Factores que intervienen en la Administración por Valores.pdf
Estadistica
1. Una variable aleatoria es una función
que asocia un número real con cada elemento
del espacio muestral.
Variable
Aleatoria
Se utiliza una letra mayúscula, por ejemplo
X, para denotar una variable aleatoria, y su
correspondiente minúscula, x en este caso, para
denotar a cada uno de sus valores.
Cada valor de X representa un evento que
es un subconjunto del espacio muestral para el
experimento dado.
Si un espacio muestral contiene un número
finito de posibilidades, o una serie interminable
con tantos elementos como números enteros
existen, se llama espacio muestral
discreto.
Emily Rosali
Lara Álvarez
2. • Una variable aleatoria se llama variable aleatoria
discreta si se puede contar su conjunto de resultados
posibles.
Si un espacio muestral contiene un número infinito de
posibilidades igual al número de puntos en un
segmento de línea, se llama espacio muestral continuo.
• Una variable aleatoria se llama variable aleatoria
continua si puede tomar valores en una escala
continua.
3. Hay muchos problemas en donde se desea calcular la
probabilidad de que el valor observado de una variable
aleatoria X sea menor o igual que algún número real x.
La distribución acumulada o función de distribución
F(x) de una variable aleatoria discreta X con
distribución de probabilidad f(x) es
퐹 푥푖 = 푃 푋 ≤ 푥푖 =
푡≤푥푖
푓 푡 − ∞ < 푥푖 < +∞
Como consecuencia
푓 푥푖 = 퐹 푥푖 − 퐹(푥푖−1)
푃 푎 < 푋 ≤ 푏 = 퐹 푏 − 퐹(푎)
7. Entre las distribuciones de probabilidad
discretas mas empleadas, se encuentran la
Uniforme Discreta, Poisson, Binomial, Binomial
Negativa, Geometrica, Hipergeometrica,
Multinomial, Hipergeometrica Multivariada.
8. La función f(x) es una función de densidad de
probabilidad (fdp) para la variable aleatoria continua
X, definida en el conjunto de números reales R, si
1. 푓 푥 ≥ 0 ∀푥 ∈ ℝ
∞
2. 푓 푥 푑푥 = 1
−∞
푏
푓 푥 푑푥
3. 푃 푎 < 푥 < 푏 = 푎
Cuando X es continua, se puede notar que
푃 푎 ≤ 푥 ≤ 푏 = 푃 푎 ≤ 푥 < 푏 = 푃 푎 < 푥 ≤ 푏
= 푃 푎 < 푥 < 푏
푥
퐹 푥 = 푃 푋 ≤ 푥 =
푓 푡 푑푡
−∞
9. Entre las distribuciones de probabilidad
continuas mas empleadas, se encuentran la
uniforme, exponencial, Gamma, Beta, Normal,
T-student, Chi-cuadrado, F-fisher.
10. De acuerdo con el diccionario de la Real
Academia Española, inferir significa "sacar una
consecuencia o deducir algo de otra cosa".
Al conjunto de procedimientos
estadísticos en los que interviene la aplicación
de modelos de probabilidad y mediante los
cuales se realiza alguna afirmación sobre
poblaciones con base en la información
producida por muestras se le llama Inferencia
Estadística o Estadística Inferencial.
11. Probabilidad
Población Muestra
Estadística
Inferencial
En un problema estadístico el experimentador,
dispone de las características de una muestra, y esta
información lo capacita para sacar conclusiones
respecto de la población.
12. Una variable aleatoria continua, X, sigue
una distribución normal de media μ y desviación
típica σ, y se designa por N(μ, σ), si se cumplen las
siguientes condiciones:
1. La variable puede tomar cualquier valor: (-∞,
+∞)
2. La función de densidad, es la expresión en
términos de ecuación matemática de la curva de
Gauss:
푓 푥 =
1
휎 2휋
1
2
푒−
푥−휇
휎
2
13. El campo de existencia es cualquier valor real,
es decir, (-∞, +∞).
Es simétrica respecto a la media μ.
Tiene un máximo en la media μ.
Crece hasta la media μ y decrece a partir de
ella.
En los puntos μ − σ y μ + σ presenta puntos de
inflexión.
El eje de abscisas es una asíntota de la curva.
14. La distribución de probabilidad de un estadístico se llama
distribución muestral.
Esta distribución depende del tamaño de la población, el
tamaño de las muestras y el método de elección de las
muestras.
Existen distribuciones muestrales de 푋 y S2, que son el
mecanismo a partir del cual se hace inferencias de los
parámetros μ y σ2.
La distribución muestral de 푋 con tamaño muestral n es la
distribución que resulta cuando un experimento se lleva a
cabo una y otra vez y resultan los diversos valores de 푋 .
Esta distribución muestral describe la variabilidad de los
promedios muestrales alrededor de la media de la
población μ.
