Sistemas de ecuaciones

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©Abel Martín & Marta Martín Sierra 1
13



=−−
=+−
21
213
yx
yx
RESOLUCIÓN



=−−
=+−
− 21
213
1
1
yx
yx
)(
)(
→
040
21
213
=+



−=+
=+−
yx
yx
yx
4y = 0
y = 0
Sustituimos el valor obtenido en la primera ecuación:
– x + 3y = 21
– x + 3·0 = 21
– x = 21
x = – 21
x = – 21 ; y = 0 ; Esta solución es común en ambas ecuaciones
Geométricamente se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (– 21, 0)
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
Comprobación de las soluciones con la calculadora
15



=+
−=−
52
943
yx
yx
RESOLUCIÓN



=+
−=−
52
943
4
1
yx
yx
)(
)(
→
11011
2048
943
=+



=+
−=−
yx
yx
yx
11x = 11
x = 1
Sustituimos el valor obtenido en la segunda ecuación:
2x + y = 5
2·1 + y = 5
y = 5 – 2
y = 3
x = 1 ; y = 3 Esta solución es común en ambas ecuaciones
Geométricamente se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (1, 3)
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
Comprobación de las soluciones con la calculadora
16



=−
=−
722
5
yx
yx
RESOLUCIÓN

2. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas



=−
=−
+
−
722
5
1
2
yx
yx
)(
)(
→
300
722
1022
−=+



=−
−=+−
yx
yx
yx
0 = 3
Pero como 0 ≠ – 3 → Incoherencia
No existe ninguna solución común en ambas ecuaciones
Geométricamente se trata de 2 rectas paralelas
Sistema INCOMPATIBLE
Comprobación de las soluciones con la calculadora
17



−=+−
−=−−
yx
yx
52
1
RESOLUCIÓN
Colocamos los términos semejantes en la misma columna:



−=+−
−=−−
− 52
1
1
2
yx
yx
)(
)(
→
330
52
222
=−



=−
−=−−
yx
yx
yx
– 3y = 3
3y = – 3
y = – 1
Sustituimos el valor obtenido en la primera ecuación:
– x – y = – 1
– x – (– 1) = – 1
– x + 1 = – 1
– x = – 2
x = 2
x = 2 ; y = – 1 Esta solución es común en ambas ecuaciones
Geométricamente se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (2, – 1)
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
18



=−
=+
22
112
yx
yx
RESOLUCIÓN



=−
=+
− 22
112
1
2
yx
yx
)(
)(

2050
22
2242
=+



−=+−
=+
yx
yx
yx
5y = 20
y = 20/5
y = 4
Sustituimos el valor obtenido en la primera ecuación:
x + 2y = 11 → x + 2·4 = 11
x = 11 – 8
x = 3

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x = 3 ; y = 4 Esta solución es común en ambas ecuaciones
Geométricamente se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (3, 4)
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
Comprobación de las soluciones con la calculadora
20



=−
=+
yx
yx
283
32
RESOLUCIÓN



=−
=+
823
32
1
2
yx
yx
)(
)(
→
1407
823
624
=+



=−
=+
yx
yx
yx
7x =14
x = 14/7
x = 2
Sustituimos el valor obtenido en la primera ecuación:
2x + y = 3
2·2 + y = 3
y = 3 – 4
y = – 1
x = 2 ; y = – 1 ; Esta solución es común en ambas ecuaciones
Geométricamente se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (2, – 1)
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
Comprobación de las soluciones con la calculadora
21



−=
=−
yx
yx
10
162
RESOLUCIÓN



=+
=−
+
−
10
162
1
1
yx
yx
)(
)(
→
630
10
162
−=+



=+
−=+−
yx
yx
yx
y = – 6/3
y = – 2
Sustituimos en la segunda ecuación: x = 10 – y
x = 10 – (– 2)
x = 12
x = 12 ; y = – 2 ; Esta solución es común en ambas ecuaciones
Geométricamente se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (12, – 2)
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
Comprobación de las soluciones con la calculadora

4. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
23



−=−
=−
xy
yx
224
28
Vamos a resolverlo por diferentes métodos:
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE REDUCCIÓN:
Colocamos los términos semejantes de las ecuaciones en la misma columna:



=−
=−
+
−
242
82
1
2
yx
yx
)(
)(
→
1400
242
1642
−=+



=−
−=+−
yx
yx
yx
0 = – 14
Pero como 0 ≠ – 14
Incoherencia
No existe ninguna solución común en ambas ecuaciones
Geométricamente se trata de 2 rectas paralelas
Sistema INCOMPATIBLE
Comprobación de las soluciones con la calculadora
24



=+
=+
92
5
yx
yx



=+
=+
+
−
92
5
1
2
yx
yx
)(
)(
→
10
92
1022
−=−



=+
−=−−
y
yx
yx
y = 1
x + y = 5 → x + 1 = 5
x = 4
x = 4 ; y = 1 ; Esta solución es común en ambas ecuaciones.
Geométricamente se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (4, 1)
Sistema COMPATIBLE DETERMINADO
Comprobación de las soluciones con la calculadora
13



=−−
=+−
21
213
yx
yx
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN:
Despejamos la x de la segunda ecuación:
– x – y = 21
– x = 21 + y → x = – 21 – y

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Sustituimos el valor de "x" en la primera ecuación – x + 3y = 21
– (– 21 – y) + 3y = 21
21 + y + 3y = 21
4y = 21 – 21 → 4y = 0
y = 0
Sustituimos el valor obtenido en la primera ecuación:
– x + 3y = 21
– x + 3·0 = 21
– x = 21
x = – 21
x = – 21 ; y = 0 ; Esta solución es común en ambas ecuaciones
Geométricamente se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (– 21, 0)
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
15



