Este documento presenta información sobre trigonometría y geometría. Explica los sistemas de medición angular (sexagesimal, centesimal y radial), los elementos básicos de un ángulo trigonométrico y las equivalencias de conversión entre los sistemas. También define conceptos geométricos como segmento de recta, punto medio y operaciones con segmentos. Finalmente, introduce nociones básicas de teoría de conjuntos como conjunto, pertenencia, determinación y cardinal de un conjunto.
Este documento contiene 10 secciones sobre problemas resueltos de estática. Cada sección cubre un tema como fuerzas y momentos, equilibrio de puntos y sólidos, sistemas de fuerzas, cables y vigas. Incluye ejemplos numéricos resueltos de determinar fuerzas desconocidas, tensiones en cables y equilibrio de sistemas.
Este documento trata sobre las fuerzas en cables. Explica que los cables son flexibles e inextensibles, por lo que la fuerza de tensión actúa de forma tangencial a lo largo de su longitud. Incluye ejemplos de cálculo de tensión en cables sometidos a cargas concentradas, distribuidas y su propio peso, con figuras ilustrativas.
El documento presenta cálculos para determinar el campo eléctrico generado por diferentes configuraciones de cargas. En la primera sección, calcula el campo eléctrico a lo largo del eje x producido por una carga lineal uniforme. En la segunda sección, calcula el campo entre dos planos paralelos con diferentes densidades de carga superficial. En la tercera sección, calcula el campo producido por una carga distribuida uniformemente sobre un anillo. En la cuarta y última sección, calcula el campo generado por un disco con densidad
1. Se resuelve un problema de dinámica rotacional sobre una partícula que se mueve en una circunferencia con velocidad constante. Se calculan la aceleración centrípeta, velocidad angular, número de revoluciones y ángulo barrido en un tiempo dado.
2. Se calcula la velocidad angular de un disco que parte del reposo con una aceleración angular constante aplicada. Luego se calculan las aceleraciones tangencial y centrípeta en un punto del disco a cierta distancia del centro.
3. Se determina la veloc
Este documento presenta soluciones a ejercicios y problemas relacionados con la trigonometría de ángulos agudos en triángulos. Incluye cálculos de razones trigonométricas en diferentes triángulos, uso de relaciones fundamentales, resolución de triángulos rectángulos, y más. El documento proporciona detalles paso a paso para cada ejercicio con el objetivo de practicar y reforzar conceptos trigonométricos básicos.
1. Las ondas que suben por una cuerda vertical se mueven más rápidamente que las que bajan debido a que la tensión de la cuerda aumenta hacia arriba por el peso de la parte colgando.
2. La velocidad del sonido en el agua es 1500 m/s y en mercurio es 1410 m/s. El módulo de compresibilidad del mercurio es 27,77 GPa.
3. La velocidad del sonido en el hidrógeno a 300 K es 1450 m/s.
La misión PARCS involucra un reloj atómico de cesio frío que volará a la Estación Espacial Internacional en 2008. El objetivo de la misión, financiada por la NASA, es mejorar la precisión de la medición del tiempo en la Tierra mediante el uso de este tipo de reloj atómico. El documento también presenta información sobre las siete cantidades fundamentales en el sistema internacional de unidades, así como conceptos clave sobre unidades de medición, conversiones de unidades y el uso de cifras significativas.
Este documento contiene 10 secciones sobre problemas resueltos de estática. Cada sección cubre un tema como fuerzas y momentos, equilibrio de puntos y sólidos, sistemas de fuerzas, cables y vigas. Incluye ejemplos numéricos resueltos de determinar fuerzas desconocidas, tensiones en cables y equilibrio de sistemas.
Este documento trata sobre las fuerzas en cables. Explica que los cables son flexibles e inextensibles, por lo que la fuerza de tensión actúa de forma tangencial a lo largo de su longitud. Incluye ejemplos de cálculo de tensión en cables sometidos a cargas concentradas, distribuidas y su propio peso, con figuras ilustrativas.
El documento presenta cálculos para determinar el campo eléctrico generado por diferentes configuraciones de cargas. En la primera sección, calcula el campo eléctrico a lo largo del eje x producido por una carga lineal uniforme. En la segunda sección, calcula el campo entre dos planos paralelos con diferentes densidades de carga superficial. En la tercera sección, calcula el campo producido por una carga distribuida uniformemente sobre un anillo. En la cuarta y última sección, calcula el campo generado por un disco con densidad
1. Se resuelve un problema de dinámica rotacional sobre una partícula que se mueve en una circunferencia con velocidad constante. Se calculan la aceleración centrípeta, velocidad angular, número de revoluciones y ángulo barrido en un tiempo dado.
2. Se calcula la velocidad angular de un disco que parte del reposo con una aceleración angular constante aplicada. Luego se calculan las aceleraciones tangencial y centrípeta en un punto del disco a cierta distancia del centro.
3. Se determina la veloc
Este documento presenta soluciones a ejercicios y problemas relacionados con la trigonometría de ángulos agudos en triángulos. Incluye cálculos de razones trigonométricas en diferentes triángulos, uso de relaciones fundamentales, resolución de triángulos rectángulos, y más. El documento proporciona detalles paso a paso para cada ejercicio con el objetivo de practicar y reforzar conceptos trigonométricos básicos.
1. Las ondas que suben por una cuerda vertical se mueven más rápidamente que las que bajan debido a que la tensión de la cuerda aumenta hacia arriba por el peso de la parte colgando.
2. La velocidad del sonido en el agua es 1500 m/s y en mercurio es 1410 m/s. El módulo de compresibilidad del mercurio es 27,77 GPa.
3. La velocidad del sonido en el hidrógeno a 300 K es 1450 m/s.
La misión PARCS involucra un reloj atómico de cesio frío que volará a la Estación Espacial Internacional en 2008. El objetivo de la misión, financiada por la NASA, es mejorar la precisión de la medición del tiempo en la Tierra mediante el uso de este tipo de reloj atómico. El documento también presenta información sobre las siete cantidades fundamentales en el sistema internacional de unidades, así como conceptos clave sobre unidades de medición, conversiones de unidades y el uso de cifras significativas.
El documento presenta una serie de problemas de mecánica que involucran el cálculo de fuerzas resultantes aplicando los métodos del paralelogramo de fuerzas y la regla del triángulo. Se piden determinar la magnitud y dirección de la fuerza resultante en cada caso dados los valores de las fuerzas que actúan. El asistente resuelve cada problema aplicando trigonometría para hallar la fuerza resultante requerida.
Este documento presenta el análisis estructural de una armadura Howe que soporta un techo. Se determinan las reacciones en los apoyos A y G, así como las fuerzas axiales en las barras. También se calculan los esfuerzos en las barras EF, DF y EG mediante el método de secciones.
Dimensión de un Espacio Y Subespacios Vectoriales algebragr4
Para hallar una base de un espacio vectorial, se deben cumplir dos pasos: 1) Encontrar un conjunto generador mediante vectores linealmente independientes. 2) Demostrar que dicho conjunto es linealmente independiente. Esto garantiza que el conjunto es una base del espacio vectorial.
1) Las cónicas son curvas planas definidas como el lugar geométrico de puntos cuya razón de distancias a un foco y una directriz es constante. Estas incluyen elipses, parábolas e hipérbolas.
2) Las elipses tienen excentricidad menor que 1 y sus puntos suman una distancia constante a los focos.
3) Las ecuaciones canónicas de las cónicas permiten identificar el tipo de curva y sus propiedades geométricas como focos, vértices y ejes.
Un cable coaxial está sujeto a un poste por dos cables. Se sabe que la tensión en uno de los cables es de 125 lb. Se pide determinar a) la tensión en el otro cable y b) la magnitud y dirección de la fuerza resultante de los dos cables en el poste. Resolviendo las ecuaciones de equilibrio de fuerzas se determina que la tensión en el otro cable es de 185 lb y la fuerza resultante apunta a un ángulo de 20° respecto al eje x y su magnitud es de 20.57 lb.
The document contains 11 multi-part solutions to problems from Chapter 5 of the textbook "Vector Mechanics for Engineers: Statics and Dynamics, 8th edition" by Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston, Jr., Elliot R. Eisenberg, William E. Clausen, David Mazurek, and Phillip J. Cornwell. Each solution finds the x-coordinate or y-coordinate of the centroid of one or more areas given dimensions and coordinates of the individual areas. Formulas for the centroid of standard shapes like triangles, circles, and semicircles are used to calculate the x- and y-coordinates of the centroid for the total area.
