El documento trata sobre ecuaciones diferenciales. Explica que una ecuación diferencial involucra una función desconocida y sus derivadas. Define conceptos como orden de una ecuación diferencial y solución general. Luego presenta varios ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer y segundo orden y muestra los pasos para encontrar sus soluciones.
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Ponente: Isabel Sánchez, ASENORG.
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Ecuaciones diferenciales
1.
2. Es una expresión que involucra a una
función desconocida y sus derivadas.
Ejemplo:
Y+Y¹= 0
3. Ordinarias
Parciales
Orden de una ecuación diferencial
Son como los grados y El orden de la
derivada máxima que aparece en la
ecuación
4. En una función desconocida y la
variable independiente X definida en un
intervalo y es una función que satisface
la ecuación diferencial para todos los
valores de X en el intervalo dado.
Y¹¹= Y biprimaría
5. Y= sen2x + cos2x Y¹¹ + 4y =0
Y¹= 2cos2x – 4cos (2x)
Y¹¹= – 4sen2x – 4 cos (2x)
Comprobación:
– 4sen2x – 4cos2x + 4(sen2x + cos2x)=0
– 4sen2x – 4cos2x + 4sen2x + 4cos2x =0
esto es una solución general
15. (x² + 2xy + x) dx + Y² dy =0
X²dx + 2xy dx + x dx + Y² dy no se puede separar
M= x² + 2xg + x
푀
푑푦
= 2x no se puede con los exactos
N= y²
푁
푑푋
= 0
16. (X² + Y² + X ) dx + xy dy =0
M (x,y) dx + N (x,y) dy =0 │
휕푀
휕푦
=
휕푁
휕푥
M= X² + Y² + X *
휕푀
휕푦
= 2Y
N= XY *
휕푁
휕푥
= Y
No es exacta porque:
휕푀
휕푦
+
휕푁
휕푥
18. a veces es posible encontrar un factor
(que llamamos factor integrante) el cual
al multiplicarse por la ecuación
diferencial la convierte en exacta para
encontrar este factor integrante se utiliza
la sig. Formula:
휕푀
휕푦
=
휕푁
휕푥
__________
N
19. Ahora utilizamos este resultado para
obtener el factor integrante por medio
de la siguiente expresión.
M (x)= e∫
푔 푥 푑푥
= e∫
1
푥
푑푥
= e∫
푑푥
푥 = 푒푙푛푥 = x
20. Ahora multiplicamos la ecuación
diferencial original por este integrante y el
resultado de la multiplicación será una
ecuación diferencial exacta.
(x² + y² + x) dx + xy dy =0
(x³ + x y² + x²) dx + x² y dy =0
M= x³ + xy² + x²
휕푀
휕푦
= 2xy
N= x²y 휕푛
휕푥
= 2xy
22. Solo nos falta encontrar el valor de g (y)
para determinar el valor g (y) derivamos la
función ƒ encontrada con respecto a Y
휕푓
휕푦
= 2y
푥2
2
+ g (y)*
휕푓
휕푦
= x²y + g¹(y)
Este resultado se iguala con N (x²y)
X²y + g¹ (y) = X²y
Simplificado:
+ g¹ (y)= X²y - X²y g¹ (y) = 0
23. Si g¹ (y) = 0 entonces g(y) = C1 es una constante
cualquiera
Por lo tanto la función buscada es:
ƒ =
푥4
4
+ y²
푥2
2
+
푥3
3
+ C1
Y la solución se obtiene igualando esta función a una
constante (C2)
푥4
4
+ y²
푥2
2
+
푥3
3
+ C1 = C2
Simplificando:
푥4
4
+
푥2푦2
2
+
푥3
3
= C
24. Multiplicamos todo por 12 y obtenemos
3푥4 + 4푥3 + 6푥2푦2 = C
12푥4
4
+
12푥2푦2
2
+
12푥3
3
= C
