Este documento trata sobre la filosofía de la matemática. Explica brevemente algunas escuelas de pensamiento como el logicismo, formalismo, axiomatismo y platonismo matemático. También menciona algunas paradojas como la paradoja de Cantor y Russell que cuestionaron los fundamentos de las matemáticas en el siglo XIX.
Reflexiones sobre la filosofia delas matematicasGerman Gamba
1) El documento discute diferentes concepciones filosóficas sobre la naturaleza de las matemáticas, incluyendo el platonismo, logicismo, formalismo, intuicionismo y constructivismo. 2) También explora cómo estas concepciones influyen en los modelos de enseñanza de las matemáticas y 3) Resalta la importancia de considerar las matemáticas como una construcción humana que surge para resolver problemas, en lugar de objetos abstractos e independientes.
Este documento trata sobre diferentes temas relacionados con la didáctica de las matemáticas, incluyendo definiciones, enfoques, teorías de aprendizaje y resolución de problemas. Se discuten las perspectivas de Steiner, Piaget y Brousseau sobre la didáctica, así como los enfoques conductista, cognitivo y constructivista del aprendizaje. También se describen los procesos de resolución de problemas según Polya y diferentes obstáculos en la enseñanza de las matemáticas.
Este documento trata sobre la epistemología y la matemática. Explica que la epistemología es la rama de la filosofía que estudia el origen, la estructura, los métodos y la validez del conocimiento. Luego, describe la epistemología de las matemáticas como la teoría del conocimiento matemático y su relación con la enseñanza de las matemáticas. Finalmente, presenta tres modelos epistemológicos - euclidiano, cuasi-empírico y constructivista - y cómo cada uno influye en
Este documento presenta la ingeniería didáctica como una metodología para mejorar la enseñanza de las matemáticas. Describe las cuatro fases de la ingeniería didáctica: análisis preliminares, concepción y análisis a priori de situaciones didácticas, experimentación, y análisis a posteriori y evaluación. También incluye un ejemplo de ingeniería didáctica para la función exponencial 2x que sigue estas cuatro fases.
En el siglo XIX se presentó una crisis en los fundamentos de las matemáticas debido al surgimiento de paradojas como las de Russell. Esto llevó a un debate sobre cómo fundamentar las matemáticas de manera lógica y consistente, dando lugar a movimientos como el logicismo de Russell, el formalismo de Hilbert y el intuicionismo.
La filosofía analítica se centra en el análisis del lenguaje. Frege creó la lógica moderna y propuso reducir la metafísica y las matemáticas a la lógica, aunque encontró la paradoja de Russell. Russell y Wittgenstein propusieron el atomismo lógico, según el cual el mundo se compone de hechos atómicos unidos por conectores lógicos. Russell resolvió problemas como las descripciones nominales, que aparentan nombrar entidades que no existen.
El documento resume las ideas principales del positivismo, una corriente filosófica que afirma que el único conocimiento válido es el científico obtenido a través del método científico. Explica que para Comte existen tres estados del conocimiento humano - teológico, metafísico y positivo - y que el positivismo busca explicar la realidad solo a partir de la experiencia. También menciona algunas de las reglas y supuestos del positivismo como el monismo metodológico y el uso de la inducción.
Reflexiones sobre la filosofia delas matematicasGerman Gamba
1) El documento discute diferentes concepciones filosóficas sobre la naturaleza de las matemáticas, incluyendo el platonismo, logicismo, formalismo, intuicionismo y constructivismo. 2) También explora cómo estas concepciones influyen en los modelos de enseñanza de las matemáticas y 3) Resalta la importancia de considerar las matemáticas como una construcción humana que surge para resolver problemas, en lugar de objetos abstractos e independientes.
Este documento trata sobre diferentes temas relacionados con la didáctica de las matemáticas, incluyendo definiciones, enfoques, teorías de aprendizaje y resolución de problemas. Se discuten las perspectivas de Steiner, Piaget y Brousseau sobre la didáctica, así como los enfoques conductista, cognitivo y constructivista del aprendizaje. También se describen los procesos de resolución de problemas según Polya y diferentes obstáculos en la enseñanza de las matemáticas.
Este documento trata sobre la epistemología y la matemática. Explica que la epistemología es la rama de la filosofía que estudia el origen, la estructura, los métodos y la validez del conocimiento. Luego, describe la epistemología de las matemáticas como la teoría del conocimiento matemático y su relación con la enseñanza de las matemáticas. Finalmente, presenta tres modelos epistemológicos - euclidiano, cuasi-empírico y constructivista - y cómo cada uno influye en
Este documento presenta la ingeniería didáctica como una metodología para mejorar la enseñanza de las matemáticas. Describe las cuatro fases de la ingeniería didáctica: análisis preliminares, concepción y análisis a priori de situaciones didácticas, experimentación, y análisis a posteriori y evaluación. También incluye un ejemplo de ingeniería didáctica para la función exponencial 2x que sigue estas cuatro fases.
En el siglo XIX se presentó una crisis en los fundamentos de las matemáticas debido al surgimiento de paradojas como las de Russell. Esto llevó a un debate sobre cómo fundamentar las matemáticas de manera lógica y consistente, dando lugar a movimientos como el logicismo de Russell, el formalismo de Hilbert y el intuicionismo.
La filosofía analítica se centra en el análisis del lenguaje. Frege creó la lógica moderna y propuso reducir la metafísica y las matemáticas a la lógica, aunque encontró la paradoja de Russell. Russell y Wittgenstein propusieron el atomismo lógico, según el cual el mundo se compone de hechos atómicos unidos por conectores lógicos. Russell resolvió problemas como las descripciones nominales, que aparentan nombrar entidades que no existen.
El documento resume las ideas principales del positivismo, una corriente filosófica que afirma que el único conocimiento válido es el científico obtenido a través del método científico. Explica que para Comte existen tres estados del conocimiento humano - teológico, metafísico y positivo - y que el positivismo busca explicar la realidad solo a partir de la experiencia. También menciona algunas de las reglas y supuestos del positivismo como el monismo metodológico y el uso de la inducción.
Este documento presenta una introducción general a los principales problemas y teorías de la epistemología o teoría del conocimiento. Se discuten temas como la posibilidad del conocimiento, el origen del conocimiento, las especies del conocimiento, el criterio de la verdad, y las soluciones premetafísicas, metafísicas y teológicas a la relación entre sujeto y objeto del conocimiento. También se mencionan las categorías del conocimiento según Aristóteles y Hessen.
Este documento explica por qué se usan las representaciones en matemáticas. Las representaciones son necesarias porque los objetos matemáticos no pueden percibirse directamente por los sentidos. Además, un concepto matemático se entiende mejor cuando se trabaja con múltiples representaciones del mismo, como gráficas, tablas y expresiones algebraicas. Las representaciones permiten mediar entre los objetos matemáticos abstractos y las personas, y son fundamentales para la comprensión de conceptos como las funciones.
El materialismo dialéctico es una corriente filosófica que afirma que la realidad se comporta de manera dialéctica sobre la base de la materia. Aplica las leyes dialécticas para interpretar el mundo de una manera materialista, en oposición al idealismo. Considera que la única realidad fundamental es la materia, la cual es dinámica y contiene la capacidad de movimiento a través de la lucha de elementos contrarios.
El documento trata sobre el idealismo. Explica que el idealismo considera que la verdadera realidad es el mundo de las ideas y no el mundo material. Señala que existen diferentes tipos de idealismo como el objetivo, subjetivo y trascendental. También menciona algunos representantes importantes del idealismo como Platón, Berkeley, Hume, Kant y Fichte.