Este documento presenta una serie de 18 ejercicios y problemas resueltos sobre probabilidad condicionada. Cada ejercicio contiene uno o más problemas que requieren calcular probabilidades condicionadas dados ciertos escenarios probabilísticos como extracciones de bolas de urnas o selecciones al azar de individuos con diferentes características. Se provee la solución completa para cada ejercicio.
A large group of contracting companies and consulting offices are looking for job seekers. They provided a list of email addresses to contact for job opportunities at their companies which work in contracting, consulting, engineering and construction. They encouraged people to be patient and persistent in seeking opportunities and to remember God in their prayers.
Este documento presenta varios ejercicios de álgebra resueltos, incluyendo inecuaciones, expresiones algebraicas y conjuntos solución. Se resuelven 10 ejercicios numéricos con respuestas de opción múltiple.
Solucionario Mecanica Vectorial de Beer 9ed-cap-6-10 EstaticaPatricia Paucar
This document contains solutions to problems involving determining member forces in truss structures using the method of joints. Over multiple pages, free body diagrams are drawn for entire trusses and individual joints. Equations are set up and solved for the forces in each member, stating whether the member is in tension or compression. Diagrams and trusses get increasingly complex over the problems.
Este documento presenta una introducción a los vectores en el espacio tridimensional. Explica los sistemas de coordenadas espaciales, cómo ubicar puntos y representar vectores utilizando vectores base. También define la magnitud y dirección de un vector, y describe las operaciones de producto punto y producto vectorial entre vectores.
Teoría de falla y solicitaciones combinadas - Problema de Aplicación - Ejerci...Gabriel Pujol
Este documento presenta la resolución de un ejercicio de estabilidad que involucra el cálculo de tensiones en una estructura sometida a esfuerzos combinados. Se calculan las tensiones debidas a esfuerzos axiales, cortantes, momentos flexores y torsores, y se determinan las tensiones principales en la sección más solicitada. Finalmente, se grafican los diagramas de tensiones.
I. El documento presenta una práctica calificada de matemática para primer año de secundaria que contiene 28 preguntas sobre álgebra.
II. Las preguntas abarcan temas como expresiones algebraicas, monomios, polinomios, grados y coeficientes de expresiones.
III. Los estudiantes deben clasificar, calcular y determinar diferentes aspectos de las expresiones dadas en cada pregunta.
Problemas de deflexiones mediante los métodos de área de momentos y de la vig...Juan Adolfo Bravo Felix
1. El documento presenta dos problemas de deflexiones de vigas mediante el método de área de momentos y el método de la viga conjugada. El primer problema determina las pendientes y desplazamientos de una viga continua con carga uniforme. El segundo problema determina la reacción y desplazamiento de una viga apuntalada con carga uniforme usando la viga conjugada.
El módulo de elasticidad o módulo de Young es una medida de la rigidez de un material que se determina a partir de la pendiente de la curva tensión-deformación en la zona elástica obtenida mediante un ensayo de tracción. El módulo de elasticidad varía para diferentes materiales y puede verse afectado por factores como la temperatura, la orientación cristalográfica y el tratamiento térmico aplicado.
1. El documento describe los conceptos de carga multiaxial y deformación elástica en elementos estructurales sometidos a fuerzas en múltiples direcciones.
2. Explica que bajo una carga multiaxial, un elemento en forma de cubo se deforma en un paralelepípedo rectangular, y las deformaciones en cada eje dependen de los esfuerzos en todos los ejes.
3. Además, introduce las ecuaciones de Hooke generalizadas que relacionan los esfuerzos y deformaciones en materiales elásticos isotrópicos y
El documento presenta información sobre la factorización de polinomios. Explica que la factorización es el proceso contrario a la multiplicación y que permite expresar un polinomio como un producto de factores primos. Luego, detalla diversos métodos para factorizar polinomios como el factor común, agrupación de términos, equivalencias, aspas simples y dobles. Finalmente, define conceptos clave como factor primo, número de factores y métodos para determinarlos.
Este documento resume los conceptos de caída libre y tiro vertical como casos de movimiento rectilíneo uniformemente variado. Explica que ambos siguen la aceleración de la gravedad y pueden resolverse usando las mismas ecuaciones. Proporciona un ejemplo numérico de cómo resolver un problema de tiro vertical calculando el tiempo máximo, altura máxima y gráficos de posición, velocidad y aceleración.
Este documento presenta conceptos básicos sobre derivación de funciones, incluyendo la definición de tangente y pendiente, reglas para derivar funciones como polinomios, exponenciales y trigonométricas, y ejemplos de problemas de derivación.
Este documento trata sobre centros de gravedad, centroides y fuerzas distribuidas. Explica que el centro de gravedad de un cuerpo es el punto donde se puede considerar que actúa toda su masa, y cómo calcular el centroide de áreas bidimensionales y líneas. También cubre primeros momentos de áreas y líneas, y cómo determinar centroides de figuras compuestas y mediante integración. Finalmente, presenta los teoremas de Pappus-Guldinus y cómo analizar cargas distribuidas en vigas.
1) El documento presenta los temas de una unidad de geometría que incluyen conceptos como segmentos, ángulos y triángulos.
2) Se describen los desempeños que los estudiantes deben lograr relacionados con la identificación y aplicación de dichos conceptos geométricos.
3) El documento también menciona un enfoque transversal inclusivo y de atención a la diversidad.
Este documento presenta los conceptos básicos de vectores en R2 y R3. Introduce la noción de vector, sumas y productos por escalares de vectores, y define la longitud de un vector. Explica cómo representar vectores en R2 usando pares de números y en R3 usando ternas de números.
El documento presenta una serie de problemas de mecánica que involucran el cálculo de fuerzas resultantes aplicando los métodos del paralelogramo de fuerzas y la regla del triángulo. Se piden determinar la magnitud y dirección de la fuerza resultante en cada caso dados los valores de las fuerzas que actúan. El asistente resuelve cada problema aplicando trigonometría para hallar la fuerza resultante requerida.
Este documento presenta el análisis estructural de una armadura Howe que soporta un techo. Se determinan las reacciones en los apoyos A y G, así como las fuerzas axiales en las barras. También se calculan los esfuerzos en las barras EF, DF y EG mediante el método de secciones.
Dimensión de un Espacio Y Subespacios Vectoriales algebragr4
Para hallar una base de un espacio vectorial, se deben cumplir dos pasos: 1) Encontrar un conjunto generador mediante vectores linealmente independientes. 2) Demostrar que dicho conjunto es linealmente independiente. Esto garantiza que el conjunto es una base del espacio vectorial.
1) Las cónicas son curvas planas definidas como el lugar geométrico de puntos cuya razón de distancias a un foco y una directriz es constante. Estas incluyen elipses, parábolas e hipérbolas.
2) Las elipses tienen excentricidad menor que 1 y sus puntos suman una distancia constante a los focos.
3) Las ecuaciones canónicas de las cónicas permiten identificar el tipo de curva y sus propiedades geométricas como focos, vértices y ejes.
Un cable coaxial está sujeto a un poste por dos cables. Se sabe que la tensión en uno de los cables es de 125 lb. Se pide determinar a) la tensión en el otro cable y b) la magnitud y dirección de la fuerza resultante de los dos cables en el poste. Resolviendo las ecuaciones de equilibrio de fuerzas se determina que la tensión en el otro cable es de 185 lb y la fuerza resultante apunta a un ángulo de 20° respecto al eje x y su magnitud es de 20.57 lb.
The document contains 11 multi-part solutions to problems from Chapter 5 of the textbook "Vector Mechanics for Engineers: Statics and Dynamics, 8th edition" by Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston, Jr., Elliot R. Eisenberg, William E. Clausen, David Mazurek, and Phillip J. Cornwell. Each solution finds the x-coordinate or y-coordinate of the centroid of one or more areas given dimensions and coordinates of the individual areas. Formulas for the centroid of standard shapes like triangles, circles, and semicircles are used to calculate the x- and y-coordinates of the centroid for the total area.
Este documento presenta una serie de 18 ejercicios y problemas resueltos sobre probabilidad condicionada. Cada ejercicio contiene uno o más problemas que requieren calcular probabilidades condicionadas dados ciertos escenarios probabilísticos como extracciones de bolas de urnas o selecciones al azar de individuos con diferentes características. Se provee la solución completa para cada ejercicio.
A large group of contracting companies and consulting offices are looking for job seekers. They provided a list of email addresses to contact for job opportunities at their companies which work in contracting, consulting, engineering and construction. They encouraged people to be patient and persistent in seeking opportunities and to remember God in their prayers.
