Este documento describe los conceptos de axioma, definición y demostración en geometría. Explica que los axiomas son proposiciones aceptadas sin demostración, mientras que las definiciones establecen el significado de los términos y las demostraciones muestran la verdad de los teoremas a partir de los axiomas y definiciones. También analiza los sistemas axiomáticos de Euclides y las limitaciones de su enfoque, abriendo el camino a nuevas geometrías no euclidianas.

1. Axiomática.

2. Un axioma es una premisa que se considera «evidente» y es aceptada sin requerir una demostración previa. En un sistema hipotético-deductivo, es toda proposición que no se deduce de otras, sino que constituye una regla general de pensamiento lógico.

3. El primer sistema axiomático lo establece Euclides, aunque era incompleto.Ejemplos: Dos líneas rectas no pueden encerrar un espacioLa línea recta es la distancia más corta entre dos puntos

4. La geometría clásica, bajo la forma que le dio Euclides en sus Elementos, paso por mucho tiempo por un modelo insuperable. Cada teorema se encuentra unido por una relación necesaria a las proposiciones, de las cuales se deduce como una consecuencia, de suerte que, paso a paso, se constituye una red apretada en donde, directa o indirectamente, todas las preposiciones se comunican entre si.

5. Siglo XIX la deducción geométrica clásica se revelaba defectuosa en muchos puntos.Un sistema axiomático, hoy, es una teoría deductiva. Es decir, una hipótesis con lógica perfecta y expresamente determinadas.

6. Postulados de EuclidesPor dos puntos diferentes sólo se puede trazar una línea recta.Todo segmento rectilíneo se puede prolongar indefinidamente.Con un centro y un radio dado sólo se puede trazar una circunferencia.Todos los ángulos rectos son iguales.Si una recta corta a otras dos formando a un lado ángulos internos, y la suma de estos es menor que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán de ese lado.

7. Postulados de Euclides atormentaron a los lectores, principalmente en el curso de una demostración invoca una proposición a la que llama suerte de llamado a la evidencia intuitiva. Ejemplo de ello en su proposición 29 donde decía que a un punto fuera de la recta solo pasaba una paralela a esta misma donde tenia un aspecto de teorema empírico cuya verdad necesitaba una demostración que quedaba por descubrir. El fracaso de las demostraciones directas llevo a surgir la constitución de las primeras geometrías no-euclidianas.

8. Las figuras

9. Según Euclides, las figuras mismas declaraban todo, si se borra la figura la demostración se viene abajo. Los antiguos no encontraban ningún defecto lógico. En la primera proposición donde se narraba la construcción de un triangulo equilátero sobre un segmento AB donde explicaba que se cortaban dos círculos al describir la construcción pero, cómo sabe uno que los círculos se cortan? La existencia del punto M ha sido mostrada, no demostrada.

10. Los axiomas

11. Llamadas también “nociones comunes”. Este envuelve una evidencia intelectual. El postulado es una proposición sintética donde la contradictoria permanece concebible. El sentimiento de la evidencia es engañoso y su dominio varia según el temperamento intelectual de cada uno.

12. La teorica clásica carece aun de claridad. Ejemplo de ello que degrada un axioma de Euclides es que el todo es mayor que la parte, esto se limita a conjuntos finitos y por consecuente con a un cierto campo. Pone a los axiomas en una situación intermedia entre las proposiciones lógicas y las proposiciones geométricas, hay que analizarlas para contar con proposiciones de lógica aplicada. Al surgir una rebeldía ante un axioma toma un carácter de postulado.

13. Las definiciones iniciales de Euclides no tienen de definiciones mas que la apariencia, son propiamente designaciones y no enuncian las propiedades fundamentales a fin de obtener de ahí todas las otras.Euclides: La línea recta: La que descansa igualmente sobre sus puntos.Herón: La línea recta: El camino mas corto entre dos puntosDefiniciones

14. Rusell: Sirven para deletrear, es decir, entran como elementos para componer las definiciones.LA definición debe reunir un numero mayor de propiedades heterogeneas, que ese conjunto sean integrables, si uno no asegura su compatibilidad se denuncia como “error de definición compleja”.

15. Las exposiciones clásicas de geometría a menudo carecen de claridad, parecen proponerse de forma simultanea dos cosas diferentes.El papel de la definición será hacer concebir exactamente el sentido de los términos que componen las proposiciones y la demostración hacer admitir la verdad de estas.Demostración y Definición.

16. Una definición o una demostración no es mas buena o mala, es solamente mejor o menos buena que otra. Es decir, la mejor es la que el alumno comprende. Para el niño, la verdadera definición de la elipse no es la que aprende de memoria, sino algo como: Un circulo alargado. La buena demostración no es la que escribe en su cuaderno, es la figura que lo acompaña.

17. Dugald Stewart: Nuestros razonamientos… no tienen por fin constatar verdades acerca de existencias reales, sino determinar la filiación lógica de las consecuencias que se derivan de una hipótesis dada. Si, partiendo de ella, razonamos con exactitud es manifiesto que nada podría faltar a la evidencia del resultado.La demostración vacila entre una función psicológica y una función lógica ( organizar las proposiciones en sistema) y la definición se instala en el plano del pensamiento y en el discurso, establece una equivalencia lógica entre un termino nuevo y un conjunto de términos anteriormente introducidos, el medio viene a ser un nuevo fin.

18. El beneficio del método axiomático es disipar confusiones entre la matemáticas pura de ciencia formal y la matemática aplicada, según lo que uno se interese en ellas por la coherencia lógica o por la verdad empírica.