Este documento presenta las instrucciones para un examen final de Cálculo III. Indica que no está permitido prestar o intercambiar implementos durante el examen, hacer preguntas sobre las respuestas o usar calculadoras. El examen consta de 6 preguntas sobre temas como funciones continuas, derivadas, puntos críticos, multiplicadores de Lagrange y volúmenes rotacionales.

1. Universidad Industrial de Santander
Escuela de Matemáticas
Cálculo III, Grupo ——
Examen Final
Abril 15, 2012-2
Nombre:
Código:
Instrucciones: Todo trabajo o razonamiento debe ser mostrado para poder obtener todo el puntaje; no serán asignados puntos parciales. Durante
el examen NO está permitido: (i) El préstamo o intercambio de implementos, tales como lápices, lapiceros, borradores, etc. (ii) Realizar preguntas
acerca de las respuestas del examen, porque parte de la evaluación es la comprensión de los enunciados. (iii) El uso de teléfonos celulares y
calculadoras. Este examen tiene 6 preguntas, con un total de 50 puntos.
1. (6 pts) Determine el conjunto de puntos en los cuales la siguiente función es continua.
f(x, y) =



x2
y3
2x2 + y2
si (x, y) = (0, 0),
0 si (x, y) = (0, 0).
Solución: (a) (3 pts) El dominio de f es todo R2
. Como
x2
y3
2x2 + y2
es una función racional, ella es continua en todo punto
(x, y) en donde su denominador 2x2
+ y2
sea diferente de cero. Este denominador es cero si (x, y) = (0, 0). Por lo tanto f
es continua para todo (x, y) = (0, 0).
(b) (3 pt) Veamos la continuidad de f en (0, 0). A lo largo de diferentes curvas que pasan por el origen, el límite de f es
cero. Veamos que
l´ım
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = 0.
Sea ǫ > 0 dado. Buscamos δ > 0 tal que si 0 < x2 + y2 < δ entonces |f(x, y) − 0| < ǫ.
Como (x, y) = (0, 0) y dado que x2
< x2
+ y2
< 2x2
+ y2
=⇒
1
2x2 + y2
<
1
x2
, y2
< x2
+ y2
y |y| < x2 + y2 tenemos que
|f(x, y)| =
x2
|y|3
2x2 + y2
<
x2
|y|3
x2
= |y|3
= y2
|y| < (x2
+ y2
) x2 + y2 < δ2
δ = δ3
para que |f(x, y) − 0| < ǫ tenemos que basta considerar δ3
= ǫ; esto es, δ = 3
√
ǫ.
En efecto, si se elige δ = 3
√
ǫ y se hace 0 < x2 + y2 < δ tenemos que
|f(x, y) − 0| < (x2
+ y2
) x2 + y2 < δ3
= ǫ.
Como f(0, 0) = 0 entonces f también es continuo en (0, 0). Por lo tanto, f es continua en todo R2
.
2. (6 pts) La temperatura en un punto (x, y) es T (x, y), medida en grados Celsius. Un insecto se arrastra de modo que su posición
esta dada por x =
√
1 + t, y = 2 + 1
3 t, donde x y y se miden en centímetros. La función de temperatura satisface Tx(2, 3) = 4
y Ty(2, 3) = 3. ¿Qué tan rápido se eleva la temperatura del insecto después de t = 3 segundos?
Solución: Por la regla de la cadena tenemos que
dT
dt
(3) = Tx(2, 3)
dx
dt
(3) + Ty(2, 3)
dy
dt
(3) = 4 ·
1
2
√
1 + 3
+ 3 ·
1
3
= 2,
lo cual quiere decir que después de tres segundos la temperatura esta aumentando a razón de 2 grados Celsius por segundo.
3. (9 pts) Calcule los valores máximo y mínimos relativos, y punto o puntos de silla de la función f(x, y) = x4
+ y4
− 4xy + 2.
Solución: Puntos críticos: Resolvemos las ecuaciones
fx = 4x3
− 4y = 4(x3
− y) = 0 =⇒ y = x3
fy = 4y3
− 4x = 4(y3
− x) = 0 =⇒ x9
− x = x(x8
− 1) = 0 =⇒ x = 0 o x = ±1,
las cuales nos dan como soluciones (±1, ±1), (0, 0).
Clasificación puntos críticos: Como
fxx(±1, ±1) = 12x2
(±1,±1)
= 12 > 0,
fxx fxy
fyx fyy (±1,±1)
=
12x2
−4
−4 12y2
(±1,±1)
=
12 −4
−4 12
= 136 > 0
entonces f(±1, ±1) = 0 es un mínimo relativo.
fxx(0, 0) = 12x2
(0,0)
= 0,
fxx fxy
fyx fyy (0,0)
=
12x2
−4
−4 12y2
(0,0)
=
0 −4
−4 0
= −16 < 0
entonces f(0, 0) = 2 es punto de silla.
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de 21 posibles