Este documento presenta varios ejercicios de álgebra resueltos, incluyendo inecuaciones, expresiones algebraicas y conjuntos solución. Se resuelven 10 ejercicios numéricos con respuestas de opción múltiple.
Solucionario Mecanica Vectorial de Beer 9ed-cap-6-10 EstaticaPatricia Paucar
This document contains solutions to problems involving determining member forces in truss structures using the method of joints. Over multiple pages, free body diagrams are drawn for entire trusses and individual joints. Equations are set up and solved for the forces in each member, stating whether the member is in tension or compression. Diagrams and trusses get increasingly complex over the problems.
Este documento presenta una introducción a los vectores en el espacio tridimensional. Explica los sistemas de coordenadas espaciales, cómo ubicar puntos y representar vectores utilizando vectores base. También define la magnitud y dirección de un vector, y describe las operaciones de producto punto y producto vectorial entre vectores.
Teoría de falla y solicitaciones combinadas - Problema de Aplicación - Ejerci...Gabriel Pujol
Este documento presenta la resolución de un ejercicio de estabilidad que involucra el cálculo de tensiones en una estructura sometida a esfuerzos combinados. Se calculan las tensiones debidas a esfuerzos axiales, cortantes, momentos flexores y torsores, y se determinan las tensiones principales en la sección más solicitada. Finalmente, se grafican los diagramas de tensiones.
I. El documento presenta una práctica calificada de matemática para primer año de secundaria que contiene 28 preguntas sobre álgebra.
II. Las preguntas abarcan temas como expresiones algebraicas, monomios, polinomios, grados y coeficientes de expresiones.
III. Los estudiantes deben clasificar, calcular y determinar diferentes aspectos de las expresiones dadas en cada pregunta.
Problemas de deflexiones mediante los métodos de área de momentos y de la vig...Juan Adolfo Bravo Felix
1. El documento presenta dos problemas de deflexiones de vigas mediante el método de área de momentos y el método de la viga conjugada. El primer problema determina las pendientes y desplazamientos de una viga continua con carga uniforme. El segundo problema determina la reacción y desplazamiento de una viga apuntalada con carga uniforme usando la viga conjugada.
El módulo de elasticidad o módulo de Young es una medida de la rigidez de un material que se determina a partir de la pendiente de la curva tensión-deformación en la zona elástica obtenida mediante un ensayo de tracción. El módulo de elasticidad varía para diferentes materiales y puede verse afectado por factores como la temperatura, la orientación cristalográfica y el tratamiento térmico aplicado.
1. El documento describe los conceptos de carga multiaxial y deformación elástica en elementos estructurales sometidos a fuerzas en múltiples direcciones.
2. Explica que bajo una carga multiaxial, un elemento en forma de cubo se deforma en un paralelepípedo rectangular, y las deformaciones en cada eje dependen de los esfuerzos en todos los ejes.
3. Además, introduce las ecuaciones de Hooke generalizadas que relacionan los esfuerzos y deformaciones en materiales elásticos isotrópicos y
El documento presenta información sobre la factorización de polinomios. Explica que la factorización es el proceso contrario a la multiplicación y que permite expresar un polinomio como un producto de factores primos. Luego, detalla diversos métodos para factorizar polinomios como el factor común, agrupación de términos, equivalencias, aspas simples y dobles. Finalmente, define conceptos clave como factor primo, número de factores y métodos para determinarlos.
Este documento resume los conceptos de caída libre y tiro vertical como casos de movimiento rectilíneo uniformemente variado. Explica que ambos siguen la aceleración de la gravedad y pueden resolverse usando las mismas ecuaciones. Proporciona un ejemplo numérico de cómo resolver un problema de tiro vertical calculando el tiempo máximo, altura máxima y gráficos de posición, velocidad y aceleración.
Este documento presenta conceptos básicos sobre derivación de funciones, incluyendo la definición de tangente y pendiente, reglas para derivar funciones como polinomios, exponenciales y trigonométricas, y ejemplos de problemas de derivación.
Este documento trata sobre centros de gravedad, centroides y fuerzas distribuidas. Explica que el centro de gravedad de un cuerpo es el punto donde se puede considerar que actúa toda su masa, y cómo calcular el centroide de áreas bidimensionales y líneas. También cubre primeros momentos de áreas y líneas, y cómo determinar centroides de figuras compuestas y mediante integración. Finalmente, presenta los teoremas de Pappus-Guldinus y cómo analizar cargas distribuidas en vigas.
1) El documento presenta los temas de una unidad de geometría que incluyen conceptos como segmentos, ángulos y triángulos.
2) Se describen los desempeños que los estudiantes deben lograr relacionados con la identificación y aplicación de dichos conceptos geométricos.
3) El documento también menciona un enfoque transversal inclusivo y de atención a la diversidad.
Este documento presenta los conceptos básicos de vectores en R2 y R3. Introduce la noción de vector, sumas y productos por escalares de vectores, y define la longitud de un vector. Explica cómo representar vectores en R2 usando pares de números y en R3 usando ternas de números.
Este documento presenta 12 ejercicios de álgebra. Los ejercicios cubren temas como calcular expresiones algebraicas, verificar igualdades, resolver ecuaciones, ordenar números, calcular fracciones, y representar puntos y conjuntos en el plano. El objetivo es que los estudiantes repasen estos conceptos básicos antes de comenzar el curso.
I convocatoria matemática x año curso 2015Jorge Umaña
Este documento contiene la prueba de matemáticas para el décimo año de un liceo. La prueba consta de cuatro secciones que incluyen preguntas de selección múltiple, respuestas restringidas sobre círculos, rectas y funciones, resolución de ejercicios y resolución de problemas. Los estudiantes tienen 120 minutos para completar la prueba de 75 puntos.
Este documento presenta información sobre grados de expresiones algebraicas y polinomios especiales. En la primera sección se definen conceptos como grado relativo y absoluto de un polinomio. La segunda sección describe diferentes tipos de polinomios especiales como polinomios monómicos, homogéneos y completos. La tercera sección contiene ejercicios de aplicación sobre estos temas. El documento concluye con una tarea domiciliaria de 15 preguntas relacionadas con álgebra y geometría.
CUADERNILLO DE ARITMETICA ACTIVIDADES.pdfELNAZARENOIEP
Este documento contiene 24 capítulos sobre aritmética que abarcan diversos temas matemáticos como teoría de conjuntos, operaciones con números naturales, primos, fracciones, porcentajes, estadística, probabilidades y más. Cada capítulo incluye el tema tratado y la página en la que comienza.
Katiuska desea construir un cartel triangular con dos lados de 60 cm cada uno y un ángulo de 30°. El área del cartel es 900 cm2. Se halla la ecuación de una elipse con centro (3,4), ejes mayor de 18 y menor de 10, siendo el eje focal paralelo al eje x. La ecuación es (x-3)2/81 + (y-4)2/25 = 1. Se calculan las coordenadas del vértice de una elipse dada por la ecuación 4x2 + 2y2 = 36, siendo éstas
1. El documento define elementos básicos de un círculo como el centro, radio, recta tangente, cuerda, diámetro, arco y punto de tangencia.
2. Se presentan tres propiedades de la circunferencia: 1) el radio es perpendicular a toda recta tangente en su punto de tangencia, 2) si un radio es perpendicular a una cuerda, el radio pasa por el punto medio de la cuerda y del arco correspondiente a la cuerda, 3) se resuelven varios problemas geométricos que implican el uso de estas propiedades.
Este documento describe los vectores matemáticos, incluyendo sus elementos, representación cartesiana, clasificación y operaciones. Los vectores representan magnitudes físicas como velocidad y fuerza. Se suman vectores mediante el método del triángulo o polígono, y se restan mediante el método del paralelogramo.
Este documento contiene 21 problemas de álgebra y 20 problemas de geometría. Los problemas de álgebra incluyen ecuaciones polinómicas, expresiones algebraicas, operaciones con monomios y polinomios. Los problemas de geometría incluyen cálculos con ángulos, triángulos, puntos sobre una recta y figuras planas.
El documento presenta información sobre megaconstrucciones históricas como el Partenón, que data del 447 a.C. Explica que el Partenón tiene proporciones basadas en el número áureo. También introduce conceptos de teoría de conjuntos como números reales, racionales e irracionales, y cómo pueden representarse en una recta numérica.
Este resumen describe los pasos para resolver un problema de cálculo computacional que involucra matrices y sistemas de ecuaciones. Se define una matriz A como una combinación de otras matrices B, C y sus transformaciones. Se describe cómo calcular partes de A y cómo resolver el sistema Ax=b usando comandos de MATLAB. El sistema resulta ser incompatible debido a que el rango de A es mayor que el número de ecuaciones. Se calculan las soluciones aproximadas x e xpinv y sus errores respecto a b.
