceptos básicos de una investigación estadística, incluyendo cómo definir la variable y la población a estudiar, los tipos de muestras, cómo recopilar datos, y cómo analizar los datos mediante tablas de frecuencias, gráficos y medidas como la media, moda, varianza y desviación típica. Se utiliza un ejemplo numérico para ilustrar estos conceptos estadísticos fundamentales.
Este documento presenta conceptos básicos sobre la estimación estadística, incluyendo definiciones de población, muestra e individuo. Explica diferentes tipos de muestreo como el aleatorio simple, sistemático y estratificado. También describe la distribución muestral y cómo se puede estimar parámetros poblacionales mediante intervalos de confianza.
Este documento explica diferentes tipos de distribuciones de probabilidad como la distribución normal, binomial y aleatoria. Describe que una distribución de probabilidad asigna probabilidades a los posibles resultados de una variable aleatoria. También incluye ejemplos como el uso de la distribución normal para determinar el consumo promedio de un producto o fármaco en una población.
Este documento describe la distribución normal y el muestreo. Explica que la distribución normal es común en fenómenos naturales donde muchos factores pequeños influyen en un resultado. También describe métodos de muestreo como el aleatorio simple, estratificado y por conglomerados, los cuales eligen participantes de manera aleatoria para que la muestra sea representativa de la población total.
Este documento trata sobre conceptos estadísticos como distribuciones de muestreo, estimación estadística e intervalos de confianza. Explica qué son las distribuciones de muestreo y cómo se pueden aproximar a distribuciones asintóticas. Luego define la estimación estadística y los diferentes métodos como estimación puntual, por intervalos y bayesiana. Finalmente, cubre temas como distribuciones normales, t de Student e intervalos de confianza para proporciones.
Distribuciones Muestrales y Estimación de los Parámetros de una Poblaciónjosegonzalez1606
Distribuciones Muestrales y Estimación de los Parámetros de una Población
Integrantes:
José González C.I: 28.576.187 Marcell Girardi C.I: 24. 491.579 Yulianny Marcano C.I: 26. 385.075 Alejandro Brito C.I: 24.947.747 José Pereira C.I: 28.095. 315
Este documento trata sobre conceptos estadísticos fundamentales como distribuciones de probabilidad, el teorema del límite central, distribuciones normales, estimación de parámetros poblacionales a partir de muestras, y la inferencia estadística. Explica cómo las medias y proporciones muestrales siguen distribuciones normales que permiten hacer conclusiones sobre parámetros desconocidos de una población.
Estadistica inferencial. Funciones y distribuciones de probabilidad.joani-jauregui
Este trabajo tiene por objetivo dar a conocer los diferentes componentes con los que cuenta las distribuciones de la probabilidad, y también tiene diferentes figuras para dar a entender el tema, de igual manera ejemplo, etc.
Este documento introduce los conceptos fundamentales de la inferencia estadística, la estimación y el contraste de hipótesis. Explica que la inferencia estadística permite extrapolar conclusiones sobre una población completa a partir de una muestra representativa. Describe los métodos básicos de estimación puntual e intervalos de confianza, y los conceptos clave como parámetros, estadísticos, distribuciones muestrales y propiedades deseables de los estimadores. Finalmente, explica los objetivos e importancia de la inferencia estadística en
Este documento describe conceptos básicos de estimación de parámetros poblacionales a partir de muestras. Explica que los estadísticos de una muestra son estimaciones del valor real del parámetro en la población. Detalla dos tipos de estimación: puntual, que proporciona un único valor, e intervalal, que provee un rango de valores posibles expresado con un grado de confianza. Además, define conceptos como parámetro, estimador, intervalo de confianza e introduce métodos para estimar la media, varianza y proporción de una
El documento describe conceptos estadísticos como la inferencia estadística, distribuciones de probabilidad, distribuciones discretas y continuas, la importancia de la distribución normal, propiedades de la distribución normal, contraste de hipótesis de normalidad, muestreo y diferentes métodos de muestreo como el estratificado, por conglomerados y sistemático, error estándar, teorema del límite central y la regla empírica de las tres desviaciones estándar.