Estrategia ludica para el aprendizaje del teorema de pitagoras en educandos d...LICENCIATURAMATEMATICAS
Este documento presenta una propuesta pedagógica para enseñar el teorema de Pitágoras a estudiantes de octavo grado a través de una estrategia lúdica. La estrategia consiste en cuatro actividades que buscan reforzar conceptos básicos sobre triángulos, presentar la fórmula de Pitágoras manipulando material didáctico, conocer los elementos y demostraciones del teorema, y aplicarlo a problemas de la vida real. El objetivo es que los estudiantes aprendan el teorema de una manera
Ciencias de la naturaleza y ciencias del espírituacademica
El documento discute las diferencias entre las ciencias naturales y las ciencias del espíritu. Dilthey trató de fundamentar las "ciencias del espíritu" porque consideró que la teoría del conocimiento de las ciencias naturales no hacía justicia a su peculiaridad. Las ciencias del espíritu estudian al ser humano y su mundo histórico-social desde adentro, mientras que las ciencias naturales estudian el mundo externo de forma objetiva. Popper propuso que todas las ciencias usan básicamente el mismo método hipotético-deductivo
Este documento resume la filosofía analítica, caracterizada por el estudio del lenguaje y análisis lógico de conceptos. Surge en Europa a inicios del siglo XX, influenciada por el empirismo y en oposición a la metafísica. Sus principales representantes fueron Wittgenstein y Bertrand Russell, quienes se basaron en el análisis del lenguaje para descubrir la estructura de la realidad y criticaron tesis filosóficas no empíricamente probables.
El documento describe diferentes métodos de la filosofía según varios pensadores como Galileo, Bacón y Descartes. Estos métodos incluyen la deducción, la inducción completa, la evidencia y no dejarse llevar por los sentidos o la razón. También describe métodos como el inductivo, deductivo, mayéutico, genético, morfológico, comparativo y dialéctico.
El documento presenta una discusión sobre el idealismo vs. materialismo. Brevemente describe las posiciones filosóficas de ambas corrientes y luego resume las ideas materialistas en distintas culturas y filósofos a través de la historia, incluyendo las escuelas jonia y mileto de la antigua Grecia, Demócrito, Aristóteles, y pensadores del Renacimiento y la Revolución Rusa.
El documento trata sobre el pragmatismo, un movimiento filosófico que sostiene que la verdad se determina por la utilidad y eficacia práctica del conocimiento. Algunos de los principales puntos del pragmatismo son que no existe una verdad absoluta, que lo verdadero se define por su utilidad y que el conocimiento está vinculado a la acción. El pragmatismo fue influenciado por filósofos como los sofistas y se opone a enfoques como el formalismo y el racionalismo que enfatizan el conocimiento teórico
Este documento describe las teorías filosóficas del positivismo. Explica que el positivismo fue creado por Auguste Comte y se basa en las ideas de David Hume, Claude-Henri de Rouvroy y Kant. También describe el Círculo de Viena y sus principales miembros como desarrolladores del positivismo lógico. Finalmente, presenta una línea de tiempo que resume las principales teorías filosóficas desde la Grecia clásica hasta el siglo XX.
Este documento presenta el método hermenéutico-dialéctico para el estudio de las ciencias de la educación. Explica que este método se basa en la interpretación y comprensión de la vida humana a través del diálogo y la interacción dialéctica entre comprensión y explicación. También resume los orígenes y principales teóricos de la hermenéutica como Dilthey, Gadamer y Ricoeur, destacando sus contribuciones al desarrollo de este enfoque para las ciencias humanas.
Este documento discute varias categorías ontológicas como la esencia, la cantidad, la cualidad y la posibilidad. Explica sus definiciones filosóficas, antecedentes históricos y críticas recibidas. Las categorías se refieren a atributos fundamentales de los objetos de la realidad.
El presente trabajo de investigación tiene como principal objetivo proponer a docentes de décimo grado, estrategias lúdicas para la enseñanza de las identidades trigonométricas fundamentales, las cuales fueron aplicadas a una sección de 45 estudiantes del turno matutino, del Instituto Nacional “Eliseo Picado” del municipio de Matagalpa departamento de Matagalpa, durante el segundo semestre del año 2018. Se aplicó una serie de instrumentos tales como: observación de clases, entrevista a docentes de matemática y a estudiantes de décimo grado con la intención de obtener datos para analizar y así poder cumplir con el objetivo de la investigación. Se pudo detectar mediante experiencias que el principal problema del proceso enseñanza – aprendizaje que se presentó en este tema de Matemática, fue que los docentes no hacen uso de estrategias didácticas al impartir esta clase, lo que permite concluir que el uso de estrategias didácticas no forma parte de la planificación de los docentes y por ende en el desarrollo de la clase, esto conlleva a una clase monótona y poco atractiva, así como la limitación en los estudiantes en la adquisición y desarrollo de capacidades y habilidades matemáticas. En base a antecedentes analizados se pudo determinar que el contenido de identidades se le da un tratamiento más memorístico y tradicional, sin el uso de estrategias que contribuyan a un aprendizaje concreto y significativo para el estudiante. Por tanto, el trabajo contiene dos propuestas de estrategias metodológicas para facilitar el aprendizaje de los estudiantes, fortalecer el conocimiento metodológico de los docentes, enriquecer el currículo educativo y hacer de este contenido un espacio atractivo, motivador, creativo e innovador para los estudiantes. Se concluyó que los estudiantes logran un aprendizaje significativo al utilizar nuevas estrategias y material didáctico del medio.
El documento resume las principales tendencias filosóficas de la Edad Moderna en temas de gnoseología. Describe el racionalismo de Descartes, que se basa en la razón como fuente del conocimiento, y el empirismo en respuesta, encabezado por Locke, Berkeley y Hume, que valida la experiencia. También discute el innatismo, el pragmatismo, el positivismo y concluye que no existe una verdad absoluta sino que el conocimiento depende del contexto cultural e histórico.
Los problemas de fundamentacion matemática a lo largo de la historiaJeisonlkSantiago
El documento describe brevemente la historia de los problemas de fundamentación matemática a lo largo de los siglos, desde los griegos hasta el siglo XX. Explica que los matemáticos griegos transformaron las matemáticas empíricas en una disciplina teórica y deductiva basada en axiomas y definiciones. Más adelante, surgen paradojas como la de Cantor que llevan a una revisión de los fundamentos y al desarrollo de la lógica matemática en el siglo XIX.
El documento describe la historia de la derivada desde su origen en los estudios de Galileo sobre el movimiento de los cuerpos hasta su desarrollo formal en el cálculo infinitesimal por Newton y Leibniz en el siglo XVII. Explica que la derivada mide la tasa de cambio instantánea de una función y proporciona ejemplos de su uso para calcular la velocidad y aceleración. También define formalmente la derivada como el límite del cociente de diferencias de una función cuando el cambio de variable tiende a cero.
Aportaciones a la Epistemología de Auguste Comte Y Karl Popperguillelvic camacaro
1) Comte fundó el positivismo y propuso aplicar un enfoque científico a los problemas sociales mediante la "física social", precursora de la sociología.
2) Popper criticó la visión inductiva de la ciencia y propuso la falsabilidad como criterio para distinguir entre ciencia y metafísica. Las teorías científicas deben ser falsables a través de la observación y experimentación.
3) Ambos pensadores buscaron establecer una epistemología basada en la ciencia experimental, rechazando el razon
Este documento presenta los principales aspectos del materialismo como corriente filosófica. En primer lugar, afirma que la materia es la única realidad y niega la existencia de Dios y el alma. Luego describe sus orígenes en la antigua Grecia y sus principales exponentes como Marx, Engels y Feuerbach. Finalmente, distingue entre el materialismo científico, histórico, dialéctico y filosófico.
