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Límite de funciones 
Magister Lord Barrera: 
coordinador del área de 
matemática 
Escuelas Profesionales 
de 
Ingeniería Industrial 
Ingeniería de Sistemas 
Ingeniería Empresarial 
II
Lord Barrera 
1. Límite de Funciones 
Nos acercaremos de manera informal al concepto de límite: damos un número 
real a y una función definida en todos los números x próximos de a (puede pasar 
que f no esté definida en a). 
Definición 1.1. Sea un número real L. Decimos que el límite de f (x) cuando x 
tiende al número a es L y escribimos 
l´ım 
x→a 
f (x) = L 
significando: cuando x está bien próximo de a, entonces f (x) está bien próximo 
de L. 
La curva en la figura derecha representa 
la gráfica de una función f . El número a 
está en el eje x y el límite L en el eje y. 
Cuando x se aproxima al número a en el 
eje x, entonces f (x) se aproxima a L en 
el eje y. 
x a x 
x 
y 
x ( ( f 
L 
x ( ( f 
f 
Ejemplo 1.1. Sea la función f (x) = 
x + 1. Cuando x se aproxima a 1, x + 1 
se aproxima a 1+1 = 2. Haciendo L = 2 
concluímos que 
l´ım 
x→1 
(x + 1) = 2. 
x x 
x 
y 
x ( ( f 
1 
2 
-1 
x ( ( f 
1 
Ejemplo 1.2. Sea f (x) = 
 √ 
x +3 si x= 1 
3 si x = 1 
. Cuando x se aproxima a 1, 
entonces √ 
x + 3 se aproxima a 
√ 
1 + 3 = 2. 
Concluímos que 
l´ım 
x→1 
√ 
x + 3 = 2.
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1.1. Propiedades de los Límites 
En esta sección estableceremos algunas fórmulas que nos permitirán calcular 
de manera simple diversos límites. Nuestro objetivo es manipular estas fórmulas 
y familiarizarnos con sus aplicaciones. 
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN CONSTANTE 
A continuación enunciaremos nuestro primer resultado para el cálculo de 
límites. Este resultado consiste de calcular el límite de una función constante 
f (x) = c. 
Teorema 1.3. Para cualquier c ∈ R 
l´ım 
x→a 
c = c . 
Como vemos en la figura derecha, la grá-fica 
de la función constante f (x) = c es 
la recta horizontal pasando por el nivel 
y = 3. Cuando calculamos el límite l´ım 
x→a 
c, 
no importa a qué número se aproxime la 
variable x, el límite que resulta es siempre 
la constante. 
x 
y 
a 
c 
x ( ( f 
x x 
x ( ( f 
Ejemplo 1.4. Algunos límites de funciones constantes son 
l´ım 
x→1 
5 = 5, l´ım 
x→2 
3 = 3, l´ım 
x→5 
(−1) = −1 y l´ım 
x→0 
π = π . 
Ejemplo 1.5. Calcular los siguientes límites 
l´ım 
x→1 
10 = , l´ım 
x→2 
√ 
2 = , l´ım 
x→5 
π = , y l´ım 
x→0 
(−5) = . 
Solución. Ejercicio para el lector. 
2
Lord Barrera 
LÍMITE DE LA FUNCIÓN IDENTIDAD 
A continuación calcularemos el límite de la función identidad f (x) = x. 
Teorema 1.6. 
l´ım 
x→a 
x = a . 
Ejemplo 1.7. Algunos límites son 
l´ım 
x→1 
x = 1, l´ım 
x→2 
x = 2, l´ım 
x→π 
x = π y l´ım 
x→0 
x = 0 . 
Ejemplo 1.8. Calcular los siguientes límites 
l´ım 
x = , l´ım 
x = , l´ım 
x→2 
x→3 
x→ 
√ 
2 
x = y l´ım 
x→1 
x = . 
Solución. Ejercicio para el lector. 
PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LÍMITES 
A continuación estableceremos algunas propiedades algebraicas que nos ayu-darán 
a calcular de manera efectiva límites que involucran expresiones más ex-tensas. 
Estas expresiones pueden ser sumas de funciones, diferencias, o también 
productos y cocientes. 
Teorema 1.9. Se cumplen 
(a) l´ım 
x→a 
 
f (x) + g(x) 
 