Este documento presenta conceptos clave relacionados con el muestreo estadístico, incluyendo muestreo aleatorio simple, población, estadístico, distribución de muestreo, teorema central del límite, estimación puntual e intervalal, e intervalos de confianza. Explica que el muestreo aleatorio simple es útil para poblaciones pequeñas, mientras que el muestreo en etapas se prefiere para poblaciones grandes. También define conceptos como población, estadístico, distribución de muestreo e
El documento trata sobre la distribución normal y su importancia en estadística. Explica que muchas variables siguen esta distribución y que permite estimar parámetros poblacionales a partir de muestras. También describe métodos como el de máxima verosimilitud y momentos para obtener estimaciones puntuales de parámetros, así como el cálculo de intervalos de confianza que contienen los valores reales con cierta probabilidad.
Este documento describe varias distribuciones de probabilidad, incluyendo la distribución de Bernoulli, binomial, Poisson, normal, gamma y t de Student. Explica las fórmulas y parámetros clave de cada distribución, así como ejemplos de su aplicación.
El documento presenta conceptos estadísticos fundamentales como medidas de tendencia central (media, moda, mediana), medidas de dispersión (absoluta y relativa como el coeficiente de variación), distribuciones de probabilidad (normal y de muestreo), y conceptos como aleatoriedad, varianza y desviación estándar. Explica que la estadística resume y analiza datos para entender patrones, y que conceptos como la distribución normal son útiles para describir muchas situaciones reales.
El documento presenta conceptos estadísticos fundamentales como medidas de tendencia central (media, moda, mediana), medidas de dispersión (absoluta y relativa como el coeficiente de variación), distribuciones de probabilidad (normal y de muestreo), y conceptos como fenómenos aleatorios vs determinísticos. Explica que la estadística resume y analiza los datos mediante gráficos, tablas, medidas y distribuciones para describir patrones y tomar decisiones informadas.
Este documento describe conceptos básicos relacionados con variables aleatorias. Explica que una variable aleatoria asocia números reales a elementos de un espacio muestral y puede ser discreta o continua. También describe distribuciones de probabilidad como la uniforme, binomial y normal, así como conceptos estadísticos como media, varianza, distribuciones muestrales y teoremas centrales del límite para inferencia estadística.
Este documento presenta conceptos básicos de estadística inferencial. Explica que la estadística inferencial permite deducir cómo se distribuye una población a partir de una muestra representativa. Define conceptos como población, muestra aleatoria, parámetro, estadístico y provee ejemplos para ilustrarlos. El documento introduce los conceptos fundamentales necesarios para comprender la estadística inferencial.
Este documento trata sobre el Teorema del Límite Central. Explica que cuando el tamaño de la muestra es grande, la distribución de muestreo de la media se aproxima a una distribución normal, independientemente de la distribución de la población. También introduce conceptos como estadígrafos, muestreo aleatorio simple, ley de los grandes números y distribuciones muestrales basadas en la normalidad.
Este documento resume conceptos clave de estadística inferencial, incluyendo muestreo aleatorio, población y muestra, tipos de muestreo (aleatorio y no aleatorio), distribución de la media muestral y proporción muestral, y cómo estas distribuciones tienden a la normalidad a medida que aumenta el tamaño de la muestra debido al teorema central del límite. Explica cómo calcular la desviación típica de la media y proporción muestral para diferentes tamaños de muestra.
Este documento explica los conceptos básicos de una investigación estadística, incluyendo cómo definir la variable y la población a estudiar, los tipos de muestras, cómo recopilar datos, y cómo analizar los datos mediante tablas de frecuencias, gráficos y medidas como la media, moda, varianza y desviación típica. Se utiliza un ejemplo numérico para ilustrar estos conceptos estadísticos fundamentales.
