El documento describe los sistemas axiomáticos utilizados en geometría, comenzando con el sistema de Euclides. Explica que un sistema axiomático consiste en un conjunto de axiomas o proposiciones aceptadas sin demostración, de las cuales se deducen teoremas. También define conceptos como teoremas, corolarios, lemas y escolios. Finalmente, analiza las propiedades de consistencia y completitud que deben cumplir los sistemas axiomáticos.

1. EUCLIDES-SISTEMA AXIOMATICO
Profesor:
Mg. CONTRERAS ORE Fabio

3. SISTEMA AXIOMATICO
Proposición
Es un enunciado o juicio el cual solo puede originar uno y solo uno de los
términos verdadero o falso. Las proposiciones más comunes que se
utilizan son: axiomas, postulados, teoremas y corolarios.
Axiomas
Es una verdad que no requiere demostración y se la cumple en todas las
ciencias del conocimiento. Baldor, define Axiomas como una proposición
tan sencilla y evidente que se admite sin demostraciones.

4. Postulados
Es una proposición aceptada como verdadera. A diferencia de los
axiomas, estos se los emplea generalmente en geometría, los mismos
que no se han constituido al azar, sino que han sido escogidos
cuidadosamente para desarrollar la geometría. Según Baldor Un
postulado es una proposición no tan evidente como un axioma pero que
también se admite sin demostración.
Teorema
Es la proposición cuya verdad necesita ser demostrada: una vez que el
teorema se ha probado se lo puede utilizar para la demostración de otros
teoremas, junto con axiomas y postulados. Es una proposición que puede
ser demostrada. La demostración consta de conjunto de razonamientos
que conducen a la evidencia de la verdad de la proposición, Un teorema
consta de: hipótesis(condiciones o datos del problema) y
tesis ( propiedad a demostrarse)

5. Corolario
Es la consecuencia de un teorema demostrado. Es una proposición que
se deduce de un teorema como consecuencia del mismo.
Lema
Baldor dice que una proposición que sirve de base a la demostración de
un teorema, es decir, que es como un teorema preliminar a otro que se
considera más importante
Escolio
Es una observación que se hace sobre un teorema previamente
demostrado

6. AXIOMA
Un axioma es lo mas escencial en las matemáticas, conocer un sistema
axiomático ya que toda la matemática moderna y la gran mayoría sino es
que toda la antigua ha sido formulada para poder trabajar en base a un
sistema axiomático pero veamos primero que es un axioma
En lógica y matemática, un axioma o postulado es una fórmula bien
formada de un lenguaje formal que se acepta sin demostración, como
punto de partida para demostrar otras fórmulas. Tradicionalmente, los
axiomas se eligen de entre las demás fórmulas por ser "verdades
evidentes" y porque permiten deducir a las demás fórmulas deseadas.

8. RESEÑA SISTEMA AXIOMATICO
La antigüedad de la Geometría se remonta a los babilonios y
egipcios, pueblo que entre los años 2000 y 200 A.C. hicieron uso práctico de
la misma como una respuesta a problemas cotidianos. Cuando surge la
necesidad de efectuar medidas de objetos o extensiones de tierra, el hombre
comienza a crear abstracciones como el punto, la recta y el plano. Se
establece así un puente entre las formas que a diario el hombre observa y
las representaciones simbólicas que utiliza para referirse a ellas. Los
conocimientos desarrollados por los babilonios y egipcios fueron transmitidos
a la civilización griega, en cuyo seno no son sólo asimiladas, sino que son
objeto de profunda reflexiones que produjeron avances significativos de la
Geometría. Los griegos desarrollaron la Geometría como una ciencia lógica
y fueron responsables de la demostración de muchos teoremas. A pesar de
que los griegos desarrollaron otras áreas de la matemática, la geometría fue
perfeccionada a tal grado que la influencia de los antiguos matemáticos
griegos se ha mantenido durante 20 siglos. Es la época de los grandes
filósofos griegos entre quienes se destacan Thales de
Mileto, Pitágoras, Anaxágoras, Demócrito, Hipócrates, Platón

