Este documento presenta la resolución de varios sistemas de ecuaciones de segundo grado con dos incógnitas a través de los métodos de sustitución y factorización. Se muestran ejemplos como resolver sistemas donde se despeja una variable en una ecuación para sustituir en la otra, y también donde se factoriza una ecuación para resolver el sistema. En todos los casos se obtienen las posibles soluciones de las incógnitas planteadas.

1. Sistemas de ecuaciones. Aplicaciones
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02. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones



=+
=⋅
4
3
yx
yx
Despejamos la "x" de la segunda ecuación:
x = 4 – y
Sustituimos en la primera:
(4 – y)·y = 3
4y – y2
= 3
– y2
+ 4y – 3 = 0
y2
– 4y + 3 = 0
Resolvemos la ecuación de segundo grado:
y =
12
314164
·
··−±
=
2
44 ±
=
2
24 ±
=
y1 = 3 ; y2 = 1
x = 4 – y
y1 = 3 → x1 = 1
(1, 3)
y2 = 1 → x2 = 3
(3, 1)
04 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones



=
=+
18
9
xy
yx
Despejamos la "x" de la primera ecuación:
x = 9 – y
Sustituimos en la segunda:
(9 – y) · y = 18
9y – y2
= 18
– y2
– 9y – 18 = 0
y2
+ 9y + 18 = 0
y =
12
1814819
·
··−±−
=
2
72819 −±−
=
2
99 ±−
=
2
39 ±−
=
y1 =
2
39 +−
=
2
6−
= – 3
y2 =
2
39 −−
=
2
12−
= – 6
x = 9 – y
y1 = – 3 → x1 = 12
(12, – 3)
y2 = – 6 → x2 = 15
(15, – 6)

2. Resolución de sistemas de ecuaciones de segundo grado...
...con 2 incógnitas2
05



=
=−
6
33
xy
yx
Despejamos la "y" de la primera ecuación:
– y = 3 – 3x
y = – 3 + 3x
Sustituimos en la segunda:
x (3x – 3) = 6
3x2
– 3x = 6
3x2
– 3x – 6 = 0
x2
– x – 2 = 0
Resolvemos la ecuación de segundo grado:
x =
12
21411
·
)·(· −−±
=
2
811 +±
=
2
31±
=
x1 =
2
31+
=
2
4
= 2
x2 =
2
31−
=
2
2−
= – 1
y = – 3 + 3x
x1 = 2 → y1 = 3
(2, 3)
x1 = – 1 → y1 = – 6
(– 1, – 6)
07



=+
=⋅
2957
6
yx
yx
Despejamos la "x" de la primera ecuación:
x =
y
6
Sustituimos en la segunda:
7·
y
6
+ 5y = 29
y
42
+ 5y = 29
42 + 5y2
= 29y
5y2
– 29y + 42 = 0

3. Sistemas de ecuaciones. Aplicaciones
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y =
52
42542929 2
·
··−±
=
10
129 ±
=
10
129 ±
=
y1 =
10
129 +
= 3
y2 =
10
129 −
= 4/15 = 2.8
Sustituimos en: x =
y
6
y1 = 3 → x1 = 2
(2, 3)
y1 = 2.8 → x1 = 15/7
(15/7, 2.8) = (15/7, 14/5)
08



=−
=⋅
834
20
yx
yx
Despejamos la "x" de la primera ecuación:
x =
y
20
Sustituimos en la segunda:
4·
y
20
– 3y = 8
y
80
– 3y = 8
80 – 3y2
= 8y
– 3y2
– 8y + 80 = 0
3y2
+ 8y – 80 = 0
Resolvemos la ecuación de segundo grado:
y =
32
803488 2
·
)(·· −−±−
=
6
10248 ±−
=
6
328 ±−
=
y1 =
6
328 +−
=
6
24
= 4
y2 =
6
328 −−
=
6
40−
=
3
20−
x =
y
20
y1 = 4 → x1 = 5
(5, 4)
y1 =
3
20−
→ x1 = 3
(3, – 20/3)