MATERIAL PARA MATEMATICAS DE 2DO Y 3RO A,B,C BGU PROYECTO EBJA TODOS ABC

2. 2
UNIDAD EDUCATIVA MARIANO BENITEZ
ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS PARA LA EDUCACIÓN DE JÓVENES Y ADULTOS
DOCENTE: DANIEL ZURITA
CURSO: SEGUNDO y TERCERO DE BACHILLERATO MATEMATICAS
Semana
1 (del 23
al 27 de
marzo)
Asignaturas Actividades Tarea
Lunes Matemáticas
SEGUNDO
TERCER0
Tema: TIPO DE MATRICES
explicar qué es una matriz, así como todos
los conceptos relacionados con las matrices, lo que te
ayudará a entender mejor todas las explicaciones sobre
cálculo con matrices.
Además, veremos también los tipos de matrices que
existen.
TEMA: FACTORIAL DE UN NUMERO
Calcular la factorial de un número natural y el coeficiente
Tarea:
IDENTIFICA LOS
TIPOS DE
MATRICES
DENTRO
ALGEBRA
LINEAL.
DD
RESUELVE
EJERCICIOS
PLANTEADOS
POR EL
PROFESOR

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Martes Matemáticas
TERCERO Tema: métodos de conteo
 Aplicar los métodos de conteo: permutaciones,
combinaciones para determinar la probabilidad de eventos
simples y a partir de ellos la probabilidad de eventos
compuestos en la resolución de problemas prácticos como
el usado por los guías de plataforma


Tarea:
resolución de
problemas
cotidianos y
cálculo de
probabilidades,
realiza gráficos
con apoyo de
las TIC
MATEMATICAS
SEGUNDO Y
TERCERO
TEMA: MULTIPLICACION DE MATRICES
Dos matrices A y B son multiplicables si el número de
columnas de A coincide con el número de filas de B.
Mm x n x Mn x p = M m x p
El elemento cij de la matriz producto se
obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la
matriz A por cada elemento de la columna j de la
matriz B y sumándolos.
RESUELVE
EJERCICIOS
PLANTEADOS
POR EL
PROFESOR

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Miércoles Matemática
TERCEROS
Tema: propiedades de los exponentes
Aplicar las propiedades de los exponentes y los logaritmos
para resolver ecuaciones e inecuaciones con funciones
exponenciales y logarítmicas con ayuda de las TIC necesarias
para la determinación del crecimiento de una población
Tarea: realiza
los ejercicios
propuestos por
el profesor
TERCEROS  Tema: SUMA DE MATRICES
Proceso de combinar dos o más matrices en una
matriz equivalente, representado por el símbolo +.
La suma de matrices sólo se puede efectuar entre
matrices con la misma dimensión, es decir, las que
tienen el mismo número de filas y el mismo
número de columnas. La matriz resultante tiene las
mismas dimensiones, cada uno de cuyos elementos
es la suma aritmética de los elementos en las
posiciones correspondientes en las matrices
originales.
Tarea: realiza
los ejercicios
propuestos por
el profesor

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Jueves Matemáticas Tema: PROPIEDADES DE LA SUMA Y MULTIPLICACION DE
MATRICES-
1. Determinar a cada una de las propiedades y métodos para
desarrollar suma y multiplicación de matrices con sus
diferencias y aplicaciones
Tarea:
identificar y
determinar
cada tipo de
propiedad en
cada caso de
una matriz
VIERNES MATEMATICAS
y SEGUNDO
TALLER SOBRE LOS TEMAS RELACIONADOS DURANTE
TODA LA SEMANA
TIPOS DE MATRICES
Matriz rectangula
La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su
dimensión m x n., siendo m el numero de columnas y n el numero de filas.
Matriz traspuesta
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene
cambiando ordenadamente las filas por las columnas.
La matriz transpuesta cumple las siguientes propiedades:
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α ·A)t = α· At

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(A · B)t = Bt · At
Matriz nula
En una matriz nula todos los elementos son ceros.
Matriz cuadrada
La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas,
siendo su dimensión n x n
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1, siendo n el
orden de la matriz.
Tipos de matrices cuadradas
1.1.1 Matriz triangular superior
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la
diagonal principal son ceros.
1.1.2 Matriz triangular inferior
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la
diagonal principal son ceros.

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1.1.3 Matriz diagonal
En una matriz diagonal todos los elementos que no están situados en la
diagonal principal son nulos.
1.1.4 Matriz escalar
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la
diagonal principal son iguales.
1.1.5 Matriz identidad o unidad
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de
la diagonal principal son iguales a 1.
1.1.6 Matriz regular
Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.
1.1.7 Matriz singular
Una matriz singular no tiene matriz inversa.
1.1.8 Matriz idempotente
Una matriz, A, es idempotente si:
A² = A.

