Este documento presenta 11 problemas de cálculo integral resueltos paso a paso. Los problemas involucran integrales definidas e indefinidas de funciones trigonométricas, exponenciales y racionales. El documento también incluye definiciones básicas de la integral indefinida y la anti-derivación.
Históricamente la idea de integral se halla unida al cálculo de áreas a través del teorema fundamental del cálculo. Ampliamente puede decirse que la integral contiene información de tipo general mientras que la derivada la contiene de tipo local.
El Concepto operativo de integral se basa en una operación contraria a la derivada a tal razón se debe su nombre de: antiderivada.
Las reglas de la derivación son la base que de cada operación de integral indefinida o antiderivada.
Es importante tener en cuenta que cuando se invierte algo donde intervienen más de una operación, éstas han de invertirse pero en orden opuesto. Por aclarar esto, si se considera la operación de ponerse el calcetín y después el zapato, lo inverso será primero quitarse el zapato y luego el calcetín. Cuando tenemos xn, al derivar multiplicamos por el exponente y luego disminuimos éste en una unidad, lo inverso será, primero aumentar el exponente en una unidad y después dividir por el exponente, lo cual es el procedimiento que se toma al resolver una operación de antiderivada, también llamada integral indefinida o primitiva de una función.
A la hora de hablar de antiderivadas intervienen más elementos como son los llamados máximos y mínimos que básicamente son las alturas a la que llega la curva trazada de una función, la cual puede ser cóncava. Otros de los elementos a mencionar son: la monotonía, valores extremos de una función.
1. TRABAJO COLABORATIVO FASE 1
GRUPO 100411A_220
CARLOS ANDRES QUIROGA SANCHEZ
CÓDIGO 1099547122
VIVIANA RINCÓN PARDO
CÓDIGO 1017144498
TUTOR
JAVIER FERNANDO MELO CUBIDES
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD
CENTRO DE ESTUDIOS A DISTANCIA CEAD VELEZ
CALCULO INTEGRAL
2. PROBLEMAS PROPUESTOS
La antiderivada de una función f (x) es otra función g(x) cuya derivada es f(x). En algunos
textos la antiderivada de f recibe el nombre de integral indefinida de f. La anti diferenciación
es el proceso inverso a la diferenciación.
Hallar la solución de las siguientes integrales paso a paso, teniendo en cuenta las propiedades
de las integrales indefinidas, las cuales son consecuencia de las aplicadas en la diferenciación.
1. ∫
𝑥5+ 3𝑥−2
𝑥3 𝑑𝑥 =
∫
𝑥5
𝑥3 𝑑𝑥 + ∫
3𝑥
𝑥3 𝑑𝑥 − ∫
2
𝑥3 dx
= ∫ 𝑥2
𝑑𝑥 + ∫
3
𝑥2 𝑑𝑥 − ∫
2
𝑥3 𝑑𝑥 =
𝑥3
3
− 3𝑥−1
+ 𝑥−2
+ 𝐶
2. ∫ (sen (x) + 3 se𝑐2 ( 𝑥))𝑑𝑥 =
∫ sen (x) dx + ∫ 3 se𝑐2 ( 𝑥) 𝑑𝑥 =
- cos (x) + 3 tan (x) =
3 tan (x) – cos (x) + c
6. 8. ∫
𝑐𝑜𝑠3( 𝑡) + 1
𝑐𝑜𝑠2(𝑡)
𝑑𝑡 =
∫
𝑐𝑜𝑠3( 𝑡)
𝑐𝑜𝑠2 ( 𝑡)
+
1
𝑐𝑜𝑠2 ( 𝑡)
=
∫ cos( 𝑡) + ∫
1
1 − 𝑠𝑒𝑛2 (𝑡)
=
𝑠𝑒𝑛 ( 𝑡) + 𝑡𝑎𝑛 (𝑡)
Un teorema generalmente posee un número de premisas que deben ser enumeradas o
aclaradas de antemano. Luego existe una conclusión, una afirmación lógica o matemática, la
cual es verdadera bajo las condiciones dadas. El contenido informativo del teorema es la
relación que existe entre las hipótesis y la tesis o conclusión.
9. Encuentre el valor promedio de g(x)= 𝑥2
√1 + 𝑥3 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [0,2].
10. Halle el valor medio de la función g(x)=2x -2𝑥2
en el intervalo [0,1].
. sea 𝐻( 𝑥) = ∫ (2𝑡 − 4) 𝑑𝑡. ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝐻´( 𝑥)
𝑥2
𝑙
.
𝐻( 𝑥) = 𝑡2
− 4𝑡 ∫ 𝐻 𝑥4
− 4𝑥2
− 1 + 4
𝐻′( 𝑥) = 4𝑥3
− 8𝑥
7. 11. aplicar el segundo teorema fundamental del cálculo para resolver
:∫ 𝑠𝑒𝑛3(2𝑥)
𝜋
4⁄
0
𝑐𝑜𝑠(2𝑥) 𝑑𝑥
1
8
𝑠𝑒𝑛4
2𝑥 ∫ =
1
8
𝜋
4⁄
0
[1,0] =
1
8