Este documento presenta conceptos básicos sobre la estimación estadística, incluyendo definiciones de población, muestra e individuo. Explica diferentes tipos de muestreo como el aleatorio simple, sistemático y estratificado. También describe la distribución muestral y cómo se puede estimar parámetros poblacionales mediante intervalos de confianza.
Este documento explica diferentes tipos de distribuciones de probabilidad como la distribución normal, binomial y aleatoria. Describe que una distribución de probabilidad asigna probabilidades a los posibles resultados de una variable aleatoria. También incluye ejemplos como el uso de la distribución normal para determinar el consumo promedio de un producto o fármaco en una población.
En la ciudad de Pasto, estamos revolucionando el acceso a microcréditos y la formalización de microempresarios informales con nuestra aplicación CrediAvanza. Nuestro objetivo es empoderar a los emprendedores locales proporcionándoles una plataforma integral que facilite el acceso a servicios financieros y asesoría profesional.
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...Juan Martín Martín
Criterios de corrección y soluciones al examen de Geografía de Selectividad (EvAU) Junio de 2024 en Castilla La Mancha.
Soluciones al examen.
Convocatoria Ordinaria.
Examen resuelto de Geografía
conocer el examen de geografía de julio 2024 en:
https://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/2024/06/soluciones-examen-de-selectividad.html
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
2. Contenido
Inferencia estadística.
Población y muestra.
Muestra aleatoria.
Media muestral.
Varianza muestral.
Cuasivarianza muestral.
Proporción muestral.
Distribución de probabilidad de
estadísticos muestrales.
3. Inferencia estadística
De acuerdo al Profesor López Casuso la
estadística trata de responder a dos tipos de
preguntas:
Tipo I: Obtener una descripción de un grupo de
individuos que están siendo observados. Se
utiliza la media, desviación típica, percentiles.
Estos datos obtenidos corresponden a este
grupo particular y no pueden ser extrapolados
a otro conjunto de individuos (aunque sean
similares)
Tipo II: Consiste en buscar conclusiones mas
amplias. Inferir por medio de resultados
particulares obtenidos mediante un grupo,
conclusiones validas para un grupo mas
amplio.
4. Definiciones
Definición : El conjunto de elementos cuyas
características tratamos de estudiar, y acerca
del cual deseamos información, constituye lo
que se conoce como “Población”, “Universo” o
“Colectivo”
Definición : El subconjunto de la población
que elegimos para observar, y a partir del cual
tratamos de conocer las características de la
población, constituye una “muestra”.
7. Nuevos conceptos
Definición: Dada una población con función de densidad 𝒇(𝒙) , si
𝒙𝟏, 𝒙𝟐, ⋯ , 𝒙𝒏 son 𝒏 variables aleatorias independientes e idénticamente
distribuidas cada una con función de densidad 𝒇(𝒙), entonces, 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, ⋯ , 𝒙𝒏
constituyen una muestra aleatoria de tamaño 𝒏 de la población, cuya
función de densidad es 𝒇 𝒙 .
8. Ejemplo
1000$ 1200$
1500$
2000$ 2100$
900$
920$ 1800$
1700$ 1000$
1700$
1800$
920$
1200$
1800$ 2100$
Supongamos que queremos realizar un
estudio sobre los salarios mensuales de
un conjunto ciudadanos.
Nuestra variable aleatoria será el salario
mensual de los ciudadanos.
Costaría mucho tiempo y/o recursos
económicos preguntar a TODOS. En lugar
decidimos preguntar a una muestra
Una vez hemos definido la variable sobre
la que vamos a trabajar y la población de
datos, toca proceder a obtener la
muestra.
Generalmente, tendremos dos opciones.
O preguntar a ciudadanos de forma
totalmente aleatoria o elegir un proceso
de selección.