= l´ım 
x→a 
f (x) + l´ım 
x→a 
g(x). 
(b) l´ım 
x→a 
 
f (x) − g(x) 
 
= l´ım 
x→a 
f (x) − l´ım 
x→a 
g(x). 
(c) l´ım 
x→a 
 
c f (x) 
 
= c l´ım 
x→a 
f (x), para cualquier c ∈ R. 
(d) l´ım 
x→a 
 
f (x)g(x) 
 
= l´ım 
x→a 
f (x) l´ım 
x→a 
g(x). 
(e) l´ım 
x→a 
f (x) 
g(x) 
= 
l´ım 
x→a 
f (x) 
l´ım 
x→a 
g(x) 
, sabiendo que l´ım 
x→a 
g(x)= 0. 
3
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Ejemplo 1.10. Calcular el siguiente límite 
l´ım 
x→1 
(x + 5) 
Solución. Aplicando la propiedad (a) tenemos 
l´ım 
x→1 
(x + 5) = l´ım 
x→1 
x + l´ım 
x→1 
5 = 1 + 5 = 6 . 
Ejemplo 1.11. Calcular el siguiente límite 
l´ım 
x→2 
(1 − x) 
Solución. Aplicando la propiedad (b) tenemos 
l´ım 
x→2 
(1 − x) = l´ım 
x→2 
1 − l´ım 
x→2 
x = 1 − 2 = −1 . 
Ejemplo 1.12. Calcular el siguiente límite 
l´ım 
x→0 
5(x + 1) 
Solución. Aplicando la propiedad (c) tenemos 
l´ım 
x→0 
5(x + 1) = 5 l´ım 
x→0 
(x + 1) 
= 5 
 
l´ım 
x→0 
x + l´ım 
x→0 
1 
 
= 5 
 
0 + 1 
 
= 5. 
Ejemplo 1.13. Calcular el límite l´ımx→1(x2 + 2x). 
Solución. Desde que 
x2 + 2x = x(x + 2), 
de acuerdo a la propíedad (d) tenemos 
l´ım 
x→1 
(x2 + 2x) = l´ım 
x→1 
x(x + 2) 
= 
 
l´ım 
x→1 
x 
 
l´ım 
x→1 
(x + 2) 
 
= 1(1 + 2) 
= 3. 
4
Lord Barrera 
LÍMITE DE UNA POTENCIA 
Ya vimos en el ítem (d) de las propiedades algebraicas de límites que el límite 
de un producto es el producto de límites. Si aplicamos esto al límite 
l´ım 
x→a 
x2 
tenemos 
l´ım 
x→a 
x2 = 
	 