9. La principal característica de un sistema axiomático es que si puede
demostrarse de alguna manera la verdad de los axiomas, quedan
automáticamente garantizadas tanto la verdad como la consistencia
mutua de todos los teoremas. Lo característico del sistema axiomático
como realización de la idea de cálculo consiste en disponer de un
conjunto de enunciados o fórmulas que se admiten sin demostración y
a partir de los cuales se obtienen todas las demás afirmaciones de la
teoría, las cuales se llaman teoremas. Y las fórmulas aceptadas sin
discusión son axiomas o postulados. El conjunto de axiomas, más la
definición de enunciado o fórmula del sistema (definición que precede
al enunciado de los axiomas) y el conjunto de las reglas para la
obtención de teoremas a partir de los axiomas (reglas de
transformación) constituyen la base primitiva del sistema.

10. Aristóteles llama axiomas a las proposiciones
indemostrables, evidentes en sí mismas (inmediatamente verdaderas)
que sirven de principios a los teoremas (verdades deducidas o
mediatas) de una teoría científica. Hoy se entiende por axioma, más
simplemente, una fórmula del sistema convencionalmente elegida
como postulado, que viene del latín postulare, pedir, porque le
"pedimos" al interlocutor que acepte provisionalmente su verdad. Se
puede decir entonces que los axiomas no “definen” unos entes
concretos, unos conceptos “primitivos” concretos, sino toda una serie
de entes o de conceptos “primitivos”. Los axiomas no versan sobre
nada concreto, sobre nada definido explícitamente, sino sobre una
“vaguedad” de conceptos “primitivos” restringidos exclusivamente por
las propiedades que los axiomas enuncien. Esta abstracción
progresiva de las matemáticas y de los sistemas axiomáticos hizo
exclamar a Bertrand Russell: “La matemática es la ciencia en la que no
se sabe de qué se habla ni siquiera si lo que se dice es verdadero”.

11. TIPOS DE SISTEMAS
AXIOMATICOS
SINTÁCTICOS
Llamados también cálculos o sistemas no interpretados, que se caracterizan
por el hecho de que sus expresiones carecen de significado, están
compuestos por fórmulas entendidas como meras sucesiones de signos. Los
axiomas y teoremas son consecuentemente fórmulas vacías, puesto que
contienen signos que no tienen referencia

12. SEMÁNTICOS
También conocidos como Interpretados los
cuales están formados por enunciados, es
decir, oraciones que poseen significados y
valores de verdad

13. PROPIEDAD DE LOS
SISTEMAS AXIOMATICOS
CONSISTENCIA
Se pretende la exigencia de coherencia, es decir, que en un sistema
axiomático no puede inferirse dos teoremas contradictorios a partir de los
axiomas. Partiendo de los axiomas no debe ser posible deducir o demostrar
un teorema y su negación. Es decir, el sistema no debe suponer
contradicciones.
Ejemplo: Si se deduce el teorema T en el sistema axiomático S, no puede
inferirse también el teorema no-T en el mismo sistema.

14. COMPLETITUD
Significa que no es posible añadir al sistema una fórmula bien formada que no
sea teorema sin que el sistema se vuelva inconsistente. Se llama completo a un
sistema
Consistencia y completud, con el método de las tablas de vedad no es difícil
comprobar todos los axiomas son tautológicos, y que si A B son
tautológicos, entonces B también lo es, de donde se sigue que todas las
proposiciones demostrables en HA son tautológicas

15. La geometría se propone ir más allá de
lo alcanzado por la intuición. Por
ello, es necesario un método
riguroso, sin errores; para conseguirlo
se han utilizado históricamente los
sistemas axiomáticos. El primer
sistema axiomático lo establece
Euclides, aunque era incompleto.
David Hilbert propuso a principios del
siglo XX otro sistema axiomático, éste
ya completo. Como en todo sistema
formal, las definiciones, no sólo
pretenden describir las propiedades de
los objetos, o sus relaciones. Cuando
se axiomatiza algo, los objetos se
convierten en entes abstractos ideales
y sus relaciones se denominan
modelos.