El salario promedio es
1505$
9. Definición
Definición: Dada una muestra aleatoria 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, ⋯ , 𝒙𝒏 de tamaño n de una
población con función de densidad 𝒇(𝒙), un estadístico es una función
𝒈(𝒙𝟏, 𝒙𝟐, ⋯ , 𝒙𝒏), de las variables aleatorias de la muestra que no contiene
ningún parámetro desconocido.
Al ser una función de variables aleatorias, un estadístico es también una
variable aleatoria.
Los estadísticos mas conocidos son: la media muestral, la varianza muestral,
la proporción muestral y la cuasivarianza muestral
10. Definición
Definición: Sea 𝑥1, 𝒙𝟐, ⋯ , 𝑥𝑛 una muestra aleatoria de tamaño n de una
población con función de densidad 𝑓(𝑥), con media 𝜇 y varianza finita 𝜎2. La
media muestral representada por 𝑥, es la media aritmética de los elementos
de la muestra, es decir:
𝒙 =
𝒋=𝟏
𝒏
𝒙𝒊
𝒏
Como 𝑥 es una variable aleatoria, tiene valor esperado y varianza, se puede
demostrar que:
𝐸 𝑥 = 𝜇 𝜎𝑥
2
= 𝑣𝑎𝑟 𝑥 =
𝜎2
𝑛
12. Puntos relevantes
𝑬 𝒙 = 𝝁 𝒗𝒂𝒓 𝒙 =
𝝈𝟐
𝒏
El valor esperado de la media muestral es
la media de la población
La varianza es una medida de dispersión
Mientras mas grande la muestra, mayor n
y menor varianza
13. Definición
Definición: Sea 𝑥1, 𝒙𝟐, ⋯ , 𝑥𝑛 una muestra aleatoria de tamaño n de una
población con función de densidad 𝑓 𝑥 . La varianza muestral representada
por 𝑠2
, es el promedio del cuadrado de las desviaciones de los elementos de
la muestra respecto a la media muestral, es decir:
𝒔𝟐 =
𝒋=𝟏
𝒏
𝒙𝒊 − 𝒙 𝟐
𝒏
14. Puntos relevantes
No confundir la varianza muestral 𝒔𝟐 con la
varianza de la media muestral 𝜎𝑥
2
𝒔𝟐 es un estadístico y 𝜎𝑥
2
porque se expresa en
función de un parámetro desconocido 𝜎2
𝒔𝟐 mide la dispersión de los datos en una
muestra.
𝜎𝑥
2
mide la dispersión de las medias de distintas
muestras respecto a la población
𝒔𝟐 =
𝒋=𝟏
𝒏
𝒙𝒊 − 𝒙 𝟐
𝒏
𝜎𝑥
2
=
𝝈𝟐
𝒏
15. Definición
Definición: La cuasivarianza muestral está definida como:
𝒔𝝑
𝟐
=
𝒋=𝟏
𝒏
𝒙𝒊 − 𝒙 𝟐
𝒏 − 𝟏
Definición: Dada una muestra aleatoria de tamaño 𝑛 de una población con
parámetro 𝑝 (proporción de elementos de la población que tienen una
determinada característica), la proporción muestral representada por 𝑝, se
define como el número de elementos de la muestra que tienen esa
característica, dividido por el tamaño de la muestra 𝑛, es decir:
𝑝 =
𝑥
𝑛
17. Desigualdad de Chebychev
La desigualdad de Chebychev es un teorema
que proporciona un intervalo de confianza
de la probabilidad de que una variable
aleatoria con varianza finita se sitúe a una
cierta distancia de su esperanza matemática
o de su media.