l´ım 
x→a 
x 

	 
l´ım 
x→a 
x 

 
= a · a = a2 
Generalizando este resultado tenemos: 
Teorema 1.14. Dado un entero positivo n, entonces 
l´ım 
x→a 
xn = an . 
Ejemplo 1.15. Tenemos por ejemplo los límites 
(i) l´ım 
x→1 
x2 = 12 = 1 (ii) l´ım 
x→2 
x4 = 24 = 16 (iii) l´ım 
x→−2 
x3 = (−2)3 = −8 
Ejemplo 1.16. Completar los siguientes límites 
(i) l´ım 
x→3 
x5 = (ii) l´ım 
x→ 
√ 
2 
x2 = (iii) l´ım 
x→−2 
x4 = 
Solución. Ejercicio para el lector. 
Ejemplo 1.17. Calcular el siguiente límite 
l´ım 
x→1 
(2x2 + 4x + 1) 
Solución. Aplicando las propiedades de límites tenemos 
l´ım 
x→1 
(2x2 + 4x + 1) = l´ım 
x→1 
(2x2) + l´ım 
x→1 
(4x) + l´ım 
x→1 
(1) 
= 2 l´ım 
x→1 
(x2) + 4 l´ım 
x→1 
(x) + l´ım 
x→1 
(1) 
= 2(12) + 4(1) + 1 
= 7. 
5
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Ejemplo 1.18. Calcular el siguiente límite 
l´ım 
x→2 
x2 − 5x 
x − 3 
Solución. Desde que l´ım 
x→2 
(x − 3) = −1= 0, podemos aplicar la regla del 
cociente 
l´ım 
x→2 
x2 − 5x 
x − 3 
= 
(x2 − 5x) 
l´ım 
x→2 
l´ım 
x→2 
(x − 3) 
= 
l´ım 
x→2 
(x2) − 5 l´ım 
x→2 
(x) 
l´ım 
x→2 
(x) − l´ım 
x→2 
(3) 
= 
22 − 5(2) 
2 − 3 
= 
−6 
−1 
= 6. 
Podemos generalizar el resultado anterior en la siguiente propiedad 
Proposición 1.19. Si n es un entero positivo y l´ım 
x→a 
f (x) = L, entonces 
l´ım 
x→a 
[ f (x)]n = Ln . 
Ejemplo 1.20. Evaluemos el límite 
l´ım 
x→1 
(x2 + 4x + 4) 
Solución. Sabemos que x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 y que 
l´ım 
x→1 
(x + 2) = 3 
Luego 
l´ım 
x→1 
(x2 + 4x + 4) = l´ım 
x→1 
(x + 2)2 = 32 = 9 . 
6
Lord Barrera 
Teorema 1.21. Si n es un entero positivo y l´ım 
x→a 
f (x) = L, entonces 
l´ım 
x→a 
n  
n 
f (x) = L , donde L  0 si n es par √ 
. 
Ejemplo 1.22. Evaluemos el límite 
l´ım 
x→1 
√ 
x + 8 
Solución. Sabemos que 
l´ım 
x→1 
(x + 8) = 9 
Luego 
l´ım 
x→1 
√ 
x + 8 = 
√ 
9 = 3 . 
Ejemplo 1.23. Evaluar el siguiente límite 
l´ım 
x→−1 
√ 
x + 5 
Solución. Sabemos que 
l´ım 
x→−1 
(x + 5) = 4 
Luego 
l´ım 
x→−1 
√ 
x + 5 = 
√ 
4 = 2 . 
Ejemplo 1.24. Suponga que se cumple 
l´ım 
x→3
ax2 + 2ax = 3 
√ 
10 
Calcular el valor de a. 
Solución. Aplicando límite a la expresión dentro de la raiz 
l´ım 
x→3 
(ax2 + 2ax) = a(3)2 + 2a(3) = 15a 
o sea que 
l´ım 
x→3
ax2 + 2ax = 
√ 
15a = 3 
√ 
10 
Esto significa que 
√ 
15a = 3 
√ 
10, que implica 15a = 90. Por tanto, a = 6. 
7
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LÍMITE DE UNA FUNCIÓN POLINÓMICA 
De las propiedades algebraicas de límites sigue el resultado 