Linea del tiempo de la evolución de la problemática de las matemáticas.JhosmiLisethHernande
El documento describe la evolución de las matemáticas a lo largo de los siglos, desde sus fundamentos iniciales hasta la actualidad. Explica que en el siglo XIX surgió una crisis de los fundamentos matemáticos debido a que conceptos como los números reales carecían de definiciones rigurosas. Autores como Bolzano, Weierstrass y Dedekind trabajaron para dar mayor rigor a conceptos matemáticos básicos. En el siglo XX, teorías como la de conjuntos y trabajos de Frege, Russell, Hilbert y Gödel ayudaron
Este documento presenta información sobre la relación entre la matemática y la filosofía. Brevemente describe que a lo largo de la historia estas dos disciplinas han estado ligadas, con filósofos como Pitágoras y Platón realizando grandes aportes tanto a la filosofía como a las matemáticas. También señala que matemáticos como Cantor, Poincaré, Hilbert, Russell y Gödel se han preocupado por aspectos filosóficos de las matemáticas. Finalmente, indica que cuando los profesores utilizan métodos como
Este documento presenta una introducción general a los principales problemas y teorías de la epistemología o teoría del conocimiento. Se discuten temas como la posibilidad del conocimiento, el origen del conocimiento, las especies del conocimiento, el criterio de la verdad, y las soluciones premetafísicas, metafísicas y teológicas a la relación entre sujeto y objeto del conocimiento. También se mencionan las categorías del conocimiento según Aristóteles y Hessen.
Este documento explica por qué se usan las representaciones en matemáticas. Las representaciones son necesarias porque los objetos matemáticos no pueden percibirse directamente por los sentidos. Además, un concepto matemático se entiende mejor cuando se trabaja con múltiples representaciones del mismo, como gráficas, tablas y expresiones algebraicas. Las representaciones permiten mediar entre los objetos matemáticos abstractos y las personas, y son fundamentales para la comprensión de conceptos como las funciones.
El materialismo dialéctico es una corriente filosófica que afirma que la realidad se comporta de manera dialéctica sobre la base de la materia. Aplica las leyes dialécticas para interpretar el mundo de una manera materialista, en oposición al idealismo. Considera que la única realidad fundamental es la materia, la cual es dinámica y contiene la capacidad de movimiento a través de la lucha de elementos contrarios.
El documento trata sobre el idealismo. Explica que el idealismo considera que la verdadera realidad es el mundo de las ideas y no el mundo material. Señala que existen diferentes tipos de idealismo como el objetivo, subjetivo y trascendental. También menciona algunos representantes importantes del idealismo como Platón, Berkeley, Hume, Kant y Fichte.
Estrategia ludica para el aprendizaje del teorema de pitagoras en educandos d...LICENCIATURAMATEMATICAS
Este documento presenta una propuesta pedagógica para enseñar el teorema de Pitágoras a estudiantes de octavo grado a través de una estrategia lúdica. La estrategia consiste en cuatro actividades que buscan reforzar conceptos básicos sobre triángulos, presentar la fórmula de Pitágoras manipulando material didáctico, conocer los elementos y demostraciones del teorema, y aplicarlo a problemas de la vida real. El objetivo es que los estudiantes aprendan el teorema de una manera
Ciencias de la naturaleza y ciencias del espírituacademica
El documento discute las diferencias entre las ciencias naturales y las ciencias del espíritu. Dilthey trató de fundamentar las "ciencias del espíritu" porque consideró que la teoría del conocimiento de las ciencias naturales no hacía justicia a su peculiaridad. Las ciencias del espíritu estudian al ser humano y su mundo histórico-social desde adentro, mientras que las ciencias naturales estudian el mundo externo de forma objetiva. Popper propuso que todas las ciencias usan básicamente el mismo método hipotético-deductivo
Este documento resume la filosofía analítica, caracterizada por el estudio del lenguaje y análisis lógico de conceptos. Surge en Europa a inicios del siglo XX, influenciada por el empirismo y en oposición a la metafísica. Sus principales representantes fueron Wittgenstein y Bertrand Russell, quienes se basaron en el análisis del lenguaje para descubrir la estructura de la realidad y criticaron tesis filosóficas no empíricamente probables.
El documento describe diferentes métodos de la filosofía según varios pensadores como Galileo, Bacón y Descartes. Estos métodos incluyen la deducción, la inducción completa, la evidencia y no dejarse llevar por los sentidos o la razón. También describe métodos como el inductivo, deductivo, mayéutico, genético, morfológico, comparativo y dialéctico.
El documento presenta una discusión sobre el idealismo vs. materialismo. Brevemente describe las posiciones filosóficas de ambas corrientes y luego resume las ideas materialistas en distintas culturas y filósofos a través de la historia, incluyendo las escuelas jonia y mileto de la antigua Grecia, Demócrito, Aristóteles, y pensadores del Renacimiento y la Revolución Rusa.
El documento trata sobre el pragmatismo, un movimiento filosófico que sostiene que la verdad se determina por la utilidad y eficacia práctica del conocimiento. Algunos de los principales puntos del pragmatismo son que no existe una verdad absoluta, que lo verdadero se define por su utilidad y que el conocimiento está vinculado a la acción. El pragmatismo fue influenciado por filósofos como los sofistas y se opone a enfoques como el formalismo y el racionalismo que enfatizan el conocimiento teórico
Este documento describe las teorías filosóficas del positivismo. Explica que el positivismo fue creado por Auguste Comte y se basa en las ideas de David Hume, Claude-Henri de Rouvroy y Kant. También describe el Círculo de Viena y sus principales miembros como desarrolladores del positivismo lógico. Finalmente, presenta una línea de tiempo que resume las principales teorías filosóficas desde la Grecia clásica hasta el siglo XX.
Este documento presenta el método hermenéutico-dialéctico para el estudio de las ciencias de la educación. Explica que este método se basa en la interpretación y comprensión de la vida humana a través del diálogo y la interacción dialéctica entre comprensión y explicación. También resume los orígenes y principales teóricos de la hermenéutica como Dilthey, Gadamer y Ricoeur, destacando sus contribuciones al desarrollo de este enfoque para las ciencias humanas.
Este documento discute varias categorías ontológicas como la esencia, la cantidad, la cualidad y la posibilidad. Explica sus definiciones filosóficas, antecedentes históricos y críticas recibidas. Las categorías se refieren a atributos fundamentales de los objetos de la realidad.
El presente trabajo de investigación tiene como principal objetivo proponer a docentes de décimo grado, estrategias lúdicas para la enseñanza de las identidades trigonométricas fundamentales, las cuales fueron aplicadas a una sección de 45 estudiantes del turno matutino, del Instituto Nacional “Eliseo Picado” del municipio de Matagalpa departamento de Matagalpa, durante el segundo semestre del año 2018. Se aplicó una serie de instrumentos tales como: observación de clases, entrevista a docentes de matemática y a estudiantes de décimo grado con la intención de obtener datos para analizar y así poder cumplir con el objetivo de la investigación. Se pudo detectar mediante experiencias que el principal problema del proceso enseñanza – aprendizaje que se presentó en este tema de Matemática, fue que los docentes no hacen uso de estrategias didácticas al impartir esta clase, lo que permite concluir que el uso de estrategias didácticas no forma parte de la planificación de los docentes y por ende en el desarrollo de la clase, esto conlleva a una clase monótona y poco atractiva, así como la limitación en los estudiantes en la adquisición y desarrollo de capacidades y habilidades matemáticas. En base a antecedentes analizados se pudo determinar que el contenido de identidades se le da un tratamiento más memorístico y tradicional, sin el uso de estrategias que contribuyan a un aprendizaje concreto y significativo para el estudiante. Por tanto, el trabajo contiene dos propuestas de estrategias metodológicas para facilitar el aprendizaje de los estudiantes, fortalecer el conocimiento metodológico de los docentes, enriquecer el currículo educativo y hacer de este contenido un espacio atractivo, motivador, creativo e innovador para los estudiantes. Se concluyó que los estudiantes logran un aprendizaje significativo al utilizar nuevas estrategias y material didáctico del medio.