Este documento presenta un examen de selección para el ciclo básico que contiene 36 preguntas de aritmética, álgebra, geometría, trigonometría, razonamiento matemático y razonamiento verbal distribuidas en 6 páginas. El examen evalúa conceptos y habilidades matemáticas y de lógica para determinar el nivel de conocimientos y destrezas de los postulantes.
El documento presenta un examen de admisión a la universidad con 33 preguntas de matemáticas. Las preguntas abarcan temas como números, álgebra, funciones, geometría y probabilidad. El examen evalúa las habilidades matemáticas básicas y el razonamiento lógico necesarios para ingresar a carreras de ingeniería.
Este documento presenta 12 problemas de conjuntos y lógica. Los problemas involucran determinar si ciertas proposiciones son verdaderas o falsas, calcular el cardinal y subconjuntos de diferentes conjuntos dados, y resolver otras operaciones con conjuntos como uniones e intersecciones.
1. El documento presenta un balotario de trigonometría que contiene 34 problemas matemáticos relacionados con funciones trigonométricas, ángulos y coordenadas de puntos. Los problemas incluyen cálculos, determinación de signos y valores dados gráficos y figuras geométricas.
2. El balotario está dividido en dos secciones, la primera sobre resolución de problemas y la segunda sobre razonamiento y demostración. Ambas secciones contienen indicadores de desempeño y rúbricas de evaluación.
3.
El documento trata sobre conceptos básicos de trigonometría como resolución de triángulos rectángulos, área de regiones triangulares y el cálculo de ángulos de elevación y depresión. Incluye ejemplos y ejercicios resueltos sobre estas temáticas.
El documento presenta información sobre ecuaciones e inecuaciones trigonométricas. Explica cómo resolver ecuaciones trigonométricas utilizando identidades trigonométricas y cómo determinar el conjunto de soluciones de inecuaciones trigonométricas mediante la representación gráfica de las funciones involucradas. También incluye ejemplos y problemas resueltos sobre estas temáticas.
Este documento contiene 30 preguntas de matemáticas con operaciones como sumas, restas, fracciones, álgebra y geometría. Las preguntas van desde #01 hasta #30 y ofrecen múltiples opciones de respuesta entre las letras A a E. El objetivo es resolver cada operación matemática planteada y seleccionar la respuesta correcta.
El documento explica los conceptos básicos del sistema cartesiano, incluyendo los ejes x e y, las coordenadas de los puntos, y las propiedades de distancia y punto medio de segmentos de recta. También introduce las ecuaciones de rectas, incluyendo la forma punto-pendiente, rectas paralelas y perpendiculares, y cómo encontrar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados.
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El documento contiene 35 ejercicios de repaso y reforzamiento de matemáticas para vacaciones de medio año. Los ejercicios abarcan temas como cálculo algebraico, geometría, estadística, interés simple y porcentajes. Algunos ejercicios involucran resolver ecuaciones, calcular áreas, perímetros y volúmenes. Otros implican realizar operaciones con porcentajes, tasas de interés y descuentos.
Este documento presenta una lección sobre ondas para estudiantes de quinto grado de secundaria. Incluye preguntas sobre elementos de ondas, tipos de ondas como ondas mecánicas y electromagnéticas, y cómo se propagan. También proporciona enlaces a videos explicativos y pide a los estudiantes que respondan las preguntas usando una estructura de argumentación con ideas de partida, datos, y conclusiones. El propósito es que los estudiantes comprendan el movimiento ondulatorio a través de estas actividades.
Este documento contiene 33 problemas matemáticos de diferentes temas como álgebra, geometría y estadística. Los problemas incluyen ecuaciones, funciones, porcentajes, figuras geométricas y análisis de datos. El resumen proporciona una visión general de los diferentes tipos de problemas presentados sin entrar en detalles sobre las soluciones.
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1) Este documento presenta diferentes métodos para resolver problemas de razonamiento matemático, incluyendo el método del cangrejo, el método del rombo, el método del rectángulo y la regla de la con junta.
2) El método del cangrejo involucra resolver el problema trabajando hacia atrás desde el resultado final hasta el principio realizando las operaciones inversas.
3) Se proveen ejemplos y ejercicios para aplicar cada método.
1) Se define el ángulo trigonométrico como el ángulo generado por la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo llamado vértice u origen. 2) Existen dos sentidos de rotación: antihorario y horario, los cuales definen si la medida del ángulo es positiva o negativa, respectivamente. 3) Se describen los diferentes sistemas de medida de ángulos: sexagesimal, centesimal y radial.
R.m. 4to.grado-teoría de exponentes-polinomios-logaritmoLuis Cañedo Cortez
1. El documento presenta información sobre exponentes, radicación y polinomios. Incluye definiciones, teoremas y ejemplos sobre potenciación, raíces y diferentes tipos de expresiones algebraicas.
2. También explica conceptos como grado de polinomios, términos semejantes, y polinomios especiales como los mónicos y ordenados.
3. Finalmente, proporciona una serie de ejercicios para practicar los diferentes temas cubiertos.
René Descartes fue un filósofo, científico y matemático francés nacido en 1596. Introdujo nuevos métodos matemáticos como el método cartesiano y la geometría analítica. Fundó las coordenadas cartesianas para definir y manipular formas geométricas mediante expresiones algebraicas. También realizó contribuciones importantes a la óptica, astronomía y teorías sobre el comportamiento animal. Murió en 1650 mientras trabajaba como tutor privado de la reina Cristina de Suecia.
Pitágoras fue un filósofo y matemático griego del siglo VI a.C. que fundó la hermandad pitagórica. Realizó importantes contribuciones a las matemáticas como la demostración del teorema de Pitágoras. La hermandad pitagórica practicaba el misticismo y la religión de los números, y creía que el alma podía ascender a través de las esferas mediante el estudio de las matemáticas. Pitágoras murió en una revuelta contra su hermandad.
Hipatia de Alejandría fue una matemática, astrónoma y filósofa que vivió en el siglo V d.C. en Alejandría, Egipto. Enseñó y realizó investigaciones en matemáticas, geometría, astronomía, lógica y filosofía. Escribió tratados sobre estas materias que desafortunadamente se han perdido. Fue asesinada por una turba cristiana debido a su sabiduría y posición como mujer prominente en la ciencia.
Este documento presenta información sobre el Impuesto General a las Ventas (IGV) en Perú. Explica que el IGV representa el 18% del precio de venta de bienes y servicios. También cubre cómo calcular el precio con IGV a partir del precio sin IGV, y a la inversa. Además, detalla que el 2% de lo recaudado por el IGV se destina al Fondo de Compensación Municipal. El documento contiene ejercicios para practicar cálculos relacionados con el IGV.
Este documento presenta dos actividades sobre sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. La primera actividad plantea un problema sobre la cantidad de gasolina necesaria para dos tipos de vehículos y se pide expresarlo como un sistema de ecuaciones. La segunda actividad también presenta un problema sobre el consumo de gasolina de dos autos y se pide resolverlo mediante un sistema de ecuaciones. Adicionalmente, se incluyen conclusiones sobre la estructura y resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
Ficha de trabajo emanación de co2 por vehiculo-4to-sec.Luis Cañedo Cortez
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Este documento presenta un tema sobre la producción agrícola en las regiones del Perú. Incluye actividades para calcular precios de venta luego de aumentos sucesivos, así como modelar aumentos y descuentos. Se pide determinar el precio final de varios productos luego de que mayoristas y minoristas apliquen aumentos porcentuales sucesivos, y resolver problemas sobre aumentos y descuentos múltiples.
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Este documento presenta varios teoremas relacionados con exponentes y raíces. Explica conceptos como la potenciación, que expresa "b^m" como la base elevada al exponente. También cubre propiedades de exponentes como la igualdad de bases y exponentes, y formas de calcular exponentes fraccionarios, negativos y de exponente. Además, introduce la radicación y cómo calcular raíces de productos, cocientes y otras raíces. En total, resume 27 teoremas sobre las leyes y operaciones con exponentes y raíces.
El documento proporciona información sobre la producción de CO2 en diferentes países del mundo. Estados Unidos es el mayor productor de CO2 con un 19.7% de las emisiones mundiales totales, mientras que Perú ocupa el puesto 71 como productor y sus ciudadanos ocupan el puesto 126 en emisiones per cápita. El documento incluye tablas con datos sobre las emisiones de CO2 de varios países.