Proposición 1.25. Si p(x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a0 es una función polinómica, 
entonces 
l´ım 
x→a 
p(x) = p(a) . 
Ejemplo 1.26. Evaluemos el límite 
l´ım 
x→−1 
(x5 − 3x3 + 2x) 
Solución. Si consideramos el polinomio 
p(x) = x5 − 3x3 + 2x, 
entonces p(−1) = (−1)5 − 3(−1)3 + 2(−1) = 0 y 
l´ım 
x→−1 
(x5 − 3x3 + 2x) = p(−1) = 0 . 
Ejemplo 1.27. Evaluar el límite 
l´ım 
x→−1 
(x7 − 2x3 + 3x − 1) 
Solución. Evaluando directamente se tiene 
l´ım 
x→−1 
(x7 − 2x3 + 3x − 1) = (−1)7 − 2(−1)3 + 3(−1) − 1 = −3 
Ejemplo 1.28. Si 
l´ım 
x→2 
(ax3 − 2ax2 + 3x) = 21 
Calcular el valor de a. 
Solución. Evaluando conseguimos 
21 = l´ım 
x→2 
(ax3 + 2ax2 + 3x) = a(2)3 + 2a(2)2 + 3(2) = 8a + 8a + 6 = 16a + 16 
o sea que a = 5/16. 
8
Lord Barrera 
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN RACIONAL 
Continuamos con la siguiente propiedad de límite para funciones racionales 
Proposición 1.29. Si p(x) y q(x) son polinomios con q(a)= 0, entonces 
l´ım 
x→a 
p(x) 
q(x) 
= 
p(a) 
q(a) 
. 
Ejemplo 1.30. Evaluemos el límite 
l´ım 
x→3 
x3 − 3x2 + 1 
x2 − 1 
Solución. Desde que (3)2 − 1 = 8= 0, entonces 
l´ım 
x→3 
x3 − 2x2 + 1 
x2 − 1 
= 
(3)3 − 2(3)2 + 1 
(3)2 − 1 
= 
10 
8 
= 
5 
4 
. 
Ejemplo 1.31. Evaluar el límite 
l´ım 
x→2 
x4 + x2 + 5 
x2 + 1 
Solución. Evaluando directamente tenemos 
l´ım 
x→2 
x4 + x2 + 5 
x2 + 1 
= 
(2)4 + (2)2 + 5 
(2)2 + 1 
= 
25 
5 
= 5 . 
Ejemplo 1.32. Evaluar los siguientes límites 
(i) l´ım 
x→2 
x4 + x2 + 5 
x2 + 1 
(ii) l´ım 
x→−1 
5x4 − x3 
2x2 + 3 
(iii) l´ım 
x→0 
x2 + x + 1 
x + 1 
(iv) l´ım 
x→4 
2x + 1 
x 
(v) l´ım 
x→2 
−(x + 1)2 
x + 1 
(vi) l´ım 
x→ 
√ 
2 
x4 + x2 
x2 (vii) l´ım 
x→0 
−x2 + x − 1 
x − 1 
(viii) l´ım 
x→3 
x + 1 
x − 1 
Solución. Ejercicio para el lector. 
9
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1.2. Límite de Funciones Trigonométricas 
Ya sabemos calcular límite de funciones algebraicas. El siguiente teorema dice 
que si a es un número que está en el dominio de una función trigonométrica, 
entonces el límite de la función cuando x se aproxima al punto a, se calcula por 
sustitución. 
Teorema 1.33. (Límite de funciones trigonométricas). Sea a un número en el domi-nio 
de una función trigonométrica. Entonces 
(a) l´ım 
x→a 
sen x = sen a (b) l´ım 
x→a 
cos x = cos a 
(c) l´ım 
x→a 
tg x = tg a (d) l´ım 
x→a 
cot x = cot a 
(e) l´ım 
x→a 
sec x = sec a (f) l´ım 
x→a 
csc x = csc a 
Ejemplo 1.34. Calcular los límites 
(i) l´ım 
x→π/4 
x cos x (ii) l´ım 
x→π/2 
(x2 + sen x) (iii) l´ım 
x→π/3 
sen x cos x 
Solución. 
(i) l´ım 
x→π/4 
x cos x = 