El documento resume las principales tendencias filosóficas de la Edad Moderna en temas de gnoseología. Describe el racionalismo de Descartes, que se basa en la razón como fuente del conocimiento, y el empirismo en respuesta, encabezado por Locke, Berkeley y Hume, que valida la experiencia. También discute el innatismo, el pragmatismo, el positivismo y concluye que no existe una verdad absoluta sino que el conocimiento depende del contexto cultural e histórico.
Los problemas de fundamentacion matemática a lo largo de la historiaJeisonlkSantiago
El documento describe brevemente la historia de los problemas de fundamentación matemática a lo largo de los siglos, desde los griegos hasta el siglo XX. Explica que los matemáticos griegos transformaron las matemáticas empíricas en una disciplina teórica y deductiva basada en axiomas y definiciones. Más adelante, surgen paradojas como la de Cantor que llevan a una revisión de los fundamentos y al desarrollo de la lógica matemática en el siglo XIX.
El documento describe la historia de la derivada desde su origen en los estudios de Galileo sobre el movimiento de los cuerpos hasta su desarrollo formal en el cálculo infinitesimal por Newton y Leibniz en el siglo XVII. Explica que la derivada mide la tasa de cambio instantánea de una función y proporciona ejemplos de su uso para calcular la velocidad y aceleración. También define formalmente la derivada como el límite del cociente de diferencias de una función cuando el cambio de variable tiende a cero.
Aportaciones a la Epistemología de Auguste Comte Y Karl Popperguillelvic camacaro
1) Comte fundó el positivismo y propuso aplicar un enfoque científico a los problemas sociales mediante la "física social", precursora de la sociología.
2) Popper criticó la visión inductiva de la ciencia y propuso la falsabilidad como criterio para distinguir entre ciencia y metafísica. Las teorías científicas deben ser falsables a través de la observación y experimentación.
3) Ambos pensadores buscaron establecer una epistemología basada en la ciencia experimental, rechazando el razon
Este documento presenta los principales aspectos del materialismo como corriente filosófica. En primer lugar, afirma que la materia es la única realidad y niega la existencia de Dios y el alma. Luego describe sus orígenes en la antigua Grecia y sus principales exponentes como Marx, Engels y Feuerbach. Finalmente, distingue entre el materialismo científico, histórico, dialéctico y filosófico.
Linea del tiempo de la evolución de la problemática de las matemáticas.JhosmiLisethHernande
El documento describe la evolución de las matemáticas a lo largo de los siglos, desde sus fundamentos iniciales hasta la actualidad. Explica que en el siglo XIX surgió una crisis de los fundamentos matemáticos debido a que conceptos como los números reales carecían de definiciones rigurosas. Autores como Bolzano, Weierstrass y Dedekind trabajaron para dar mayor rigor a conceptos matemáticos básicos. En el siglo XX, teorías como la de conjuntos y trabajos de Frege, Russell, Hilbert y Gödel ayudaron
Este documento presenta información sobre la relación entre la matemática y la filosofía. Brevemente describe que a lo largo de la historia estas dos disciplinas han estado ligadas, con filósofos como Pitágoras y Platón realizando grandes aportes tanto a la filosofía como a las matemáticas. También señala que matemáticos como Cantor, Poincaré, Hilbert, Russell y Gödel se han preocupado por aspectos filosóficos de las matemáticas. Finalmente, indica que cuando los profesores utilizan métodos como
El documento trata sobre la relación entre las matemáticas y la filosofía. Ambas disciplinas utilizan el pensamiento humano para resolver problemas, aunque la filosofía se enfoca más en problemas humanistas y políticos, mientras que las matemáticas estudian propiedades abstractas. También incluye biografías de importantes matemáticos y filósofos griegos como Platón, Aristóteles y Euclides, y explica el software GeoGebra que se usa en educación.
Primera clase epistemologia de las artesguest0b4f67c
Este documento presenta el programa de la asignatura "Epistemología de las Artes" que se dicta en tercer y cuarto año de tres carreras universitarias. El programa busca introducir a los estudiantes en el estudio de la epistemología de las artes y analizar distintas corrientes de pensamiento sobre la teoría artística desde el siglo XVIII hasta la actualidad. Se detalla la metodología de enseñanza, que combina clases teóricas con análisis de textos, y los mecanismos de evaluación
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) fue un filósofo, matemático y científico alemán. Nació en Leipzig y recibió una buena educación a pesar de quedar huérfano a temprana edad. Estudió filosofía aristotélica, platónica y escolástica, así como el pensamiento de Descartes. Escribió obras importantes como el Nuevo sistema de la naturaleza y la Monadología. Su pensamiento buscaba reconciliar los diferentes sistemas filosóficos existentes
El documento discute la epistemología y el método en la educación matemática. Identifica cuatro disciplinas fundamentales para la educación matemática: filosofía, sociología, matemáticas y psicología. También discute perspectivas como el constructivismo, el socioculturalismo y el interaccionismo, que enfatizan la construcción activa del conocimiento, el contexto social y cultural, y las interacciones entre sujeto y objeto, respectivamente.
Este documento presenta información sobre dos temas relacionados con la filosofía de la educación. El primer tema discute la esencia y filosofía de la educación, explicando que la filosofía de la educación relaciona múltiples disciplinas sociales y tiene como objetivo la formación del hombre. El segundo tema analiza los fundamentos filosóficos de la educación como una reconsideración crítica de la filosofía de la educación, señalando que estos fundamentos deben ayudar a entender y reconfigurar la educación de manera ó
Este documento presenta la actividad académica de Epistemología de las matemáticas. El objetivo principal es caracterizar los elementos básicos de la filosofía y la epistemología de las matemáticas para identificar los fundamentos de la disciplina y su relación con los procesos de enseñanza y aprendizaje. El curso se centrará en cinco núcleos fundamentales: la lógica, la aritmética, los fundamentos, la geometría y el problema del infinito. El documento también describe las competencias formativas cognitivas, socio
Este documento discute varios conceptos clave en epistemología y didáctica de las matemáticas. Explica que la epistemología estudia el conocimiento y su adquisición, mientras que la didáctica se enfoca en los procesos de enseñanza y aprendizaje. También explora las diferencias entre didáctica, metodología y educación matemática, y analiza varias teorías importantes en didáctica de las matemáticas como la modelización, razonamiento matemático y transposición didáctica. El
El documento hace referencia a conceptos fundamentales de la filosofía como la polis, la naturaleza, la ley, la educación, la verdad, Sócrates y Platón. Menciona las escuelas socráticas como los cirenaicos, megáricos y cínicos, así como las principales escuelas helenísticas como el epicureísmo y el estoicismo. Finalmente, hace referencia a pensadores modernos como Descartes, Spinoza, Locke y Kant y sus contribuciones al racionalismo, empirismo y la filosofía cr
El documento presenta un resumen de tres teorías geométricas no euclidianas:
1) La geometría hiperbólica de Lobachevski, donde por un punto exterior a una recta pasan infinitas paralelas.
2) La geometría elíptica de Riemann, donde por un punto exterior no pasa ninguna paralela.
3) Estas teorías generan una visión diferente del espacio, que ahora puede ser curvo en lugar de plano.
Este documento discute la teoría de conjuntos y las paradojas lógicas asociadas. Presenta las soluciones propuestas por Russell, Zermelo-Fraenkel y otros, y argumenta que una perspectiva dialética paraconsistente puede hacer que la teoría de conjuntos sea no trivial a pesar de sus contradicciones internas. También analiza los teoremas de incompletitud de Gödel y argumenta que la aritmética podría ser inconsistente debido a la paradoja del mentiroso.