El documento presenta varios ejemplos de progresiones aritméticas y cómo resolver problemas relacionados a ellas. Se explica que una progresión aritmética es una sucesión de números donde cada término se obtiene al sumar al anterior un número fijo llamado diferencia. Luego, se plantean 10 ejercicios para que el estudiante practique conceptos como determinar el patrón, la cantidad total de términos, y resolver problemas usando progresiones aritméticas.
Este documento contiene 19 preguntas de matemáticas y razonamiento lógico sobre temas como: estadística, probabilidad, geometría, álgebra y proporcionalidad. Las preguntas involucran el análisis de tablas, gráficos y figuras geométricas para identificar la alternativa correcta.
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...Juan Martín Martín
Criterios de corrección y soluciones al examen de Geografía de Selectividad (EvAU) Junio de 2024 en Castilla La Mancha.
Soluciones al examen.
Convocatoria Ordinaria.
Examen resuelto de Geografía
conocer el examen de geografía de julio 2024 en:
https://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/2024/06/soluciones-examen-de-selectividad.html
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
El curso de Texto Integrado de 8vo grado es un programa académico interdisciplinario que combina los contenidos y habilidades de varias asignaturas clave. A través de este enfoque integrado, los estudiantes tendrán la oportunidad de desarrollar una comprensión más holística y conexa de los temas abordados.
En el área de Estudios Sociales, los estudiantes profundizarán en el estudio de la historia, geografía, organización política y social, y economía de América Latina. Analizarán los procesos de descubrimiento, colonización e independencia, las características regionales, los sistemas de gobierno, los movimientos sociales y los modelos de desarrollo económico.
En Lengua y Literatura, se enfatizará el desarrollo de habilidades comunicativas, tanto en la expresión oral como escrita. Los estudiantes trabajarán en la comprensión y producción de diversos tipos de textos, incluyendo narrativos, expositivos y argumentativos. Además, se estudiarán obras literarias representativas de la región latinoamericana.
El componente de Ciencias Naturales abordará temas relacionados con la biología, la física y la química, con un enfoque en la comprensión de los fenómenos naturales y los desafíos ambientales de América Latina. Se explorarán conceptos como la biodiversidad, los recursos naturales, la contaminación y el desarrollo sostenible.
En el área de Matemática, los estudiantes desarrollarán habilidades en áreas como la aritmética, el álgebra, la geometría y la estadística. Estos conocimientos matemáticos se aplicarán a la resolución de problemas y al análisis de datos, en el contexto de las temáticas abordadas en las otras asignaturas.
A lo largo del curso, se fomentará la integración de los contenidos, de manera que los estudiantes puedan establecer conexiones significativas entre los diferentes campos del conocimiento. Además, se promoverá el desarrollo de habilidades transversales, como el pensamiento crítico, la resolución de problemas, la investigación y la colaboración.
Mediante este enfoque de Texto Integrado, los estudiantes de 8vo grado tendrán una experiencia de aprendizaje enriquecedora y relevante, que les permitirá adquirir una visión más amplia y comprensiva de los temas estudiados.
ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARIS”. Esta actividad de aprendizaje propone el reto de descubrir el la secuencia números para abrir un candado, el cual destaca la percepción geométrica y conceptual. La intención de esta actividad de aprendizaje lúdico es, promover los pensamientos lógico (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia y viso-espacialidad. Didácticamente, ésta actividad de aprendizaje es transversal, y que integra áreas del conocimiento: matemático, Lenguaje, artístico y las neurociencias. Acertijo dedicado a los Juegos Olímpicos de París 2024.
Docentes y el uso de chatGPT en el Aula Ccesa007.pdf
Reforzamiento pre-matemática-2017-i
1. Reforzamiento – Pre – Matemática – 2017
Lic. Luis Cañedo Cortez Página 1
TRIGONOMÉTRIA
Sistema de medición angular
Ángulo trigonométrico
Es la figura que se
genera por la
rotación de un rayo
alrededor de un
punto fijo llamado
vértice desde una
posición inicial (lado
inicial) hasta una
posición final (lado
final).
Elementos.
O → vértice
OA → lado inicial
OB ∧ OC → lado final
α ángulo trigonométrico positivo (rotación
antihoraria).
θ ángulo trigonométrico negativo (rotación
horaria).
Sistema sexagesimal (Inglés)
NOTACIÓN EQUIVALENCIA
Un grado sexagesimal: 1°
Un minuto sexagesimal: 1’
Un segundo sexagesimal: 1’’
1° = 60’
1’ = 60’’
m 1v = 360°
Sistema centesimal (francés)
NOTACIÓN EQUIVALENCIA
Un grado centesimal: 1
g
Un minuto centesimal: 1
m
Un segundo centesimal: 1
s
1
g
= 100
m
1
m
= 100
s
m 1v = 400g
Sistema radial (circular)
En este sistema la unidad se denomina RADIÁN que se
define como la medida del ángulo central que subtiende
un arco en una circunferencia con longitud igual al radio.
Equivalencias de conversión
m
1
2
V = 180° = 200
g
= rad
9° = 10
g
RELACIÓN DE LOS TRES SISTEMAS DE MEDIDAS
ANGULARES
Sean S, C y R los números que representan la medida de
un ángulo en los sistemas sexagesimal, centesimal y
radial respectivamente. Se tiene:
𝑆
180
=
𝐶
200
=
𝑅
𝜋
S 180k
S C R
k C 200k
180 200
R k
S 9k
S C R
k C 10k
9 10
20 R k
20
Actividad.
1. Del gráfico, hallar: "x".
a) 24° b) 27° c) 30° d) 32° e) 36°
2. Del gráfico, hallar: xº
a) 9
b) 12
c) 15
d) 16
e) 20
3. Del gráfico, calcular "x".
A. 3
B. 7
C. 5
D. 9
4. Del gráfico, hallar "x", si: L1//L2.
a) α - β d) α - β +180º
b) α+β +180º e) α+β +360º
c) α - β +360º
5. Sabiendo que: rad a0 3b'1c"
17
; calcular:
a c 1
K
b
A. 5/2 B. 3/4 C. 5/3 D. 2
2. Reforzamiento – Pre – Matemática – 2017
Lic. Luis Cañedo Cortez Página 2
6. Del gráfico, calcular "x".
A. 3
B. 7
C. 5
D. 9
7. Señale el valor de: θ =
𝜋
9
rad + 60g en el sistema
sexagesimal.
A. 64° B. 76° C. 69° D. 74°
8. Calcular:
g25 50 rad
3E
g64 40 rad
6
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
9. Hallar: "x" si se cumple:
a) 12 b) 17 c) 24 d) 20 e) 10
10. Sabiendo que: rad a 5b'5c''
37
; calcular:
a c
b
. a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8
11. En un triángulo, dos de sus ángulos interiores
miden 7
rad
108
y 144
g
. ¿Cuál es la medida
sexagesimal del tercer ángulo?
a) 28°32' b) 38°34' c) 48°22' d) 28°42' e) 38°44'
12. Calcular:
g m
3
40 1
K
1' 10"
a) 1,24 b) 2,16 c) 2,24 d) 2,4
13. Al reducir la expresión se obtiene:
2
2
2C S 2C S
P
400R
a) 319 b) 309 c) 303 d) 296 e) 285
14. Siendo S, C y R lo convencional, simplificar:
a) 11,5 b) 13,5 c) 15,5 d) 27,5 e) 20
15. Calcular:
s m
3
40 1
K
1' 10"
A. 1,24 C. 2,16 B. 2,24 D. 2,4
16. Siendo S y C lo convencional, hallar un ángulo en
radianes, si:
S = n + 1
C = n + 2
a) /5 b) /10 c) /15 d) /20 e) /25
GEOMETRÍA
SEGMENTO DE RECTA
Porción determinada de recta.
Notación: Segmento “AB” : AB
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
Es el punto que pertenece al segmento y equidista de los
extremos.
Postulado: La menor distancia entre dos puntos es la
longitud del segmento de recta que los une.
OPERACIONES CON SEGMENTOS
Adición
Sustracción
Actividad.
1. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos
"P", "Q", "R" y "S". Calcule "QR", si: PS=30, PR=20
y QS=22.
2. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos
"A", "B", "C" y "D", tal que:
Calcule la longitud del segmento que une los puntos
medios de los segmentos AB y CD
3. Reforzamiento – Pre – Matemática – 2017
Lic. Luis Cañedo Cortez Página 3
3. Se tienen los puntos colineales “A”, “B”, “C” y “D”
de tal manera que: AB = 3BC y AD + 3CD = 12,
hallar “BD”.