 
l´ım 
x→π/4 
x 

 
l´ım 
x→π/4 
cos x 
 
= 
π 
4 
cos π 
4 
= 
π 
4 
√ 
2 
2 
= 
π 
√ 
2 
8 
(ii) l´ım 
x→π/2 
(x2 + sen x) = l´ım 
x→π/2 
x2 + l´ım 
x→π/2 
sen x 
= 
	π 
2 

2 
+ sen π 
2 
= 
π2 
4 
+ 1 = 
π2 + 4 
4 
(iii) 
l´ım 
x→π/3 
sen x cos x = sen(π/3) cos(π/3) = 
√ 
3 
2 

 
1 
2 
 
= 
√ 
3 
4 
. 
10

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Limite de funciones

  • 1. Límite de funciones Magister Lord Barrera: coordinador del área de matemática Escuelas Profesionales de Ingeniería Industrial Ingeniería de Sistemas Ingeniería Empresarial II
  • 2. Lord Barrera 1. Límite de Funciones Nos acercaremos de manera informal al concepto de límite: damos un número real a y una función definida en todos los números x próximos de a (puede pasar que f no esté definida en a). Definición 1.1. Sea un número real L. Decimos que el límite de f (x) cuando x tiende al número a es L y escribimos l´ım x→a f (x) = L significando: cuando x está bien próximo de a, entonces f (x) está bien próximo de L. La curva en la figura derecha representa la gráfica de una función f . El número a está en el eje x y el límite L en el eje y. Cuando x se aproxima al número a en el eje x, entonces f (x) se aproxima a L en el eje y. x a x x y x ( ( f L x ( ( f f Ejemplo 1.1. Sea la función f (x) = x + 1. Cuando x se aproxima a 1, x + 1 se aproxima a 1+1 = 2. Haciendo L = 2 concluímos que l´ım x→1 (x + 1) = 2. x x x y x ( ( f 1 2 -1 x ( ( f 1 Ejemplo 1.2. Sea f (x) = √ x +3 si x= 1 3 si x = 1 . Cuando x se aproxima a 1, entonces √ x + 3 se aproxima a √ 1 + 3 = 2. Concluímos que l´ım x→1 √ x + 3 = 2.
  • 3. www.lordbarrera.com.pe 1.1. Propiedades de los Límites En esta sección estableceremos algunas fórmulas que nos permitirán calcular de manera simple diversos límites. Nuestro objetivo es manipular estas fórmulas y familiarizarnos con sus aplicaciones. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN CONSTANTE A continuación enunciaremos nuestro primer resultado para el cálculo de límites. Este resultado consiste de calcular el límite de una función constante f (x) = c. Teorema 1.3. Para cualquier c ∈ R l´ım x→a c = c . Como vemos en la figura derecha, la grá-fica de la función constante f (x) = c es la recta horizontal pasando por el nivel y = 3. Cuando calculamos el límite l´ım x→a c, no importa a qué número se aproxime la variable x, el límite que resulta es siempre la constante. x y a c x ( ( f x x x ( ( f Ejemplo 1.4. Algunos límites de funciones constantes son l´ım x→1 5 = 5, l´ım x→2 3 = 3, l´ım x→5 (−1) = −1 y l´ım x→0 π = π . Ejemplo 1.5. Calcular los siguientes límites l´ım x→1 10 = , l´ım x→2 √ 2 = , l´ım x→5 π = , y l´ım x→0 (−5) = . Solución. Ejercicio para el lector. 2