Este documento presenta una introducción a la axiomática de la teoría de conjuntos de Zermelo. Explica que Zermelo evitó la paradoja de Russell al limitar el axioma de formación de conjuntos de Frege a conjuntos definidos a partir de otros conjuntos existentes. También incluye los primeros axiomas de la teoría de Zermelo, como el axioma de extensionalidad y el axioma del conjunto vacío.
La teoría de conjuntos estudia las propiedades de las colecciones abstractas de objetos llamados conjuntos. Fue desarrollada en el siglo XIX por Georg Cantor y provee las bases para formalizar conceptos matemáticos como el infinito. Sin embargo, la teoría condujo a paradojas como la paradoja de Russell, lo que llevó al desarrollo de axiomas como la teoría de Zermelo-Fraenkel para evitar contradicciones. La teoría de conjuntos es fundamental en matemáticas pues permite formalizar otras ramas
Este documento discute las primeras axiomatizaciones de la geometría y la aritmética. En 1882, alguien intentó la primera axiomatización de la geometría para hacerla una ciencia deductiva independiente de las figuras. Peano construyó la teoría de los números naturales con tres términos indefinibles (cero, número, sucesor) y cinco proposiciones axiomáticas. Los sistemas axiomáticos revelan isomorfismos entre teorías aparentemente heterogéneas al restablecerlas en la unidad
La teoría de conjuntos estudia las propiedades de las colecciones abstractas de objetos llamados conjuntos. Fue desarrollada en el siglo XIX por Georg Cantor y provee una herramienta fundamental para formular teorías matemáticas. Sin embargo, condujo a paradojas como la paradoja de Russell, lo que llevó a desarrollar teorías axiomáticas de conjuntos como la de Zermelo-Fraenkel para evitar contradicciones.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de los axiomas, definiciones, teoremas y reglas de inferencia lógica en matemáticas. Explica que los axiomas proporcionan el marco de referencia para una teoría matemática y que a partir de ellos se pueden deducir teoremas mediante reglas lógicas. También aclara que en matemáticas no se define la naturaleza de los objetos con los que se trabaja, sólo sus relaciones según los axiomas.
Este documento resume las posiciones filosóficas de Gottlob Frege, Bertrand Russell y el logicismo. Explica que Frege y Russell buscaron fundamentar las matemáticas en la lógica, mostrando que los teoremas matemáticos pueden derivarse de axiomas lógicos. Sin embargo, la paradoja de Russell puso en duda esta posición. El documento también describe la teoría de tipos de Russell y cómo intentó evitar las paradojas. Finalmente, analiza las diferencias entre la concepción de lógica de los logic
Este documento presenta una introducción general a la lógica. Explica que la lógica puede definirse como el estudio de la consecuencia y la consistencia, y que tiene un sentido amplio como herramienta de razonamiento y un sentido estricto como disciplina académica. También resume brevemente la historia de la lógica desde los filósofos griegos hasta las aplicaciones modernas en informática y las tres grandes ramas de la teoría de la prueba, la teoría de modelos y la teoría de la recursión.
Este documento trata sobre los números naturales. Explica que los números naturales fueron descubiertos en Mesopotamia alrededor del año 4000 a.C. y que Richard Dedekind colocó al conjunto de los números naturales sobre una base sólida en el siglo XIX. También describe que los números naturales se usan para describir la posición de un elemento en una secuencia ordenada y para especificar el tamaño de un conjunto finito.
Este documento proporciona información sobre los números naturales. Brevemente:
1) Los números naturales son los números usados para contar objetos y pueden incluir o no incluir el cero.
2) Históricamente, los primeros sistemas de numeración surgieron en Mesopotamia hace unos 4,000 años y luego se adoptaron en Grecia y Roma.
3) Hoy en día, los números naturales se definen formalmente en teoría de conjuntos como conjuntos inductivos, lo que garantiza su existencia y propiedades como la inducción matemática.
1) El documento discute los teoremas de incompletitud de Gödel, los cuales demostraron que existen verdades aritméticas que no son demostrables. 2) Antes de Gödel, se creía que todas las verdades de la aritmética eran demostrables, pero Gödel demostró en 1931 que hay verdades aritméticas no demostrables. 3) La existencia de verdades no demostrables tiene una aplicación importante en teología, ya que Dios es una verdad no demostrable.
La teoría de conjuntos fue creada por Georg Cantor y estudia las propiedades y relaciones de conjuntos abstractos. Tomó 23 años formularla formalmente entre 1872 y 1895. Unifica las matemáticas y permite comprender nuevos conceptos, pero también surgen paradojas como las encontradas por Russell. Define operaciones básicas como unión, intersección y diferencia para manipular conjuntos. Las teorías axiomáticas de conjuntos usan axiomas precisos para derivar propiedades de conjuntos con rigor matemático.
El documento trata sobre lógica matemática. Explica que la lógica matemática estudia los sistemas formales y su relación con conceptos matemáticos como conjuntos y números. Se divide en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. También define conceptos como proposiciones, conectivos lógicos, proposiciones condicionales y bicondicionales, y leyes como la doble negación y de Morgan.
El documento trata sobre lógica matemática. Explica que la lógica matemática estudia los sistemas formales y cómo representan conceptos matemáticos como conjuntos y números usando lenguaje formal. También describe brevemente las contribuciones clave de figuras como Boole, Frege y Russell a los fundamentos de la lógica matemática moderna.
Este documento define y explica los números naturales de varias maneras: 1) como los números usados para contar objetos, 2) formalmente como conjuntos inductivos definidos axiomáticamente, y 3) históricamente desde su origen en la antigua Mesopotamia hasta definiciones modernas. También describe operaciones básicas como suma, multiplicación y resta, así como propiedades de los números naturales.
Este documento define los números naturales y describe su historia, propiedades y construcciones formales. Explica que los números naturales se usan para contar objetos y pueden definirse con o sin incluir el cero. También describe las propiedades de la suma y multiplicación de números naturales y cómo se han construido formalmente los naturales usando los axiomas de Peano o la teoría de conjuntos.
Este documento describe los antecedentes históricos de las ciencias de la complejidad. Comienza con las ideas de Aristóteles sobre la complejidad y la necesidad de una ciencia que la aborde. Luego discute las contribuciones de Descartes, Poincaré, Cantor, Von Bertalanffy y otros, culminando con la Teoría General de Sistemas de Von Bertalanffy que estudia los sistemas de forma global considerando todas sus interdependencias.
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Este documento discute varios temas relacionados con la lógica filosófica. Primero, analiza la paradoja del modus ponens y cómo cuestionar las propias reglas lógicas cuestiona la lógica misma. Luego, explica que la lógica es una disciplina filosófica que estudia la validez de los razonamientos a través de enfoques como lenguajes formales, inferencias válidas y verdades lógicas. Finalmente, presenta el problema del fatalismo estoico y cómo la lógica modal puede
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Aristóteles clasificó las ciencias en teóricas, prácticas y productivas. La filosofía primera o metafísica estudia los primeros principios y causas de todo lo que existe. Aristóteles criticó la teoría de las ideas de Platón y propuso el hilemorfismo, donde la sustancia está compuesta por la forma y la materia. En el período helenístico surgió el epicureísmo, estoicismo, escepticismo y cinismo, corrientes que se enfocaron en la felicidad individual más que en el bien
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2. CONCEPTO DE FILOSOFIA DE LA
MATEMATICA
Es una rama de la filosofía que trata de
comprender y explicar los requisitos, el objeto, el
método y la naturaleza de las matemáticas.
En esta rama se intentan responder las
siguientes preguntas:
¿Cómo sabemos que nuestras teorías matemáticas
son verdaderas?