A. 1,5 B. 3 C. 4 D. 6
4. Se tienen los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y
“D” de tal manera que: AC + 2DC + BD = 40 y AB =
DC, calcular “AD”.
A. 10 B. 15 C. 18 D. 20
5. Los puntos consecutivos "A", "M", "B" y "C"
pertenecen a la misma recta. "M" es el punto medio
de AC. Hallar MB, si: AB - BC = 32 cm.
A. 8 cm B. 32 C. 18 D. 16
6. Se tiene los puntos consecutivos A, B y C. Si:
2AB = 3BC ; AC = 20. Hallar “AB”
a) 4 b) 8 c) 12 d) 15 e) 16
7. Se tiene los puntos consecutivos A, B, C y D. Si:
AC = 12 ; BD = 18 ; AD = 23. Hallar BC.
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 9
8. Se tiene los puntos consecutivos P, Q, R y S. Si:
PR = 19cm ; QS = 24cm ; PS = 30cm. Hallar “QR”.
a) 7cm b) 16cm c) 15cm d) 11cm e) 13cm
9. Se tiene los puntos consecutivos P, Q, R y S. Si:
PQ = 2QR ; RS = 4.QR ; PS = 28. Hallar QR
a) 5 b) 3 c) 6 d) 2 e) 4
10. Se tiene los puntos consecutivos P, Q y R. Si:
PQ QR
2 3
; PR = 25. Hallar PQ
a) 8 b) 10 c) 5 d) 4 e) 15
11. Se ubican en una recta las puntos consecutivos A,
B, C y D, de modo que:
AB =
2
x
5
, BC=
x
5
– 3, CD =
7
5
, AD = 24cm.
Calcular el valor de x.
a) 6cm b) 12cm c) 21cm d) 15cm e) 14cm
12. Sean los puntos colineales: "O", "A", "B" y "C" tal
que: 3AB=BC. Hallar:
3OA OC
4OB
a) 0,5 b) 1,5 c) 2 d) 3 e) 1
13. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos
"A", "B", "C" y "D". Si se cumple:
AB BC CD
2 3 5
. Calcular "CD", si: AD = 20
a) 6 b) 9 c) 12 d) 8 e) 10
ARITMÉTICA
TEORÍA DE CONJUNTOS
Noción de conjunto
Es una colección o agrupación de objetos bien definidos,
llamados elementos, los cuales pueden ser concretos o
abstractos.
Ejemplo:
Vocal de la palabra “murciélago”.
Número primo menor que 10.
País sudamericano que ha ganado un campeonato
mundial de fútbol.
Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas: A, B, C,
..., etc. Y para denotar a sus elementos se usan las letras
minúsculas, a menos que dichos elementos sean, a su
vez, conjuntos. Dichos elementos van separados con
comas (,) o punto y coma (;) o bien indicando una
propiedad común de ellos.
Notación:
A = { a; e; i; o; u]
B = { 2; 3; 5; 7}
La notación gráfica consiste en representar los elementos
dentro de una figura cerrada (diagrama de Venn-Euler).
Conjuntos numéricos.
Números naturales ( )
0;1;2;3;....
Números enteros ( )
...; 3; 2; 1;0;1;2;3;...
Números racionales ( )
Son aquellos números que resultan de dividir dos
números enteros, excepto de dividirlos por cero.
1 1 1 1 2
...; 1; ; ;0; ; ; ;1;...
2 3 5 4 3
Números irracionales(I )
Son aquellos números no racionales cuya cantidad
de cifras decimales es indeterminada.
...; 5; 2; ; ;...I e
Números reales ( )
Son aquellos números que provienen de la reunión
de los números racionales e irracionales.
Relación de pertenencia
Si x es un elemento del conjunto A, se dice que "x
pertenece al conjunto A" y se denota: x ϵ A
En el caso de no pertenecer x al conjunto A se denota: x
A.
Ejercicio.
Colocar el valor de verdad a cada proposición si:
A
.a
.e
.i
.o
.u
4. Reforzamiento – Pre – Matemática – 2017
Lic. Luis Cañedo Cortez Página 4
A = {8; 3; {2}; {1, 3}}
3 A ( ) 8 A ( )
2 A ( ) 3 {1, 3} ( )
{3} A ( ) 4 A ( )
Determinación de un conjunto
Por extensión
Cuando se enuncia uno a uno los elementos de un
conjunto de manera explícita.
Ejemplo: R = {1; 3; 5; 7}
Por comprensión
Cuando se indica una característica particular y común a
todos sus elementos.
Ejemplo: 2 1/ 4R x x x
Cardinal de un conjunto
Indica la cantidad de elementos diferentes de un
conjunto dado.
Notación:
n(A) se lee: cardinal de A.
Ejemplo: A = {1; 2; 5; 6; 5} → n(A) = 4
Clases de conjuntos
Conjunto finito
Es aquel conjunto que tiene una cantidad limitada de
elementos, por lo tanto el proceso de conteo de sus
elementos termina en algún momento.
Ejemplo: R = {x/x es un número natural menor que 100}
Conjunto infinito
Es aquel conjunto que posee una cantidad ilimitada de
elementos, por lo tanto el proceso e conteo de sus
elementos no termina.
Ejemplo: R = {x/x es un número natural impar}
Conjunto vacío o nulo
Es aquel que carece de elementos.
Notación: ; { }
Ejemplo: A = {xϵ / 0 < x < 5 x
2
= 100} = { } =
Conjunto unitario
Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.
También llamado singleton.
Ejemplo: P = {x/x ϵ ; x 0 x > 0} = {0}
Conjunto universal
Es el conjunto que contiene a todos los elementos
considerados en un contexto determinado. No existe un
conjunto universal absoluto y se le denota generalmente
por U.
Ejemplo: A = {2x + 3 / x ϵ Z / 0 < x < 4}
Un conjunto universal para A sería:
U = {1; 3; 5; 7; 9; 11}
Actividad.
1. Sabiendo que el conjunto:
A = {a + b; a + 2b – 2; 10}
es un conjunto unitario. Dar el valor de “a2
+ b2
”.
a) 16 b) 80 c) 68 d) 58 e) 52
2. Dado el conjunto A = {5; {7}; 9; 12}. Indicar (V) o
(F), según corresponda:
i) {7} A ( ) iv) {9} A ( )
ii) 9 A ( ) v) A ( )
iii) 7 A ( ) vi) 10 A ( )
a) VFVFVF b) VFFVVF c) VVVFFF d) VVFFFV
3. Dado el conjunto M = {a, {b}, {m}, p}. ¿Cuántas
proposiciones son falsas?
i) {b} M iv) {{b}, p} M
ii) b M v) {{b}, {m}} M
iii) {{m}} M vi) m M
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
4. Sabiendo que los conjuntos:
A = {4a + 3b; 23} y B = {3a + 7b; 41} son
unitarios. Hallar: “a + b”
a) 2 b) 4 c) 5 d) 7 e) 9
5. Sea:
2
1
/ 7 9
2
x
M x x
Indicar la suma de los elementos de M.
a) 170 b) 85 c) 165 d) 129
6. Se tienen los conjuntos unitarios:
M = {a2
+ 1; 2a} y N = {3x + y; x - y + 12}
Halla: a + x + y
a) 7 b) 9 c) 6 d) 8 e) 10
7. Determine por extensión el siguiente conjunto:
T = {x/x =
x12
x3
; x N}
a) {3} b) {3, 4} c) {0, 3} d) {0, 3, 4} e) {0,4}
8. ¿Cuántos de los siguientes conjuntos son vacíos?
A = {x N/ x + 1 = 0} ; B = {x Z/ 3x + 1 = 0}
C = {x Q/ x2
- 7 = 0} ; D = {x R/ x4
+ 4 = 0}
a) 1 b) 2 c) 3 d) F.D. e) Todos
9. Calcular la suma de los elementos del conjunto:
A = {x/x N; 10 < 3x + 2 < 18}
a) 10 b) 12 c) 15 d) 18 e) 23
10. Dado el conjunto: B = {x+3/x Z, x2
< 9}
Calcule la suma de los elementos del conjunto “B”
a) 12 b) 15 c) 3 d) 9 e) 18
11. ¿Cuántos subconjuntos tiene cada uno de los
siguientes conjuntos?