  • 4. Lord Barrera LÍMITE DE LA FUNCIÓN IDENTIDAD A continuación calcularemos el límite de la función identidad f (x) = x. Teorema 1.6. l´ım x→a x = a . Ejemplo 1.7. Algunos límites son l´ım x→1 x = 1, l´ım x→2 x = 2, l´ım x→π x = π y l´ım x→0 x = 0 . Ejemplo 1.8. Calcular los siguientes límites l´ım x = , l´ım x = , l´ım x→2 x→3 x→ √ 2 x = y l´ım x→1 x = . Solución. Ejercicio para el lector. PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LÍMITES A continuación estableceremos algunas propiedades algebraicas que nos ayu-darán a calcular de manera efectiva límites que involucran expresiones más ex-tensas. Estas expresiones pueden ser sumas de funciones, diferencias, o también productos y cocientes. Teorema 1.9. Se cumplen (a) l´ım x→a f (x) + g(x) = l´ım x→a f (x) + l´ım x→a g(x). (b) l´ım x→a f (x) − g(x) = l´ım x→a f (x) − l´ım x→a g(x). (c) l´ım x→a c f (x) = c l´ım x→a f (x), para cualquier c ∈ R. (d) l´ım x→a f (x)g(x) = l´ım x→a f (x) l´ım x→a g(x). (e) l´ım x→a f (x) g(x) = l´ım x→a f (x) l´ım x→a g(x) , sabiendo que l´ım x→a g(x)= 0. 3
  • 5. www.lordbarrera.com.pe Ejemplo 1.10. Calcular el siguiente límite l´ım x→1 (x + 5) Solución. Aplicando la propiedad (a) tenemos l´ım x→1 (x + 5) = l´ım x→1 x + l´ım x→1 5 = 1 + 5 = 6 . Ejemplo 1.11. Calcular el siguiente límite l´ım x→2 (1 − x) Solución. Aplicando la propiedad (b) tenemos l´ım x→2 (1 − x) = l´ım x→2 1 − l´ım x→2 x = 1 − 2 = −1 . Ejemplo 1.12. Calcular el siguiente límite l´ım x→0 5(x + 1) Solución. Aplicando la propiedad (c) tenemos l´ım x→0 5(x + 1) = 5 l´ım x→0 (x + 1) = 5 l´ım x→0 x + l´ım x→0 1 = 5 0 + 1 = 5. Ejemplo 1.13. Calcular el límite l´ımx→1(x2 + 2x). Solución. Desde que x2 + 2x = x(x + 2), de acuerdo a la propíedad (d) tenemos l´ım x→1 (x2 + 2x) = l´ım x→1 x(x + 2) = l´ım x→1 x l´ım x→1 (x + 2) = 1(1 + 2) = 3. 4
  • 6. Lord Barrera LÍMITE DE UNA POTENCIA Ya vimos en el ítem (d) de las propiedades algebraicas de límites que el límite de un producto es el producto de límites. Si aplicamos esto al límite l´ım x→a x2 tenemos l´ım x→a x2 = l´ım x→a x l´ım x→a x = a · a = a2 Generalizando este resultado tenemos: Teorema 1.14. Dado un entero positivo n, entonces l´ım x→a xn = an . Ejemplo 1.15. Tenemos por ejemplo los límites (i) l´ım x→1 x2 = 12 = 1 (ii) l´ım x→2 x4 = 24 = 16 (iii) l´ım x→−2 x3 = (−2)3 = −8 Ejemplo 1.16. Completar los siguientes límites (i) l´ım x→3 x5 = (ii) l´ım x→ √ 2 x2 = (iii) l´ım x→−2 x4 = Solución. Ejercicio para el lector. Ejemplo 1.17. Calcular el siguiente límite l´ım x→1 (2x2 + 4x + 1) Solución. Aplicando las propiedades de límites tenemos l´ım x→1 (2x2 + 4x + 1) = l´ım x→1 (2x2) + l´ım x→1 (4x) + l´ım x→1 (1) = 2 l´ım x→1 (x2) + 4 l´ım x→1 (x) + l´ım x→1 (1) = 2(12) + 4(1) + 1 = 7. 5