¿Sobre qué son las matemáticas? En otras palabras, si
un enunciado matemático es verdadero, ¿qué lo hace
verdadero? ¿En virtud de qué es verdadero?
¿Las verdades matemáticas son verdaderas por
necesidad? Y, si lo son, ¿cuál es la fuente de esta
necesidad?
3. INTRODUCCION
La imagen tradicional de las matemáticas (formal e
infalible) fue cuestionada a raíz de la llamada "crisis
de los fundamentos de las matemáticas", que
sucedió en el siglo XIX. Dicha "crisis" se origino
principalmente por dos descubrimientos: primero el
de las geometrías no euclidianas y, segundo, el de la
teoría de los conjuntos.“
En tanto la teoría de conjunto iba a ser utilizada para
asegurar la base de todo el edificio matemática, era
necesario revisar bien la teoría conjuntista. Pero
sucedió que se hallaron algunas dificultades que más
tarde serían conocidas como “paradojas lógica”.
4. PARADOJA DE CANTOR
Sea A un conjunto, digamos de 2 elementos:
A={1, 2}
Sabemos que su conjunto potencia es el conjunto de todos los
subconjuntos de A
Pot (A) = {φ, A, {1}, {2}}
Este Pot (A) tiene más elementos que A
Card (A) < Card (Pot (A)) (Teorema de Cantor)
Ahora bien, sabemos que el conjunto universo contiene a todos los
conjuntos incluso a sí mismo. A su vez, sabemos que cuando un conjunto
A incluye a otro conjunto B, la cardinalidad de A es mayor o igual que la
cardinalidad de B. Es decir,
Si A incluye a B, entonces Card(A) > Card(B) (relación de inclusión)
¿Qué sucede con el conjunto universo y su conjunto potencia?
Por el teorema: Card (U) < Card (Pot (U))
Por la relación: Card (U) > Card (Pot (U))
5. PARADOJA DE RUSSELL
Hay conjuntos normales que no se contienen a sí
mismos
Hay conjuntos anormales que se contienen a sí
mismos
Formamos R que es el conjunto de todos los
conjuntos que no contienen a sí mismos.
Si R es normal entonces R no contiene a sí
mismo, por lo cual R sería elemento de R
Pero si R es elemento de R, entonces esto
significa que se contiene a sí mismo por lo cual R
sería anormal y no debería estar en R.
6. LOGICISMO
Rep: Frege, Russell
Plantea que la matemática es reducible a la lógica. Frege inició el programa
logicista pero este fue continuado por Bertrand Russell y Alfred North Withehead
en Principia Mathematica. La tesis logicista considera que las Matemáticas pueden
“derivarse de la lógica” en el siguiente sentido:
1) Todos los conceptos de las Matemáticas pueden definirse basado en
definiciones de la lógica pura.
2) Todos los teoremas de las Matemáticas pueden deducirse de estas definiciones
por medio de los principios de la lógica.
La lógica, a la que los logicistas pretenden reducir las Matemáticas, supone la
existencia de una dicotomía que divide el conocimiento en “a priori” (no empírico)
y “a posteriori”
Los logicistas consideraban las proposiciones matemáticas como conocimiento a
priori, que prescinde de las demostraciones empíricas.
Este proyecto estaba engarzado con el ya realizado proyecto de la aritmetización
del análisis. Así Peano propuso un sistema de axiomas:
1. El 0 es un número
2. Cada número tiene por lo menos uno y a lo más un sucesor que también es un número
3. El 0 no es el sucesor de ningún número
4. No hay dos números que tengan el mismo sucesor
5. Lo que sea verdad del 0, también es verdad para el sucesor de cualquier otro número, y si
es verdad para ese número, es verdad de todos los números
7. LOGICISMO
Frege había logrado mostrar la posibilidad de reducir el concepto de
número natural al concepto de clase o conjunto y derivar todas las
propiedades de los números naturales de las propiedades de las
multiplicidades. Dice que el número 2, por ejemplo ,es el conjunto de
todos los conjuntos que tienen 2 elementos.
Asimismo, se encarga de aclarar la naturaleza del número. Cuando digo
que Sócrates es uno y que la Santísima Trinidad son tres, ¿de qué se está
predicando el “uno” y el “tres”? De inmediato queda claro que los
números no son una propiedad de los objetos: de Sócrates no se predica
la unidad. Si fuera este el caso, se podría inferir de las premisas que
Sócrates es uno y que Platón es uno, que Sócrates y Platón son uno. La
respuesta a esto se sugiere por la teoría de la cuantificación. Frege
argumenta que cuando digo que un hombre existe, no predico la
existencia de un hombre, sino que mas bien, predico el concepto hombre:
lo que estoy diciendo es que el concepto hombre tiene por lo menos una
instancia. (La existencia es un predicado de predicados). En forma similar
los números se predican de conceptos: decir que hay cinco hombres
sabios, es decir que el concepto hombre sabio se instancia cinco veces.
Russell para evitar la aparición de paradojas impuso ciertas restricciones
a la formación de expresiones lógico matemáticas. Estas restricciones se
determinan mediante la famosa teoría de los tipos lógicos.
8. FORMALISMO
Rep: Hilbert, Ackermann
Considera que el lenguaje matemático, puede reducirse a operar con signos. El formalismo
entiende las matemáticas como un juego basado en un cierto conjunto de reglas para
manipular cadenas de caracteres: el programa del formalismo matemático consiste en
construir la Matemática como un sistema lógico-formal puro, cuya condición fundamental
es la ausencia de contradicción, prescindiendo de todo tipo de contenido; se trata, pues, de
un sistema formal vacío.
Se puede comprender mejor el razonamiento de Hilbert considerando una analogía. Los
número irracionales no tienen significado intuitivo como tales números. Aunque podamos
introducir longitudes cuyas medidas sean irracionales, las propias longitudes no
proporcionan ningún significado intuitivo a los números irracionales, pero ell0s son
necesarios incluso para las matemáticas elementales. Hilbert hizo la misma observación al
respecto de los números complejos. Esto no tienen contrapartidas reales inmediatas, pero
hacen que sean posibles teoremas generales como el de que toda ecuación polinómica de
grado n tiene exactamente n raíces. Independiente de que los símbolos representen o no
objetos con un significado intuitivo, todos los signos y símbolos de conceptos y
operaciones están libres de significado. Para el propósito de los fundamentos, los
elementos del pensamiento matemático son los símbolos y las proposiciones, que son
combinaciones o cadenas de símbolos. Así se lograba la certeza al precio de tratar a la
matemática como símbolos vacíos de significado.
9. FORMALISMO
Hilbert intenta un nuevo planteamiento de la consistencia utilizando el
concepto de demostraciones absolutas, sin contradicciones para lo cual
necesitará validar el uso del tercio excluso: “Quitar a los matemáticos el
principio del tercio excluso es como prohibir el telescopio a los astrónomos y
el uso de sus puños a los boxeadores. Negar los teoremas de existencia que
utilizan el principio del tercio excluso es tanto como renunciar de golpe a la
ciencia de las matemáticas”. Pretendía lograr este tipo de demostraciones
construyendo un sistema de signos formales, vacíos de significados, con
reglas manifiestas de cómo manipular estos signos. Así, se derivan teoremas
a partir de axiomas mediante combinaciones y transformaciones sígnicas de
acuerdo a reglas de operación que funcionan bajo el principio de un
razonamiento explícito. A este sistema Hilbert lo llamó “metamatemática” .
La metamatemática o teoría de la demostración es la disciplina que
partiendo del conocimiento de la estructura y el funcionamiento de las teorías
matemáticas tiene por objeto probar la consistencia de estas teorías.