A = {c, o, l, e, g, i, o} ; B = {t, r, i, l, c, e}
a) 64 y 32 b) 128 y 64 c) 64 y 64
d) 32 y 64 e) 128 y 32
5. Reforzamiento – Pre – Matemática – 2017
Lic. Luis Cañedo Cortez Página 5
12. Hallar la suma de elementos del conjunto:
A = {3a2
+ 5 / a Z; 1 < a < 6}
a) 172 b) 182 c) 148 d) 156 e) 192
13. Dados: 2
A a 9;b 2 y B 9;10
Si se sabe que A = B. Calcular a – b
a) 9 b) 12 c) -10 d) -9 e) -12
14. Si los conjuntos “M” y “N” son iguales, hallar
“m + n”.
n
M m ;12 , N mn;81
a) 5 b) 6 c) 7 e) 8 d) 9
15. Indique cuántos subconjuntos tiene:
M x / 2x 3 13
a) 64 b) 32 c) 128 d) 16 e) 120
16. Hallar “a + b + c”, si el conjunto “M” es unitario
2
M a 3;3b c 4;6a 2;5b 7
a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17
17. Determinar por extensión el conjunto “A”:
2 3
A x / x 12x x
a) {0} b) {0; 3} c) {0; -3; 4} d) {0; 4}
Nunca consideres el estudio como una obligación, sino
como una oportunidad para penetrar en el bello y
maravilloso mundo del saber.
Albert Einstein (1879-1955)
Razonamiento Matemático
CUATRO OPERACIONES
Método del cangrejo
En este tipo de problemas se comienza a resolver desde
el final, es decir, a partir del último resultado regresando
hasta el inicio del problema, haciendo en cada caso la
operación inversa a las operaciones indicadas.
Ejemplo:
Si a la edad que tiene tu padre lo multiplicas por 6; luego
lo divides entre 10 y el cociente lo multiplicas por 4,
añadiendo enseguida 42, obtendrías 162. ¿Cuál es la
edad de tu padre?
Resolución:
Rpta: La edad de tu padre es 50 años
Nota:
Este procedimiento también se puede realizar en forma
horizontal, colocando arriba las operaciones directas y
abajo las inversas.
Ejercicios:
1. Si al doble de un número entero positivo, lo
disminuimos en 3, lo elevamos al cuadrado, para
luego multiplicarlo por 4; y a este resultado le
quitamos 3; elevando lo que resulta al cuadrado,
obtenemos como respuesta 1. Halla el número.
Rpta.: El número es 2.
6. Reforzamiento – Pre – Matemática – 2017
Lic. Luis Cañedo Cortez Página 6
2. Un número se multiplica por 3, luego al producto se le
resta 6 y al resultado se le divide entre 2, para luego
sacarle raíz cuadrada. Finalmente el último resultado
es elevado al cubo, y se obtiene 27. ¿Cuál es el
número original?
A) 8 B) 6 C) 10 D) 9 E) 4
3. Un estudiante gastó todas las hojas de su cuaderno en
2 días y lo hizo de la siguiente manera: cada día gastó
la mitad de hojas en blanco que le quedaban, más 6
hojas. ¿Cuántas hojas tenía el cuaderno?
Rpta. 36 hojas
4. A un cierto número lo dividimos entre 4, al resultado
hallado le sumamos 8, a este resultado los
multiplicamos por 3, a este nuevo resultado le
restamos 8, a este resultado le extraemos la raíz
cuadrada, obteniendo como resultado final 5. Halla
dicho número.
a) 12 b) 10 c) 14 d) 9
5. En un lejano pueblo todos veneran a un santo
milagroso, pues triplica el dinero de los fieles con la
sola condición de entregarle S/.40 de limosna por
cada milagro. Si después de acudir a él por tres veces
consecutivas, Henry termina con S/.560. ¿Cuánto
tenía al principio?
a) S/. 40 b) S/. 42 c) S/. 45 d) S/. 47
6. Mi propina la multiplico por 3, a este producto le
aumento S/.28, a la suma la dividimos por 2, al
cociente obtenido le agrego 5 y al resultado le
extraigo la raíz cuadrada, obteniendo finalmente 5
como resultado. ¿Cuánto dinero tenía de propina al
inicio?
A) S/.4 B) S/.6 C ) S/.8 D) S/.10 E ) S/.12
7. Si al número total de patas de conejo que hay en un
corral se le multiplica por 3, al producto se le extrae la
raíz cúbica y luego al resultado se le resta 3, a la
diferencia se la eleva al cubo, obteniendo un número
al cual luego de sumarle 3 y dividirlo entre 3, se
obtiene 10 como resultado final. ¿Cuántos conejos
hay?
A) 13 B) 16 C ) 18 D ) 15 E ) 20
Método del rombo
En este método los datos se ubican en los vértices de un
rombo, en donde se indican mediante flechas la forma
cómo operar.
Ejemplo:
Debo pagar S/.490 con 31
billetes de S/.10 y S/.20.
¿Cuántos billetes de S/.10
debo emplear?
Resolución:
Ejercicios:
1. A una función de cine asistieron un total de 350
personas entre niños y niñas. Recaudaron S/.1550
debido a que cada niño pagó S/.5 y cada niña S/.4.
Calcula la diferencia entre el número de niñas y
niños.
Rpta. 50
2. En la factoría “Yayito” hay entre bicicletas y autos
300 vehículos, y el número de llantas es 800.
¿Cuántos autos hay?
Rpta. 100
3. Un entomólogo tiene una colección de 27 insectos,
entre moscas y arañas. En total se cuentan 186
“patitas”. ¿Cuántas moscas hay en la colección?
A) 12 B) 18 C) 15 D) 9 E) 16
4. En una prueba de ingreso un alumno gana 2 puntos
por respuesta correcta pero pierde un punto por
cada equivocación. Si después de haber contestado
50 preguntas obtiene 76 puntos, ¿cuántas contestó
equivocada?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
7. Reforzamiento – Pre – Matemática – 2017
Lic. Luis Cañedo Cortez Página 7
5. Para recaudar fondos para la promoción de quinto
se llevó a cabo una función de teatro en el colegio
“SLG”. Cada estudiante pagó S/. 25 por el ingreso y
cada adulto S/. 40. Determina la cantidad de
estudiantes asistentes a la función si la recaudación
total asciende a S/. 12 300 y el total de asistentes es
de 420 personas.
A) 300 B) 250 C) 320 D) 280 E) 310
6. Un microbusero recaudó S/. 820, en uno de sus
recorridos; habiéndose gastado 320 boletos entre
pasajes entero y medio pasaje; los primeros cuestan
S/. 3 y los últimos S/. 1,60. Además el número
de universitarios supera al número de niños en 20 y
tanto los niños como los universitarios son los
únicos que pagan medio pasaje.
Son ciertas:
I. Suponiendo que los niños no pagan; el
microbusero estaría perdiendo S/. 56
II. Hay 60 universitarios.
III. Se gastó 240 boletos en pasaje entero.
A) I y II B) II y III C) Todas
D) Solo I E) Solo II
Método del rectángulo
En este tipo de problemas participan dos cantidades
excluyentes, que se comparan en 2 oportunidades
originándose en un caso ganancia y en otro pérdida.
Para poder aplicar este método, el problema debe
presentar las siguientes características:
Deben participar dos cantidades excluyentes, una mayor
que la otra, y deben compararse entre sí las dos
cantidades, originándose en un caso, un sobrante (o
ganancia) y en otro, un faltante (o pérdida).
Ejemplo:
Para ganar S/. 200 en la rifa de una grabadora se
imprimieron 640 boletos, sin embargo solo se vendieron
210, y se originó una pérdida de S/. 15. Determina el valor
de la grabadora.
Resolución:
Usamos el método del rectángulo:
boletos pérdida
640 +200
(–) (–)
210 –15
Precio de cada boleto 200 15 215
0,5
640 210 430
Precio de la grabadora = 640 x 0,5 – 200 = S/. 120
Ejercicios:
1. Para ganar S/.30 en la rifa de una pelota se hicieron
80 boletos, pero no se vendieron más que 70,
originándose una pérdida de S/.20. ¿Cuánto valía la
pelota?
Rpta. S/.370
2. Los alumnos del profesor “Lucho” deciden
obsequiarle una Laptop. Si cada uno diera S/.100,
faltarían S/.320; pero si cada uno da S/.120,
sobrarían S/.120. ¿Cuánto cuesta la Laptop?
Rpta. La Laptop cuesta S/.2 520
3. Un campesino pensaba así: “Si vendo todos los
sacos de arroz a S/.35 cada uno, perdería S/.120,
pero si los vendo a S/.42 cada uno, ganaría S/.90.
¿Cuál es el costo de todos los sacos de arroz?