Se aplica el mismo principio en el caso de la distribución
de S2.
Esta distribución produce información acerca de la
variabilidad de los valores de s2 alrededor de σ2 en
experimentos que se repiten.
15. Teorema del Límite Central. Si 푋 es la es la
media de una muestra aleatoria de tamaño n
tomada de una población con media μ y
varianza σ2, entonces la forma límite de la
distribución de
푍 =
푋 − 휇
휎 푛
Conforme n→ ∞, es la distribución normal
estándar n (z; 0,1).
16. La aproximación normal para X por lo general
será buena:
Si n≥ 30 sin importar la forma de la
población.
Si n< 30, sólo si la población no es muy
diferente a una distribución normal.
Si se sabe que la población es normal, la
distribución muestral de la media seguirá una
distribución normal exacta, no importa que tan
pequeño sea el tamaño de las muestras.
Inferencias sobre la media de la población:
Una aplicación muy importante del teorema
del límite central es la determinación de valores
razonables de la media de la población μ.
Se utiliza para la prueba de hipótesis,
estimación, control de calidad, y otros.
17. Teorema. Si se extraen al azar muestras
independientes de tamaño ny nde dos
12poblaciones, discretas o continuas, con medias μy
1μ, y varianzas 휎2y 휎2, 1
2
respectivamente, entonces
2la distribución muestral de las diferencias de las
medias, 푋 1 − 푋 2, está distribuida aproximadamente
de forma normal con media y varianza dadas por
2 =
휇푋 1−푋 2 = 휇1 − 휇2 휎푋 1−푋 2
2
푛1
휎1
+
2
푛2
휎2
De aquí se obtiene Z, es aproximadamente una
variable normal estándar
푍 =
푋 1 − 푋 2 − 휇1 − 휇2
2 푛1 + 휎 2
휎1
2 푛2
18. La aproximación normal para X1–X2por lo
general será buena:
Si n1≥ 30 y n2≥ 30 sin importar la forma de las
dos poblaciones.
Si n1< 30 y n2 < 30, sólo si las dos poblaciones
no son muy diferentes a una distribución
normal.
Si se sabe que las dos poblaciones son
normales, la distribución muestral de la
diferencia de las medias seguirá una
distribución normal exacta, no importa que tan
pequeño sea el tamaño de las muestras.
19. Si S2 es la varianza de la muestra aleatoria
de tamaño n que se toma de una población normal
que tiene la varianza σ2, entonces la estadística
푋2 =
푛 − 1 푆2
휎2 =
푛
푖=1
푋푖 − 푋 2
휎2
Tiene distribución ji cuadrado con v= n–1
grados de libertad
La tabla Chi-cuadrado da los valores de 휒훼2
para diversos valores de α y v. Las áreas α son los
encabezados de las columnas; los grados de
libertad v se dan en la columna izquierda; y las
entradas de las tabla son lo valores χ2.
20.
21. Teorema: Sean X1, X2,…, Xn variables
aleatorias independientes que son normales
con media μ y desviación estándar σ. Sea
푋 =
푛
푖=1
푋푖
푛
푆2 =
푛
푖=1
푋푖 − 푋 2
푛 − 1
Entonces la variable aleatoria
푇 =
푋 − 휇
푆 푛
Tiene una distribución t con v= n–1 grados
de libertad.
A la distribución t se le suele llamar como
distribución t de Student.
22. La distribución de T es similar a la distribución de Z,
pues ambas son simétricas alrededor de una media de
cero y ambas tienen forma de campana.
La diferencia entre las dos distribuciones es que la
distribución t es más variable que la distribución normal
estándar, ya que los valores de T dependen de las
fluctuaciones de 푋 y S2, mientras que los valores de Z
dependen sólo de 푋 de una muestra a otra.
La distribución de T difiere de la de Z en que la
varianza de T depende del tamaño de la muestra y
siempre es mayor que 1.
Cuando el tamaño de la muestra tiende a infinito, n →
∞ por lo que v= ∞, las dos distribuciones serán la misma.
23. La distribución F encuentra enorme aplicación en la
comparación de varianzas muestrales. Las aplicaciones
se encuentran en problemas que involucran dos o más
muestras.
Teorema. Si 푆2 1
y 푆2 2
son las varianzas de muestras
aleatorias independientes de tamaño ny ntomadas
1 2 de poblaciones normales con varianza 휎2 y 휎2,
1
2
respectivamente, entonces
퐹 =
2 휎1
푆1
2
2 휎2
푆2
2
Tiene una distribución F con v1 = n1–1 y v2 = n2–1
grados de libertad.
La distribución F se usa en situaciones de dos
muestras para extraer inferencias acerca de las
varianzas de población.
24. La curva de la distribución F depende no sólo de
los dos parámetros v1y v2, sino también del orden
en el que se establecen. Una vez que se dan estos
dos valores, se puede identificar la curva.