“La Matemática en sentido estricto puede sustituirse por un método puramente
mecánico de derivar fórmulas, método que no tiene nada que ver con la
significación de interpretación de los símbolos usados”.
“Se toman como premisas algunas agregados de símbolos; éstos son los
axiomas, y a partir de ellos se derivan otros grupos de signos, de acuerdo con
reglas fijas y de un modo puramente mecánico; o sea, sin utilizar conclusiones
obtenidas de su interpretación; los nuevos grupos son los teoremas
demostrables”.
10. AXIOMATISMO
Rep: Zermelo
Llamado también conjuntismo. Esta escuela no intenta desentrañar la
esencia del conocimiento matemático. Propone limitar los conjuntos
mediante axiomas que imposibiliten la aparición de paradojas. Por
ejemplo, reemplaza el axioma de comprehensión por el axioma de la
separación que sostiene que para que una propiedad pueda determinar un
conjunto es necesario que se aplique a elementos de otro conjunto
preexistente cuya existencia esté asegurada de antemano. Así se logra
frenar a la aparición de paradojas.
Zermelo creía que las paradojas de la teoría de conjuntos venían de que
Cantor no había restringido el concepto de conjunto. Zermelo esperaba,
por consiguiente, que unos axiomas claros y explícitos clarificarían lo que
se entendía por conjunto y las propiedades que los conjuntos debían tener.
Él buscaba en particular limitar el tamaño de los conjuntos.
El sistema de axiomas de Zermelo fue perfeccionado por Abraham A.
Fraenkel. Zermelo no había distinguido entre la propiedad de un conjunto
y el propio conjunto. La distinción fue hecha por Fraenkel en 1922.
11. AXIOMATISMO
Estos son algunos de los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-
Fraenkel.
1. Dos conjuntos son idénticos si tienen los mismos elementos
2. Existe el conjunto vacío
3. Si x e y son conjuntos, entonces el par no ordenado (x,y) es un
conjunto
4. La unión de un conjunto de conjuntos es un conjunto
5. Existen conjuntos infinitos
6. Cualquier propiedad que pueda ser formalizada en el lenguaje de la
teoría de conjuntos puede utilizada para definir conjuntos
7. Se puede formar el conjunto potencia de cualquier conjunto; esto es,
la colección de todos los subconjuntos de cualquier conjunto dado es un
subconjunto
8. El axioma de eleccíón
9. x no pertenece a x
Sin embargo, no logra ofrecer una garantía indubitable contra el
hallazgo de nuevas paradojas.
12. AXIOMATISMO
Los conjuntistas piensan que no se pueden obtener
paradojas poruqe se ha constriudo una jerarquía de
conjuntos que evitaba la ambigüedad. Pero la consistencia
de la teoría de conjuntos no ha sido demostrada. Según
Poincaré: “Hemos puesto una cerca alrededor del rebaño
para protegerlo de los lobos, pero no sabemos si dentro de
la cerca han quedado encerrados algunos lobos”
Si se aceptan los axiomas de la teoría de conjuntos se
pueden construir todas las matematicas sobre ellos. La
lógica esta subordinada a los axiomas de las matematicas.
La lógica no controla lo que son o lo que hacen las
matematicas. La lógica es la gramatica del lenguaje que
usamos, un lenguaje que tuvo que existir antes de que se
pudiera construir la gramatica
13. PLATONISMO MATEMÁTICO
Rep: Kurt Gödel
Llamado también objetivismo. Consiste en la creencia de
que los objetos y conceptos matemáticos (las entidades
referidas por los símbolos matemáticos), así como los
hechos matemáticos (los expresados por las proposiciones
matemáticas), no son de nuestra creación, sino que existen
objetivamente con total independencia de la existencia y el
funcionamiento de nuestra mente. Es decir, los objetos y
conceptos tratados por las matemáticas no son simples
invenciones existentes únicamente en la mente de los
matemáticos, sino que son realidades ingénitas,
universales, inmateriales, imperecederas, inmutables y
atemporales. tanto los "objetos matemáticos" (números,
figuras geométricas, etc) como las leyes matemáticas no se
inventan, sino que se descubren. Por ejemplo, los axiomas
lejos de crear el concepto de conjunto lo desarrollan y este
seria anteriormente dado a nuestra percepción de lo
abstracto o intuición matemática
14. PLATONISMO MATEMÁTICO
Según Gödel:
“Me parece que la asunción de tales objetos es tan totalmente
legítima como la asunción de cuerpos físicos, y existen las
mismas razones para creer en su existencia. Son necesarios para
obtener un sistema satisfactorio de matemática en el mismo
sentido en que los cuerpos físicos son necesarios para una teoría
satisfactoria de nuestras percepciones sensibles”
Aunque es cierto que las proposiciones matemáticas no dicen
nada sobre la realidad espacio-temporal, tienen sin embargo un
contenido objetivo, que radica en que dicen algo sobre relaciones
objetivas entre conceptos objetivos
Puesto que conocemos muchas proposiciones sobre números
naturales que son verdaderas, y como estamos convencidos de
que muchas conjeturas relacionadas con ellos tienen sentido,
entonces deben existir hechos objetivos sobre los números
naturales y tales hechos deben referirse a objetos que son
inmutables en el tiempo. La lógica y la matemática deben tener
un contenido real, que puede verse estudiando teoría de
números, donde hallamos hechos que son independientes de las
convenciones arbitrarias.
15. TEOREMAS GÖDELIANOS
El primer teorema de incompletud de Gödel (1931)
demuestra que la aritmética elemental no puede ser
completamente axiomatizada en el sentido de
completud deductiva, es decir, no puede
axiomatizarse de modo consistente y completo. El
segundo teorema dice que si una teoría aritmética T
es consistente, entonces la consistencia de T no
puede probarse en T, es decir, es imposible
demostrar la consistencia de una teoría o sistema
formal que incluya la aritmética elemental con los
propios recursos de la teoría. Es decir, la consistencia
de una teoría aritmética no puede probarse con sus
propios medios.
16. PLATONISMO MATEMÁTICO
Si las matemáticas fueran enteramente hipótesis existentes tan sólo en
nuestras mentes, cualquier verdad matemática podría ser formulada y
demostrada, cosa imposible por los teoremas gödelianos. Por el
contrario, si los conceptos matemáticos son preexistentes la única tarea
que realiza el matemático es percibir dicha verdad objetiva y describirla.
Tampoco la matemática puede reducirse a un sistema formal de sintaxis
lógica de lenguaje pues, por los resultados de gödel, ningún sistema
similar podría realizar una tarea semejante a menos que contase con
conceptos igualmente potentes que los que pretenden reducirse, de
modo que cualquier intento por esa línea sería inútil por principio.
Los matemáticos con toda su maquinaria operativa y simbólica tan sólo
pueden hacer teorías matemáticas subjetivas con una alta aproximación
a las verdades matemáticas objetivas, pero sin llegar a conocer éstas en
su totalidad. Según esto, las matemáticas objetivas son imperecederas,
no varían ni desaparecen independientemente de que alguien las
conciba o no. Logramos reconocer los objetos y las verdades
matemáticas que se encuentran en las "esferas celestiales de las ideas“
mediante la intuición matemática que, de manera similar a un órgano
sensorial, hace que los seres humanos percibamos partes de ese otro
mundo. La matemática es inagotable, de modo que no podemos hacer
matemática sin recurrir a la intuición, que no puede reemplazarse por
métodos puramente algorítmicos.
17. INTUICIONISMO
Rep: Brouwer, Heyting
El constructivismo cree que la única concepción de la verdad matemática es la idea de
prueba o demostración. Nuestras teorías matemáticas son constructos intelectuales. Todo
lo que hay es la prueba. Asimismo, los números no existen hasta que se los “construye”, a
través de operaciones que los generan en un número finito de pasos. No hay números allá
afuera, a la espera de ser descubiertos; todos los números que existen están contenidos en
los libros y artículos de los matemáticos. Decir que los números existen es decir que hay
pruebas válidas implicando numerales.