=+
−=−
52
943
yx
yx
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN:
Despejamos la "y" de la segunda ecuación:
2x + y = 5
y = 5 – 2x
Sustituimos el valor de "y" en la primera ecuación 3x – 4y = – 9
3x – 4 (5 – 2x) = – 9
3x – 20 + 8x = – 9
3x + 8x = – 9 + 20 11x = 11
x = 1
Sustituimos el valor de "x" en la primera ecuación 3x – 4y = – 9
3·1 – 4y = – 9
– 4y = – 9 – 3 – 4y = – 12 4y = 12
y = 12/4 y = 3
x = 1 ; y = 3 ; Esta solución es común en ambas ecuaciones
Geométricamente se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (1, 3)
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
16



=−
=−
722
5
yx
yx
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN:
Despejamos la "x" de la primera ecuación: x = 5 + y
Sustituimos el valor de "x" en la segunda 2x – 2y = 7
2(5 + y) – 2y = 7
10 + 2y – 2y = 7
0y = 7 – 10
0 = – 3
Pero como 0 ≠ – 3 → Incoherencia
No existe ninguna solución común en ambas ecuaciones
Geométricamente se trata de 2 rectas paralelas
Sistema INCOMPATIBLE
17



−=+−
−=−−
yx
yx
52
1

6. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN:
Despejamos la "x" de la primera ecuación:
– x = – 1 + y
x = 1 – y
Sustituimos el valor de "x" en la segunda ecuación – 2x + 5 = – y
– 2(1 – y) + 5 = – y
– 2 + 2y + 5 = – y
2y + y = 2 – 5
3y = – 3
y = – 1
Sustituimos el valor obtenido en la primera ecuación:
– x – y = – 1
– x – (– 1) = – 1 – x + 1 = – 1
– x = – 2
x = 2
x = – 1 ; y = 2 ; Esta solución es común en ambas ecuaciones
Geométricamente se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (2, – 1)
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
18



=−
=+
22
112
yx
yx
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE IGUALACIÓN:
Por ejemplo despejamos la x
x + 2y = 11
x = 11 – 2y
2x = 2 + y
x =
2
2 y+
11 – 2y =
2
2 y+
Sustituimos el valor de "x" en la segunda ecuación 2x – y = 2
2(11 – 2y) = 2 + y
22 – 4y = 2 + y
– 4y – y = 2 – 22
– 5y = – 20 → 5y = 20
y = 4
Sustituimos el valor de "x" en la primera ecuación x + 2y = 11
x + 2·4 = 11
x = 11 – 8
x = 3
x = 3 ; y = 4 ; Esta solución es común en ambas ecuaciones
Geométricamente se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (3, 4)
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
20



=−
=+
yx
yx
283
32
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE IGUALACIÓN:
Por ejemplo despejamos la y

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y = 3 – 2x
y =
2
83 −x
3 – 2x =
2
83 −x
2(3 – 2x) = 3x – 8
6 – 4x = 3x – 8
6 + 8 = 3x + 4x
7x = 14
x = 2
Sustituimos el valor obtenido en la primera ecuación: y = 3 – 2x
y = 3 – 2·2 =
y = 3 – 4
y = – 1
x = 2 ; y = – 1 Esta solución es común en ambas ecuaciones
Geométricamente se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (2, – 1)
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
21



−=
=−
yx
yx
10
162
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE IGUALACIÓN:
Por ejemplo despejamos la x
x = 16 + 2y x = 10 – y
16 + 2y = 10 – y
2y + y = 10 – 16
3y = – 6
y = – 2
Sustituimos el valor obtenido en la segunda ecuación:
x = 10 – y
x = 10 – (– 2)
x = 12
x = 12 ; y = – 2 Esta solución es común en ambas ecuaciones
Geométricamente se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (12, – 2)
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
20



=−
=+
yx
yx
283
32
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO GRÁFICO
Como se trata de 2 rectas bastará con realizar unas sencillas tablas de valores:
2x + y = 3 3x – 8 = 2y
x y x y
0 3 0 – 4
3/2 0 8/3 0
Buscamos con la calculadora un 3º punto perteneciente a ambas rectas:

8. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
Representamos gráficamente ambas rectas y buscamos el punto común a ambas
ecuaciones:
x = 2 ; y = – 1 ; Esta solución es común en ambas ecuaciones
Geométricamente se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (2, – 1)
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
21



−=
=−
yx
yx
10
162
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO GRÁFICO
Como se trata de 2 rectas realizaremos unas sencillas tablas de valores:
x – 2y = 16 x = 10 – y
x y x y
0 – 8 0 10
16 0 10 0
Buscamos con la calculadora un 3º punto perteneciente a ambas rectas:
Representamos gráficamente ambas rectas y buscamos el punto común a ambas
ecuaciones:

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x = 12 ; y = – 2 ; Esta solución es común en ambas ecuaciones
Geométricamente se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (12, – 2)
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
24



=+
=+
92
5
yx
yx
Como se trata de 2 rectas bastará con realizar unas sencillas tablas de valores:
x + y = 5 2x + y = 9
x y x y
0 5 0 9
5 0 4.5 0
Buscamos con la calculadora un 3º punto perteneciente a ambas rectas:
Representamos gráficamente ambas rectas:
1
1
Las dos ecuaciones que forman el sistema tienen una solución en común. Como podemos ver,
son dos rectas secantes que se cortan en el punto (4, 1)