  • 7. www.lordbarrera.com.pe Ejemplo 1.18. Calcular el siguiente límite l´ım x→2 x2 − 5x x − 3 Solución. Desde que l´ım x→2 (x − 3) = −1= 0, podemos aplicar la regla del cociente l´ım x→2 x2 − 5x x − 3 = (x2 − 5x) l´ım x→2 l´ım x→2 (x − 3) = l´ım x→2 (x2) − 5 l´ım x→2 (x) l´ım x→2 (x) − l´ım x→2 (3) = 22 − 5(2) 2 − 3 = −6 −1 = 6. Podemos generalizar el resultado anterior en la siguiente propiedad Proposición 1.19. Si n es un entero positivo y l´ım x→a f (x) = L, entonces l´ım x→a [ f (x)]n = Ln . Ejemplo 1.20. Evaluemos el límite l´ım x→1 (x2 + 4x + 4) Solución. Sabemos que x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 y que l´ım x→1 (x + 2) = 3 Luego l´ım x→1 (x2 + 4x + 4) = l´ım x→1 (x + 2)2 = 32 = 9 . 6
  • 8. Lord Barrera Teorema 1.21. Si n es un entero positivo y l´ım x→a f (x) = L, entonces l´ım x→a n n f (x) = L , donde L 0 si n es par √ . Ejemplo 1.22. Evaluemos el límite l´ım x→1 √ x + 8 Solución. Sabemos que l´ım x→1 (x + 8) = 9 Luego l´ım x→1 √ x + 8 = √ 9 = 3 . Ejemplo 1.23. Evaluar el siguiente límite l´ım x→−1 √ x + 5 Solución. Sabemos que l´ım x→−1 (x + 5) = 4 Luego l´ım x→−1 √ x + 5 = √ 4 = 2 . Ejemplo 1.24. Suponga que se cumple l´ım x→3
  • 9. ax2 + 2ax = 3 √ 10 Calcular el valor de a. Solución. Aplicando límite a la expresión dentro de la raiz l´ım x→3 (ax2 + 2ax) = a(3)2 + 2a(3) = 15a o sea que l´ım x→3
  • 10. ax2 + 2ax = √ 15a = 3 √ 10 Esto significa que √ 15a = 3 √ 10, que implica 15a = 90. Por tanto, a = 6. 7
  • 11. www.lordbarrera.com.pe LÍMITE DE UNA FUNCIÓN POLINÓMICA De las propiedades algebraicas de límites sigue el resultado Proposición 1.25. Si p(x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a0 es una función polinómica, entonces l´ım x→a p(x) = p(a) . Ejemplo 1.26. Evaluemos el límite l´ım x→−1 (x5 − 3x3 + 2x) Solución. Si consideramos el polinomio p(x) = x5 − 3x3 + 2x, entonces p(−1) = (−1)5 − 3(−1)3 + 2(−1) = 0 y l´ım x→−1 (x5 − 3x3 + 2x) = p(−1) = 0 . Ejemplo 1.27. Evaluar el límite l´ım x→−1 (x7 − 2x3 + 3x − 1) Solución. Evaluando directamente se tiene l´ım x→−1 (x7 − 2x3 + 3x − 1) = (−1)7 − 2(−1)3 + 3(−1) − 1 = −3 Ejemplo 1.28. Si l´ım x→2 (ax3 − 2ax2 + 3x) = 21 Calcular el valor de a. Solución. Evaluando conseguimos 21 = l´ım x→2 (ax3 + 2ax2 + 3x) = a(2)3 + 2a(2)2 + 3(2) = 8a + 8a + 6 = 16a + 16 o sea que a = 5/16. 8
  • 12. Lord Barrera LÍMITE DE UNA FUNCIÓN RACIONAL Continuamos con la siguiente propiedad de límite para funciones racionales Proposición 1.29. Si p(x) y q(x) son polinomios con q(a)= 0, entonces l´ım x→a p(x) q(x) = p(a) q(a) . Ejemplo 1.30. Evaluemos el límite l´ım x→3 x3 − 3x2 + 1 x2 − 1 Solución. Desde que (3)2 − 1 = 8= 0, entonces l´ım x→3 x3 − 2x2 + 1 x2 − 1 = (3)3 − 2(3)2 + 1 (3)2 − 1 = 10 8 = 5 4 . Ejemplo 1.31. Evaluar el límite l´ım x→2 x4 + x2 + 5 x2 + 1 Solución. Evaluando directamente tenemos l´ım x→2 x4 + x2 + 5 x2 + 1 = (2)4 + (2)2 + 5 (2)2 + 1 = 25 5 = 5 . Ejemplo 1.32. Evaluar los siguientes límites (i) l´ım x→2 x4 + x2 + 5 x2 + 1 (ii) l´ım x→−1 5x4 − x3 2x2 + 3 (iii) l´ım x→0 x2 + x + 1 x + 1 (iv) l´ım x→4 2x + 1 x (v) l´ım x→2 −(x + 1)2 x + 1 (vi) l´ım x→ √ 2 x4 + x2 x2 (vii) l´ım x→0 −x2 + x − 1 x − 1 (viii) l´ım x→3 x + 1 x − 1 Solución. Ejercicio para el lector. 9
