Este documento presenta una introducción a las matrices. Define una matriz como un arreglo rectangular de números organizados en filas y columnas. Cada número en la matriz se denomina elemento. Las matrices aumentadas representan sistemas de ecuaciones lineales, donde las filas corresponden a las ecuaciones. Existen operaciones fila que permiten transformar una matriz aumentada a otra equivalente.

1. Matrices Profa. Joane De JesúsMate 4031: Algebra Lineal

3. Estaorganizado en filas y columnas.

4. Ejemplo: M=𝑎11𝑎12𝑎13𝑎21𝑎22𝑎23𝑎𝑖𝑗⋮⋮

5. i es la fila

6. jes la columna

8. Asociado con cadasistema lineal de la forma𝑎1𝑥1+𝑏1𝑥2=𝑘1𝑎2𝑥1+𝑏2𝑥2=𝑘2 donde𝑥1 y 𝑥2 son variables, esunamatrizdenominadamatrizaumentadadel sistema: 𝑎1𝑏1𝑘1𝑎2𝑏2𝑘2

10. Se incluye la barra vertical sóloparaseparar los coeficientes de las variables de los términosconstantes.

11. Dos sistemaslineales son equivalentessitienenexactamente el mismoconjunto de soluciones.

13. Se intercambian dos ecuaciones

14. Se multiplica una ecuación por una constante diferente de cero.

16. Se intercambian dos filas 𝑅𝑖← ↑𝑅𝑗

17. Se multiplica una fila por una constante diferente de cero 𝑘𝑅𝑖->𝑅𝑖

18. Se suma un múltiplo constante de una fila a otra fila dada 𝑅𝑖+𝑘𝑅𝑖->𝑅𝑖

19. Nota la flecha -> significa “reemplaza”

20. Solución de sistemas lineales empleando los métodos de matrices aumentadas

22. El objetivo es utilizar las operaciones fila para tratar de transformar la matriz en la forma: 1001 𝑚𝑛 donde m y n son números reales.

24. Para dejar un 1 en la esquina superior izquierda se intercambian las filas 1 y 23411−27 ~ 1−27341 𝑅1↔𝑅2

26. 1−27341 ~ 1−27010−20𝑅2+−3𝑅1->𝑅2 34 1−36−21 010−20

28. 1−27010−20 ~ 1−2701−2𝑅2->𝑅2 110010−20 0 1 −2

30. 1−2701−2~10301−2

31. 𝑅1+2𝑅2->𝑅11−2 70 2−41 0 3

34. Tipos de soluciones Donde m, n, p son números reales; p no puede ser igual a cero.

35. Práctica Escribe una matriz aumentada para cada sistema de ecuaciones lineales, resuelve y clasifica cada uno de ellos. 5𝑥1−2𝑥2=122𝑥1+3𝑥2=1 2𝑥1−𝑥2=4−6𝑥1+3𝑥2=−12 2𝑥1+6𝑥2=−3𝑥1+3𝑥2=2

36. Matrices reducidas

38. Cada fila que consiste solo de ceros está debajo de cualquier otra que tiene al menos un elemento distinto de cero.

39. El primer elemento no cero en cada fila es 1.

40. La columna que contiene el primer elemento 1 de una fila dada, tiene todos sus otros elementos iguales a cero.

43. Solución de sistemas por eliminación de Gauss-Jordan

46. 2−2131−11−32 370 ~ 1−3231−12−21 073 𝑅1↔𝑅3𝑅2+−3𝑅1->𝑅2 31−1−39−6010−7 707

47. ~ 1−32010−72−21 073 ~ 1−32010−704−3 073 𝑅3+(−2)𝑅1->𝑅3110𝑅2->𝑅2 2−21−26−404−3 303110010 −77 01 −710710

48. ~ 1−3201−71004−3 07103 ~ 1−3201−71000−15 071015 𝑅3+(−4)𝑅2->𝑅3(−5)𝑅3->𝑅3 04−30−414500−15 3−1451500 1−1

49. ~ 1−3201−710001 0710−1 𝑥3=−1 𝑥2+−710𝑥3=710𝑥1+−3𝑥2+2𝑥3=0 𝑥2+−710(−1)=710𝑥1+−3(0)+2(−1)=0 𝑥2+710=710𝑥1+(0)+(−2)=0 𝑥2=710−710𝑥1+(−2)=0 𝑥2=0𝑥1=2

50. Práctica Usa las operaciones fila para cambiar casa matriz a la forma reducida. 2−42−440−80 2−23−43−1−22

51. Resuelva con el método de eliminación de Gauss-Jordan. 𝑥2−𝑥3=−52𝑥1+3𝑥2−𝑥3=74𝑥1+5𝑥2−2𝑥3=10 𝑥1+2𝑥2−2𝑥3=12𝑥1+2𝑥2−2𝑥3+𝑥4=9−𝑥1−𝑥2+𝑥3+𝑥4=0 𝑥2−3𝑥3=−52𝑥1+3𝑥2−𝑥3=74𝑥1+5𝑥2−2𝑥3=10

52. Referencia: Algebra y trigonometría. 1988. McGraw Hill, tercera edición.