2. Cálculo III, Grupo ——
Examen Final
Abril 15, 2012-2
4. (9 pts) Use multiplicadores de Lagrange para encontrar el máximo y el mínimo valor de la función f(x, y, z) = xyz bajo la
restricción x2
+ 2y2
+ 3z2
= 6.
Solución: NOTA: se me olvido incluir la condición en el problema que x, y, z fueran valores positivos. Sugiero que así lo
evalúen.
Mediante multiplicadores de Lagrange tenemos que debemos resolver el problema
∇f(x, y, z) = λ∇g(x, y, z) = 6, g(x, y, z) = 6,
donde g(x, y, z) = x2
+ 2y2
+ 3z2
. Esto es equivalente a resolver el problema
yz = 2λx =⇒ xyz = 2λx2
xz = 4λy =⇒ xyz = 4λy2
=⇒ 2λx2
= 4λy2
=⇒ x2
= 2y2
xy = 6λz =⇒ xyz = 6λz2
=⇒ 2λx2
= 6λz2
=⇒ x2
= 3z2
x2
+ 2y2
+ 3z2
= 6 =⇒ x2
+ 2y2
+ 3z2
= 6 =⇒ x2
+ x2
+ x2
= 6 =⇒ x2
= 2.
Por lo tanto, x =
√
2, y2
=
x2
2
= 1 =⇒ y = 1, z2
=
x2
3
=
2
3
=⇒ z =
2
3
.
5. (9 pts) Encuentre el volumen del sólido que se encuentra debajo del paraboloide z = x2
+y2
y arriba de la región D en el plano
xy acotada por la recta y = 2x y la parábola y = x2
.
Solución: Para delimitar a D igualamos estas curvas y tenemos que x2
= 2x, por lo cual x2
− 2x = x(x − 2) = 0, de lo
cual se sigue que x = 0, 2. Por lo tanto, D es una región del tipo I y
D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, x2
≤ y ≤ 2x}.
Entonces el volumen bajo z = x2
+ y2
es
V =
¨
D
(x2
+ y2
)dA =
ˆ 1
0
ˆ 2x
x2
(x2
+ y2
) dy dx (Hasta esta parte, 7pts.)
=
ˆ 2
0
−
x6
3
− x4
+
14x3
3
dx = −
x7
21
−
x5
5
+
14x4
12
2
0
=
216
35
. (Esta parte, 2pts.)
6. (11 pts) Determine la masa de la semiesfera x2
+ y2
+ z2
≤ 4, z ≥ 0, con densidad ρ(x, y, z) = y2
x2 + y2 + z2.
Solución: La semiesfera es
E = {(x, y, z) | x2
+ y2
+ z2
≤ 4, z ≥ 0}
y su masa M es
M =
˚
E
ρ(x, y, z) dV =
˚
E
y2
x2 + y2 + z2 dV
Mediante la transformación de coordenadas esféricas tenemos que a la semiesfera la podemos representar de la forma
E = {(ρ, θ, φ) | x = ρ cos θ sen φ, y = ρ sen θ sen φ, z = ρ cos φ, 0 ≤ ρ ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ φ ≤ π/2},
transformación de coordenadas cuyo jacobiano es ρ2
sen φ. Entonces,
M =
ˆ 2
0
ˆ 2π
0
ˆ π/2
0
ρ2
sen2
θ sen2
φ ρ ρ2
sen φ dφ dθ ρ (Hasta esta parte, 9 puntos.)
=
ˆ 2
0
ρ5
dρ ·
ˆ 2π
0
sen2
θ dθ ·
ˆ π/2
0
sen3
φ dφ =
32
3
· π ·
2
3
=
64π
9
(Esta parte, 2 puntos.)
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de 29 posibles