  • 13. www.lordbarrera.com.pe 1.2. Límite de Funciones Trigonométricas Ya sabemos calcular límite de funciones algebraicas. El siguiente teorema dice que si a es un número que está en el dominio de una función trigonométrica, entonces el límite de la función cuando x se aproxima al punto a, se calcula por sustitución. Teorema 1.33. (Límite de funciones trigonométricas). Sea a un número en el domi-nio de una función trigonométrica. Entonces (a) l´ım x→a sen x = sen a (b) l´ım x→a cos x = cos a (c) l´ım x→a tg x = tg a (d) l´ım x→a cot x = cot a (e) l´ım x→a sec x = sec a (f) l´ım x→a csc x = csc a Ejemplo 1.34. Calcular los límites (i) l´ım x→π/4 x cos x (ii) l´ım x→π/2 (x2 + sen x) (iii) l´ım x→π/3 sen x cos x Solución. (i) l´ım x→π/4 x cos x = l´ım x→π/4 x l´ım x→π/4 cos x = π 4 cos π 4 = π 4 √ 2 2 = π √ 2 8 (ii) l´ım x→π/2 (x2 + sen x) = l´ım x→π/2 x2 + l´ım x→π/2 sen x = π 2 2 + sen π 2 = π2 4 + 1 = π2 + 4 4 (iii) l´ım x→π/3 sen x cos x = sen(π/3) cos(π/3) = √ 3 2 1 2 = √ 3 4 . 10
  • 14. Lord Barrera Teorema 1.35. (Límites trigonométricos importantes). Se cumplen: l´ım x→0 sen x x = 1 y l´ım x→0 1 − cos x x = 0 Ejemplo 1.36. Evaluar el siguiente límite l´ım h→0 sen 4h h Solución. Haciendo x = 4h, entonces tenemos sen 4h h = 4 sen 4h 4h = 4 sen x x La nueva variable x tiende a cero cuando h → 0, pues, x es múltiplo de h. Por tanto, cambiamos el límite h → 0 por x → 0 y obtenemos l´ım h→0 sen 4h h = l´ım x→0 4 sen x x = 4 l´ım x→0 sen x x = 4(1) = 4 . Ejemplo 1.37. Evaluar el siguiente límite l´ım x→0 tg x x Solución. l´ım x→0 tg x x = l´ım x→0 sen x x · 1 cos x = l´ım x→0 sen x x · l´ım x→0 1 cos x = (1)(1) = 1 . Ejemplo 1.38. Evaluar el siguiente límite l´ım h→0 sen 3h 2h Solución. Ejercicio para el lector. 11
  • 15. www.lordbarrera.com.pe TÉCNICA DEL SANDWICH Las técnicas anteriores son muy buenas pero no resuelven todas las situacio-nes, como vemos a continuación. Por ejemplo, si queremos calcular l´ımx→0 x2 sen 1 x entonces una herramienta útil es el siguiente teorema Teorema 1.39. (El sandwich). Supongamos que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x en un intervalo centrado en a (es posible que no lo contenga). Si l´ım x→a f (x) = L = l´ım x→a h(x) entonces l´ım x→a g(x) = L Ejemplo 1.40. Calcular el límite l´ım x→0 x2 sen 1 x Solución. Desde que −1 ≤ sen t ≤ 1 para todo número real t, entonces −1 ≤ sen 1 x ≤ 1 para todo x= 0 Por tanto, −x2 ≤ x2 sen 1 x ≤ x2, x= 0 Sean f (x) = −x2, g(x) = x2 sen 1 x y h(x) = x2 Entonces f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) Desde que l´ım x→0 f (x) = l´ım x→0 (−x2) =0 y l´ım x→0 h(x) = l´ım x→0 (x2) = 0 El teorema del sandwich implica que l´ım x→0 g(x) = l´ım x→0 x2 sen 1 x = 0 . 12