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Es decir, las potencias de una matriz idempotente, siempre darán como resultado
la misma matriz
1.1.9 Matriz involutiva
Una matriz, A, es involutiva si:
A² = I.
1.1.10 Matriz simétrica
Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = At
1.1.11 Matriz antisimétrica o hemisimétrica
Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica
A = −At.
1.1.12 Matriz ortogonal
Una matriz es ortogonal si verifica que:
A · At = I.
Suma de Matrices
La suma de matrices es una operación lineal que consiste en unificar los
elementos de dos o más matrices que coincidan en posición dentro de sus
respectivas matrices y que estas tengan el mismo orden.
En otras palabras, el sumatorio de una o más matrices es la unión de los
elementos que tengan la misma posición dentro de las matrices y que estas
tengan el mismo orden.
Fórmula para sumar matrices

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Suma de múltiples matrices del mismo orden.
Procedimiento
Para sumar matrices debemos:
1. Comprobar el orden de las matrices, tal que:
o Si el orden de las matrices es el mismo, entonces se pueden sumar las matrices.
o Si el orden de las matrices es distinto, entonces no podemos sumar las matrices.
2. Sumar los elementos que tienen la misma posición dentro de sus respectivas matrices.
El sumatorio de matrices comparte las mismas características que cuando
sumamos números y variables en álgebra, con la diferencia de que aquí tenemos
“coordenadas”. Es decir, tendremos en cuenta la posición del elemento dentro de
cada matriz. La posición de cada elemento se denota con subíndices, tal que:
Suma de elementos con la misma posición en sus
respectivas matrices.
Propiedades de la suma de matrices
Dadas tres matrices cualquiera X, Z, Y tal que:
Matrices de orden nxm.
 Propiedad asociativa:
Z + (X + Y) = (Z + X) + Y
Es equivalente primero sumar dos matrices y luego otra matriz al resultado
anterior.
 Propiedad conmutativa:

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Z + X + Y = X + Y + Z
El orden del sumatorio no es relevante.
 Elemento neutro:
Dada una matriz cero O del mismo orden que Z, X, Y, tal que:
Matriz cero o nula.
Entonces,
X + O = O + X = X
El efecto neutro se produce cuando sumamos la matriz objetivo con una matriz
cero. El resultado es la misma matriz.
 Propiedad distributiva:
( X + Z )h= Xh+ Zh
A diferencia de las matrices, las potencias que no cumplen la propiedad
distributiva en la suma.
Ejemplo general
Sumatorio de dos matrices cuadradas de orden 2:
Suma
de matrices cuadradas de orden 2.
Sumatorio de dos matrices cuadradas de orden 3:

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Suma de matrices cuadradas de orden 3.
¿Qué es la función Factorial?
La función factorial es una fórmula matemática representada por
el signo de exclamación “!”. En la fórmula Factorial se deben
multiplicar todos los números enteros y positivos que hay entre el
número que aparece en la fórmula y el número 1.
Es muy fácil, aquí tienes un ejemplo:
7! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 = 5.040
En esta fórmula el número 7 se llamaría 7 factorial o factorial de 7
y multiplicaremos todos los números que aparecen en la fórmula
hasta llegar al 1.
Si a estas alturas estás a punto de tirar la toalla te confesaré que
en tu calculadora aparece un botón que calculará la el factorial del
número que quieras automáticamente. Debes buscar una tecla
parecida a “x!” o “n!”.
Ejemplos de fórmulas factoriales

12. 12
1! = 1 * 1 = 1
3! = 1 * 2 * 3 = 6
10! = 1 * 2 * 3 … 8 * 9 * 10 = 3.628.800
Qué pasa con el 0 factorial, ¿cómo calcularlo? Si volvemos a la
definición de función factorial podemos ver que no tiene sentido
aplicarla en el caso del “0”. No existen números positivos
anteriores al 0 por lo que 0 x 0 = 0.
No obstante, se ha acordado que en el caso de 0 factorial el
resultado será igual a 1:
0! = 0 x 0 = 1
Definición de permutaciones
Permutar es colocar elementos en distintas posiciones.
También, se llama permutaciones de elementos en posiciones a las
distintas formas en que pueden ordernarse los elementos ocupando
únicamente las posiciones. Siempre y cuando .
Hay que tener en cuenta lo siguiente:
 Sí importa el orden, ya que el intercambio entre dos elementos
distintos genera una nueva permutación
 No se repiten los elementos, ya que de repetirse o ser iguales entre
si, al intercambiarlos no se genera una nueva permutación
Para obtener el total de maneras en que se pueden colocar m elementos
en n posiciones se utiliza la siguiente fórmula:

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Si en dado caso, para calcular el total de permutaciones se utiliza
la siguiente fórmula:
A continuación, analiza los siguientes ejemplos utilizando lo
anteriormente mencionado.
Ejemplos de problemas de permutaciones
1Calcular las permutaciones de elementos en posiciones.
Solución:
2¿Cuántos números de cifras diferentes se pueden formar con los
dígitos: ?
Solución:

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y
 Sí entran todos los elementos, ya que tenemos la misma cantidad
de elementos que de posiciones
 Sí importa el orden
 No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras
sean diferentes
3¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una
fila de ocho butacas?
Solución:
 Sí entran todos los elementos. Tienen que sentarse las personas
 Sí importa el orden
 No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir
4¿Cuántas formas diferentes hay de colocar a las letras en tres
posiciones?
Solución:
Aquí las formas a las que se refiere el calculo:
5Si tenemos a elementos y queremos colocarlos en posiciones, ¿de
cuántas maneras se puede realizar?
Solución:

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Tres elementos , en dos posiciones:
DIOS LOS BENDIGA A CADA UNO DE USTEDES………