Todo objeto matemático es considerado producto de la mente humana, y, por ende, la
existencia de un objeto es equivalente a la posibilidad de su construcción. Esto contrasta
con el enfoque clásico, que formula que la existencia de un objeto puede ser demostrada
refutando su falsedad. Para los Intuicionistas esto no es válido; la refutación de la falsedad
de un objeto matemático no significa que es posible hallar una prueba constructiva de su
existencia.
Para un intuicionista una construcción es una entidad mental y en ningún caso se pueden
identificar con entidades lingüísticas. El conocimiento matemático se basa en la
aprehensión -que antecede cualquier lenguaje o lógica- de algunos conceptos
matemáticos básicos
Se basa en la intuición primordial de los números naturales ( 1, 2, 3... ). Cada uno de esos
números puede, a partir de la intuición básica del 1, ser "construido" agregando 1 al
anterior.
A partir de lo anterior, el resto de la matemática puede (y debe) ser construida de forma
explícita y rigurosa, lo que requiere un método claro y preciso. Solo entidades cuya
existencia (positiva o negativa) haya sido demostrada de tal manera, o por medio de tal
método, tienen validez matemática . Se podría decir que, desde el punto de vista
intuicionista, las verdades matemáticas no se descubren, se crean.
18. INTUICIONISMO
Para los intuicionistas un (cualquier) ente es valido si y solo si
puede ser construido por medio de un procedimiento
especificado y con un número finito de pasos o operaciones. Pero
¿cual procedimiento específico y finito puede generar el infinito?
Cualquier procedimiento que escojamos solo nos dará algún
número concreto. Consecuentemente, el infinito intuicionista es
solo potencial, a diferencia del "infinito oficial" que lo concibe
como "una totalidad completa y acabada.“
Una proposición matemática es verdadera solo si hay una prueba
de ella; en forma similar, es falsa solo si hay prueba de su
negación. Pero, ¿qué ocurre si no hay pruebas para ninguna de
las dos alternativas? Esta seria indecidible y tendríamos que
romper con la ley del tercero excluido. Como ejemplo, tenemos
la conjetura de Goldbach:
Todo número par mayor que 2 puede expresarse como la suma
de dos números primos.
19. DIALETEISMO
Rep: Graham Priest
Dialeteismo es la creencia de que existen ciertas contradicciones
verdaderas, o dialetheias. En forma más especifica, los dialeteistas creen
que para cierta proposición P, tanto P como su negación, no-P, son
simultáneamente verdaderas. Sostiene que existen proposiciones
verdaderas cuyas negaciones son también verdaderas
El dialeteismo no es en si mismo un sistema de lógica formal, pero
adherir al dialeteismo sin aceptar algún tipo de lógica paraconsistente es
aceptar cualquier cosa, trivialismo.
Para Priest, la necesidad de postular la existencia de contradicciones
verdaderas proviene en primer lugar de la lógica, de la paradoja del
mentiroso y similares. En segundo lugar, de la teoría de conjuntos, ya
que los axiomas más intuitivos resultan en la paradoja de Russell, un
conjunto que pertenece y no pertenece a sí mismo. Y en tercer lugar, de
asuntos empíricos como el movimiento, las contradicciones legales y el
cambio. Su idea es que las teorías lógicas que evitan las contradicciones
por medio de restricciones (como la teoría de Alfred Tarski o la de
Bertrand Russell) se alejan cada vez más del uso que hacemos de
conceptos básicos como «verdad», y aun así no pueden evitar del todo
inconsistencias.
A pesar de que la lógica del dialeteismo parece incompatible con la
clásica, todos los teoremas de la lógica clásica serán verdades en la
lógica del dialeteismo (aunque claro, a veces esas verdades serán
también falsedades).
20. DIALETEISMO
Gödel mostró que en la teoria consistente de la aritmética habian sentencias
que ni elllas ni su negación se podían probar. Una teoría consistente que
contenga enunciados aritmetico no puede probar su consistencia en ella misma.
Para confundir aún más Gödel demostró que dada una teoría intuitivamente
correcta algunas sentencias improbables en el mismo sistema se podrían
demostrar que eran verdaderas.
Las paradojas de la teoría de conjuntos constituyen pruebas para el dialeteismo.
Las soluciones que se han dado consisten en restringir el esquema de
comprensión. Aquí pasa lo mismo que en las paradojas semánticas.
Pero un punto de vista dialeteico ni altera el esquema de comprensión ni niega
las contradicciones. Recordemos que una lógica es paraconsistente si no
permite la explosión, es decir, si sólo algunas fórmulas son verdaderas de tal
modo que no haya trivialidad.
El primer teorema de Gödel dice que cualquier teoría consistente de la aritmética
es incompleta. La paraconsistencia muestra que esto es absolutamente
necesario.
Demos ahora el segundo teorema de la aritmética: Si una teoría de la aritmética
es consistente, la consistencia de la teoría no puede ser probada en la teoría
misma. Se piensa que la consistencia y la no-trivialidad son iguales. Pero en la
lógica paraconsistente esto no es así. T por ejemplo es inconsistente pero no
trivial. Un problema serio sería considerar si la no-trivialidad de una
inconsistente pero no trivial teoría puede ser probada en la misma teoría es algo
real.
21. DIALETEISMO
¿Qué pasa con el programa de Hilbert? Si bien este programa requiere una entera
formalización de la matemática, las motivaciones de Hilbert no necesitan de la formalización
para ser consistente. Instrumentalmente, no importa lo que suceda fuera del núcleo. El punto
es que una extensión sea conservativa sobre el área nuclear. En este sentido, la teoría
inconsistente es compatible con el programa de Hilbert. Sin embargo, en este caso lo buscado
no es lo mismo que lo proporcionado.
La paraconsistencia no destruye los Teoremas de Gödel. Supuesta la consistencia de una
teoría ella socaba cualquier consecuencia discutible. Pero estamos interesados en las teorías
verdaderas. Desde que el dialeteismo es tenido en cuenta no podemos asumir que cualquier
teoría matemática verdadera es consistente. ¿Qué pasa con la Aritmética? ¿podemos suponer
que es inconsistente?
Por el teorema de Gödel mencionado ya: dada una axiomática e intuitivamente correcta teoría
de la aritmética; hay una sentencia que no es probable en la teoría, pero que puede ser
verdadera por un razonamiento intuitivo. Es la fórmula que dice de sí misma que no es
probable.
γ = ¬π(<γ>)
Al igual que los estudiantes aprenden matemáticas por absorción y de pronto reconocen
sentencias coherentes y las distinguen de las falsas; de la misma manera, podemos reconocer
un número infinito de oraciones gramaticales con sentido. Consideremos γ para este sistema
de prueba. Por el teorema, si es sistema es consistente, no podemos probarla en el sistema.
Pero (por el mismo teorema) podemos probarla en una forma intuitiva. Luego por modus
ponens, se sigue que el sistema es inconsistente. Este es un nuevo argumento a favor del
dialeteismo.
La aritmética es inconsistente, pues podemos probar ciertas contradicciones como γ. De
hecho, ella es como la paradoja del mentiroso: “Esta oración no es demostrable”. Si es
probable, es verdadera y luego será no probable. Pero justamente lo que hemos demostrado
es que es demostrable. Esta será la paradoja de Gödel.
22. BIBLIOGRAFÍA
Rodríguez Consuegra, Francisco (2007)
“Filosofía general y filosofía de la matemática
en Gödel” en Analítica, Nº 1, Lima, 2007, pp.
167-186.