El documento aborda conceptos básicos de la teoría de conjuntos, incluyendo la definición de conjuntos, la relación de pertenencia, y el cardinal de un conjunto, así como ejercicios prácticos para aplicar estos conceptos. Se trata de un material educativo diseñado para estudiantes de primer grado de matemáticas. Además, se presentan ejemplos históricos sobre la notación matemática de operaciones como la raíz cuadrada.

1. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
5 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
1. IDEA DE CONJUNTO.-
En matemática Conjunto, es un concepto primitivo que no tiene definición, pero utilizando nuestra intuición
podemos tener idea de un Conjunto; como una colección, agrupación, reunión de objetos reales o imaginarios
con alguna característica en común, llamados “Elementos”. Ejemplos:
 …………………………………………. A=……………………………………..
 …………………………………………. B=……………………………………..
 …………………………………………. C=……………………………………..
 …………………………………………. D=……………………………………..
2. RELACION DE PERTENENCIA ()
Si un elemento está en un conjunto o forma parte de él, entonces diremos que “pertenece” a dicho conjunto y
lo denotaremos con el símbolo “” y en el caso de no pertenecer denotaremos por “”.
Ojo: La pertenencia solo se da entre elemento y conjunto.

Elemento -------- Conjunto

En el siguiente ejemplo escribe  y/o  según convenga:
3. CARDINAL DE UN CONJUNTO.-
Es el número de elementos diferentes que posee un conjunto. Ejemplo:
A=1, 1, 1, 1, 3, 3, 5, 5, 1, 3, 5, 7
D =a, b, b, b, a, a, b, a, b, a, d, e, f, g, g, a, b, a ………………………………………….…………………
A=2, 4,5,1,3,5, 6
5…………....A
4,5……….A
1,3,5.……....A
2………....A
5……….4,5
6……..1,3,5
1,5.….1,3,5
2,4,5….....A
Ahora te
toca hacerlo
n(A) = #(A) = Card(A) =……..
Se lee: cardinal de “A” es……….
A
Notación:
Notación: Los conjuntos
generalmente se denotan por letras
mayúsculas como: “A”, “B”, “C”, etc.
y sus elementos por letras
minúsculas u otros símbolos,
separados por comas y encerrados
entre llaves.
B=a, b, a, b,, c, {d}
…………....B
a, b………B
a, b, c.……..B
b………....B
b………a, b
{c}………….B
d.…………..B
………....B

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4. DETERMINACION DE UN CONJUNTO.-
Determinar un conjunto es saber con precisión que elementos pertenecen al conjunto y que elementos no
pertenecen. Existen dos formas y son:
Veamos algunos ejemplos:
B=a, e, i, o, u B=………….…………………………….…………..
D=6, 8, 10, 12, 14, 16 D=…………….…………………………..………….
E=12, 13, 14, 15, 16, 17, 18  E=…….………………………..………..…………..
Q=1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 Q=……….…………………...…………..………….
P=  P=…………………………….…….…….…………..
A={ } A={……………………………….…….……………...}
C={ } C={…………………………….….………………….…}
Historia de la Matemática:
UN SÍMBOLO PARA LA RAÍZ CUADRADA.
Este signo proviene de «radix» (en latín raíz) y fue utilizado por
Leonardo de Pisa en 1220. El signo actual para la raíz cuadrada
puede ser una deformación de la letra «r».
UN SIMBOLO PARA LA RAÍZ CÚBICA
Tres signos radicales de estilo moderno van unidos, este símbolo
fue creado en 1525 por Christoff Rudolff, matemático alemán. El
signo actual, en su origen era francés.
01. Dado: A = {x ; y ; {m ; n}; {p} }
Cuántas de las siguientes proposiciones son
verdaderas:
I. y  A
II. {m; n}  A
III. {x ; y}  A
IV. p  A
V. {x}  A
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
02. Dado: B = {a ; b ; {a ; b} ; {} ; c }
Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:
a  A………..( ) {c}  A…….( )
{}  A………( )   A………( )
{a; b}  A…...( ) {b}  A…….( )
03. En el conjunto Q={2,2,3,4,3,1,1,5,3,2}
¿Cuánto es la suma de sus elementos?
1. POR EXTENSION (Forma Tabular): Es
cuando se nombra todos y cada uno de
los elementos explícitamente.
2. POR COMPRENSION (Forma
Constructiva).- Es cuando se nombra
una propiedad común que caracteriza a
todos los elementos del conjunto.
Generalmente se emplea: x/x (x tal x)
Extensión Comprensión
EJERCICIOS DE APLICACION
QUE
BUENA

3. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
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a) 10 b) 20 c) 15 d) 25 e) NA
04. Hallar la suma de elementos de cada
conjunto:
A = {x/x  N; 6 < x < 12}
B = {x + 4/ x  N; 5 < x < 10}
C = {x2 + 1/ x  N; 3 < x < 8}
a) 40; 41 y 50
b) 43; 49 y 100
c) 45, 46 y 130
d) 47; 45 y 129
e) N.A.
05. Hallar la suma de elementos de “A”, si:
A = {x2
+ 2 / x  Z; -4 < x < 3}
a) 18 b) 29 c) 31
d) 45 e) 22
06. Determinar por comprensión los siguientes
conjuntos:
A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
D={1,3,5,7,9}
F={2,4,6,8,10,12,14}
H={20,21,22,23,24,25}
J={10}
M={h}
07. Determinar por extensión los siguientes
conjuntos:
M={x/xN; x < 11}
N={x/xN; x ≤ 15}
O={x/xN; 5 < x < 21}
P={x/xN; 2 ≤ x ≤ 9}
Q={x/xN; 5 ≤ x < 11}
R={x/xN; 10 < x ≤ 12}
S={x/xN; x+5=21}
T={x/xN; x2
<11}
E={2x/xN; x<5}
D={2x+2/xN; 0 < x < 7}
K={x2
+3/xN; 1< x < 5}
C={
2𝑛+1
3
/xN; 6 < n < 10}
08. Sean los conjuntos A={2x/xN; x<6},
B={
𝑥+4
2
/xA}, C={
2𝑦+1
3
/yB}. Hallar el cardinal
del conjunto C.
09. Calcular la suma de los elementos del
conjunto A.
A = {x/x  N; 10 < 3x + 2 < 18}
a) 10 b) 12 c) 15
d) 18 e) 23
10. Sea el conjunto A = {(3x + 1) / x  N; 2 < x < 3}
Calcular n(A)
TAREA PARA LA CASA
1. Dado el conjunto A = {7; 8; 10; 15}. Indicar
verdadero (V) o Falso (F), según
corresponda:
i) 7  A ( ) iii) {10}  A ( )
ii) 9  A ( ) iv) {15}  A ( )
a) VVFF b) VFFV c) VVFF
d) VFFF e) N.A.
2. Dado el conjunto A = {5; {7}; 9; 12}. Indicar
(V) o (F), según corresponda:
i) {7}  A ( ) iv) {9}  A ( )
ii) 9  A ( ) v)   A ( )
iii) 7  A ( ) vi) 10  A ( )
a) VFVFVF b) VFFVVF c) VVVFFF
d) VVFFFV e) N.A.
3. Hallar la suma de elementos del conjunto:
A = {3a2
+ 5 / a  N; 1 < a < 6}
a) 172 b) 182 c) 148
d) 156 e) 192
4. Dado el conjunto: A = {7; 9; 11; 13; 15; 17}
Determinarlo por comprensión:
a) A = {x/x  N; 6 < x < 18}
b) A = {x/x = 2n; n  N; 3 < n < 8}
c) A = {x/x = n +1; n  N; 6 < n < 17}
d) A = {x/x = 2n + 1; n  N; 2 < n < 9}
e) A = {x/x = n + 5; n  N; 1 < n < 13}
FACIL

4. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
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5. Calcular la suma de los elementos del
conjunto:
A = {x/x  N; 7 < 2x + 1 < 15}
a) 12 b) 15 c) 17
d) 18 e) 20
6. Hallar “n(A) + n(B)”, si se tiene:
A = {2x/x  N; x < 9} ; B =









A
x
;
3
4
x
N
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
7. Colocar el valor de verdad a cada
proposición si:
A = {8; 3; {2}; {1, 3}}
 3  A ( )  8  A ( )
 2  A ( )  3  {1, 3} ( )
 {3}  A ( )  4  A ( )
8. Determine por extensión el conjunto:
A = {x-1/ x  N, 4 x < 9}
a) {0, 1} b) {0, 1, 2} c) {-1, 0}
d) {-1, 0, 1} e) {0,2}
9. Determine por extensión el siguiente
conjunto:
T = {x/x =
x
12
x3

; x  N}
a) {3} b) {3, 4} c) {0, 3}
d) {0, 3, 4} e) {0,4}
10. Dado:
Escribe (V) o (F) en las siguientes
proposiciones:
2  A…….( ) {3}  B…( )
12B…….( ) 3,4  C…( )
4  B…….( ) 1  C……( )
10  A…...( ) 6  A y C.( )
6  A……..( ) 3,4  D….( )
9  B y D...( ) 2  C…….( )
11. Del anterior gráfico escribe los elementos de
cada conjunto.
12. Dado el conjunto A = {; 3 ; {2}; 2 ; {1}}
Colocar el valor de verdad a cada afirmación.
*   A ( ) * {1}  A ( )
* {3}  A ( ) *   A ( )
* {2}  A ( ) * {} A ( )
5. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS.-
A. Inclusión o Subconjunto:
“La chacra de Don Florencio”
Dado dos conjunto A y B; Se dice que el conjunto A esta incluido en el conjunto B cuando todo elemento
“A” pertenece a “B”. Simbólicamente se denota así: ABxAxB. La inclusión sólo se da de conjunto
a conjunto.
Observamos que dentro de la
chacra de papas también
crece maíz. Esto significa que
dos surcos de maíz esta
incluido en la chacra de papa.
A
B
C
D
1
11
7
5
8
9
13
12
6 3
2
4
10

5. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
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Ejemplo:
 Si: A=papa, ulluku
B=maíz, papa, lenteja, ulluku
 …………..……………………………………...
………………..…………………………………
B. Igualdad de Conjuntos:
Dado los conjuntos A y B, se dice que son iguales cuando todos los elementos del conjunto “A” pertenecen
al conjunto “B”, y todos los elementos del conjunto “B” pertenecen también al conjunto “A”, es decir
tienen exactamente los mismos elementos. Se denota por “A=B”. Simbólicamente se representa así:
A=BA  B  B  A
Ejemplos:
 Si:
A=x/x es una letra de la palabra “loca vaca” A=……………….……..
B=x/x es una letra de la palabra “vocal” B=…………….…….…..
 Si:
C=x/x es una vocal de la palabra “uya” C=……………….……..
D=x/x es una vocal de la palabra “qallu” D=……………………...
 Si:
M=xN/ 2  x < 5, x es par M=…………………....
N= xN/ x es múltiplo de 2, > 0 y <6 N=……………………..
C. Conjuntos disjuntos.-
Dos conjuntos son disjuntos, o se excluyen mutuamente cuando no tienen ningún elemento en común.
Ejemplos:
 Si:
A=x/x es consonante de la palabra “paloma” A=……..……
B=x/x es consonante de la palabra “yutu” B=……..…….
 ………………………………………..…………………...………
………………………………………..……………………...……
AB
…………………………
Graficando
 …………..
A B
…………………………
…………………………
…………………………
Se lee
¿Qué Observamos?
………………………..……
……………………………..
.……………………….……
Entonces Luego
Entonces Luego  …………..
Entonces Luego  …………..
Luego  ……….

6. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
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D. Conjuntos Comparables.- Dos conjuntos son comparables, cuando sólo uno de ellos está incluido en el otro.
Ejemplos:
 Dado: M={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
N={2,4,6,8}
¿Son comparables?
 Dado: P={e,l,r,o,m,a,n,o}
Q={e,l,a,r,o,m,a,t,i,c,o}
¿Son conjuntos comparables?
E. Conjuntos Coordinables o Equipotentes.- Dos conjuntos son coordinables o equipotentes cuando hay una
correspondencia biunívoca, es decir uno a uno entre todos y cada uno de los elementos del primer conjunto
con los del segundo conjunto, y como resultado de esto los cardinales de estos conjuntos son iguales.
Ejemplo:
 Dado los conjuntos:
A = {Manuel Scorza, Leoncio Prado, Ciro Alegría, Simón Bolívar}
B = {Muquecc, Ayaccocha, Ccacca Siri, Huanaspampa}
¿Es posible establecer una correspondencia biunívoca?
SOLUCION. Graficando:
 Sean los conjuntos:
D = {Lima, La paz, Buenos Aires, Caracas}
E = {Bolivia, Chile, Perú, Argentina}
¿Existe una correspondencia biunívoca?
SOLUCION:
6. CLASIFICACION DE CONJUNTOS.-Se clasifican según la cantidad de elementos diferentes que poseen y
son:
Solución:…………………
……………………………
……………………………
………………………
……………………
Graficando
.
.
Solución:…………………
……………………………
……………………………
………………………
……………………
Graficando
Luego…………………
……………………...…
……………………...…
………………………...
Luego……………….…
……………………....…
……………………....…
…………………………
………………………....
Conjunto Finito.- Cuando tiene un limitado
número de elementos diferentes. Ejemplos:
A=………………………………….
C=………………………………….
D=………………………….………
Conjunto Infinito.- Es cuando los elementos de
un conjunto no tienen límite. Ejemplos:
D=………………………………….
B=………………………………….
E=………………………………….

7. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
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7. CONJUNTOS ESPECIALES
4. Conjunto potencia o conjunto de partes P(A): El conjunto potencia de A, es aquel conjunto cuyos
elementos son todos los subconjuntos posibles que tiene el conjunto A y se denota por P(A). Veamos:
Dado:
A={2, 4, 6} P(A)= {………………………………………………………………………………..…………….}
P(A)=
 Determinar el conjunto de partes de: B=1, 3, 5, 7
Solución:
P(B) = {……………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………}
P(B) =
U
A
B C
D
Los subconjuntos de A son:
1. Conjunto Vacío o Nulo ().- Carece de
elementos. Se le representa por: { } y se denota
por el símbolo . Ejemplos:
1) A=x/x N; 3<x<4; es vacio porque…………………
………………………………………………………………………………….
2) B=los cabellos de un calvo es vacio
porque………………………………………………………………………
3) C=xN/3+x=2; es vacío porque:……………………..
………………………………………………………………………………….
4) …..………………………………..……………………………………………
………………………………………………………………………………….
Ojo:
• El conjunto nulo es único.
• El conjunto nulo es considerado como
subconjunto de todos los conjuntos.
2. Conjunto Unitario.- Conjunto que tiene un solo
elemento. Llamado también singleton. Ejemplos:
1) A=  es unitario porque…………………………………….
………………………………………………………………………………….
2) B=x/x N; x+5=9 es unitario porque…………….
………………………………………………………………………………….
3) Q=xN/1<x<3 es unitario porque…………………..
…………………………………………………………………………………..
4) ……………………………………….............................................
…………………………………………………………………………………..
3. Conjunto Universal.- Es aquel conjunto
referencial que contiene a todos los conjuntos
considerados, se denota generalmente por “U” y
se le representa por regiones planas
rectangulares. Así:
Ejemplo:
U={….……………………}
A={……………………}
4. Conjunto de conjuntos.- Llamado también
familia de conjuntos; es aquel donde todos sus
elementos son conjuntos. Ejemplos:
D={ , {a,b,c}, {5,6}, {7}, {} }
 Dado: B={{1;2}; {3;5;7}; 4; m; } ¿Es familia de
conjuntos? ¿Por qué?
……………………………………………………………………………………..
……………………………………...................................................
……………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………..

8. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
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8. REPRESENTACION GRAFICA DE LOS CONJUNTOS:
1. Diagrama de Venn-Euler.- Es la representación geométrica que Consiste en representar el conjunto
universal mediante un rectángulo y los otros conjuntos a través de círculos, triángulos o cualquier otra
figura plana. Ejemplo:
Dado: U=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
A=2,3,4,6,7,8
B=2,3,4,5,6,9
C=4,5,6,7,10
Representar gráficamente
2. Diagrama de Lewis Carroll.- Su uso es generalmente para representar conjuntos disjuntos. Ejemplo:
 A una fiesta asistieron personas entre Jóvenes y Señoritas de los cuales hay personas que bailan
y no bailan. Graficando por diagrama de Carroll tenemos:
Jóvenes
Señoritas
3. Diagrama Lineal
Su uso es generalmente para representar la relación de inclusión de conjuntos, leyendo de abajo hacia
arriba. Ejemplo:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
B = {2, 4, 6}
C = {1, 3, 5, 7}
D = {7}
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
01. Si B es un conjunto definido:
B={; 3; 7; 8; {8}; {5; 7}; {1; 3; 8}}
¿Cuántas de las siguientes proposiciones son
correctas?
B………………....( ) {}B……….….….( )
{5,7}B…………..( ) {7,7,7,7}B……( )
{{5,7},{8}}B…( ) {{5,7},{8}}B….( )
{3,7}B………….( ) {3,7,8}B…..……( )
A) 1 B) 2 C) 8 D) 5 E) 7
02. Dado los conjuntos unitarios:
A={3a+1; 7} B={3; b+c} y C={2;bc}, donde b>c.
Calcular: a-2b+3c
A) 2 B) 1 C) 3 D) 4 E) 6
03. Sea A={5x-1/xN; 2<x≤6}. Indicar verdadero o
falso según corresponda.
n(A)=5………………………..………....( )
A tiene 16 subconjuntos….…( )
A B
U
C
OBSERVACION
En general, el número de
subconjuntos se halla con la
siguiente relación: 2n
; donde
“n” es el número de
elementos del conjunto.
n[P(A)]=2n
 B=2, 4, 6, 8  n[P(B)]=…………………………………......................
 C=a, b, c  n[P(C)]=………………………………………..………..............
 D=1, 1, 1, 3, 3, 5,  n[P(D)]=…..………………………………………..
Ojo: El diagrama de Venn es
muy práctico para comprender
intuitivamente las relaciones
entre conjuntos.
A = { }
B = { }
C = { }
D = { }
Son conjuntos…………………………………………..……….
Luego
Uyyyy
Que
Fácil

9. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
13 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
A tiene 31 subconjuntos…….( )
  P(A)……………………………….…( )
{14; 19}  P(A)……………..…….…( )
A) VVVFV B) VFVFV C) FVVFF
D) FVFVV E) FVVVV
04. Si los conjuntos A={2m, 12, n+2} y B={20, 5p, q}.
son unitarios Calcular la suma de: m+n+p+q
A) 36 B) 40 C) 48 D) 46 E) 60
05. Si: A={x2
/xN; 7<x<8} y B={a+2; 10; b}. Si B es
conjunto unitario, halle:
2a + b + n(A)
A) 36 B) 26 C) 46 D) 56 E) 10
06. Hallar todos los subconjuntos posibles de
M={x/xN; 7<x≤11}
07. Dado: Q={x/xN; 0<x≤5}. Hallar n[P(Q)].
08. Hallar el conjunto potencia de:
C={2, 2, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 1, 4, 2}
09. Determinar todos los subconjuntos posibles de:
F={1,1,2,3,4,3,3,2,4,5,1,4,}
10. Traducir a diagrama lineal el siguiente esquema:
11. Sea: A={2y+10; 40} y B={60; 3x-20}. Si los
conjuntos A y B son iguales. Hallar x+y.
A) 50 B) 65 C) 45 D) 35 E) 55
12. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto A, si: el
conjunto A tiene 32 subconjuntos?
13. Si: el conjunto B tiene 64 subconjuntos ¿Cuántos
elementos tiene el conjunto?
14. Hallar el cardinal del conjunto “M” si:
M={3x+2/xN; 5≤x≤9}
15. Determinar el cardinal del conjunto “C” si:
C={x/x=2n+1; nN; 2<n<10}
16. Hallar la suma de los elementos del conjunto
B={(3x+1)/xN; 5<x<10}
A) 39 B) 102 C) 84 D) 94 E) 54
TAREA DOMICILIARIA
1. Dado el conjunto M = {a, {b}, {m}, p}. ¿Cuántas
proposiciones son falsas?
i) {b}  M iv) {{b}, p}  M
ii) b  M v) {{b}, {m}}  M
iii) {{m}}  M vi) m  M
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
2. Si el conjunto “A” es unitario, hallar “a + b”:
A = {7- a; b + 4; 5}
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
3. ¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto que
posee 5 elementos?
a) 30 b) 31 c) 32
d) 33 e) 34
4. Si los conjuntos “A” y “B” son unitarios, hallar “a2
+ b2
”
A = {a + b; 12} ; B = {4; a - b}
a) 79 b) 80 c) 81
d) 82 e) 83
5. Dado: A = {x/x  N; 5 < x < 12} .
Indicar (V) o (F) según corresponda:
i) {7; 8; 11}  A iii) {8; 10}  A ( )
ii) 5  A ( ) iv) n(A) = 6 ( )
a) VFVF b) VFVV c) VFFV
d) FVVF e) FFVV
6. ¿Cuántos subconjuntos tiene cada uno de los
siguientes conjuntos?
A = {c, o, l, e, g, i, o} B = {a, l, e, g, r, i, a}}
a) 64 y 32 b) 128 y 64 c) 64 y 64
d) 32 y 64 e) 128 y 32
7. Dado el conjunto A = {7; 8; 10; 12}.
Indicar (V) o (F), según corresponda, si P(A)
representa el conjunto potencia de A.
i) {B}  P(A) ( )
A
B
C
D
U

10. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
14 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
ii) {10; 12}  P(A) ( )
iii) 10  P(A) ( )
iv)   P(A) ( )
v)   P(A) ( )
a) VVFVF b) FVVFV c) FVFVV
d) VFFVV e) VVFVV
8. Si un conjunto tiene 15 subconjuntos propios,
¿Cuántos elementos tiene el conjunto?
a) 2 b) 4 c) 5
d) 6 e) N.A.
9. Dado el conjunto A = {{3; 8}; {5; 7}; 8}; ¿Cuántas
de las siguientes proposiciones son correctas?
i) {5; 7}  A ( ) iv) {}  A ( )
ii) {5; 7}  A ( ) v) 3  A ( )
iii) {7}  A ( ) vi) {8}  A ( )
a) 3 b) 4 c) 5
d) 2 e) 1
10.Dado el conjunto A = {k, a, r, i, n, a}
¿Cuántos subconjuntos de “A” tienen dos o más
elementos?
a) 25 b) 27 c) 32
d) 31 e) 26
11. ¿Cuál de los siguientes conjuntos son unitarios?
A = {x/x  N; 7 < x < 9}
B = {x/x  Q; 7 < x < 8}
C = {x + 1 / x  Z; -2 < x < 2}
D = {x/x es la capital del Perú}
a) Sólo A b) Sólo B c) A y B
d) Sólo D e) A y D
12.Si los conjuntos “A” y “B” son iguales, hallar:
m + p (“m” y “p”  N)
A = {10; m2
- 3} ; B = {13; p2
- 15}
a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) 12
13.Dado el conjunto A = {2; {5}; 3; 2; {5}}
Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:
i) “A” tiene 8 subconjuntos
ii) “A” tiene 31 subconjuntos propios
iii) “A” tiene 4 subconjuntos unitarios
iv)   P(A)
a) VVFV b) FVVV c) FFVV
d) VFFV e) VFVV
14.Dado el conjunto A = {3; {8}; {5; 7}; {3}}
Si P(A) representa el conjunto potencia de “A”
¿Cuántas proposiciones son falsas?
i) {8}  P(A) iv)   P(A)
ii) {{5; 7}}  P(A) v) { }  P(A)
iii) n [P(A)] = 32
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
15.Si los conjuntos “A” y “B” son unitarios, calcular
2a+2b+2ab
A = { a + b ; 12}
B = {2; a - b }
a) 91 b) 92 c) 93
d) 94 e) 95
16.¿Cuáles de los conjuntos dados son vacíos?
A = {x/x  Q; 3 < x < 4}
B = {x/x  N; 3 < x < 4 }
C = {x/x  N; (x + 3) (x + 7) = 0}
a) Sólo B b) Sólo C c) A y B
d) B, C y D e) B y D
9. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
1. Unión o Reunión (U): Dados dos conjuntos “A” y “B”, se llama unión de éstos a otro conjunto formado por
todos los elementos que pertenecen al conjunto “A” o al conjunto “B” o a ambos. Se denota así:
A  B = {x/x  A  x  B} Ejemplos:
1. Dados: A=5, 7, 9, 13
B=6, 7, 8, 9.
Hallar y graficar AUB.
Solución:
AUB=………….………….……..…….
2. Dados: M=1, 3, 5, 7
N=2, 4, 6.
Hallar y graficar MUN.
Solución:
MUN=……………..….………..…….
3. Dados: P=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Q=1, 4, 7.
Hallar y graficar PUQ.
Solución:
PUQ=P=…………………….………...

11. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
15 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
2. Intersección ():La intersección de dos conjuntos “A” y “B” es otro conjunto formado por todos los
elementos que pertenecen a “A” y “B”, es decir, que está formado por todos los elementos comunes a “A” y
“B”. Simbólicamente se denota así:
A  B = {x/x  A  x  B} Ejemplos:
3. Diferencia: (A-B); (B-A) La diferencia de dos conjuntos A y B es el conjunto cuyos elementos que pertenecen a A
pero no a B ó elementos que pertenecen a B pero no a A. Simbólicamente se representa así:
A-B={x/xA  xB} B-A={ x/xB  xA } Ejemplos:
4. Diferencia simétrica (): Dado dos conjuntos A y B, se denomina diferencia simétrica de “A” y “B” al
conjunto formado por la unión de “A - B” con “B - A”. simbólicamente se denota así:
A  B = {x/x  (A - B)  (B - A)} o también A  B = {x/x(AB)  x(AB)} Ejemplos:
…………………………. …………………………. ………………………….
1. Dados: A=5, 7, 9, 13
B=6, 7, 8, 9
Hallar y graficar AB.
Solución:
AB=………………..…..…….
2. Dados: P=a, e, i, o, u
Q=b, c, d, f
Hallar y graficar PQ.
Solución:
PQ=……………………..….
3. Dados: M=m, a, r, y
N=m, a, r, y, l, u, z
Hallar y graficar MN.
Solución:
MN=………………….…=…….…..
…………………………. …………………………. ………………………….
1. Dados: A={4, 5, 6, 7, 8}
B={6, 7, 8, 9, 10}
Hallar y graficar: A-B y B-A.
Solución
A-B={……………………………..}
B-A={……………………………..}
2. Dados: M={1,1,2,3,5,5,3,2,5}
N={6, 8, 6, 7}
Hallar: M-N y N-M
Solución:
M-N={………………..}…………………
N-M={…………………}………………..
3. Dados: P=a, m, o, r
Q=m, a, r,
Hallar y graficar P-Q Y Q-P
Solución:
P-Q={…………………….}
Q-P={ } =…………….
…………………………….…….
A-B B-A M-N N-M P-Q Q-P
…………………………….……. …………………………….…….
1. Dados: A=1, 2, 3, 6
B=2, 4, 6, 7, 8
Hallar y graficar AB.
Solución:
AB=………………..…..…….
2. Dados: P=6, 8, 10
Q=5, 7, 9, 11
Hallar y graficar PQ.
Solución:
PQ={………………….…}……….…...
3. Dados: M= r, o, m, a, n, a 
N=a, m, o, r
Hallar y graficar MN.
Solución:
MN=………………….…=…….…..

12. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
16 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
5. Complemento (Ac
): Complemento del conjunto A es el conjunto formado por los elementos que pertenecen
al conjunto U pero no al conjunto A. Simbólicamente se representa así:
C(A)=Ac
= A =A´=
A
U
C ={x/x  U y x  A} = {x  (U - A)}
Veamos algunos ejemplos y sus representaciones graficas sobre complemento:
10. RESOLVIENDO PROBLEMAS CON CONJUNTOS Para resolver problemas con conjuntos es importante
identificar el significado de las diferentes zonas que se presentan en el diagrama o representación grafica;
por lo tanto aquí tenemos algunas interpretaciones que pueden ayudarte.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Dados los conjuntos:
A = {1; 2; 3; 4; 5}
B = {2; 4; 6; 8}
C = {1; 3; 4; 5; 6}
Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:
a) A  C = {1; 3; 5; 6} ( )
b) B – A = {6; 8} ( )
c) B  C = {1; 2; 3; 4; 5; 6} ( )
d) A – C = {2; 5} ( )
e) B  C = {4; 6; 8} ( )
a) FVFVV b) FVVFF c) FVVVF
d) FVFFF e) FVVVV
2. Determine por extensión los siguientes conjuntos y
dar como respuesta la suma de los elementos del
conjunto B.
Si: B=2m/mC;
C=1+n2
/nN, 1n3
A) 20 B) 34 C) 30 D) 24 E) 40
3. Dados los conjuntos:
A
U
1 = solo A
2 = A y B
3 = sólo B
4 = ni A ni B
1,2 = A
2,3 = B
1,2,3 = A o B
A B
A B
C
1 = solo A
3 = sólo B
7 = sólo C
8 = ni A ni B ni C
2 = sólo A y B
4 = sólo B y C
6 = sólo A y C
5 = A, B y C
2,5 = A y B
4,5 = B y C
5,6 = A y C
…………………………. …………………………. ………………………….
1. Dados: B=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
C=1, 3, 5, 7, 9, 11
Hallar y graficar C´
Solución:
C´ =………..………………………..……...
2. Dados: U=1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19
A=3, 7, 9, 11, 13
Hallar y graficar Ac
Solución:
Ac
=………..………………………..……...
Complemento de C respecto a B Complemento de A respecto a Universal

13. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
17 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
A = {1; 2; 3; 4; 5} ; B = {2; 3; 5; 6}
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}
Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:
a) A’ = {6; 7; 8} ( )
b) B’ = {7; 8} ( )
c) A’  B = {6; 7} ( )
d) B’ – A = {4; 7; 8} ( )
e) A’  U = {6; 7; 8} ( )
a) VFVVF b) VFFFV c) VFFFF
d) VFFVF e) VFVFV
4. En el cumple años del Director asistieron 179
personas, se notó que 28 personas fumaban pero
no bebían y 43 personas bebían pero no fumaban.
Si el número de personas que no fumaban ni bebían
era el triple de las que fumaban y bebían. ¿Cuántas
personas fumaban y bebían?
A)27 B)35 C)22 D)37 E)40
5. En un salón donde hay 43 personas, 5 son mujeres
que estudian Matemática, 28 son hombres y el
número de hombres que no estudian Matemática es
el doble del número de mujeres que no estudian
Matemática. ¿Cuántas personas estudian
Matemática?
A)12 B)13 C)14 D)15 E)16
6. El siguiente diagrama adjunto representar por
diagrama lineal.
7. Se sabe que los alumnos de un salón de clase; 40
estudian matemática, 36 estudian comunicación y
10 estudian matemática y comunicación; según
este.
a) ¿Cuántos estudian solo matemática?
b) ¿Cuántos estudian solo comunicación?
c) ¿Cuántos alumnos tiene el salón de Clase?
A) 20, 15, 50 B) 30, 26, 66
C) 25, 35, 55 D) 30, 10, 26
8. De 65 alumnos de CAB; 30 prefieren fútbol, 40
prefieren Voleibol, 5 prefieren otras disciplinas.
¿Cuántos alumnos prefieren ambas disciplinas?.
A) 15 B) 12 C) 11 D)10
9. De un grupo de 100 turista europeos se sabe que:
- 36 visitarán Argentina
- 20 visitarán Brasil
- 25 visitarán Colombia
- 12 visitarán Argentina y Colombia
- 9 visitarán Brasil y Colombia
- 10 visitarán Argentina y Brasil
- 6 visitarán los tres países mencionados
a) ¿Cuántos no visitarán a estos países?
b) ¿Cuántos visitarán Brasil o Argentina pero no
Colombia?
a) 44 y 4 b) 26 y 31 c) 38 y 31
d) 44 y 31 e) 44 y 17
10. Si: n(A) = 12, n(B) = 18 y n(A  B) = 7
Hallar: n(A  B)
a) 12 b) 16 c) 20
d) 31 e) 15
11. Un conjunto A tiene 42 elementos y otro conjunto
B tiene 24 elementos, si: AUB tiene 52 elementos
¿Cuántos elementos tiene AB?
A) 12 B)13 C)14 D)15
12. En una batalla intervienen 120 soldados, de los
cuales 45 fueron heridos en la cabeza, 41 en el
brazo, 17 en la cabeza y brazo, 21 solo en la
cabeza, 14 en el brazo y en la pierna, 4 en las tres
partes, 45 salieron ilesos. ¿Cuántos fueron
heridos en la pierna?
A) 6 B) 18 C) 20 D) 27
13. Dado: A=2,4,6,8,……,48,50,
B=3,6,9,12,……..,45,48 Indica el número de
elementos de “AB”
A) 23 B) 33 C) 27 D) 36
14. Si: U = {x/x  N; 0 < x < 10}
A = {x/x  N; 4 < x < 9}
B = {x/x  N; 3 < x < 8}
Hallar: A’ – B’
a) {1} b) {2} c) {3}
d) {4} e) {5}
15. En un salón se encuentran 52 alumnos de los
cuales 30 son hombres, 12 mujeres no tienen 18
años. Si 30 personas tienen 18 años ¿Cuántos
hombres tienen 18 años
A) 10 B) 12 C) 22 D) 20
16. Si: A={7,8,5,4,3} B={5,4,9,11} y C={4,9,7,15}
Halle: n[(AUB)C].
A)5 B)1 C)2 D)3 E)4
TAREA PARA LA CASA
A
E
C
B
D

14. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
18 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
1. De 50 alumnos de la I.E. Ciro Alegría Bazán de
Muquecc 30 alumnos practican fútbol y 25
voleibol. Si 15 alumnos no practican ninguno de los
deportes. ¿Cuántos practican solamente el
fútbol?.
A) 5 B) 20 C) 10 D) 8
2. En una encuesta a 150 universitarios, se sabe que
60 son mujeres; 55 personas estudiaban
ingeniería; 30 mujeres no estudian ingeniería
¿Cuántos varones no estudian ingeniería?
A) 50 B) 55 C) 65 D) 75
3. Dado el conjunto A=3, 6, 8, 9, indica si son
verdaderos (V) o falsos (F) las siguientes
proposiciones.
I) 1A II) 6A III) 8A
IV) 3, 6A V) 3A
A) VVVFF B) VVVVF C) VVFFF
D) VFFFV C) FVFF
4. En una escuela estudian 67 alumnos. De estos 47
hablan quechua, 35 hablan el castellano y 23
hablan ambas idiomas. ¿Cuántos alumnos no hablan
castellano ni quechua?
A) 4 B) 6 C) 8 D) 10
5. Dado el conjunto M=x/x es una letra de la
palabra matemática, ¿Cuántos subconjuntos tiene
M?
A) 64 B) 128 C) 256
D) 1024 E) 2048
6. De los 31 días del mes de Julio, José salió con
María 18 días, con Rosa salió 20 días. ¿Cuántos
días salió con las dos?
A) 1 B) 3 C) 5 D) 7
7. En una encuesta realizada a 35 personas de una
comunidad sobre las preferencias de consumo de
papa y ulluco, se tiene el siguiente resultado.
 19 personas no prefieren papa.
 3 personas no prefieren ulluco.
 6 personas no prefieren algunos de estos
productos.
¿Cuántas personas prefieren consumir papa y
ullucu?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9
8. Dado A=0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ¿Cuántos
subconjuntos tiene P(A)?
9. De un grupo de 100 personas, 40 son mujeres,
73 estudian historia, 12 mujeres no estudian
historia. ¿Cuántos hombres no estudian
historia?
A)13 B)10 C)15 D)25 E)12
10. De 50 personas se sabe que:
 5 mujeres tienen ojos negros
 16 mujeres no tienen ojos negros
 14 mujeres no tienen ojos azules
 10 hombres no tienen ojos azules o negros.
¿Cuántos hombres tienen ojos negros o azules?
11. Si: A = {a, b, m, t}
B = {x/x es una vocal de la palabra martes}
Hallar: B – A
a) {a, e} b) {a, i} c) {a, o}
d) {a, u} e) {a}
12. Si:A = {a, b, e, d}
B = {x/x es una vocal}
Hallar: A  B
a) {a, e} b) {a, i} c) {a, o}
d) {a, u} e) {a}
11. REGIONES SOMBREADAS Las regiones sombreadas en teoría de conjuntos son los espacios o zonas
achuradas de acuerdo a condiciones de un problema, haciendo uso el diagrama de ven.
Para interpretar es conveniente numerar cada zona establecida, luego guiándonos por esta numeración
hallamos la región que corresponde a un conjunto dado. Veamos:
01. Dado el siguiente gráfico:
02. La región sombreada corresponde a:
A
B
C
A) [(AB)-C]B B) (A-C)B
C) (B-C)A D) (ABC)(C-B)
E) [(AB)-C][C-B]
A B
C
A) (AB)C B) (A-B)(B-A)
C) (AB)C D) (AB)C
E) [(AB)-(AB)]C

15. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
14 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
A B
C
A
B
C
03. La región sombreada en el diagrama
representa a la operación:
04. ¿Qué expresión representa a la parte
sombreada?
05. El circulo A contiene a las letras a, b, c, d, e,
f. El circulo B contiene a las letras b, d, f, g,
h. Las letras del rectángulo C que no están en
A son: h, j, k y las letras de C que no están en
B son: a, j, k. ¿Qué letras están en la figura
sombreada?
06. ¿Qué expresión representa la parte achurada de
la figura?
07. A que operación corresponde la parte achurada
en:
08. La parte achurada del esquema corresponde a:
09. ¿A que operación corresponde la parte achurada?
10. ¿Qué operación representa la región
sombreada?
a) (A  B)  C d) (A  C)  B
b) (B  C)  A e) (A - B)  (B  C)
c) (A  B)  C
1. BREVE INTRODUCCION:
Nº Símbolo Pueblo
2
3
5
10
15
A
B
C D
A) (A-B)(CD) B) (B-A)[(CD)-(CD]
C) A y B correctas D) (B-A)(C-D)(D-C)
E) B y D correctas
A B C
A) (B-A)-C B) (AB)-C
C) (A-B)-C D) (A-B)C´
E) Alternativas C y D.
A B
C
A) a, b, d, f, h B) b, d, f, h
C) a, d, f, h D) j, k, f, h
E) a, b, c, f, h
A B
C
A) (AB)-C B) C(AB)´
C) (AB)-C D) ABC
E) (AB)C´
A) (AB)-C B) C(AB)´
C) (AB)-C D) ABC
E) (AB)C´
A B
C
A) (AB)(B-C) B) (A-B)(C-B)
C) C-(AB) D) (C-B)(AB)
E) Ninguna.
A B C
El hombre en su desarrollo histórico ha creado
diferentes formas para nombrar y denotar los
números, así en cada pueblo y en cada época
los números naturales se representaron con
diferentes símbolos como:

16. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
21 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
Pero las cosas que le rodeaba al hombre se fueron multiplicando cada vez mas, por lo que tuvo que ingeniarse
para agrupar los elementos para poder contar de manera más simple y fácil. Esta técnica con el tiempo se
desarrollo tomando el nombre de Sistema de Numeración.
2. CONCEPTOS BASICOS:
A. Número y Numeral
B. Cifra o Dígito.- Símbolos que convencionalmente utilizamos en la representación de los números.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
3. SISTEMA DE NUMERACIÓN Es un conjunto de reglas y principios que nos permiten leer y escribir
correctamente los números. Tenemos diversos sistemas de numeración, entre los cuales destaca el sistema
de numeración decimal o décuplo.
1. Principios Fundamentales:
A. De orden y lugar.- Toda cifra que conforma un numeral en un sistema de numeración tiene un lugar y un
orden determinado:
 El lugar se lee de izquierda a derecha a partir de 1
 El orden se lee de derecha a izquierda a partir de cero.
B. De La Base.- Todo sistema de numeración tiene una base que es un número entero positivo y mayor que
uno.
La base nos indica de cuanto en cuanto se agrupan los números para escribirlos y nombrarlos
correctamente: Así en base 10 los números se agrupan de diez en diez, en base 2 de dos en dos, en base
3 de tres en tres, en base 4 de cuatro en cuatro, en base 5 de cinco en cinco etc.
Además la base nos indica el tipo de sistema de numeración que se utiliza, como por ejemplo:
Si su base es 2 entonces se llama Sistema de Numeración Binaria y se usa las cifras……………………………….
Si su base es 3 entonces se llama Sistema de Numeración Ternaria y se usa las cifras……………………………
Si su base es 4 entonces se llama Sistema de Numeración Cuaternaria y se usa las cifras………………………
Y así sucesivamente…
Veamos un ejemplo:
i
Veamos un ejemplo en el sistema decimal
Si tenemos 26 pelotas y lo agrupamos de 12 en 12,
luego de 10 en 10, de 8 en 8, de 5 en 5, de 4 en 4, de
3 en 3 y finalmente de 2 en 2.
¿Que Sucede?
Número.- Ente matemático que nos permite
cuantificar los objetos de la naturaleza. Es decir
nos da la idea de cantidad.
Numeral.- Representación grafica de un número
mediante signos o símbolos.
Orden
Lugar
6 3 9 0 4 7
5
1º
4 3 2 1 0
2º 3º 4º 5º 6º
Numeral
S. de numeración Undecimal (agrupando de 11 en 11) S. de numeración decimal (agrupando de 10 en 10)

17. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
22 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
CONCLUSIONES:
1. De las agrupaciones realizadas podemos concluir que la base indica el tipo de sistema de numeración,
es decir de cuanto en cuanto se están agrupando las unidades simples en dicho sistema de
numeración.
abcdem
2. Además podemos observar que un mismo numeral se puede escribir en diferentes sistemas de
numeración de manera diferente, esto depende de la base del sistema de numeración que se elige.
Igualando y comparando tenemos:
S. de numeración nonario (agrupando de 9 en 9) S. de numeración octanario (agrupando de 8 en 8)
S. de numeración heptanario (agrupando de 7 en 7) S. de numeración senario (agrupando de 6 en 6)
S. de numeración quinario (agrupando de 5 en 5) S. de numeración cuaternario (agrupando de 4 en 4)
……………………
…….
……………………
……
=
……………………
…….
……………………
……
=
……………………
…….
……………………
……
=
……………………
…….
……………………
……
=
……………………
…….
……………………
……
=
……………………
……
……………………
…….
……………………
……
=
……………………
……
S. de numeración ternario (agrupando de 3 en 3) S. de numeración binario (agrupando de 2 en 2)
……………………
…….
……………………
……
=
……………………
……
…………………
.
…………………
=
…………………
…………………
…………………

18. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
23 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
Ejercicios para la casa:
1. Representar 18 unidades en las bases 9, 7, 5, 4, 3.
2. Representar 32 unidades en las bases 12, 10, 8, 6, 4, 2.
3. Representar 48 unidades en las bases 20, 15, 12, 9, 7, 5, 3.
C. De las Cifras.- Las cifras (incluido el cero) son números naturales que se utilizan para escribir una
cantidad en un determinado sistema de numeración, y siempre son menores que la base.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Principales sistemas de numeración y sus cifras correspondientes.
Base Sistema Cifras que se utilizan
2 Binario
3 Ternario
4 Cuaternario
5 Quinario
6 Senario
7 Heptanario
8 Octanario
9 Nonario
10 Decimal
11 Undecimal
12 Duodecimal
Etc. Etc.
En los sistemas de numeración mayores que el de base 10, por convención se utilizan letras o símbolos
para su representación. Veamos:
(10)= (11)=
(12)= (13)=
Ejemplos:
 5(10)3(11) (15) =…………………………..…………=………………….……..…………….
 2(10)3(11) (13) =…………………………..…………=……………………………………….
2. Sistema de Numeración Decimal.- Es el sistema cuyo principio fundamental es que la formación de sus
unidades va de diez en diez. Veamos el siguiente ejemplo:
10 unidades representan: --------------…………………………….……………..
10 decenas representan: ---------------……………………….……………….….
10 centenas representan: --------------..……………………….…..…............
OBSERVACION: Pero en el mundo actual
prácticamente sólo se utiliza el sistema decimal,
el cual ha tenido origen en los 10 dedos de la
mano del hombre. Entonces a continuación
vamos a estudiar algo más de este sistema

19. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
24 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
Características:
 El sistema de numeración decimal utiliza diez símbolos denominados cifras, que son: 0; 1; 2; 3; 4; 5;
6; 7; 8; 9.
 Con estas diez cifras se pueden formar todos los numerales posibles mediante las combinaciones entre
ellas. Como: 98, 657, 7506, 67053, 270379, 9721104, 69003420, 3782980767, etc
 El mínimo valor que puede tener una cifra es cero (cifra no significativa) y el máximo valor es el 9 (una
unidad menos que la base diez).
Valores de las cifras en el sistema de numeración decimal.- Toda cifra que forma parte de un numeral
en el sistema decimal tiene dos valores:
Ejemplo:
5 6 4 6 8
3. Descomposición Polinómica.- Descomponer polinomicamente un numeral es sumar los valores relativos de
cada una de sus cifras. Significa que cualquier numeral que esta escrito en un sistema de numeración
cualquiera, se puede descomponer como la suma de los valores relativos de sus cifras. Ejemplos:
675845 = ………………………………………………………………………………………………………………….………………………………
………………...................................................................................................…………………………………
…………………………………………………………………………………..……………………..………………………………………
94562 = ………………………………………………………………………………………………………………….………………………………
………………...................................................................................................…………………………………
…………………………………………………………………………………..……………………..………………………………………
Valor Absoluto o Por su Forma (VA).- Es la
cantidad de unidades simples que presenta la
cifra, es decir el valor que toma una cifra
por la forma, símbolo o figura que tiene.
Valor Relativo (VR).- Es el valor que tiene la
cifra por el orden o posición que ocupa en el
numeral, es decir la cantidad de unidades
simples en cada orden.
Valor absoluto
Valor relativo

20. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
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2341 = ………………………………………………………………………………………………………………….………………………………
………………...................................................................................................…………………………………
…………………………………………………………………………………..……………………..………………………………………
abcdefg = …………………………………………………………………………………………………………….…….………………………………
………………....................................................................................................…………………………………
…………………………………………………………………………………..…………..……………….…………………………………
1011011(2)= ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………….........................................................................................…………….………………………………
…………………………………………………………………………………..…………..…………………..………………………………
210211(3) = ……………………………………………………………………………………………………….……………..……………………………
……………….........................................................................................…………….………………………………
…………………………………………………………………………………..…………..……………………..……………………………
340123(5) = ……………………………………………………………………………………………………….……………………………………………
……………….........................................................................................………………..……………………………
…………………………………………………………………………………..…………..………………………….…………………………
13504(6) = ………………………………………………………………………………………………………..…………….………………………………
………………........................................................................................................…………………………………
……………………………………………………………………………………………..…..…………..………………………………………
356017(9) = ……………………………………………………………………………………………….………………….….………………………………
………………........................................................................................................…………………………………
……………………………………………………………………………………………..…..……………………………………………………
24310(12) = ………………………………………………………………………………………………………………….…….………………………………
………………..........................................................................................................…………………………………
……………………………………………………………………………….…………………..…………...………………………………………
EN GENERAL
abcdefghn =…………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………
4. Conversión de Sistemas de Numeración
Primer Caso: De un sistema de base “n” al sistema decimal.- Para convertir solo se aplica la
descomposición polinómica. Ejemplos:
a) Convertir: 2341(5) a sistema de base 10
Solución:
2341(5) = …………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
b) Convertir: 101101012 a sistema decimal
NOTA: En cada descomposición polinomica del
numeral podemos observar que, el exponente de la
base de cada término es igual al número de cifras
que quedan a la derecha de la cifra considerada.
23415 significa:
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………

21. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
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Solución:
101101012 = ……………………………………………………………………………………………………..………………
………………………………………………………………………………………………..............…………
…………………………………………………………………………………………………..…………………
…………………………………………………………………………………………………………..…………
c) Convertir: 123234 a sistema decimal
Solución:
123234 = ………………………………………………………………………………………………………………..……
………………………………………………………………………………………………..……………..……
…………………………………………………………………………………………………..…………..……
…………………………………………………………………………………………………………..………
EN GENERAL:
abcdef(n) =
Otro Metodo: (Metodo de Ruffini).- Este metodo es muy practico cuando el numeral tiene
mas de 2 cifras. Veamos con los ejemplos anteriores:
a) Convertir por Ruffini 2341(5) a sistema decimal.
Solución:
b) Convertir por Ruffini 12323(4) a sistema de base 10.
Solución:
Ejercicios para la casa: Convertir a sistema decimal, cada numeral correspondiente.
349= 72348= 842329= mnmn5= 1020324=
1011100102= 11111112= 10000002= 3245123= 11223345=
Segundo Caso: De sistema de base 10 a un sistema de base “n”.- Para convertir un número que esta en
sistema decimal a otra base diferente, se aplica el método de las divisiones sucesivas:
Regla: Se divide sucesivamente el número de base 10, entre la base a la cual vamos a
convertir hasta que el ultimo cociente sea menor que el divisor. Veamos:
a) Convertir 7653 a base 8
Solución:
b) Convertir 55632 a base 6
Solución:
55632 6
Luego
Luego
…………………………………………………
…………………………………………………

22. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
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Rpta. 45268 =
Ejercicios para la casa: En cada caso convertir al sistema de numeración al que indica.
37 a base 2 246 a base binario 12467 a base ternario
2347568 a base 12 657809 a base 9 7567 a base 2
245 a sistema de base 7 1234 a base 5 103210 a base 4
Tercer Caso: De un sistema de base “n” a otro sistema de base “m”.- Para este caso procedemos de la
siguiente manera.
 Primero el número de base “n” pasamos a base 10 (sistema decimal). Por
descomposición polinómica.
 Luego el número obtenido convertimos a base “m” por divisiones sucesivas. Ejemplos:
a) Convertir 45268 a base 5
Solución:
 1º Convertimos el numeral 45268 a sistema decimal
45268= ……………………………………………………………………………..………………..
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….………
……………………………………………………………………………………………….
 2º Luego este numero hallado convertimos a sistema de base 5
Ejercicios para la casa: En cada caso convertir al sistema de numeración que indica
1237 a sistema de base 3 1221223 a sistema de base 9 111012 a sistema de base 5
400035 a base 9 21078 a sistema de base 6 23104 a sistema de base 8
12405 a sistema de base 3 7089 a sistema de base 6 12314 a sistema de base 2
4. REPRESENTACIÓN LITERAL DE UN NÚMERO
Cuando no se conocen las cifras de un numeral, estas se representan por lo general mediante letras
minúsculas del alfabeto colocando en su parte superior una barra. Ejemplos:
7653 8
…………………………………………………… …………………………………………………………………
En el sistema decimal:
ab …………………………………………………………….………………….
abc ……………………….………………………………………….……………
aaa ……………………………………………………….……………………….
En otros sistemas:
abc8  …………………………………………….………………….………….
ab5  ……………………………………………………………..…………….
abac7 …………………………………………………………………………….

23. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
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IMPORTANTE:
 La primera cifra de la izquierda no debe ser cero.
 Si hay expresiones en paréntesis, representan una cifra.
Veamos algunos ejemplos:
 Escribir un numeral de cuatro cifras iguales:………………………………………………………………………….……………………………………
 Escribe un numeral de cuatro cifras cuyas cifras extremas sean iguales……………………….…………………………………….
 Escribir un numeral de tres cifras consecutivas crecientes……………………………………..……………………………………………….
 Escribe un numeral de tres cifras diferentes en el sistema quinario………………………………………………………………………
Numero Capicúa.- Es aquel cuyas cifras equidistantes de los extremos son iguales, es decir se leen iguales
por ambos lados.
Ejemplos:
De dos cifras ………………………………………………………………………..…………….
De tres cifras …………………………..…………………………………………………………
De cuatro cifras …………………………...…………………………………………………….
De cinco cifras ……………………………………………………………………………………
De seis cifras …………………………………………………………………………………etc.
Ejercicios de calentamiento
EJERCICIOS DE APLICACION
1. Completar la siguiente oración de manera
correcta:
 La base de un sistema de numeración es un
número______________ mayor que _____
2. ¿Cuál es la mayor cifra que se puede utilizar en
un sistema de:
 Base 6? _________________
 Base 13? _________________
 Base M? _________________
 Base (M - 2)? _________________
 Base 7? _________________
 Base 16? _________________
 Base (N + 1)? _________________
 Base (6 - N)? _________________
3. Contesta las siguientes preguntas:
 El número 28(3) está mal escrito porque _______
 El número 387(-4) está mal escrito porque ______
 El número 4(-8)(12) está mal escrito porque _____
abcab
somos
reconocer
anitalavalatina
amolapaloma
4) Indicar verdadero (V) o Falso (F) según
corresponda.
 Existen solo 10 sistemas de numeración.
 En el sistema de base 5, se utilizan 5 cifras
diferentes.
 En el sistema de base 7, no existe la cifra 7.
a) FFV b) FVV c) FVV
d) VVV e) VFF
5) Completar: En el sistema octal, existe………....
cifras diferentes y la mayor es………..
a) 8 y 8 b) 7 y 8 c) 7 y 7
d) 8 y 7 e) 7 y 6
1) ¿Cómo se expresa en base 7 un número
formado por 48 unidades?
a) 65(7) b) 66(7) c) 56(7)
d) 34(7) e) 44(7)
2) ¿Cómo se expresa el menor número de 4 cifras
diferentes de la base 7?
a) 1234(7) b) 1320(7) c) 1203(7)
d) 1023(7) e) 1032(7)
3) Si: N = 2 x 83
+ 4 x 82
+ 3 x 8 + 5, ¿Cómo se
escribe el número “N” en base 8?
a) 2135(8) b) 2243(8) c) 2435(8)
d) 2433(8) e) N.A.

24. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
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 El número )
1
(
abc está mal escrito porque ______
4. Escribir:
 El mayor número de 3 cifras de base 7: _______
 El mayor número de 4 cifras diferentes de base
8: ____________
 El mayor número de 4 cifras de la base 8: ______
 El menor número de 4 cifras de base 6: _______
 El menor número de 3 cifras de base 4: _______
 El menor número de 5 cifras de la base N: _____
5. Indique que números están mal escritos:
I) )
6
(
34
c II) 483(9) III) 12345(4)
(c > 6)
a) I b) II c) III
d) I y II e) I y III
6. ¿Cuántas cifras tienen los siguientes números,
si están bien escritos?
I) )
8
(
2
ab tiene: _____________
II) (10) (11) 84(13) tiene: _____________
III) )
7
(
c
)
1
a
(
a  tiene: _____________
IV) )
9
(
4
)
1
b
(
68  tiene: _____________
V) 34567(8) tiene: _____________
7. Colocar > ; < ó = según corresponda:
 24(5) …………………… 23(6)
 30(9) …………………… 27
 17(9) …………………… 18(9)
 13(4) …………………… 12(5)
8. ¿Cuánto suman todos los posibles valores de “a”
en?
I) )
9
(
86
a II) )
4
(
)
2
a
)(
1
a
(
a 

I) )
6
(
3
a II) )
6
(
)
1
a
)(
3
a
(
a 

9. Hallar los valores de “a”, “b”, “c” y “d”, si los
siguientes números están bien escritos. Dar
como respuesta la suma de cifras.
)
5
(
)
c
(
)
d
(
)
b
( 1
c
;
3
d
2
;
1
b
;
1
a
a) 3 b) 4 c) 8
d) 10 e) 12
10. En cada caso hallar el valor de “a” si:
A) )
7
(
6
a = 41
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
B) )
4
(
1
a
1 = 25
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
11. En cada caso hallar el valor de “a” si:
A) )
9
(
)
8
( 3
a
7
a 
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
B) )
5
(
)
6
( 4
a
3
a 
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
12. Hallar “x” si:
31(x) + 23(x) = 54(6)
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
13. ¿Cuántos números naturales existe entre 237 y
456?
14. Si: 23(n) + 14(n) = 42(n), hallar el valor de “n”
15. Hallar el valor de “a+b”; si: abb(9) = bba(6)
16. Si: a+b+c=18, hallar el resultado de abc+cab+bca.
17. El número 102 se escribe como 204 en base “m”,
hallar “m”.
18. Calcule la suma de todos los números de 3 cifras
diferentes que se pueden formar con las de tres
cifras impares que hay en el sistema de base 6.
a) 1776 b) 1665 c) 999
d) 1998 e) 1554
19. La suma de 102+112+1112+10112 en base 10 es:
20. Convertir 2438 a base 10, y dar como respuesta la
cifra que ocupa el orden de las unidades.
TAREA PARA LA CASA
1. ¿Cuál es la mayor cifra que se puede utilizar en
un sistema de:
 Base (N + 3)? ______________
 Base 14? ______________
2. Contesta las siguientes preguntas:
 El número 2(13)(12) está mal escrito porque
_________________________________
 El número 13(-2)(3) está mal escrito porque
_________________________________
3. Escribir:
 El mayor número de 3 cifras diferentes de la
base 8.

25. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
30 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
 El mayor número de 3 cifras diferentes de la
base 5.
 El menor número de 3 cifras diferentes de la
base 7.
 El menor número de 4 cifras diferentes de la
base 6.
4. Indicar que números están mal escritos:
I) 348(12) II) 776(7) III) )
1
(
abc
a) I b) II c) III
d) I y II e) II y III
5. ¿Cuántas cifras tienen los siguientes números,
si están bien escritos?
I) )
8
(
34
ab II) )
9
(
xy
7 III) )
11
(
ab
)
ab
(
12
a) 4 ; 3; 3 b) 4 ; 3; 4 c) 4 ; 3 ; 5
d) 4 ; 4; 4 e) 4 ; 4 ; 5
6. Colocar > ; < ó = según corresponda:
 231(6)………………. 130(9)
 396…………………. 1234(5)
7. ¿Cuánto suman los posibles valores de “a” en: ?
(a  0)
I) )
a
10
(
376  II) )
a
12
(
02
a 
a) 2 ; 10 b) 2 ; 15 c) 3 ; 15
d) 3 ; 10 e) 4 ; 15
8. Hallar los valores de “a” y “b”, si los siguientes
números consecutivos están ordenados de
manera ascendente.
Dar como respuesta “(a + b)”
)
9
(
a
2 ; 35(6) ; 30(b)
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
9. Hallar el valor de “a”; si: )
9
(
7
a
3 = 286
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
10. Calcular el valor de “a”, si: )
5
(
2
a + 13(4) = 19
a) 5 b) 4 c) 3
d) 2 e) 1
11. Calcular el valor de “a”, si: )
7
(
)
8
( 4
a
1
a 
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
12. Ordenar de mayor a menor los siguientes
números:
34(8) ; 45(6) ; 1101(2)
13. Hallar “x” si: 21(x) + 35(x) = 36
a) 1 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
14. Si abc5 = 1029, hallar a+b+c
15. Si aba7 =221; hallar a+b
16. Hallar el valor de “n” si: 102(n) =b234(7)
17. Hallar el valor de “a+b”, si: ab9 =ba7
18. Si: a+b+c=14, halle el resultado de efectuar
abc+bca+cab
19. Si: xyz(6) = 339; halle el valor de x+y+z
20. ¿Cuántos números naturales hay desde el 345
hasta 526?
21. La suma de 10120213 + 11110112 en base diez es:
22. El numero 100 en el sistema binario es?
a) 110010 b) 1100110 c) 1100100
d) 110100 e) 1101010
23. ¿Cual de números es mayor?
a) 435 b) 2123 c) 101102
d) 249 e) 1025
El número en su forma natural (como lo indica) se encuentra en la naturaleza como cantidades que varían de lo
simple a lo complejo, y el hombre para poder representar tales cantidades tuvo que utilizar ciertos signos y/o
representaciones simbólicas que hoy en la actualidad conocemos y lo utilizamos.
Concluyendo podemos afirmar que históricamente el numero natural nació conjuntamente con el hombre, con la
necesidad de saber contar las cosas que poseía, así como conocer las dimensiones de su terreno (forma y
tamaño), etc.
# de números que existe entre uno y otro =
(ultimo numero – primer numero) - 1
# de números que hay desde un numero hasta
otro numero = (ultimo numero – primer
numero) + 1

26. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
31 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
1. Números Naturales (N).- Son los símbolos (dígitos) que utilizamos para contar cantidades existentes en
nuestra realidad. El menor es el cero y el mayor no existe porque todo número natural tiene uno siguiente que
va aumentando más y más al agregarle una unidad.
N =…………………………………………………………………………………….…………………….
2. Representación de Números Naturales
N = {……………………………………………………………………………….}
3. Numero Concreto y Abstracto
4. Operaciones con Números Naturales.-
Las operaciones aritméticas son siete: adición, sustracción, multiplicación,
división, potenciación, radicación y logaritmación. Se clasifican en: Operaciones
de composición o directas y operaciones de descomposición o inversas.
La adición, la multiplicación y la potenciación son operaciones directas porque en
ellas, conociendo ciertos datos, se halla un resultado.
La sustracción, la división, la radicación y la logaritmación son operaciones
inversas porque en ellas, conociendo el resultado de la operación directa correspondiente y uno de sus datos,
se halla el otro dato
A. Adición.- Es una operación de composición o directa que consiste en reunir varias cantidades llamadas
sumandos en una sola llamada suma.
Leyes Formales de la Adición:
……………...…….……………...…….
……………...…….……………...…….
……………...…….……………...…….
Numero
Numero Concreto:
Indica la especie de sus
unidades.
Numero Abstracto:
No indica la especie de
sus unidades.
5 + 9 + 7
a + b + c
=
=
21
d
Ejemplo 5463 + 6751 + 8595 =……………….
1) Ley de Clausura: "La suma de números
naturales es otro natural"
2) Ley Conmutativa: "El orden de los sumandos no
altera la suma"

27. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
32 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
Sumando Números Pares e Impares:
EJERCICIOS DE APLICACION
1. Siendo: 2ab5 + a9b2 = 6a4b ; hallar: a + b
a) 8 b) 10 c) 12 d) 15
2. Si se cumple que: nmn=nm+mn+352; hallar: n + m
a) 12 b) 8 c) 14 d) 16
3. Si: a + b + c = 14, calcular: ab3+c2b+4ac+bca
a) 1988 b) 1999 c) 1977 d) 1966
4. Hallar: a + b + c + d; en: a1a+a2a+a3a+…..+a9a=bcd4
a) 10 b) 20 c) 30 d) 40
5. Cuando: ab+bc=79 y a+b+c=12; hallar: a2 + b2 + c2
a) 10 b) 40 c) 30 d) 50
6. Calcular la suma de cifras de “E” si: E=mnpq+abcd,
y además: mn+ab=143, cd+pq=172
7. Si: a74b+5ba2+c7a=bba68, entonces (a + b + c), es:
8. Si: a + b + c = 14; hallar: ab+bc+ca+ac+ba+cb
9. En cada caso, hallar la suma:
A = 1 + 2 + 3 + . . . . . + 9 + 10
B = 2 + 4 + 6 + . . . . . + 18 + 20
C = 1 + 3 + 5 + . . . . . + 17 + 19
10.Calcule:  +  Si:
11. Calcule: ++ Si:
12. Calcule la suma de las tres ultimas cifras del
resultado de:
111…1+222…2+333…3+……+999…9
A) 23 B) 20 C) 19
D) 18 E) 14
13 Efectuar: 2+22+222+……+222222
A) 246812 B) 246802 C) 246902
D) 246912 E) 246822
14. Si: MAS+SAM=1110, además M=S+4 Halle: M+S+A
15. Halle: A+H Si: HHA+AHH=1352
 a, b, c…, N 
# Impar + # impar = # par
 a, b  N 
 a,b,cN 
4) Ley Modulativa o Elemento Neutro: Cero es el
elemento neutro de la suma, tal que para todo
número "a", se cumple que:
11 + 0 =
 a,N 
5) Ley Monotomia: Si a ambos miembros de una
igualdad se suma un mismo numero se obtiene
otra igualdad.
Si: 4 + 5 = 9 
Si: a + b = c 
6) Ley Cancelativa: Si en ambos miembros de una
igualdad existe un mismo sumando, esto se
cancela y la igualdad no varía
Si: 4 + 3 + 6 = 7 + 6 
Si: a + b + d = c + d 
# Impar + # par = # impar
2 4
2
+
5 5 9
1
7
2 3
3
+
6 8 5
8 cifras 8 cifras 8 cifras 8 cifras

28. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
33 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
TAREA PARA LA CASA
1. Sumar convenientemente:
Hallar: a + b + c
2. Hallar "a + b + c + d", si:
3. Si: entonces el valor
de "c" es:
4. ¿A cuánto hay que vender lo que ha costado S/.
9309 para ganar S/. 1315?
5. Si ganara S/. 56 menos al mes podría gastar
S/. 35 en alquiler, S/. 40 en estudio, S/. 18 en
mis antojos, S/. 59 en otros gastos y podría
ahorrar S/. 32 al mes, ¿cuánto gano al mes?
6. En una región se tienen los siguientes
cultivos: 10548 Ha de maíz, 821 Ha de frijol,
472 Ha de habas; 439 Ha de arveja; 127 Ha de
plantas de ornato; 3058 Ha de huertos de
manzana, 2109 Ha de huertos de pera y 502 Ha
de huertos de ciruela. ¿Cuántas hectáreas de
cultivo tiene la región?
7. Si: hallar: a.b.c
8. Hallar: x + y + z, si se cumple que:
9. Si: A+B+C=17 Halle: ABC+BCA+CAB
10. Si todas las figuras representan números
naturales y se sabe que:
Halle el valor de Q= +-
11. Hallar la suma de las dos ultimas cifras de sumar:
8+88+888+………+88888888
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
12. José utiliza una calculadora para efectuar la
operación 3757-2172. Pero por error en lugar de
la cifra 7 pone la cifra 9. Calcule en cuanto se
equivocó en el resultado.
A) 182 B) 176 C) 172
D) 160 E) 150
13. Si: 535a+d4cb=acd80 Calcular 2a+b+c+d.
A) 9 B) 10 C) 12
D) 15 E) 19
14. Halle: A+B+C Si: AB+BC+CA = 154
15. Halle el valor de S+A+N Si: S+AA=SNN
16. Calcule Q+U+E+S+O Si: QUE+QUE=ESOS
B. Sustracción.- Es una operación inversa a la adición que consiste en que dado dos cantidades, minuendo y
sustraendo, se halla una tercera cantidad llamada diferencia. Veamos:
17 - 12 = 5
M - S = D
abc
.
.
.
666
666
666
66
666
6
666
66
6 





15
abcd
278
487
abcd
15 

68
bba
a
7
c
2
ba
5
b
74
a 


4
xyw
z
9
z
......
z
3
z
z
2
z
z
1
z 




90
+ +
75
135
+
abc
cc
ba
ab 


Estos problemas son
tus pasatiempos
diviértete resolviendo
cada una.
En toda sustracción si
sumamos la diferencia
con el sustraendo se
obtiene el minuendo
Complemento Aritmético (C.A.).- El
complemento aritmético de un número
natural, es la cantidad que le falta a dicho
número para ser igual a la unidad del orden
inmediato superior. Ejemplos:
El C.A. de 3 es…………... porque:…………………………..
El C.A. de 40 es:………… porque:………………………….
El C.A. de 536 es:………. Porque:…………………………
Ejemplos

29. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
34 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
Regla practica para hallar el complemento aritmético de un número
Generalizando la regla práctica tenemos:
Propiedades fundamentales de la sustracción
EJERCICIOS DE APLICACION
01. La suma de los términos de una sustracción es
700. Hallar el sustraendo si es la quinta parte del
minuendo.
A) 60 B) 70 C) 81
D) 72 E) 69
02. Hallar a+b+c Si: C.A.(abc) +100 = 243
A) 19 B) 20 C) 10
D) 30 E) 5
03. Si: A+B+C=30, A=CA(95) B=CA(88). Calcular el
valor de “C”.
A) 17 B) 15 C) 13
D) 11 E) 9
04. ¿Cuál es la diferencia en una sustracción cuya
suma de términos sea 8480, sabiendo además que
el sustraendo es la cuarta parte del minuendo?
05. En una sustracción, restando el sustraendo de la
diferencia resulta 66. Si el minuendo es el
cuádruple del sustraendo, hallar el mayor de los
términos.
06. La suma de los tres términos de una sustracción
es 4204. Hallar el minuendo.
07. Un hombre reparte a su esposa e hijos S/.9500;
el mayor recibe S/.2300; el segundo S/.500
menos que el mayor; el tercero tanto como los dos
primeros y la esposa lo restante. ¿Cuánto recibió
la esposa?
08. Si me sacara S/.2 500 en la Tinka tendría ahora
S/.5 634. Si mi hermano tiene S/.936 menos que
yo, y mi prima 893 menos que mi hermano y yo
juntos, ¿cuánto tenemos entre los tres?
09. Si se cumple: calcular la suma
de los valores que puede tomar "a".
10. Calcule: +++ Si:
mn
6
cba
abc 

M – S = D  M = S + D
-
6 9 1 5
8
1
4
6
8
4
2
2) Halle el C.A. de 5846
Solución:
5846………………………………..……….…………
1) Halle el C.A. de 847691
Solución:
847691………………..…………..…..…………
3) Halle el C.A. de 630
Solución:
630 …..…………………………………….….………
4) Halle el C.A. de 5030
Solución:
5030 ……………….……………………...………
Regla práctica:
C.A. (abcd) = (9 - a)(9 - b)(9 - c)(10 - d)
 La sustracción es una operación inversa a la
adición, significa que si sumamos la diferencia
con el sustraendo obtenemos el minuendo
 Si sumamos los tres elementos de la
sustracción, resulta 2 veces el minuendo.
M + S + D = 2M

30. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
35 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
TAREA DOMICILIARIA
1. Si vendo un juguete en S/.84, ganando S/.18,
¿cuánto me había costado?
2. ¿En cuánto excede la suma de 756 y 8134 a la
diferencia entre 5 234 y 1 514?
3. Si Pedro tuviera 12 años menos tendría 48 años y
si Juan tuviera 13 años más tendría 23 años,
¿cuánto más joven es Juan que Pedro?
4. "A" tiene 15 años; "B" dos años más que "A"; "C"
cinco años menos que "A" y "B" juntos y "D",
nueve años menos que los tres anteriores juntos.
¿Cuál es la suma de las cuatro edades?
5. Hallar "x", si:
6. Si:
hallar "a + b + e".
7. Un comerciante pide 3 000 kg de mercancías.
Primero le mandan 854 kg, más tarde 123 kg
menos que la primera vez y después 156 kg más
que la primera vez. ¿Cuánto falta por enviarle?
8. ¿Cuál es el C.A. de 57081?
9. Tenía S/.4500; presté S/.872, pagué una deuda y
me quedaron S/.1345. ¿Cuánto debía?
10. Calcule: ++ Si:
RESOLVIENDO PROBLEMAS DE ADICION Y SUSTRACCION EN NUMEROS NATURALES
1. La edad de una madre es 12 años más que la suma de las edades de sus tres hijos. Si el tercero tiene 6 años; el
segundo 2 años más que el tercero y el primero tantos años como segundo y el tercero juntos. ¿Qué edad tiene la
madre?
a) 20 b) 24 c) 30 d) 40
2. Sonia pagó una deuda de 2 560 soles y más tarde pagó 4 342 soles, quedándole tanto como había pagado más 728
soles. ¿Cuánto dinero tenía?
a) 14 532 b) 14 653 c) 14 354 d) 14 457
3. Los hermanos Ángel, Beto, Carlos y Dante han recibido una suma de dinero por pintar una flota de automóviles. Ángel
recibió 1 240 soles, Beto 350 soles menos que Ángel, Carlos 600 soles más que Beto, y Dante tanto como Ángel y Beto
juntos. ¿Cuánto recibieron entre los cuatro?
a) 5 740 b) 5 750 c) 5 875 d) 5 789
4. Cuatro obreros han recibido 10 000 soles por su trabajo en la construcción de una casa. El primero recibió 2380
soles, el segundo 460 soles más que el primero, el tercero 700 soles menos que el segundo y el cuarto recibió el resto
de la suma. ¿Cuánto recibió el cuarto obrero?
a) 2 640 b) 2 647 c) 2 547 d) 2 655
5. En una sustracción el minuendo es 13 y el sustraendo 8. Si el minuendo aumenta en 6, ¿en cuanto aumenta la
diferencia?
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9
C. Multiplicación.- Es una operación donde, dados dos números a y b llamados factores, le corresponde un
tercer número c llamado producto.
Origen: Veamos el siguiente ejemplo:
Si: M=245+60-70+180-110+250+620 Hallar: M + M + M + M + M + M + M + M + M
La multiplicación tiene su origen en una operación de adición, donde todos sus sumandos son iguales; como
el ejemplo anterior, el cual podemos escribir en forma abreviada para poder resolver de manera fácil y
rápida.
Resolviendo el problema:
-
9
3
7
1
3
7
9
7
5
7
97
x
dcm
mcd 

5
)
e
d
c
(
.
A
.
C
y
e
4
cd
)
8
ab
8
.(
A
.
C 




31. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
36 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
M=…………………………………………………………………………………………………………………………………
 M + M + M + M + M + M + M + M + M
Leyes Formales de la Multiplicación:
DESARROLLANDO NUESTRA HABILIDAD OPERATIVA EN MULTIPLICACIÓN
Multiplicación por 5
Para que practiques:
47x5 123x5 4567x5 89347x5 77x5 331x5 6754x5 13467x5
83x5 753x5 5235x5 77323x5 69x5 166x5 1040x5 30507x5
12 sumandos
Para multiplicar por 5, al número se le
agrega un cero a su derecha y el
resultado se divide entre 2. Veamos:
………………………………
………………………………
 a, b, c…, N 
1) Ley de Clausura: "El producto de dos números
naturales es otro numero natural"
(3, 6)N 
2) Ley Conmutativa: "El orden de los factores no
altera el producto"
7, 5, 2N 
 a,b,c  N 
3) Ley Asociativa: "La forma como se agrupa los
factores no altera el producto"
3x2x4=
 a,b,cN 
4) Ley Modulativa o Elemento Neutro: El 1 es el
elemento neutro de la multiplicación, tal que
para todo número "a", se cumple que:
23 x 1 =
 a,N 
7) Ley Monotomia: Si a ambos miembros de una
igualdad se multiplica un mismo numero se
obtiene otra igualdad.
Si: 2x5 = 10 
Si: a x b = c 
6) Ley Cancelativa: Si en ambos miembros de una
igualdad existe un mismo factor, éste se
cancela y la igualdad no varía
Si: 2 x 3 x 5 = 5 x 6 
Si: a x b x d = c x d 
5) Ley de Elemento Absorvente: Cero es elemento
absorvente de la multiplicación, tal que para
todo numero natural se cumple que:
234 x 0 
 a, N 
6) Ley Distributiva con respecto a Suma y Resta:
Si un número multiplica a una suma o resta,
éste se distribuye como factor para cada
elemento de la suma y/o resta.
3(7 + 4) =
3(7 – 4) =
a ( b + c ) =
a ( b – c ) =
Que
Fácil
351 x 5 =

32. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
37 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
Multiplicación por 25
Para que practiques:
72x25 229x25 3697x25 12346x25 63x25 798x25 2674x25 23657x25
89x25 896x25 462x25 89205x25 70x25 508x25 8037x25 86034x25
Multiplicación por 11
Ejemplo 1 Ejemplo 2
3 4 x 11 = 3 7 1 9 2 x 11 =
Para que practiques:
67x11 456x11 7685x11 10234x11 235647x11 89x11 235x11 8791x11 56788x11 675894x11
Multiplicación por 9, 99, 999, 9999,……
Para que practiques:
23x99 456x99 2345x99 56432x99 43x999 124x999 2361x999
34286x999 21x9999 233x9999 4325x9999 45671x9999
Multiplicación de 2 números de 2 cifras cada uno
Ejemplo 1: Calcule 32x12 Ejemplo 2: Multiplicar 64x37
Para que practiques:
12x54 23x24 32x85 98x93 21x32 25x62 21x31 43x53 76x77 34x46 53x67 87x75
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
01. En cada caso determine el valor de A+B+C
02. Indique la suma de cifras del producto en cada
caso:
03. Cambia las interrogantes por números que
completen correctamente las operaciones
Para multiplicar por 25, al número se
le agrega dos ceros a su derecha y el
resultado se divide entre 4. Ejemplo:
4 2 x
1 3
6
2
1
B
A
6
4
C
C 7 x
2
6
3
4
B
8
5
3
1
A 5
x
7
3
4
0
6
4
2 9
28 x 25 =
Para multiplicar un numero natural por otro numero
natural formado sólo por cifras 9; al otro numero
natural se agrega a su derecha tantos ceros como cifras
nueves hay, y al resultado se le resta el mismo numero.
564 x 99 =
3 2
1 2
1º
2º
3º
6 4
3 7
1º
2º
3º

33. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
14 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
04. Si: aa x bb=3388. Calcular a+b
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14
05. Halle la suma de cifras del resultado de:
7777777 x 9999999999
A) 78 B) 79 C) 80 D) 81 E) 82
06. Al multiplicar 43 x  = 5857. Calcular la
suma de las cifras halladas.
A) 24 B) 36 C) 37 D) 10 E) 50
07. Luzmila efectúa la multiplicación de 126 por
cierto numero obteniendo como producto 5418,
pero su hermano le hace la observación que el ha
tomado un 3 por un 8 en la cifra de las unidades
del multiplicador. ¿Cuál será la suma de cifras del
verdadero producto?
A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 E) 22
08. En un corral donde hay conejos y gallinas pueden
contarse 132 cabezas y 420 patas ¿Cuántos
conejos y gallinas hay en el corral?
A) 10y25 B) 54y78 C) 98y34 D) 13y22 E) 40y60
09. Al multiplicar 43 x  = 6707 Calcular el
producto de las cifras que corresponden a los
recuadros.
A) 2205 B) 1305 C) 735 D) 1764 E) 2646
TAREA PARA LA CASA
01. En cada caso determine el valor de A+B+C
02. Indique la suma de cifras del producto en cada
caso:
03. Cambia las letras por dígitos que completen
correctamente las operaciones. Si una letra se
repite debe cambiarse por el mismo dígito en esa
operación.
04. Compré 14 trajes a s/.30; 22 sombreros a s/.2 y
8 pañuelos a s/.5 cada uno respectivamente.
Vendiendo los trajes por s/.560, cada sombrero a
s/.1 y cada pañuelo a s/.3, ¿gané o perdí, cuánto?
05. A 60 céntimos cada lápiz, ¿cuánto importarán en
7 docenas?
06. Compré 115 burros a s/.70 cada uno, 15 se
murieron y el resto los vendí a s/.80 cada burro,
¿gané o perdí, cuánto?
07. Nataly vende 50 docenas de platos y hace dos
entregas. La primera de 170 y de 180 la segunda.
¿Cuántos platos le falta entregar?
08. En cada operación, cada asterisco representa una
cifra indique: la suma de cifras de los productos
parciales:
D. División.- La división es una operación inversa de la multiplicación que tiene por objeto, dado el producto de
dos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente).
Significa que dividir un número (dividendo) entre otro (divisor) es hallar un número (cociente) que
multiplicado por el divisor dé el dividendo. Existe dos tipos de división veamos en un ejemplo:
Problema: El profesor de Matemática tiene 60 chocolates y desea:
 Distribuir entre 12 alumnos. ¿A cómo le corresponde a cada uno?
 Y si aumenta un alumno más. ¿Cuántos chocolates corresponde a cada alumno?
?
2
4
?
8
?
7
6
?
?
3
9
?
4
8
4
?
0
3
?
0
3
?
×
3 5 x
A 7
9
9
C
7
5
B 0
3
7 x
4
8
1
3
4 x
6
8
2
5
5
1
4
4 x
7
3
x
3
9
0
2 7
x
3
8
7
B 6
B
B
A
A
4
9
A
B
B
7
A
7
B
1
9
8
7
A
A
1
8
0
0
B
1
A
0
B
B
×
a. 4
8
2
2
K
K
5
6
1
7
T
4
8
4
8
1
K
0
T
T
6
0
4
4
×
b.
Solución 2 Cuando aumenta 1 alumno:
Solución 1 Entre 12 alumnos:

34. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
39 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
01. En cada caso hallando el cociente y residuo
234632÷346 5643256÷5674
756342874÷6546 100234÷523
6755432÷9432 654356456÷8563
324423÷64 8765493÷85
87659934÷64537
02. En cada caso hallamos la suma de las cifras del
dividendo:
03. En cada enunciado hallar lo que indica
División Exacta.- Es cuando al dividir no sobra ni
falta unidades, es decir, el residuo es cero.
División Inexacta.- Es llamada también
Euclidiana. Es cuando sobra o falta unidades
para formar un grupo mas.
 Cuando sobra se dice que la división es
inexacta por defecto.
 Cuando falta se dice que la división es inexacta
por exceso.
Ejemplos:
Propiedades Importantes de la división exacta.
1. La división es distributiva a la derecha con
respecto a la suma y resta. Ejemplos.
(10+8)÷2=
(20-15)÷5=
8 4
3
3
1 2
0
3
3 0
4
2
Por defecto Por exceso
EN GENERAL
Por defecto Por exceso
Propiedades Importantes de la división inexacta.
1. En toda división inexacta siempre se cumple
que:
residuo………….divisor
Además:
Residuo mínimo es =……………………………….………
Residuo máximo es =……………………………………..
2. En toda división inexacta se cumple que:
residuo por defecto + residuo por exceso = divisor
rd + re = d
2. Si sólo al divisor se multiplica por un número, el
cociente queda dividido por ese mismo número.
3. Si sólo al divisor se divide por un número, el
cociente queda multiplicado por ese mismo
número.
4. Si al dividendo y divisor se multiplica o se divide
por un mismo numero, el cociente no varia.

35. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
40 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
 En una división el cociente es 35, el divisor es
40 y el residuo es la mitad del divisor.
Encontrar el dividendo.
 En una división el cociente es 21, el divisor es 45
y el residuo es el máximo. Hallar el dividendo.
 En una división el dividendo es 72. Hallar el
divisor sabiendo que el cociente y el resto son
iguales a 4.
 En una división el cociente es 11, el divisor es 13.
Hallar el dividendo sabiendo que el residuo es
igual a la diferencia entre el divisor y el
cociente.
 La suma del dividendo y el divisor de una división
es 28 y su diferencia es 22. Hallar el residuo.
04. María repartió 254 lápices entre sus 54
amiguitos y al final le sobró 27 lápices. ¿Cuántos
lápices repartió María a cada uno de sus amigos?
05. Juanita tenía S/.163 y lo repartió a cierto número
de personas. Si a cada una le repartió S/.9 y le
sobran S/.10, ¿cuántas personas había?
06. Si al dividir "x" entre 109 el cociente es el duplo
del divisor, ¿qué número es "x"?
07. Uno de los factores del producto 840 es 12, ¿cuál
es el otro factor?
08. ¿Por qué número hay que dividir a 15480 para que
el cociente sea 15?
09. Al sumar dividendo y divisor resulta 21 veces el
residuo y al restarlo resulta 11 veces el residuo.
Hallar el cociente.
A)1 B) 2 C)3 D)4 E)5
TAREA PARA LA CASA
01. Hallar el cociente y residuo de:
02. En cada caso halle la suma de las cifras del
dividendo
03. En cada caso hallar lo que pide:
a) D = 83; q = 9; d = 9: R = ?
b) d = 8; q = 11; R = 3; D = ?
c) D = 102; q = 23; R = 10; d = ?
d) d = 1 563; q = 17; R = 16; D = ?
e) D = 8 754; d = 80; R = 34; q = ?
04. Valentina repartió cierto número de manzanas
entre 19 personas y después de dar 6 manzanas a
cada persona sobraron 8 manzanas. ¿Cuántas
manzanas había?
05. Si el cociente exacto es 851 y el divisor 93, ¿cuál
es el dividendo?
06. Se reparten S/.731 entre varias personas, por
partes iguales, y a cada una le toca S/.43.
¿Cuántas eran las personas?
07. En una división el dividendo es 72, hallar el divisor
sabiendo que el cociente y el residuo son iguales a
4.
08. Si 14 libros cuestan S/.84, ¿cuánto costarían 9
libros?
09. Se reparten 84 kg de arroz entre tres familias
compuestas de siete personas cada una. ¿Cuántos
kilogramos recibe cada persona?
E. Potenciación.-
7x7 =
5x5x5 =
7x7x7x7 =
9x9x9x9x9 =
3x3x3x3x3x3x3 =
Concepto.- Es la representación simplificada de una multiplicación, donde todos los factores son iguales. Es
decir la potenciación consiste en multiplicar un numero por si mismo varias veces. Veamos:
9 4
3
3
4
6
3
2
3
9
¿Existe otra manera de expresar
estas multiplicaciones?

36. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
41 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
1. Exponente 1: Cualquier número elevado al
exponente 1, es igual al mismo número.
a1
=

 (35)1
= 71
=
 (125) = 9 =
2. Exponente 0: Cualquier número excepto el
cero elevado al exponente 0, es igual a 1.
n0
=
 (345)0
= 90
=
 (69)0
= 00
=
4. División de Potencias de Bases Iguales: Se
escribe la misma base y se restan los
exponentes.
𝑎𝑚
𝑎𝑛 = .

56
54
=
 27
: 24
=

935
933 =

712
710 =

(69)3433
(69)3433 =

2𝑚+𝑛
2𝑚+𝑛
=

𝑥23
𝑥20 =
Cuadrado de un Número de dos cifras:
Ejemplo:
( 4 8 )2
=
Practica:
(34)2
= (68)2
=
(16)2
= (92)2
=
Cuadrado de un Número que Termina en Cifra 5:
Ejemplo:
( 3 5 )2
= ( N 5 )2
=
Practica:
(45)2
= (65)2
=
(105)2
= (15)2
=
53
= 125 an
= =P
Propiedades de potenciación en N:
Calculando rápidamente algunas potencias:
43
=………………………………………………….………………….
25
=…………………………………………….……………………….
64
=…………………………………………….……………………….
73
=…………………………………………….……………………….
94
=……………………………………………….…………………….
35
=…………………………………………………………………….
(10)9
=……………………………….…………..……………………
(20)5
=………………………………………………..………………
(10)13
=…………………………………………………..………….
(100)8
=………………………………………………………..………….
Ejemplos
3. Multiplicación de Potencias de Bases Iguales:
Se escribe la misma base y se suman los
exponentes.
am
x an
= .

 25
x 24
=
 (10)6
x (10)5
=
 32
x 33
=
 9 x 92
=
 23
x24
x22
=
 42
x 4 x 43
x 4=
 m2
m3
m5
m2
=
Fácil

37. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
42 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
Exacta:(R=0): Es cuando el residuo es cero, y para
ello el radicando debe ser un cuadrado perfecto:
Inexacta:(R0): Es cuando el residuo es diferente
de cero
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
43
+34
(2+1)2
+3x23
+42
32
x4+5-2x3 24
x5+7-2+33
x6
3x42
-(2+4)2
+5(7-4)2
4(92
-72)+(54
-128)x23
(34
x10+126
)0
+23
x32
+(15x925
)0
Si: P=12
+22
+32
+42
+52
Hallar: 2P+P
Si: M={5+(20-15)-4}2
Hallar M2
5(33
-24
)÷(32
+2)-3x70
+(22
+23
)2
32
x33
+(59
÷57
)x5+2x22
x23
+(389
x345
)0
(3x32
x33
-2x22
x23
)+(12)126
÷(12)124
(23)2
+(32)2
+(35)2
+(235)2
-(125)2
Si: Q=(63)2
+ (36)2
+(265)2
Hallar: Qx2
F. Radicación.-
PROBLEMA: Busquemos un numero que multiplicado tres veces resulte 343.
Solución:
El número es:………………… Porque: ………….x………….x………..… =
El problema dado podemos escribir de manera abreviada así:
Concepto.- Es la operación inversa a la potenciación, donde dado dos números llamados índice y radicando,
consiste en encontrar un tercer número llamado raíz, tal que elevado a un exponente igual al índice resulte
el radicando. Veamos algunos ejemplos prácticos:
√49 = √169 =
√100 = √8
3
=
√16
4
= √32
5
=
√125
3
= √81
4
=
√216
3
= √1024
5
=
√24336 = √219024 =
Raíz Cuadrada Entera.- Se llama así cuando su índice es 2 y puede ser exacta e inexacta:
porque
= Generalizando porque
=
En General En General

38. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
43 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
Regla para extraer la raíz cuadrada de números mayores:
Ejemplo: Hallar 63504 Solución:
Si aun hay mas periodos para resolver se sigue los mismos procedimientos antes mencionados.
Veamos algunos ejemplos:
En cada caso hallar la raíz cuadrada correspondiente:
4624 5776 8464 15876 106276 178084 63153
743044 972196 467856 5503716 46676224 293872 367546
G. Operaciones combinadas de Adición, Sustracción, Multiplicación, División, Potenciación y Radicación
de Números Naturales.
¿Cuál es el orden de jerarquía para resolver operaciones combinadas en N?
1º ………………………………………………....…………………………………………………
2º ………………………………………………....…………………………………………………
3º ………………………………………………....…………………………………………………
4º ………………………………………………....…………………………………………………
5º ………………………………………………....…………………………………………………
1º Separamos el radicando en periodos de dos cifras, comenzando
desde la derecha.
2º Extraemos la raíz cuadrada del primer periodo de la izquierda
(puede ser de una o dos cifras).
3º *Elevamos al cuadrado la raíz hallada y restamos dicho valor al
primer periodo.
*Escribimos a continuación del resto el segundo periodo, luego
separamos la cifra de las unidades.
4º Determinamos el duplo de la raíz. Luego dividimos por ese valor el
número que queda a la izquierda de las unidades separadas.
5º Escribimos el valor de duplo de la raíz seguido del cociente
hallado y multiplicamos el número formado por dicho cociente.
6º Restamos el producto obtenido al numero formado por el resto
mas el segundo periodo. Así el cociente obtenido es la segunda
cifra de la raíz.

39. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
44 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
a) (23
+2)2
+ (22
x25+33
+9) b) (64)3
-62
x3:9+83
:4+52
x3+11x2
c) (12)3
-{[(23
-5)4
-(53
-62
)2
+15]-(83
:24
x7)} d) {[150:(43
-14)]:3} + (32
-23
) x 7
6º ………………………………………………....…………………………………………………
Para que practiques en casa
e) 5(33
- 24
) ÷ 32
+ 2) - 3x70
f) 5 + {7 x 8 - [52
x 2 – 8 x 5] + (32
- 1)}
g) 2 x 102
x 3 x 24
: 2 – 3 - (52
x 2 – 7 x 3)
h) 81 + {72
-(43
÷2+100
) + (7x8-32
) + 4}
i) 42
x 40
÷ 23
÷ 4 + [53
x 2-10x5x3]
j) (2+1)2
x (9-1)2
+ (12+3) ÷ 5
k) 42
x 25 - 2(52
-20)2
+ 23
x (62
-24
)2
l) Si: F={(22
+2)2
-(22
+2)÷22
}2
Hallar: F÷35
m) 23
+{[(23
-5)4
-(53
-62
)2
+52
)]}0
+4x9
n) Si: Q=(6400)2
÷6400-3÷3+(6)0
Hallar: Q÷40.
1. INTRODUCCION:
Desde hace mucho tiempo, el hombre se ha visto ante la necesidad de tener que repartir cantidades de cosas
entre personas, dándole a cada una el mismo número de unidades.

40. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
45 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
Pero a través de la práctica el hombre descubrió que este problema a veces sí tenía solución y a veces no.
Este hecho originó el estudio de la relación entre los números en los que este problema sí tenía solución y los
números en los que no tenían solución. Así comenzó el estudio de la divisibilidad.
Veamos algunos ejemplos:
2. DIVISIBILIDAD
Parte de la aritmética que estudia las condiciones que debe tener un número para que sea divisible por
otro, por tanto estas condiciones se llamará “criterios de divisibilidad”
¿Y cuándo un número es divisible por otro? ……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
Responda:
¿Entre qué números se puede dividir exactamente 24?
Respuesta:……………………………………………………………………….Entonces…………………………………………………………………………………………
¿Entre qué números es divisible 16?
Respuesta:……………………………………………………………………….Entonces…………………………………………………………………………………………
3. DIVISOR Y MULTIPLO DE UN NÚMERO.- En el ejemplo anterior ya sabemos que:
En General si:
IMPORTANTE:
Ejemplo 1: ¿Puedes dividir 3417? Ejemplo 2: ¿Puedes dividir 167?
………………………………………….
Entonces ………………………………………….
Entonces
A B
Ejemplo
 …………………………………………………….son divisores
de……………………………………………………………..
 y…………………………………………..….. es múltiplo
de…………….………………………………………………..
Entonces diremos que:
A B
k
0
Entonces
“B” es…………………… de………
“A” es…………………… de……..
Divisor: Se dice que B es divisor de A,
cuando lo divide en forma entera y exacta
Múltiplo: Un numero A es múltiplo de B,
cuando A contiene a B un numero exacto de
veces. Se simboliza por…………………………………….
Los términos múltiplo y divisor son
correlativos, es decir donde hay un múltiplo
siempre hay un divisor y donde hay un
divisor hay un múltiplo.
27 3
16 Es divisible entre
2
4
8
16
1

41. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
46 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
Practiquemos:
Ejercicio 1: Escribe los divisores de cada uno de los siguientes números:
5  ……………………………………………………………………………………………………………………..
20 ……………………………………………………………………………………………………………………….
36 ……………………………………………………………………………………………………………………….
45 ……………………………………………………………………………………………………………………….
60 ……………………………………………………………………………………………………………………….
80 ……………………………………………………………………………………………………………………….
100 ……………………………………………………………………………………………………………………..
121 ………………………………………………………………………………………………………………………
Ejercicio 2: En el cuadro correspondiente complete, escribiendo los múltiplos de cada uno de los siguientes
números:
Múltiplos de 0
Múltiplos de 1
Múltiplos de 2
Múltiplos de 3
Múltiplos de 4
Múltiplos de 5
Múltiplos de 6
Múltiplos de 7
Múltiplos de 8
Múltiplos de 9
Múltiplos de 10
Múltiplos de 20
Múltiplos de 32
……………..Etc.
CONCLUSIONES: De los ejercicios realizados concluimos que:
 El 1 es divisor de todo número.
 Todo número es múltiplo de si mismo y de la unidad.
 El cero es múltiplo de cualquier número natural.
 Los múltiplos de un número son los números que obtenemos cuando multiplicamos ese número por los
números naturales.
 Todo número tiene infinitos múltiplos pero finitos divisores.
Números No Divisibles: Sabemos que un numero A es divisible por otro numero B cuando la división es entera
y exacta (residuo cero). Pero que pasa si dicha división tiene residuo, entonces diremos que A es múltiplo
de B más el residuo. Ejemplos:
GENERALIZANDO
Es importante que recuerdes la notación
simbólica de múltiplo, pues este término se
utilizara con más frecuencia.
o
3
27  Se lee:……………………..………………………………..
Fácil: Para calcular los divisores de
un número, simplemente lo
dividimos entre los números
naturales menores que él, y
anotamos los que den división
exacta, es decir, resto cero.
44 7
…………………………….
…………………………….
…………………………….
26
44
8
…………………………….
…………………………….
…………………………….
A B
…………………………….
…………………………….
…………………………….

42. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
47 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
4. PRINCIPALES CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Un número
es divisible
por:…
Si……….………….. Ejemplos
2
Termina en cero ó en cifra par. ……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
3
La suma de sus cifras es 3 ó
múltiplo de 3.
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
4
Sus dos últimas cifras son ceros
ó forman un múltiplo de 4.
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
5
Termina en cero ó en 5. ……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
7
Al multiplicar cada una de sus
cifras de la derecha hacia la
izquierda por los valores 1; 3; 2;
-1; -3; -2; 1; 3; 2; ........ y luego
realizar la suma debe resultar
divisible entre 7.
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
8
Sus tres últimas cifras son
ceros ó son múltiplo de 8.
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
9
La suma de sus cifras es 9 ó
múltiplo de 9.
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
11
La diferencia entre la suma de
las cifras del lugar impar y la
suma de las cifras del lugar par,
de derecha a izquierda es: cero,
11 ó múltiplo de 11.
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
EJERCICIOS DE APLICACION
1. Completar en los espacios en blanco
adecuadamente
 Si un número termina en cero o cifra par
entonces será siempre divisible por _____
 Si un número termina en cero o cifra 5
entonces será siempre divisible por _____
2. Relacione ambas columnas:
I. 4125 ( )

2
II. 81423 ( )

3
III. 26132 ( )

5

43. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
48 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
3. Colocar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:
 El número 46
ab es divisible por 4 ( )
 El número abba es divisible por 11 ( )
 El número 25
ab es divisible por 25 ( )
4. Hallar “a”, si: 8
25
a
483 


a) 4 b) 3 c) 2
d) 1 e) 0
5. Hallar “a”, si: 2
9
a
36482
a 


a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
6. Hallar el valor de “a” si:

3
6
a
7  y

5
bca
4 
a) 0 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
7. Hallar el valor de “a” si:

11
a
3
b  y

5
b
4 
a) 7 b) 5 c) 9
d) 8 e) 0
8. Si:

5
b
43
b 
Calcular el residuo de dividir: b
437 entre 9.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
9. Si:

11
a
864 
Calcular el residuo de dividir: 8
dba entre 4.
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
10. ¿Cuántos múltiplos de 8 hay en:
1; 2; 3; 4; 5; … ; 300?
a) 30 b) 33 c) 34
d) 37 e) 38
11. ¿Cuántos múltiplos de 7 hay en:
1; 2; 3; 4; 5; … ; 564?
a) 60 b) 70 c) 80
d) 90 e) 100
12. ¿Cuántos múltiplos de 9 hay en:
21; 22; 23; … ; 287?
a) 29 b) 28 c) 30
d) 31 e) 32
13. ¿Cuántos múltiplos de 11 hay en:
4; 5; 6; 7; … ; 787?
a) 70 b) 71 c) 72
d) 73 e) 74
14. ¿Cuántos múltiplos de 3 hay en:
21(4); 22(4); 23(4); … ; 3020(4)?
a) 66 b) 65 c) 64
d) 63 e) 62
15. ¿Cuántos múltiplos de 15 hay en:
21(4); 22(4); 23(4); … ; 3020(4)?
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
TAREA PARA LA CASA
1. Completar en los espacios en blanco
adecuadamente:
 Si las dos últimas cifras de un número son
ceros o múltiplos de 4 entonces el número
es siempre divisible por _____________
 Si la suma de cifras de un número es
múltiplo de 9 entonces el número es siempre
divisible por _____________
2. Relacione ambas columnas:
I. 1724 ( )

3
II. 5027 ( )

4
Es fácil,
practica
bastante

44. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
49 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
III. 61602 ( )

11
3. Colocar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:
 El número 4624 es divisible por 25. ( )
 El número 65
ab es divisible por 4. ( )
 El número 63851 es divisible por 11. ( )
4. Hallar “a” si:

25
a
387  + 3
a) 1 b) 2 c) 3
d) 7 e) 8
5. Hallar “a” si:

9
a
8672
a  + 4
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
6. Hallar “a” si:

9
3
a
8  Y

25
5
a
78 
a) 5 b) 2 c) 7
d) 0 e) 6
7. Hallar el valor de “b” si:

9
a
2
b  Y

8
a
63
aa 
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 5
8. Si:

4
a
431 
¿Cuánto suman todos los posibles valores de “a”?
a) 4 b) 2 c) 6
d) 8 e) 10
9. Si:

11
7
a
64 
Calcular el residuo de dividir: a
8
db entre 4.
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
10. Calcular “b” Si: 86325 =

9 + b
a) 0 b) 2 c) 4
d) 6 e) 8
11. ¿Cuántos múltiplos de 8 hay en:
1; 2; 3; 4; … ; 264?
a) 30 b) 31 c) 32
d) 33 e) 34
12. ¿Cuántos múltiplos de 9 hay en:
18; 19; 20; 21; … ; 364?
a) 40 b) 39 c) 38
d) 37 e) 36
13. ¿Cuántos múltiplos de 11 hay en:
32; 33; 34; … ; 1624?
a) 147 b) 146 c) 145
d) 144 e) 143
14. ¿Cuántos múltiplos de 5 hay en:
12(4); 13(4); 20(4); … ; 313(4)?
a) 9 b) 10 c) 11
d) 12 e) 13
15. ¿Cuántos múltiplos de 13 hay en:
12(4); 13(4); 20(4); … ; 313(4)?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
5. NUMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS:
Ejemplo: Dado los números 7 y 18, hallar los divisores de cada uno de ellos
Solución:
Muy bien
Lo hiciste
Números Primos.- Son aquellos números que tienen
solamente dos divisores: el mismo y la unidad.
Ejemplos:
Números Compuestos.- Son aquellos números que
tienen más de dos divisores.
Ejemplos:
7
18
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………

45. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
50 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Números Primos Entre Sí (PESI) Son aquellos números que tienen como único divisor común “La unidad”.
Para entender mejor vamos a partir de las siguientes interrogantes:
¿4 es un número primo? ¿15 es un número primo?
Divisores de 4………………………………..………. Divisores de 15…………………………………….……..
Respuesta:……………………………..……………………. Respuesta:……………………………….……………………….
Como la respuesta es que no son números primos. Pero tenemos que observar una característica importante
que tienen estos números, y es que entre sus divisores hay un solo numero en común o que se repite y es…………
Por lo tanto 4 y 15 son……………………………………porque……………………………………..……………………………………………………………..
Más Ejemplos:
¿8 y 12 son PESI? ¿Son PESI 9 y 20? ¿7 y 14 son PESI? ¿14 y 21 son PESI?
8……………………….. 9………………………….. 7…………………………. 14………………………….
12……………………… 20……………………….. 14……………………….. 21………………………….
Rpta…………………….. Rpta……………………….. Rpta……………………….. Rpta………………………….
Descomponiendo un número compuesto en producto de sus factores primos:
Un número compuesto se puede escribir en producto de sus factores primos, es decir en forma de
multiplicación de una serie de números primos.
PARA ELLO: Se divide el número compuesto entre 2, 3, 5, 7, 11, etc. (números primos) hasta que el cociente
sea igual a 1. Ordinariamente esto es sacar mitad, tercia, quinta, séptima, onceava, etc.
Ejemplos:
2
………
………
5
………
………
7
………
………
13
………
………
………
………
………
………
4 ………………………………………………………….…
6 ………………………………………………………….…
12 ………………………………………………………….…
36 ………………………………………………………….…
………………………………………………………….…
………
………
11
………
………
3
………
………
En la tabla
correspondiente
pinta el recuadro
de aquellos que
son números
primos.
720 90 252
408

46. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
51 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
MÁS EJERCICIOS Descomponer en sus factores primos los siguientes números:
960 700 830 1200 2680 1650 460 720
6. HALLANDO LA CANTIDAD DE DIVISORES Y MULTIPLOS DE UN NÚMERO
Escribiendo sus divisores:
EJERCICIOS DE APLICACION
1. ¿Cuantos divisores tiene 2520?
a) 24 b) 36 c) 48 d) 52
2. Hallar el producto de las cifras del número de
divisores de 440.
a) 5 b) 8 c) 16 d) 6
3. Dado los números 16 y 48.
a) Halle todos sus divisores
b) Señale los divisores comunes
Número de Divisores.- Los procedimientos son:
1º Descomponemos el numero en sus factores
primos.
2º Para hallar el número de divisores, se aumenta en
1 a los exponentes de sus factores primos y luego
se multiplican. Ejemplo:
¿Cuántos divisores tiene 180?
180
180=…..…………………
#(d)=…..……………………….
#(d)=…..……………………….
#(d)=…..……………………….
180 ……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
Número de Múltiplos.- Para calcular antes se debe
indicar un número límite. Los procedimientos son:
1º Se divide el número limite indicado entre el
número dado.
2º El numero de múltiplos es igual al cociente
aproximado de la división mas 1. Ejemplo:
¿Cuántos múltiplos menores que 39 tiene el numero 4?
Solución:
¿Cuántos múltiplos menores que 274 tiene 3?
Solución:
39
#(M)=…………………………..
4
#(M)=………….
274
#(M)=…………………………..
3
#(M)=………….
GENERALIZANDO
Sea: N = Numero compuesto
N = Ax
+ By
+ Cz
#(d)= …………………..........
Donde:
N  Número compuesto
A,B,C  Factores primos
x,y,z  Exponente de cada
factor primo.
#(d)  Número de
divisores

47. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
52 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
4. En el siguiente cuadro escribir el término: SI o
NO en cada recuadro aplicando la regla de
divisibilidad.
Div.2 Div.3 Div.5 Div.7
92
113
150
193
46
1298
5. Si: 5b2a es divisible por 2. ¿Cuántos valores
puede tomar a?
a) 13 b) 10 c) 5 d) 2
6. ¿Cuál de los siguientes números no es primo?
12(5), 21(5), 32(5), 43(5), 52(5)
a) 12(5) b) 21(5) c) 52(5) d) 43(5)
7. ¿Cuantos divisores menos tiene el numero 240
que el numero 720?
a) 10 b) 6 c) 8 d) 15
8. El profesor Zósimo propone a sus alumnos el
siguiente juego, contar del 1 al 50 y aplaudir cada
vez que se diga un numero que termine en 5 o en 0
¿Cuantas veces se ha aplaudido hasta terminar el
juego?
a) 13 veces b) 10 veces c) 11 veces
d) 14 veces
9. ¿Cuántos divisores tiene el mayor numero de 2
cifras?
10. ¿Cuántos divisores de 30 son números primos?
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5
TAREA PARA LA CASA
1. Hallar el número de divisores de 236
a) 8 b) 7 c) 9 d) 10
2. ¿Cuál es el cuadrado del numero de divisores de
100?
a) 100 b) 82 c) 64 d) 81
3. El alumno Toribio se propuso contar del 1 al 50 y
aplaudir cada vez que pronuncie un múltiplo de 4
¿Cuantas veces aplaudió Toribio hasta terminar el
juego?
a) 13 b) 8 c) 11 d) 14
4. ¿Cuántos divisores tiene el numero 1200?
a) 29 b) 31 c) 30 d) 32
5. ¿Cuántos divisores menos tiene el número 56 que
el número 80?
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5
6. ¿Cuántos divisores de 84, tienen dos cifras?
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8
7. En el siguiente cuadro escribir el término: SI o
NO en cada recuadro aplicando la regla de
divisibilidad.
Div.2 Div.3 Div.5 Div.7
420
137
438
620
4126
5321
8. Averigua si el numero 221 es primo o compuesto.
9. Escribe tres números primos mayores que 100.
10. En el paréntesis escribe una “P” si es numero
primo ó una “C” si es número compuesto.
151 ( ) 199 ( ) 283 ( )
183 ( ) 184 ( ) 276 ( )
119 ( ) 521 ( ) 320 ( )
7. MAXIMO COMUN DIVISOR (MCD) Y MINIMO COMUN MULTIPLO (MCM):
Máximo Común Divisor (MCD).- Es el mayor de los
divisores comunes de dos o mas números. Veamos:
 Dado los números 12 y 18 escribe los divisores de
cada uno de ellos:
Mínimo Común Múltiplo (MCM).- Es el menor de los
múltiplos comunes de dos o mas números. Veamos:
 Dado los números 12 y 18 escribe los múltiplos de
cada uno de ellos:
12
18
…………………………………………………………
…………………………………………………………
12 …………………………………………………………………
…...

48. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
53 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
EJERCICIOS DE APLICACION
1. Hallar el MCD de:
i) 72 y 86
ii) 135 y 90
iii) 54 y 144
2. Hallar el MCD de A y B si:
A = 22
x 33
x 7 x 1110
B = 23
x 34
x 56
x 1310
a) 2 x 32
b) 22
x 34
c) 23
x 33
d) 22
x 33
e) 24
x 33
…………………………………………………………
…………………………………………………………
Entonces ……………………………………………………
……
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
….
18 …………………………………………………………………
…..
12
MCD(12y18)=…..……………………
…
18
-
MCD(12y18)=…..……………………
…
12
MCM(12y18)=…..…………………
……
18
-
MCM(12y18)=…..…………………
……
840
MCD(840y960)=…..…………………………….
-
MCD(840y960)=…..……………………………
960
12
MCD(24,12y60)=…..……………………….…
…
60
-
MCD(24,12y60)=…..…………………….……
…
-
24
840
MCM(840y960)=…..…………………………
….
-
MCM(840y960)=…..…………………………
…
960
12
MCM(24,12y60)=…..……………………….
……
60
-
MCM(24,12y60)=…..…………………….…
……
-
24
PROPIEDAD IMPORTANTE: El producto de
MCD de (a y b) y MCM de (a y b) es igual al
producto de dichos números (axb).
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
MCD(a y b) x MCM(a y b) = a x b

49. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
54 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
3. Hallar el valor de “n” si el MCD de A y B tiene
15 divisores.
A = 2n
x 34
B = 2n–1
x 32
x 52
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
4. Hallar el valor de “n” si el MCD de A y B tiene
24 divisores.
A = 3n
x 52n+1
x 7
B = 32n
x 2 x 5n + 2
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
5. Hallar el MCD de A y B:
A = 4 x 9 x 15
B = 2 x 6 x 14
a) 12 b) 10 c) 4
d) 6 e) 18
6. Si MCD( b
4
,
a
5 ) = 14. Hallar (a + b)
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
7. Si MCD ( a
)
a
2
(
,
a
7 ) = 6. Hallar “a”
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
8. Un negociante tiene 3 barriles de vino de 360,
480 y 600 litros, desea venderlos en
recipientes pequeños de modo que no sobre ni
falte vino en ninguno de los barriles. ¿Cuál es
la máxima capacidad de los recipientes?
a) 60 lt. b) 80 lt. c) 100 lt.
d) 120 lt. e) 140 lt.
9. Calcular el MCM de:
i) 360 y 150
ii) 82 y 7
iii) 27 y 54
10. Hallar el MCM de A y B si:
A = 23
x 54
x 76
B = 22
x 5 x 11
a) 23
x 54
x 76
x 11 d) 54
x 76
x 22
x 11
b) 22
x 5 e) 54
x 116
x 7
c) 23
x 11 x 76
11. Hallar el valor de “n” si el MCM de A y B,
tiene 60 divisores.
A = 2n + 1
x 34
x 7
B = 22n
x 35
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
12. Hallar el valor de “n” si el MCM de A y B tiene
48 divisores (“n” es un número primo)
A = nn
x 23
x 112
B = n x 11 x 22
a) 1 b) 2 c) 3
d) 5 e) 7
13. Si MCM ( b
4
,
a
9 ) = 90. Hallar (a + b)
a) 4 b) 6 c) 8
d) 9 e) 10
14. Si MCM ( a
2
,
a
9 ) = 196
a) 8 b) 7 c) 6
d) 5 e) 4
15. El MCM de A y 36 es 180 y su MCD es 9.
Hallar el valor de A.
a) 45 b) 30 c) 35
d) 40 e) 48
TAREA DOMICILIARIA
1. Colocar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:
i) MCD significa “mínimo común divisor”
ii) El MCM de dos números contiene
exactamente a dichos números siempre.
iii) El MCM y MCD de dos números pueden ser
iguales.
2. Hallar el MCD de A y B si:
A = 72
x 113
x 5
B = 52
x 7 x 13
a) 25 b) 30 c) 35
d) 40 e) 65

50. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
55 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
3. Hallar el MCD de A y B:
A = 16 x 3
B = 8 x 15
a) 20 b) 16 c) 24
d) 30 e) 35
4. Si MCD ( b
1
,
a
5 ) = 6
Hallar (a + b)
a) 2 b) 5 c) 3
d) 4 e) 6
5. Si MCD ( 9
)
a
2
(
1
,
7
a
1 ) = 21
Hallar el valor de “a”
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
6. Hallar el valor de “n” si el MCD de A y B tiene
12 divisores.
A = 2n
x 75
B = 22n
x 72
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
7. Hallar el valor de “n” si el MCD de A y B tiene
20 divisores.
A = 7n
x 11 x 132
B = 2
x 72n
x 11
x 13
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
8. Hallar el MCD de A y B si:
A = 6 x 14 x 72
B = 21 x 11 x 9
a) 33
x 2 b) 33
x 7 c) 23
x 3
d) 23
x 32
e) 11 x 32
9. Relacione correctamente ambas columnas:
I. 24 y 48 A) Su MCD es 24
II. 21 y 16 B) Su MCD es 1
III. 26 y 52 C) Su MCD es 26
10. Hallar el MCM de A y B si:
A = 32
x 7 x 11
B = 2 x 72
x 3
a) 2 x 7 x 3 d) 7 x 11 x 32
b) 2 x 3 x 7 x 11 d) 2 x 32
x 72
x 11
c) 72
x 3
11. Hallar el valor de “n” si el MCM de A y B tiene
56 divisores.
A = 11n – 1
x 13n
B = 11n + 2
x 132
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
12. Hallar el valor de “n” si el MCM de A y B tiene
60 divisores.
A = 73
x 14
B = 7 x 2n
x 3
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
13. Hallar (a + b) si MCM( b
17
,
a
10 ) = 525
a) 4 b) 6 c) 8
d) 10 e) 12
14. Hallar “a” si MCM ( 7
a
,
5
)
a
2
( ) = 135
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
15. El producto de dos números es 1750 y su MCM
es 350. Hallar su MCD.
a) 2 b) 3 c) 5
d) 7 e) 11
1. INTRODUCCION:
a) 35+64-76 =…………………………………………………..
b) 15-37 =………………………………………………………….
Resuelva los ejercicios correspondientes,
luego responda la pregunta que a
continuación se plantea:

51. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
56 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
c) 2+5-18 =………………………………………………………..
d) 21 + x = 10…………………………………………………...
Podemos observar que la sustracción no siempre es posible en el conjunto N, además en el ejemplo (d) no
existe un numero que sumado a 21 resulte 10.
Ante estas dificultades es necesario ampliar el Conjunto de Números Naturales a otro conjunto más amplio
llamado Conjunto de Números Enteros (Z), en el cual si es posible encontrar la solución a los ejercicios que
no se pudo resolver.
2. CONJUNTO DE NUMEROS ENTEROS.- Son los números formado por el conjunto de los números naturales
y sus opuestos, es decir por el conjunto de números positivos, negativos y el cero. Número Entero, significa
que no tiene parte decimal.
Z = {………………………………………………………….………………}
Representación de los Números Enteros:
Z = {……………………………………………………………………………….}
A partir de la recta podemos concluir que la recta numérica esta formado por:
Números Enteros Positivos (Z+
): Z+
= {……………………………...……………..……………}
Números Enteros Negativos (Z-
): Z-
= {………………………..………………………………….}
El Número Entero Cero (Z0
): Z0
= {…..}
3. VALOR ABSOLUTO DE UN NUMERO ENTERO.- El valor absoluto de un número entero es la distancia que
hay de dicho número hacia el origen (cero) y se simboliza por:
|a|Se lee………………………………………………………………………………
Nota:
 El valor absoluto de un número entero positivo o negativo es el mismo número y siempre es positivo.
 El valor absoluto de de cero es cero. Ejemplos:
¿Qué ejercicios no se puede resolver? ¿Por qué Crees?......................................................................................................
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………...…….……………...…….
……………...…….……………...…….
……………...…….……………...…….
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +3
+2 +4 +5 +6 +7 +8 +9

52. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
57 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
|-5|= |+3|= |-2|= |-3|= |0|=
|+123|= |-211|= |-1|= |+9|= |-7|=
4. OPUESTO DE UN NUMERO ENTERO.- Dos números son opuestos o simétricos cuando tienen el mismo valor
absoluto pero diferentes signos. Ejemplos:
El opuesto de +13 es:____________ El opuesto de -17 es:____________
El opuesto de -19 es:____________ El opuesto de +63 es:____________
El opuesto de -8 es :____________ El opuesto de -8 es :____________
Nota: En la recta numérica los números opuestos están a diferentes lados del origen pero a igual distancia del
mismo.
5. COMPARACION DE NUMEROS ENTEROS.- Para comparar números enteros tenemos que partir a partir de
la recta numérica y tener en cuenta que:
- Cualquier número positivo es mayor que cero.
- Cualquier numero negativo es menor que cero.
- Cualquier número positivo es mayor que cualquier número negativo. Ejemplos:
Tenga en cuenta la recta numérica, luego escribe ,  ó = según convenga:
-5……….-1 +2……….-10 -15.............0 -23............-23
0……....-40 -2…………+1 +3......….-85 -478………...+1
+12…....-12 0………...+65 -9……..…+9 -3………….-899
+5……..-92 +23…..…+42 -35……….-5 0…………...-469
-19………0 -4………….-2 -23……...-23 -36………….-36
+10…..+10 32…….…-32 -1…….….-68 -97……………97
+21…..+52 -67……....+12 -36…….….0 63……………...0
Conclusión:
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Resuelve:
a) |-4| × |2| + |-8|
b) |-6| × |-3| + |16|
c) |-18|  |-3| - |
4
| 
d)
|
5
|
|
2
|
|
10
|



e)
|
1
|
|
2
|
|
5
|
|
1
|
|
1
|
|
3
|
|
8
|











-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +3
+2 +4 +5 +6 +7 +8 +9
Dados dos números enteros,
es mayor aquel que está más
a la derecha y por lo tanto es
menor aquel que está más a
la izquierda.

53. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
58 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
f)
|
20
|
|
4
|
|
36
|
|
2
|
|
8
|






2. Completa las siguientes expresiones:
a) 36 es opuesto de: _______
b) - 73 es opuesto de: _______
c) 87 es opuesto de: _______
d) - 128 es opuesto de: _______
e) 325 es opuesto de: _______
f) El valor absoluto de - 124 es: _______
g) El valor absoluto de 340 es: _______
h) El valor absoluto de - 73 es: _______
i) El valor absoluto de + 68 es: _______
j) El valor absoluto de 0 es: _______
3. Coloca (V) si la afirmación es verdadera y (F) si es
falsa.
a. El opuesto de un número entero negativo es
negativo………………………………………………………………( )
b. El opuesto del opuesto de un entero positivo es
negativo……………………………………………………………..( )
c. La distancia entre dos números opuestos es el
doble de la distancia entre uno de los números
y el cero…………………………………………………………….( )
d. El valor absoluto de un número entero siempre
es positivo…………………………………………………………( )
e. El opuesto de un número entero negativo es
positivo………………………………………………………………( )
f. La suma de los valores absolutos de dos números
opuestos es cero…………………………………………….( )
4. Escribir: ,  ó  según convenga:
+49………..0 +3……………….+7
-8…………-9 +1………………..-1
-7…………+8 -12……………+12
+7……….-20 +14………….-100
-27……..-32 +45………..|-50|
|-8……. +12 |-13|……..|-58|
0…………….1 4…………………..0
-8…………..0 0…………………-3
-1……………0 0…………………-4
|-1|………..0 0……………….-60
5. Completa el siguiente cuadro:
6. Completa correctamente según el ejemplo:
- El valor absoluto de -5 ______ = _______
- El valor absoluto de 7 ______ = ________
- El valor absoluto de -10 ______ = ________
- El valor absoluto de 17 ______ = ________
- El valor absoluto de -39 ______ = ________
- El valor absoluto de 52 ______ = ________
- El valor absoluto de 325 ______ = ________
- El valor absoluto de -125 ______ = ________
- El valor absoluto de -33 ______ = ________
- El valor absoluto de 1 232______ = ________
- El valor absoluto de -11 526______ = ________
- El valor absoluto de -20 205______ = ________
7. Contesta las siguientes preguntas:
a. ¿Cuál es el número entero negativo mayor?
b. ¿Podrías escribir el número entero negativo
menor? ¿Por qué?
c. ¿Es igual el opuesto de un número que su valor
absoluto? ¿Cuál es su diferencia?
6. OPERACIONES CON NUMEROS ENTEROS
1. ADICION DE NÚMEROS ENTEROS: Para sumar número enteros debemos tener en cuenta los casos
siguientes:
a > ó < b |a| >, < ó = |b| |a + b|
-15
-7
+5
-13
-100
+10
12
4
-7
-14
-1
-101
16
-54
18
+2
+9
6
15
0
-20
-22
-8
-7
+14
0
-3
+16
52
-36
CASO 1: Si los números son
del mismo signo, se suman sus
|-5| 5
a) (+12) + (+10)=
b) +
12 + +
23 =
Esta
Fácil

54. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
59 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
Resolver: +
65+-
71++
36+-
43+-
12++
29+-
31+-
15++
57+-
28++
19
SOLUCION: Ejemplos de este tipo se suma de izquierda a derecha. Así:
ATENCION: Existe otra manera de resolver, el cual consiste en sumar por separado tanto los números
negativos y positivos, para luego finalmente sumar los resultados correspondientes. Veamos:
Ejemplos para que practiques:
a) (-43)+(+29)+(-45)+(-65)+(+98)+(+150)+(-32) b) -
4567++
4567+-
267++
438++
267+-
438 =
c) Si: Q = -
5+-
3++
9+-
6++
12; hallar Q +-
24 d) Si: N = [(+3)+(-10)] + [(-13)+(-7)]; hallar (-20)+(N)
e) -
320++
463+-
268+-
128++
456+-
324++
123 f) Si: Q=2+-
3++
4+-
5++
6+-
7++
8+-
9; hallar Q+-
26
CASO 2: Si los números son
de diferente signo, se restan
sus valores absolutos y al
resultado se pone el signo del
número de mayor valor
absoluto. Ejemplos:
a) (+12) + (-7) =
b) -
24 + +
15 =
c) +
12 + -
23 =
d) (-12) + (+46) =
e) (-23) + (+11) =
Solo
NEGATIVOS
Solo
POSITIVOS
+65
+36
+29
+57
+19
-71
-43
-12
-31
-15
-28
+ =
Sumando los resultados

55. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
60 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
2. SUSTRACCION DE NUMEROS ENTEROS.- Para restar dos números enteros, basta que sumemos al
Minuendo el Opuesto del Sustraendo. Es decir TRANSFORMAR LA SUSTRACCION EN UNA ADICION,
ESCRIBIENDO EL OPUESTO DEL SUSTRAENDO. Así:
a) (-24) – (-36) = b) -
19 - -
14 =
c) +
17 - +
26 = d) (+12) – (-8) =
e) -
520 - -
520 = f) +
23 - +
57 =
g) (+360) – (-360) = h) (-243) – (+130) =
i) +
65 - +
49 = j) -
36 - -
67 =
k) Resolver: M= +
9 + -
4 - -
6 + +
7 - -
10 - +
8 + -
1 - +
15 + -
23 - +
32 - -
40 - +
67 - -
85 - +
60
Para resolver ejercicios de este tipo, transformamos todas las sustracciones en adiciones por el opuesto,
luego aplicamos el método de suma por separado. Así:
l) (-10) – (-6) + (-2) – (+8) + (-4) – (-5) – (+10) m) -3 + 6 – 8 – 12 + 5 – 13 + 8 – 9 + 11 – 16 - 24
Ejemplos para que practiques:
a) 2-9+5-14+25-6+23-12+15-25+1-7 b) -248+356-650-120+289-245+820-980
c) (-
7- -
4) + (+
9 - -
2) = d) (-
9 + +
7) – (+
5 + -
3) – (-
2 + -
7) =
e) (-
5 - -
2) – (-
4 + +
6) + (-
6 - +
3) = f) (-
3 + +
9 + -
6) – (-
3 - -
2 - -
8) =
g) (+
10 - +
8 - -
4) + (-
15 - -
9 - +
5 - -
15) = h) -
36 - +
49 - -
67 - +
26 + -
25 - -
10 + +
160 - -
80 - +
100
S
M M Opuesto
Del
Sustraendo
D
-
15 - +
22 

56. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
61 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
Ejercicios con Signos de Colección: Los signos de colección son:
( ) ………………………………………
[ ] ……………………………………...
{ } ………………………………………
Si hay operaciones con signos de colección unos dentro de otro, para resolver primero eliminamos los signos
de colección que están más internos, para el cual debemos tener en cuenta que:
Ejemplos de aplicación:
a) -2-{-1+3+[-9-(-5-7+4)-3+4-6]-5} b) -{-10-[-5+(8-6-7+1)]} + (-73-8) – {-(-5+9-15+3)}
Ejemplos para que practiques:
-38 + (16 - 30) -125 – (27 – (-26)) + (-37 + 12)
8 – 13 + (16 - 25) – (52 – 19 + 17) -16 + (-7) – (38 - 17) – (-15 - 19)
-15-{-61+55+[-17-(-29+1+3)] -3} -9-{9-9+9-9-(-9+9-9-9) -9}
-8+12-{ -4-[-6+1-(-6+3-2)]} -6-9+{+8-5- [16-46-8-(-15-1)-6]}
-18+[-9-6-7-(6-7+10+5)+12]} -[-3 – 5 + 9] – (-2 – 4 – (-2 + 5 - 3) - 7) – 9
-5 – [-17 + (15 -6)] + (-15 - 8) – {-1 + (8 - 9) + (7 - 10)} -13 – {-4 + [9 + (-5 – 6 + 12) + (-2)] - 5}
-15 + {-3 – [8 – 4 + (6 - 1)] + 12 – [6 – (5 - 11)]} -14 – {-9 – [15 – (16 + 31)] – [-12 + (-8 - 7)]}
–{4 – 15 – [7 – (3 – 2 - 6) - 8] – [-3 – (7 - 5)]} 26 – (9 – 18 - 6) – (-12) – (16 - 9) – 12
EJERCICIOS DE APLICACION
1. Sumar los siguientes números enteros.
8 + 7 = -
12 + -
12 =
20 + -
6 = -
9 + +
10 =
(-8) + (-10) = (32) + (-16) =
(+5) + (-3) + (+4) = (-9) + (+2) + (+5)=
2. Restar los siguientes números enteros.
(15) - (- 8) = 46 - -
25 =
 Si delante del signo de colección esta el signo
(+), al eliminar el signo de colección, los signos
del interior no cambian. Ejemplos:
+(-5+9–12+9–15–8-21) =…………………………………………...
+{-1–5+9-16-11+4} =…………………………………………………...
+[+5-6+7-1-2+3] =………………………………………………………
 Si delante del signo de colección esta el signo
(-), al eliminar el signo de colección los signos del
interior cambian por sus opuestos. Ejemplos:
-(-5+9–12+9–15–8) =……………………………………..……………
-{-1–5+9-16-11+4} =……………………………………..……………..
-[-8–9+6–4+3–15+16-1]=……………….………………….………..

57. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
62 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
(-25) - (35) = (-100) - (-100) =
3. Escribir: >, < ó =, según corresponde:
(-9) - (-4)_______(-3) - (+6)
(+13) - (-6)______(-14) + (-2)
(-8) + (+13)______(-7) + (+14)
(-47) - (+25)_____(+15) - (-22)
5. Calcula mentalmente.
+ 4 + 6 + 9= + 11 + 15 + 12=
- 8 - 3 – 6= - 5 - 12 – 9=
+ 8 - 5 + 4= - 5 + 16 – 14=
+ 4 - 8 + 11 – 6= - 10 + 10 - 12 + 12=
- 13 + 8 - 18 + 6=
6. Resuelve las siguientes operaciones combinadas en tu
cuaderno:
a. (-5) + (-2) - (-1) + (+4) - (+6)
b. (-7) - (+2) + (+8) - (-4)
c. (-12) + (-11) - (+10) - (-3)
d. (-6) - (-3) + (-2) - (-8)
7. La suma de 3 números enteros consecutivos es 90.
Hallar el número intermedio.
a) 20 b) 21 c) 30
d) 31 e) N.A.
8. La suma de 2 números enteros negativos es -28. Hallar
el mayor sumando que cumple está condición.
a) -27 b) -1 c) -14
d) -15 e) -16
9. Se tienen 51 números enteros consecutivos. Si el menor
es 20. Hallar el número mayor.
a) 71 b) 52 c) 72
d) 70 e) 69
10. Jorge compra un T.V. en S/. 700 y lo quiere vender
ganando S/. 150. ¿En cuánto debe vender el T.V.?
a) S/. 550 b) 850 c) 150
d) 700 e) 750
11. Liliana esta gorda y se pone a dieta, el primer mes bajo
900 gr.; el segundo mes bajo 200 gr. menos que el mes
anterior, el tercer mes subió 250 gr. y el cuarto mes
subió 300 gr. más que el mes anterior. ¿Cuántos gramos
bajó Liliana al finalizar el cuarto mes?
a) 1100 gr. b) 1400 gr. c) 1050 gr.
d) 1150 gr. e) 800 gr.
12. En un juego un apostador gana S/ 35 luego pierde S/. 22,
después pierde S/. 8 y por último gana S/. 21. ¿Cuánto
ganó o perdió?
a) S/. 13 b) 43 c) 5
d) 26 e) 16
13. Los de 1er grado aperturan una cuenta de ahorro en el
banco con S/. 500, deposita S/. 150, luego retira S/.
100; posteriormente retira S/. 250 por el cajero
automático; finalmente hace un retiro en caja del banco
por un monto de S/. 170. ¿Cuánto le queda en el banco?
a) S/. 230 b) 130 c) 380
d) 30 e) 250
14. Un buque peruano ha pescado una gran cantidad de atún
y se dispone a congelarlo. En su cámara frigorífica la
temperatura desciende 4ºC cada 7 minutos. Si al
principio la cámara está a 12ºC. ¿Cuánto tiempo tardará
en alcanzar -16ºC?
a) 21 b) 28 c) 35
d) 42 e) 49
15. Un automovilista se desplaza por la carretera central a
una velocidad de 80 km/h, luego aumenta su velocidad en
30 km/h, posteriormente vuelve a aumentar su velocidad
en 20 km/h; luego disminuye su velocidad en 40 km/h.
¿A qué velocidad se desplaza el automovilista?
a) 80 km/h b) 110 km/h c) 130 km/h
d) 90 km/h e) 100 km/h
16. Un ascensor estaba en el piso 18, baja 16 pisos, subió 11
pisos y luego bajo 5 pisos. ¿En qué piso se encuentra
ahora?
a) 5 b) 6 c) 12
d) 2 e) 8
17. Un submarino del Perú, se encuentra en el Océano
Pacifico a 350 m bajo el nivel del mar, debido a fallas,
tiene que descender 77 m. Más tarde decide subir 118 m.
¿A qué profundidad se encuentra el submarino?
a) 422 m b) 309 m c) 232 m
d) 159 m e) 359 m
18. Un alpinista se encuentra en la cima del Huascarán, cuya
altura es de 6746 m. desciende 429 m. Otro alpinista se
encuentra a 280 m. de la cima y luego asciende 115 m.
¿Cuál es la diferencia entre las alturas en las que se
encuentran los 2 alpinistas?
a) 106 m b) 165 m c) 314 m
d) 125 m e) 6m
TAREA DOMICILIARIA
1. Sumar los siguientes números enteros.
-
11 + +
12 = -
30 + -
30 =
-
9 + -
15 = +
18 + +
18 =
30 + +
15 = -
3 + +
3 =
(-120) + (42) = (-9) + (-19) =
(+15) + (-23) + (+8) = (-21) + (+12) + (+5)=
(+3) + (+7) + (+10) = (-7) + (-3) + (-2) =
mmmmm…..…
Soy un lobo en
matemática

58. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
63 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
2. Restar los siguientes números enteros.
-
36 - +
23 = (-36) - (-11) =
(+8) - (-8) = (+9) - (+9) =
(+20) - (+20) = (16) - (16) =
3. Escribir: >, < ó =, según corresponde:
(-18) - (-6)______(-9) - (+3)
(+43) - (+14)_____(-20) + (- 49)
(-20) + (+33)_____(+18) + (-36)
(-39) + (-6)______(+72) - (+8)
(+65) - (+7)______(-7) - (-65)
(-60) - (-3)______(+30) - (+54)
6. Resuelve las siguientes operaciones combinadas en tu
cuaderno:
e. (-5) + (+8) - (-3) - (+2)
f. (-4) - (+7) + (-1) - (+10)
g. (-9) + (-10) - (-11) - (-1)
h. (-10) - (-3) + (-18) - (+2)
i. (-7) - (-6) + (-2) - (-3) + (-10)
j. (-12) + (-18) - (-1) + (-7) - (+28)
k. (-25) - (25) + (-5) - (-11) + (+7)
l. (+8) + (-13) - (-12) + (-17) - (-3)
7. Calcular el valor de las siguientes operaciones:
a) - 5 – (-8) + {-9 – [-6 + (5 - 9)] – [9 – 7 - 6]}
b) – {-7 + [-6 + 15 – (-9 + 13 + 17) – (6 - 5)]}
c) - 9 -[15 – (7 - 8) - 6] – [9 – (6 - 3)]
d) – {14 – [9 – (6 - 17) - 3] – [-5 – (8 – 3 - 7)]}
e) – 19 – [-7 – (6 – 3 - 19)] – [-9 – 2 - 7]
8. La suma de 4 números enteros consecutivos es 38.
Hallar el menor de los números.
a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) 11
9. La suma de 2 números enteros negativos es -38. Hallar
el mayor sumando que cumple está condición.
a) -37 b) -1 c) -36
d) -35 e) -2
10. Se tienen 101 números enteros consecutivos. Si el menor
es 30. Hallar el mayor.
a) 71 b) 131 c) 130
d) 129 e) 128
11. Jorge va al cine y ve tres películas seguidas. La primera
duró 1 hora con 15 minutos, la segunda 1 hora con 45
minutos y la tercera 1 hora 30 minutos. ¿Qué tiempo
estuvo Jorge viendo película en el cine?
a) 360 min. b) 180 min. c) 265 min.
d) 450 min. e) 270 min.
12. Rocío esta gorda y se pone a dieta para bajar de peso. El
primer mes subió 2 kg. El segundo mes bajo 3 kg. el
tercer mes aumento 5 kg. y el cuarto mes bajó 7 kg.
¿Cuántos kg. subió o bajó?
a) subió 3 kg. b) subió 3 kg. c) subió 2 kg.
d) bajó 2 kg. e) no subió, ni bajó
13. Mónica compra un celular en S/. 1100 y lo vende a S/.
700. ¿Cuánto perdió en la venta?
a) S/. 340 b) 1810 c) 350
d) 310 e) 410
14. Julio es mayor que Lucho por 9 años. Dentro de 10 años.
¿Cuál será la nueva diferencia?
a) 19 años b) 1 año c) 6 años
d) 9 años e) 5 años
15. Un depósito con agua tiene un agujero por el cual se va
saliendo el agua. La primera hora salió 43 litros, la
segunda hora 16 litros menos que la hora anterior y la
tercera hora 7 litros menos que la hora anterior, si aún
quedan 80 litros, ¿Cuántos litros había inicialmente en el
depósito?
a) 160 litros b) 160 c) 143
d) 140 e) 163
16. La ciudad de Huancavelica tiene una altura de 3680 m.
sobre el nivel del mar. Un helicóptero de noticias
sobrevuela la ciudad, sube 203 mts. Desciende 27 mts.
baja 13 mts. luego se eleva 49 mts. Después de todos
estos momentos, ¿A qué altura sobre el nivel del mar se
encuentra el helicóptero?
a) 3892 b) 3459 c) 3423
d) 3900 e) 3519
17. Un submarino Chileno se encuentra a 280 m. bajo el nivel
del mar, un helicóptero Peruano situado encima de él, a
310 m. sobre el nivel del mar, deja caer una bomba sobre
el submarino. Hallar la distancia, ¿Qué recorre la bomba
hasta llegar a su objetivo?
a) 30 m b) 690 c) 250
d) 590 e) 130
18. Un ascensor estaba en el piso 24, bajó 13 pisos, subió 9
pisos y luego bajó 5 pisos. ¿En qué piso se encuentra
ahora?
a) 13 b) 10 c) 9
d) 15 e) 12
19. Si una gaseosa helada cuesta S/. 6 y la gaseosa sin helar
S/. 4 más de lo que cobran por helarla. ¿Cuánto cobran
por helarla?
a) S/. 5 b) 4 c) 3
d) 2 e) 1
3. MULTIPLICACION DE NUMEROS ENTEROS.- Para hallar el producto de dos o más números enteros se
multiplican los valores absolutos de los números y luego se multiplican los signos, teniendo en cuenta la ley de
los signos en multiplicación. Veamos:

59. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
64 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
IMPORTANTE: Si hay operaciones combinadas con signos de agrupación, donde intervienen adición,
sustracción y multiplicación entonces se resuelve: las operaciones que están dentro de los
signos de agrupación de adentro hacia afuera para el cual:
1ro: se resuelven las multiplicaciones
2do: se resuelven las adiciones y sustracciones en el orden en que aparecen. Ejemplos:
k) (-
5 - -
9)(+
4 - +
6)(-
3 - -
7) = l) 85-4{-3+7[-5+4(2-1x3)]}
ll) 1-{-4[-2(-8+5x2)-3-4x2]-5+6x3} m) -
5(-
14+-
2x-
7) - +
15[+
4-+
8(+
4-+
4x+
2)+-
5] =
Ejercicios para que practiques:
a) (+
7+ -
2x-
3)(-
13 + +
10) + (-
7 - -
9)(-
4 - +
2) b) (-
4+ -
5)x(-
12 - -
19)(+
2 + -
7)=
c) (-2)(-3)(+4)(+5)(-1) = d) (-
12++
7)(+
15- +
20) =
e) -
5x-
2++
6- -
2+-
4x+
2+-
5x-
3 = f) (-
3x-
2) + (+
4x-
8) – (-
5x+
3) =
g) (+7-2x-2)(-13+10) + (-7+9)(-4-3) = h) -3[-5+2(-3+6x-8)]+3 =
i) 85-4{-3+7[-5+4(2-1 x -3)]} = j) 2-{-4(4-8x3+1-5)+3(-2)}-4x-3-9 =
4. DIVISION DE NUMEROS ENTEROS: Para hallar el cociente de dos números enteros, se dividen los valores
absolutos de los números, luego se dividen los signos teniendo en cuenta la ley de signos en la división.
Veamos:
+ x + =.......
- x - =.......
+ x - =.......
- x + =.......
a) (+12)(+23) =……….……...
b) -
23 x -
31 =…….…...........
c) +
32 x -
26 =….………….…
d) (-42) x (-5) =……………
e) -
2 x +
3 x -
5=……………..
f) (+15)(-13)(o) =…………………..…….
g) -
9 x -
8 x -
1 x -
5 =…….………….....
h) +
3 x -
6 x -
5 x +
4 =….………….……
i) (-2)(+5)(+3)(+10) =…………………
j) -
6 x +
7 x -
5=…………………….……..

60. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
65 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
+  + =.......
-  - =.......
+  - =.......
-  + =.......
k) [10-5(-2)](+5)+(-4+6)(+3)+8(-2) l) (-6)(+2)+[18-9(+3)]x(-2+4)+5(-7)
ll) -2{3+[2(-4)+(8-6)(-2)]x3-1} m) -2+{(-5)(4)-[2+(-7+4)(-1)]+(-10)(+5)
Ejercicios para que practiques:
(-
4 - +
6) ÷ (+
5 + -
3) = (-
5 x +
6) ÷ (-
9 + -
1) =
(-4+3)(-1) + [3-(-8) ÷(+2)] + (-9) ÷ (+3) = 5[-8+(-7+4)(-2)] ÷ [(-9) ÷ (-3) -1] =
(-3 x +2) – [(-28÷-7) ÷ (-2+1)] = (-6) ÷(+2) +[18-9÷+3] x (-2+4)+5(-7) =
(-15÷+3) ÷(-
4- +
1) (-11 + 3 - 9 + 2)  (4 - 7 + 8) =
(+12 + 4 - 6)  (20 - 15)= (7 - 5 + 8)  (3 - 2)=
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Efectuar:
A = (2 + 2 + 2 + 2 + … + 2) (3 + 3 + … + 3)
a) 200 b) 240 c) 100
d) 150 e) 120
a) -
27 ÷ -
3 =……………..
b) +
40 ÷ -
8 =……………..
c) -
28 ÷ +
7 =……………..
d) +
36 ÷ +
9 =……………..
e) -
12 ÷ +
12 =…………….
f) (+32)  (+4)=………………
g) (-48)  (-8)=………………
h) (+72)  (-9)=……………..
i) (+36)  (-4)=……………..
j) (+144)  (-12)=………….
8 veces 5 veces

61. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
66 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
2. Efectuar:
B = [(-3) + (-3) + (-3) + … + (-3)] x [(-2) (5)]
a) -33 b) -10 c) 330
d) -330 e) -110
3. La diferencia entre un número y el triple de -4 es
-8. ¿Cuál es el número?
a) -20 b) 12 c) -12
d) 4 e) -4
4. La suma de 2 números es -12 y su producto es +35.
Hallar el mayor.
a) -7 b) 7 c) -5
d) 5 e) N.A.
5. El triple de un número aumentado en 8 es igual a -
10. ¿Cuál es el número?
a) 6 b) -18 c) 18
d) -12 e) -6
6. Albert tiene 15 años y Luis tiene el triple de su
edad. ¿Cuánto suman sus edades?
a) 30 b) 45 c) 25
d) 50 e) 60
7. Cecilia se va de compras, y gasta el triple de lo que
gastó Paco más 10 soles. Si Paco gastó 20 soles.
¿Cuánto gastó Cecilia?
a) S/. 20 b) 10 c) 40
d) 5 e) 30
8. Un sargento quiere formar a sus soldados en 5 filas
que 6 soldados cada una, pero observa que le
faltarían 4 soldados, entonces los forma en 4 filas
de 5. ¿Cuántos le sobran ahora?
a) 5 b) 6 c) 3
d) 4 e) 12
9. Olinda y Liliana tienen juntas S/. 452. Si lo que
tiene Olinda es 5 veces lo que tiene Liliana.
¿Cuánto tiene Liliana?
a) S/. 385 b) 285 c) 308
d) 77 e)67
10.Jorge y Lucho tienen que llenar un depósito de
agua de 360
litros respectivamente. En cada viaje, ¿Cuántos
litros faltarán por llenar en el depósito, después de
20 viajes?
a) 220 lts. b) 140 c) 160
d) 100 e) 150
11. Una división el cociente es 78. El divisor 27 y el
residuo 19. Calcular el dividendo.
a) 2125 b) 2106 c) 2123
d) 2120 e) 2115
12.En una división el cociente es 83, el divisor 65 y el
residuo 54. Calcular el dividendo.
a) 5449 b) 5445 c) 5495
d) 5395 e) 5415
13.En una división el cociente es 19. El divisor 37 y el
residuo es mínimo. Calcular el dividendo.
a) 703 b) 702 c) 721
d) 704 e) 720
14.Calcular el dividendo si se sabe que en una división
el cociente resulto 31, el divisor 23 y el residuo
resultó mínimo.
a) 713 b) 712 c) 731
d) 714 e) 733
15.Calcular el dividendo si se sabe que en una división
el cociente resultó 53, el divisor es 37. El residuo
resultó máximo.
a) 1997 b) 1996 c) 1961
d) 1962 e) 1998
16.Calcular el dividendo si se sabe que en una división
en cociente resultó 49, el divisor es 21 y el residuo
resultó mínimo.
a) 1029 b) 1030 c) 1031
d) 1059 e) 1050
17.En una división el cociente es 37, el divisor 52,
calcular el dividendo si se sabe que el residuo
resultó máximo.
a) 1975 b) 1943 c) 1934
d) 1974 e) 1933
TAREA PARA LA CASA
1. Efectuar:
A = (-
5 + -
5 + -
5 + … + -
5) (3 + 3 + … + 3)
a) -2000 b) -300 c) 3000
d) -300 e) -6000
11 veces
10 veces 20 veces

62. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
67 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
2. Efectuar:
B = [(-3) + (-3) + (-3) + … + (-3)] x [(-1) (10)]
a) -240 b) +240 c) +2400
d) -2400 e) -24000
3. Entre Toño y Jorge tienen S/. 126. Si la cantidad
que tiene Toño es 17 veces la que tiene Jorge.
¿Cuánto más tiene Toño que Jorge?
a) 129 b) 112 c) 17
d) 34 e) 68
4. Las edades de Olinda y Manuela suman 78 años. Si
la edad de Olinda es el doble que la de Manuela.
¿Cuál es la edad de Olinda?
a) 26 años b) 52 c) 13
d) 39 e) 42
5. Entre dos personas tienen S/. 400 si la cantidad
que tiene una de ellas es el triple de lo que tiene la
otra. Hallar la cantidad mayor.
a) S/. 100 b) 200 c) 150
d) 250 e) 300
6. Alberto tiene 10 años y Lucho tiene el triple de su
edad. ¿En cuánto se diferencian sus edades?
a) 20 años b) 40 c) 15
d) 25 e) 30
7. Cecilia va de compras, y gasta el triple de lo que
gastó Paco más S/. 10. Si Paco gasto S/. 30,
¿Cuánto gastó Cecilia?
a) S/. 60 b) 70 c) 80
d) 100 e) 80
8. Francisco tiene S/. 30 y Lucía tiene el doble de lo
que tiene el menos S/. 10. Calcular la diferencia de
dinero que tienen.
a) S/. 60 b) 70 c) 50
d) 20 e) 30
9. Le preguntan a Juan Pablo por su edad y este
responde si el doble de mi edad le suman 8,
obtienen 40 años. ¿Cuál es la edad de Juan Pablo?
a) 48 años b) 50 c) 32
d) 24 e) 18
10.Un teniente quiere formar a sus soldados en 6 filas
de 7 cada, pero observa que le faltarían 4 soldados,
entonces la forma en 7 filas de 5. ¿Cuántos
soldados le sobran ahora?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
11. En una división el cociente es 23, el divisor 17 y el
residuo 14. Calcular el dividendo.
a) 391 b) 405 c) 415
d) 395 e) 425
12.En una división el cociente es 45, el divisor 31 y el
residuo 26. Calcular el dividendo.
a) 1786 b) 1813 c) 1822
d) 1812 e) 1832
13.Calcular el dividendo si se sabe que en una división
el cociente resulto 51, el divisor es 37, y el residuo
resultó mínimo.
a) 1887 b) 1886 c) 1888
d) 1922 e) 1923
14.Calcular el dividendo si se sabe que en una división
el cociente resultó 43, el divisor es 19, el residuo
resultó mínimo.
a) 817 b) 818 c) 816
d) 835 e) 836
15.En una división el cociente es 14, el divisor 19,
calcular el dividendo si se sabe que el residuo
resultó máximo.
a) 266 b) 283 c) 267
d) 284 e) 282
16.En una división el cociente es 59, el divisor 35.
Calcular el dividendo si se sabe que el residuo
resultó máximo.
a) 2065 b) 2099 c) 2098
d) 2064 e) 2066
17.Calcular la suma de los 4 términos enteros que se
obtienen al dividir 10 328 entre 17.
a) 10 337 b) 10 944 c) 10 961
d) 10 795 e) 10 935
5. POTENCIACION DE NUMEROS ENTEROS.- Es una operación en la que dada una base entera (número
entero) y un exponente natural, hallamos un tercero numero llamado POTENCIA
Regla: Se multiplica la base tantas veces como indica el exponente, luego se multiplican los signos teniendo
en cuenta la ley de signos en la multiplicación. Veamos:
80 veces

63. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
68 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
Ejemplos:
(-2)5
=…………………………………………………………………. (+3)3
=……………………………………………………………………………..
(-3)4
=…………………………………………………………………. (-10)9
=…………………………………………………………………………….
(-6)3
=…………………………………………………………………. (-123)0
=………………………………………………………………………….
(+5)4
=…………………………………………………………………. (0)0
=……………………………………………………………………………….
(-123)=………………………………………………………………… (32)=………………………………………………………………………………..
Signos de Potenciación en Números Enteros:
PROPIEDADES:
i
(-3)4
=……………………………….=……... an = P
En general
Base
Potencia
Exponente
Donde:
a  Z; n  N; P  Z
Todo número entero positivo elevado al exponente
par o impar resulta un número entero positivo.
(Numero Positivo)PAR O IMPAR
= Positivo
Un número entero negativo elevado al exponente
par resulta un número entero positivo.
(Numero Negativo)PAR
= Positivo
Un número entero negativo elevado al exponente
impar resulta un número entero negativo.
(Número Impar)IMPAR
= Negativo
a) (+3)5
=
b) (+10)8
=
c) (+4)2
=
d) (+2)3
=
a) (-3)4
=
b) (-10)6
=
c) (-4)4
=
d) (-2)6
=
a) (-3)3
=
b) (-10)7
=
c) (-4)5
=
d) (-2)3
=
1. Producto de Potencias de Igual Base:
Para resolver producto de potencias de
igual base, se escribe la misma base y se
suman los exponentes. Ejemplos:
am
. an
. ap
=…………………
a) (+3)2. (+3)3 =……………………………………………………….
b) (-5)4x (-5)-2 =……………………………………………………..
c) (-2)-2. (-2)6 =……………………………………………………….
d) (-6)2 (-6)2 =……………………………………………………….
e) (+4)2 (+4)3 =………………………………………………………..
2. Cociente de Potencias de Igual Base:
Para resolver cociente de potencias de
igual base, se escribe la misma base y se
restan los exponentes. Ejemplos:
am ÷ an = ...
..........

n
m
a
a
a)
2
6
)
5
(
)
5
(

 =……………………………………………………………………….
b)
3
5
)
3
(
)
3
(

 =……………………………………………………………………….
c)
7
8
)
2
(
)
2
(

 =……………………………………………………………………….
d) 9
9
)
7
(
)
7
(


=……………………………………..……………………………….

64. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
69 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
EJERCICIOS DE APLICACION
I. Efectuar:
(4)2 = (3)3 =
(5)3 = (-2)6 =
II. En cada caso resolver aplicando la propiedad
correspondiente:
Propiedad 1:
(3)5  (3)6= (7)10 (7)2 (7)3=
(2)5 (2)7 (2)2= (3)3 (3)4 (3)5=
3. Potencia de una Potencia:
Para resolver potencia de una potencia, se
escribe la misma base y se multiplican los
exponentes. Ejemplos:
{[(a)m
]n
}p
=…………….…………
a) [(-5)3
]2
=………………………………………………………………….
b) (((-4)9
)0
)11
=………………………………………………..…………..
c) [(-10)2
}4
=…………………………………………………….………….
d) {[(+2)2
]2
}3
=…………………………………………………..……….
e) (((-23)9
)8
)0
+((-2)2
)2
=………………………………….…………..
4. Potencia de una Multiplicación:
Para resolver potencia de una
multiplicación, se eleva cada factor de la
multiplicación a dicha potencia dada.
Ejemplos:
(axbxc)n
=…………….…………
a) (-3  7)2 =………………………………………………………………
b) [(-3) (+5)]3 =………………………………………………….……….
c) [(-4)  (+2)]3 =………………………………………………………
d) [(-5) (+11)]2 =……………………………………………………….
e) (-
1x-
2x+
3)3
=………………………………………………………………
5. Potencia de una División:
Para resolver potencia de una división, se
eleva cada término de la división a dicha
potencia dada. Ejemplos:







n
b
a
.
a) 








2
3
12
b)   


 3
30
60
c) 







4
2
6
d) (-
28  +
7)2
=
CONTADOR PRECOLOMBINO
Las cuentas en el Imperio Inca del Perú
(siglos XII a XVI las llevaba el
denominado «gran tesorero».
Utilizando un ábaco con granos de maíz
(abajo), trasladaba después sus
resultados a una larga cuerda. Los
nudos hechos en los cordeles hacían
posible tener un registro permanente
de los impuestos, los gastos y las
estadísticas vitales.

65. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
70 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
Propiedad 2:
7
10
)
5
(
)
5
(


=
10
12
)
3
(
)
3
(


=
11
15
)
2
(
)
2
(


=
5
7
)
7
(
)
7
(


=
Propiedad 3:
[(5)3]8= [(11)7]9=
[(3)10]5= [(13)9]2=
(3)3 (7)3= (5)2 (9)2=
(7)5 (11)5= (13)8 (2)8=
Propiedad 4:
(21)3 (15)7 (8)2 =
(63)4 (125)3 (32)2=
Propiedad 5:
(21)3 (15)7 (8)2 =
(63)4 (125)3 (32)2=
III. En cada caso simplificar aplicando las propiedades
estudiadas:

2
4
4
5
8
.
6
8
.
6
)
a 
6
5
6
5
2
.
3
4
.
6
)
b 
2
7
6
4
9
8
.
.
.
.
)
c
b
a
c
b
a
c

2
2
2
36
9
18
)
x
d 
4
4
4
4
64
4
2
16
)
x
x
e 
3
4
4
7
.
.
)
y
x
y
x
f
IV. Resolver:
a) (-15+12)3
3+(2x5)2
20x5
b) 10+(-10)(2)2
-(-5)3
+(-8)(-1)5
-(-2)6
c) 637-4(315
313
)+(39)0
-(-1)9
d) 2{1+[4(2+1)2
+1]2
}
TAREA DOMICILIARIA
I. Efectuar:
(-3)3 = (-7)3 =
(-5)4 = (-2)9 =
II.Resolver mediante la propiedad:
Propiedad 1:
75 . 716= (23)8 (23)5=
(16)3 (16)5= (6)2 (6)3=
Propiedad 2:
5
7
)
8
(
)
8
(


=
2
3
)
27
(
)
27
(


=
3
4
)
125
(
)
125
(
=
3
6
)
7
(
)
7
(
=
Propiedad 3:
[(23)4]3= [(3)4]5=
[(2)3]6= [(7)5]3=
Propiedad 4:
(17)3  (25)3= (5)6  (9)6=
(2)3  (+11)3= (13)11  (19)11=
Propiedad 5:








2
5
2








3
4
16







2
2
5
  
 3
4
3
III. Simplificar:

2
4
5
6
4
3
7
..
.
.
10
.
.
.
10
y
m
z
z
y
m

5
4
3
6
7
4
5
8
.
.
.
3
.
.
.
3
c
a
b
c
b
a

7
4
2
8
4
4
9
.
7
.
6
9
.
7
.
6

4
7
6
6
9
8
.
9
.
8
.
9
.
8
x
x

2
3
3
4
5
14
7
20
x
x

4
3
4
3
3
4
6
12
x
x
6. RADICACION DE NUMEROS ENTEROS.- Es la operación inversa a la potenciación, que dados 2 números
llamados ÍNDICE y RADICANDO, consiste en calcular un tercer número llamado RAÍZ que elevado a un
exponente igual al índice resulta el radicando. En general:
Donde:
a, b Z; nz+; n1
b
a
n
 bn = a
Entonces
Base
Exponente
Indice
Raíz

66. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
71 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
Ejemplos:
=
8
-
3
………………………………………………………………. =
- 4 …………………………………….…………………………………..
=
36
 ……………………….……………………………………. =
3
25
 ..…………………………………….……………………………….
=
-
5
32 …………………………………………………..…………. =
-
5
243 …..………………………………………………………………….
=
-
3
27 ……………………………………………..………………. =
-
4
81 ……………………………………..………………………………….
=
4
16 ……………………………………………….……………… =
100 ………………………………………………………………………..
Importante:
PROPIEDADES:
i
La raíz par de un numero entero positivo tiene dos
valores que son opuestos, uno (+) y otro (-).
......
..........
..........
)
( =
ro
NumeroEnte
par

La raíz par de un número entero negativo no
pertenece al conjunto de los números enteros.
......
..........
..........
)
( =
ro
NumeroEnte
par

La raíz impar de un número entero positivo o
negativo es única y con el mismo signo del
radicando.
......
..........
..........
)
(
)
(
Im
=
ó
ro
NumeroEnte
par


a) =
49
 ………………………….
b) =
4
625 …………………………..
c) =
6
64 …………………………….
a) =
49
 ………………………….
b) =
4
625
 ………………………..
c) =
6
64
 ………………………….
a) =
3
125
 ……………………….
b) =
5
243
 ………………………..
c) =
3
64
 ………………………….
d) =
5
32
 ………………………….
2. Raíz de una División:
Para resolver de igual forma distribuimos
la raíz indicada para cada término de la
división. Ejemplos:
.
..........
..........
..........
..........


 n
b
a
n b
a
1. Raíz de una Multiplicación:
Para resolver simplemente se distribuye
la raíz indicada para cada factor de la
multiplicación. Ejemplos:
..........
..........
..........
..........
=
axbxc
n

16
9
4 x
x ………………………………………………………………..…………


3
8
27x …………………………………………………………………………..

36
.
49 ……………………………………………………………………………..



3
125
64x ……………………………….……………………………………
a) 


3
8
64
b) 


3
27
64 …………………………………………………………………
c) 
9
81
d) 

4
625
10000 ………………………………………………………………

67. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
72 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
Aplica las propiedades de la radicación y calcula:

4
16
36
100
49 x
x
x
x 
144
25
4
36
81
16
25
49 x
x
x
x
x
x
x

36
.
144
100
4
49
.
25 x
x
x   

3 512
343
27 x
x

3
125
216x 
169
36
121 x
x

5
5
32
3


3
729
64

64
256

3 12
3

3 4 5 60
x 
3 2
343

5 7
32 7 4
128 =

24 16
8 
9 6
216

3 6
3
3
2
5
4 x
x 
25
100
º
EJERCICIOS
I. Resolver las siguientes operaciones de radicación:
a) 121 = b)
3
8
 =
c)
3
27
 = d) 10000 =
e)
4
625 = e) =
81
4
II. Resolver aplicando la propiedad que corresponde:
3. Raíz de una Potencia:
.......
..........
..........
..........
..........

n m
a
4. Raíz de Raíz:
Para resolver se escribe el radicando en
un solo signo radical y se multiplican los
índices. Ejemplos:
.........
..........
..........
..........
..........

m n p
a
a) 
81 ……………………………………………………………………….
b) 
3 48
5 ………………………………………………………………..
c) 

5 3 120
)
2
( ……………………………………………………………..
d) 

3 3 3 3 243
)
3
( ………………………………………………………..
a) 
3 6
7 ………………………………………………………….
b) 
10 15
25 ……………………………………………………...
c) 

3 5
)
8
( …………………………………………………………………..
d) 

5 3
)
32
( …………………………………………………………………..
VAMOS… TU
PUEDES, ESTAN
FACILES DE
RESOLVER

68. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
73 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
a) )
4
(
)
25
( = b) )
49
(
)
81
( =
c)
3
)
2
2
(
)
4
2
(
)
3
3
( = d) )
64
(
)
16
( =
e)
3 6
)
15
(
3
)
17
( = f)   

3 125
64x
a) (
4
16 )5= b) (
3
)
343
( )2=
c) (
3
)
27
( )5= d) ( )
64
( )3 =
e) (
5
)
32
( )2= f) (
n
4
)
7
( )8n =
a)
3
)
343
( 
5
32
  4
16 =
b) 10000  225 
7
)
128
( =
c) 36 
3
8
 =
d)
3
)
125
( 
6
64 
4
625 =
e) 64 
3
1331 =
a)
5 3
)
10
2
(
)
5
2
( =
b)
4
)
8
(
)
32
( =
c)
7
)
21
3
(
)
7
3
( =
d)
5 10
)
2
2
( =
e)
3 3 3
)
15
3
(
)
9
3
(
)
3
3
( =
III. Simplificar:
a)
5 10
2
3
2 3
6
5
9
27
)
5
(
)
5
(
.
b) 4
625
256
)
25
(
)
10
(
)
20
(
4
4
3
.
.
c)
4 2
7 16
3
14
3
11
)
25
(
)
25
(
)
49
(
)
5
(
)
25
(
)
5
(
)
7
(
)
7
(
)
7
(
.

TAREA DOMICILIARIA
I. Resolver las siguientes operaciones de radicación:
a)
3
1000000 = b)
5
)
32
( =
c)
3
)
8
( .
5
)
32
( = d) 36 . 169 . 225 =
e) 289 . 196 = f) 
 64
II. Resolver aplicando la propiedad que corresponde:
a)
3
)
343
(
)
1331
(  = b)
4
)
16
(
)
81
( =
c)
5 5
)
20
(
10
)
17
( = d) )
196
(
)
289
( =
e)
3
)
27
(
)
8
( 
 = f) 
81
144
36 x
x
a) (
3
343
 )2= b) (
5
1024 )3=
c) (
6
729 )4= d) (
3
)
1331
( )5=
e) (
4
81 )6= f) (
m
4
49 )2m =
a)
5 2
4 =
b)
5
)
4
2
(
6
)
2
( =
c)
4 7 7
)
12
( =
d)
m m
6
)
( = 64
e) (
m
)
6
5
( )m= 25
III. Simplificar:
a)
3
3 7
3
5
)
9
(
)
3
(
16
)
9
(
)
81
(
)
2
(
)
2
(
)
2
(

b)
5 8
)
5
(
2
)
5
(
10
)
2
(
3
)
2
(
7
)
2
( .
c)
4
5 3 3
20
)
81
(
)
64
(
)
3
(
)
27
(
)
81
(
)
1024
(
2
d)
3 4
15
10 5
12
8
12
18
)
9
(
)
3
(
)
27
(
)
8
(
)
2
(
)
9
(
)
3
(
)
3
(
)
2
(
)
2
( .
.
.
.
7. OPERACIONES COMBINADAS DE ADICION, SUSTRACCION, MULTIPLICACION, DIVISION,
POTENCIACION Y RADICACION DE NUMEROS ENTEROS:
Practica
Mucho
3
8 x (-2)3 + (-2)(+5) – (-36  -6)   3
3
3
8
1
27 


 + (-9+3)(-2)2
+[3-2(-5+3)](-9 + 23
)

69. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
74 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
Resuelve en tu cuaderno:
M = (-9)  (+3) - (-5) (-2) + (-2)3 x 16 N = (-5)2
+ (-3) (-2) + (-7)
P = (-2)4 (-2) + (-3)2 + 36 Q = (-5) (-6)  (-2) + 49
3
R = (-30)  (+5) + (-5)2
- (-2) A = {(-7) (-2) + [-5 -2 - (-3 + (-22
) + 64 )]}
B = {
3
27
- - [(-2)4  (-2) (+3) - (-3)]} C = (-8) (+2) - {(-6) (+2)2
- (-5) (-3)} -
4
81
D = {
3
1000
-  (-5) + [(-2)6
 (+4) - (-7) (-2)]} E = (-10)2
 (-2) + {(-2)5
 (+4) - (-7) (-2)}
T =
3 3
2
4
2
)
2
(
)
3
7
(
4
10
)
1
(
)
5
3
( 









 Z = 4
16  (-2)2
+ {(-8)(-3)  (-2)+(-7)2
– (-6)(-8)}
REPASO DE PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN MEDIANTE LA ADICION Y SUSTRACCION DE
NUMEROS ENTEROS
1. En una prueba científica de la NASA un cohete subió 20 400 Km y bajó luego 7 500 Km. ¿ A cuántos km
está del punto de despegue?
-[-9+(-8)  3
64
 ]x(-1)6
+ (-7+4)2
x(-2) - 625 -2{[ 81 + (-6)(+2) – (-2)2
] + [(-8)  (+2) – (-2)]}

70. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
75 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
a) 12 900 b) 12 800 c) 12 500
2. Al realizar un trabajo de investigación con osos polares muertos, un grupo de científicos cogió uno de ellos y
comprobó que tenía una temperatura de -5° C y luego de inyectarle una cierta sustancia su temperatura
subió 38° C ¿Cuál es la temperatura final del oso polar?
3. Elva pensó un número. Si se le suma (-5) da 11, ¿cuál es el número pensado?
a) +33 b) + 35 c) -45 d) 934
4. Elena logró ahorrar 250 dólares. Si desea adquirir una cocina por $ 195 y un compact disk por $ 65. ¿Le
falta o le sobra, y qué cantidad?
a) le falta 10 dólares b) le sobra 10 dólares c) no le falta ni le sobra.
5. De un pozo de agua José Luis saca 4 litros, más tarde vuelve sacar otros 5 litros más; enseguida Erik
agrega 6 litros de agua al pozo. ¿En cuántos litros ha disminuido el contenido del pozo?
a) En 3 litros b) En 6 litros c) En 8 litros
6. Una máquina tragamonedas tiene 80 monedas al empezar el día. Si recolectó en apuestas 120 monedas y dio
un premio de 175 monedas en ese día. ¿Con cuántas monedas finaliza esta máquina el día?
a) con 25 monedas b) Con 26 monedas c) Con 28 monedas
7. En un almacén de telas, cada hora se despachan 300 cortes de tela y se reciben 100 cortes desde su inicio
de jornada. Si al cabo de tres horas había en el almacén 200 cortes de tela, ¡cuántos cortes de tela habían
al principio?
a) 700 b) 800 c) 900 d) 1000
8. Emma tenía cierta cantidad de dinero en su bolsillo. Si deposita en el banco la suma de 400 soles y recibe
una propina de su amigo Carlitos 100 soles con lo cual tiene 180 soles en su poder, ¿cuánto dinero tuvo al
comienzo?
a) 450 b) 480 c) 490 d) 500
9. Una mosca se encuentra posada en una mesa si vuela en forma vertical a la mesa y se eleva 3 m luego
desciende 2 m para elevar nuevamente a 4 m sobre la mesa. ¿A qué distancia se encuentra en ese momento
la mosca con respecto a la mesa, sabiendo que sus vuelos en ascenso deben considerarse positivos y sus
descensos negativos?
a) 4 metros de la mesa b) a 5 metros de la mesa c) a 6 metros de la mesa.
10. Si las guerras Médicas entre Griegos y Persas concluyeron en el año 449 a.c., y tuvieron una duración de
43 años. ¿En qué año se iniciaron?
a) 490 a.C b) 492 a C. c) 495 a.C
11. Un padre de familia tiene un sueldo mensual de S/. 800 y gasta 600 soles, El único hijo que gana dinero con
su trabajo tiene un sueldo de 500 soles, pero gasta 400 soles ¿Qué ahorro mensual hace esta familia?
a) 200 soles b) 300 soles c) 400 soles d) 500 soles

71. “I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
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