Teorema: Si 𝑥 es una variable aleatoria con media y varianzas finitas. Para
cualquier ℎ se tiene
𝑃 𝑥 − 𝐸 𝑥 ≤ ℎ ≥ 1 −
𝜎2
ℎ2
18. Ley de los grandes números
Teorema: Consideremos la variable aleatoria 𝑥 con función de densidad
𝑓 𝑥 = 𝑝𝑥
𝑞1−𝑥
para 𝑥 = 0,1. 𝑝 representa la probabilidad de obtener un
éxito en un intento de un experimento con 2 posibles resultados. Si
repetimos 𝑛 veces el experimento, 𝑥𝑖 = 1 representa que hemos obtenido
un éxito en el ejemplo 𝑖.
Luego la frecuencia relativa de éxitos en 𝑛 veces será
𝑆𝑛
𝑛
donde 𝑆𝑛 = 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛
La ley de los grandes números establece que para 𝜀 > 0
lim
𝑛→∞
𝑃
𝑆𝑛
𝑛
− 𝑝 ≤ 𝜀 = 1
En una gran cantidad de intentos, la probabilidad empírica de
un evento se aproximará a su probabilidad real.
19. Ley de los grandes números
Vamos
a
lanzar
moned
20. El teorema del límite central
Cuando 𝑛 crece la variable tiende a distribuirse como una
normal
Teorema: Sean 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, ⋯ , 𝒙𝒏 𝑛 variables aleatorias independientes e
idénticamente distribuidas con media 𝜇 y varianza 𝜎2
. La suma 𝑆𝑛 de esas
variables es una variable aleatoria con media 𝑛𝜇 y varianza 𝑛𝜎2. Esa suma
tiende a distribuirse normalmente. En consecuencia, la variable 𝑦 tipificada,
𝑦 =
𝑆𝑛 − 𝑛𝜇
𝑛𝜎2
~𝑁 0,1
21. Los estadísticos y sus distribuciones
Los estadísticos son
variables alaeatorias
Tienen una
distribución
Hallar la distribución
Inferencia sobre la
población
Entonces
Se necesita
Para
Muestra Población
22. Distribución de la media muestral
Si la Población tiene una
distribución normal
Sean 𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛 una muestra
aleatoria de tamaño 𝑛 de una población
con distribución 𝑁 𝜇, 𝜎2
.
Ya probamos que:
𝐸 𝑥 = 𝜇 y 𝑣𝑎𝑟 𝑥 =
𝜎2
𝑛
Se tiene que 𝑥 por definición es una
función lineal de normales
independientes.
Por teorema 5.12 López Casuso (la
suma de normales es una normal)
𝒙~𝑵 𝝁,
𝝈𝟐
𝒏
Si la Población no tiene una
distribución normal (o
desconocida)
Por el teorema central del límite,
cuando 𝑛 es lo suficientemente grande
se tiene que:
𝒙~𝑵 𝝁,
𝝈𝟐
𝒏
23. Distribución de la varianza muestral
• La varianza no es una función lineal, sino cuadrática
• No puedo obtener las mimas conclusiones que para la media.
• Vamos a hacer algunas manipulaciones algebraicas
𝑣𝑎𝑟 𝑥 = 𝑠2 =
1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 − 𝑥 2
𝑛𝑠2 =
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 − 𝑥 2
1
𝜎2 𝑛𝑠2
=
1
𝜎2
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 − 𝑥 2
=
𝑖=1
𝑛
𝒙𝒊 − 𝒙
𝝈
2
24. Distribución de la varianza muestral
𝑛𝑠2
𝜎2
=
𝑖=1
𝑛
𝒙𝒊 − 𝒙
𝝈
2
•
𝒙𝒊−𝒙
𝝈
son variables aleatorias estandarizadas
• Estas variables tienen una distribución normal
• Son independientes debido al muestreo aleatorio
simple
•
𝑛𝑠2
𝜎2 es al suma de variables aleatorias normales
independientes.
• Por el teorema de Cochran sigue una distribución chi-
cuadrado de n-1 grados de libertad
Cochran, W. G. (Abril de 1934). «The distribution of quadratic forms in a normal system, with applications to the analysis of covariance».
Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 30 (2): 178-191