El documento introduce los conceptos básicos de la combinatoria, incluyendo variaciones, permutaciones y combinaciones, tanto con y sin repetición. Explica cómo calcular estas cantidades usando factoriales y describe propiedades de los números combinatorios como el binomio de Newton.

1. Tema 4: COMBINATORIA

2. Índice. 1. Introducción a la combinatoria. 2. Variaciones 2.1 Sin repetición 2.2 Con repetición 3. Permutaciones 3.1 Sin repetición 3.2 Con repetición 4. Combinaciones 4.1 Sin repetición 4.2 Con repetición 5. Números Combinatorios. Propiedades. 6. Potencia de un binomio: Binomio de Newton 7. Planteamiento de un problema de combinatoria

3. La combinatoria es una rama de la matemática perteneciente al área de matemáticas discretas que estudia la enumeración, construcción y existencia de propiedades de configuraciones que satisfacen ciertas condiciones establecidas. 1. Introducción a la combinatoria.

4. Conceptos de combinatoria En todo problema combinatorio hay varios conceptos claves que debemos distinguir: 1. Población Es el conjunto de elementos que estamos estudiando. Denominaremos con m al número de elementos de este conjunto. 2. Muestra Es un subconjunto de la población. Denominaremos con n al número de elementos que componen la muestra. 3. Orden Es decir, si es importante que los elementos de la muestra aparezcan ordenados o no. 4. Repetición La posibilidad de repetición o no de los elementos. 5. Factorial de un número natural Es el producto de los “n” factores consecutivos desde “n” hasta 1. El factorial de un número se denota por n!.

5. Se llama variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) a los distintos grupos formados por n elementos de forma que: -No entran todos los elementos. -Sí importa el orden. -No se repiten los elementos. También podemos calcular las variaciones mediante factoriales: Las variaciones se denotan por 2.Variaciones 2.1 Sin repetición

6. Se llaman variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n a los distintos grupos formados por n elementos de manera que: No entran todos los elementos si m > n. Sí pueden entrar todos los elementos si m ≤ n Sí importa el orden. Sí se repiten los elementos. 2.2 Con repetición.

7. Se llama permutaciones de m elementos (m = n) a las diferentes agrupaciones de esos m elementos de forma que: *Sí entran todos los elementos. *Sí importa el orden. *No se repiten los elementos. 3. Permutaciones 3.1 Sin repetición

8. Permutaciones con repetición de n elementos donde el primer elemento se repite a veces , el segundo b veces , el tercero c veces, ... n = a + b + c + ... Son los distintos grupos que pueden formarse con esos n elementos de forma que : *Sí entran todos los elementos. *Sí importa el orden. *Sí se repiten los elementos. 3.2 Con repetición

9. Se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que: No entran todos los elementos. No importa el orden. No se repiten los elementos. También podemos calcular las combinaciones mediante factoriales: Las combinaciones se denotan por 4.2 Con repetición

10. Las combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n (m ≥ n), son los distintos grupos formados por n elementos de manera que: *No entran todos los elementos. *No importa el orden. *Sí se repiten los elementos. 4. Combinaciones 4.1 Sin repetición

11. El número se llama también número combinatorio. Se representa por y se lee "m sobre n". Los números combinatorios presentan algunas propiedades muy interesantes que justifican el amplio uso que se hace de ellos en algunas ramas científicas: + Primera propiedad de los números combinatorios: +Segunda propiedad de los números combinatorios. Otras propiedades generales de los números combinatorios son las siguientes: * Cualquier número sobre 0 es igual a 1. * Todo número sobre sí mismo es igual a 1. * Un número sobre 1 es siempre igual al número. 5. Números Combinatorios. Propiedades .

12. Se trata de buscar una regla general para elevar un binomio a cualquier exponente. Tenemos, por tanto: Para ver si todos estos desarrollos siguen alguna regla general, vamos a poner sus coeficientes como números combinatorios. Como vemos, van siguiendo la siguiente regla general, es lo que se conoce como Binomio de Newton: 6. Potencia de un binomio: Binomio de Newton

13. Podemos observar que: -El número de términos es n+1. -Los coeficientes son números combinatorios que corresponden a la fila enésima del triángulo de Tartaglia. En el desarrollo del binomio los exponentes de a van disminuyendo, de uno en uno, de n a cero; y los exponentes de b van aumentando, de uno en uno, de cero a n, de tal manera que la suma de los exponentes de a y de b en cada término es igual a n. En el caso que uno de los términos del binomio sea negativo, se alternan los signos positivos y negativos.

14. 7. Planteamiento de un problema de combinatoria ¿Importa el orden? Sí No ¿Intervienen todos los elementos? ¿Se puede repetir? ¿Se repiten los elementos? ¿Se repiten? Permutaciones con repetición Permutaciones sin repetición Variaciones con repetición Variaciones sin repetición Combinaciones con repetición Combinaciones sin repetición Sí No Sí Sí Sí No No No