A) S/.1 800 B) S/.1 400 C) S/.1 200
D) S/.1 170 E) S/.1 320
4. Pepe tiene tanto dinero como para comprar 24
chocolates y aún le sobra S/.15, pero si quisiera
comprar 36 chocolates, le faltaría S/.9. ¿Cuánto
dinero tiene Pepe?
A) S/.56 B) S/.52 C) S/.48 D) S/.72 E) S/.63
5. Si una señora compra 3 macetas con el dinero que
tiene, le sobraría S/.12. Entonces, decide comprar
una maceta más y le sobra solo S/.4. ¿Cuánto tenía
la señora?
A) S/.32 B) S/.30 C) S/.28 D) S/.36 E) S/.42
6. Un grupo de amigos va al estadio y sucede lo
siguiente: para entrar todos a oriente (40 soles la
entrada) faltaría dinero para 3 de ellos, pero para
entrar todos a popular (30 soles la entrada) tendrían
para una entrada más. ¿Cuántos amigos son?
A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18
Regla de la con junta
Esta regla consiste en formar con los datos una serie de
equivalencias con la salvedad de que en una misma
columna no deben existir dos datos de la misma especie.
Luego se multiplican ordenadamente estas equivalencias
y se halla el valor de la incógnita.
Ejemplo:
Por una sandía me dan 4 manzanas, por 2 manzanas
recibo 3 mangos. ¿Cuántas sandías me darán por 24
mangos?
8. Reforzamiento – Pre – Matemática – 2017
Lic. Luis Cañedo Cortez Página 8
Resolución:
Rpta.: Me darán 4 sandías.
Ejercicios.
1. Sabiendo que 6 kilogramos de sandía cuesta lo
mismo que 4 kilogramos de papaya, 3 kilogramos de
papaya valen lo mismo que 2 kilogramos de
plátanos; 5 kilogramos de plátanos cuestan 18 soles.
¿Cuánto costarán 10 kilogramos de sandía?
A) 24 soles B) 20 soles C) 18 soles
D) 22 soles E) 16 soles
2. En una feria, por 8 melocotones dan 5 peras, por
cada 10 peras dan 3 piñas; por cada 4 piñas dan 1
docena de naranjas; si 5 naranjas cuestan S/.16.
¿Cuánto pagará por 12 melocotones?
Rpta. S/.21,60
3. En la librería “Joselito” 14 lapiceros cuestan lo
mismo que 6 plumones, 8 plumones lo mismo que 5
motas, 3 motas cuestan S/.35. ¿Cuánto tengo que
gastar para adquirir 16 lapiceros?
Rpta. S/.50
4. Un carpintero cobra lo mismo por confeccionar 4
sillas o 3 sillones, también cobra lo mismo por
confeccionar 9 sillones o 2 mesas. Si 3 mesas
cuestan S/.450, ¿cuánto cuestan 6 sillas?
A) S/.100 B) S/.120 C) S/.220
D) S/.150 E) S/.180
Geometría
Ángulo
Bisectriz de un ángulo.
OM : Bisectriz
Clasificación de los ángulos.
Ángulos Convexos Áng. No-Convexo
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS CONVEXOS
a) Según sus Medidas :
a.1 ∢ Agudo a.2 ∢ Recto
a.3 ∢Obtuso a.4 ∢Llano
a.5 ∢ De una Vuelta
b) Según sus lados y la suma de sus medidas.
b.1 ∢ Adyacentes
b.2 ∢ Consecutivos
A
O
B
º
Notación:
∢AOB : Ángulo AOB ó
AOB :
Ángulo AOB
m∢AOB : Medida del ángulo AOB
→ m∢AOB = º
M
A
B
°
°
O
O sea :
m∢AOM = m∢MOB = º
°
°
0º < º < 180º 180º < º < 360º
°
°
0° < ° < 90° ° = 90°
º
º
90° < º < 180° º = 180°
°
º = 360°
º
º
º
º
º º
º
9. Reforzamiento – Pre – Matemática – 2017
Lic. Luis Cañedo Cortez Página 9
b.3 opuestos por el vértice
b.3 ∢ Complementarios
Cº = 90º - º
b.4 ∢ Suplementarios
Sº = 180º - º
Ejercicios:
1. AOB y BOC son consecutivos;
m AOC = 80° y m AOB = 48°. Si OMes
bisectriz del AOC, calcular: m MOB.
a) 6° b) 8° c) 10° d) 12°
2. EL doble del complemento de un ángulo equivale
al complemento de la mitad del ángulo. Hallar
dicho ángulo.
a) 60° b) 30° c) 40° d) 80°
3. Hallar “α”, si: m POQ – m QOR = 64°.
(OM: Bisectriz del POR)
a) 32° b) 30° c) 36° d) 42°
4. Calcular “x”
a) 40º
b) 70º
c) 100º
d) 110º
e) 150º
5. Se tiene un ángulo en el cual la suma de su
complemento y su suplemento es tres veces el
valor del ángulo, calcular el suplemento del
complemento del ángulo en mención.
a) 120º b) 124º c) 144º d) 126º e) 108º
6. Reducir la siguiente expresión:
E =
º162º36
º54
SSSCCC
SSSSSCCCCC
a)
3
1
b)
2
1
c) 3 d) 2 e) 1
7. Si a un ángulo le restamos su suplemento resulta
ser el triple de su complemento, calcular el
complemento del ángulo.
a) 45º b) 36º c) 54º d) 90º e) 72º
8. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y
COD, de manera que:
m AOB m BOC m COD
3 4 5
y m AOD= 48º
Calcular: mCOD - mAOB
a) 4º b) 8º c) 12º d) 16º e) 18º
9. Calcular : SSSCCCº, si : CCCSSSSCCº = 40º
a) 10º b) 20ºc) 40º d) 140º e) 70º
10. Sean los ángulos consecutivos AOB y BOC, se
trazan las bisectrices OM del ∠AOC y ON del
∠BOC. Si el ∠MON mide 20º. Calcule: m ∠AOB
a) 30º b) 32º c) 36º d) 40º e) 45º
Ángulos formados por dos rectas paralelas
y una secante
Si: 21 L//L es intersectada por la transversal L .
Ángulos Alternos (iguales)
a) Internos: = ; =
b) Externos: = ; =
Ángulos correspondientes (iguales)
= ; = ; = ; =
Ángulos conjugados (suplementarios)
1. Internos: + = 180° ; + = 180°
2. Externos: + = 180° ; + = 180°
Propiedades:
1. Si: 21 L//L
Se cumple:
x = +
º
º
º + º = 90°
mº
nº
mº + nº = 180°
α θ α = θ
α
M
Q
O
P
R
º
º º
º
X°
40º
x
10. Reforzamiento – Pre – Matemática – 2017
Lic. Luis Cañedo Cortez Página 10
En general: ( 21 L//L )
Se cumple:
+ + + = + +
2. Si: 21 L//L
Se cumple
+ + = 360°
3. Si: 21 L//L
Se cumple:
+ + + + = 180°
x = + + +
Ejercicios:
1. En la figura: L1 // L2. Calcular el valor de:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
2. En la figura: DE//AB ; calcular x.
A) 110°
B) 120°
C) 130°
D) 140°
E) 150°
3. Calcule “x”, 1 2L // L
a) 18º b) 36º c) 12º d) 24º e) 32º
4. Si: 1 2L // L , calcule “x”.
a) 70º b) 48º c) 60º d) 40º e) 72º
5.
6. En la figura 21 L//L , EFCEyBACB . Hallar
la mDFE.
A) 10° B) 15° C) 20° D) 35° E) N.A.
7. Hallar x, si L1 // L2
A) 38º
B) 43º
C) 50º
D) 53º
E) 57º
8. Hallar , si L1 // L2
A) 100º
B) 110º
C) 120º
D) 130º
E) 140º
x
A B
C
D E
x°20°
50°
L1
L2
80°
C
A
B
D F L2
L1
x
20°
E
75°
18°
10°
20°
x
L1
L2
3
L2L1
100º
11. Reforzamiento – Pre – Matemática – 2017
Lic. Luis Cañedo Cortez Página 11
C
BA
b
a
c
Razones trigonométricas de un ángulo agudo
de triángulo rectángulo
Sea el triángulo rectángulo ABC recto en B.
Definimos con respecto a :
Seno de
b
a
H
CO
sen
Coseno de
b
c
H
CA
cos
Tangente de tan
CO a
CA c
Cotangente de cot
CA c
CO a
Secante de
c
b
CA
H
sec
Cosecante de
a
b
CO
H
csc
Por ejemplo:
3
1
sen csc = 3
Propiedad:
sen α x csc α = 1
cos α x sec α = 1
tan α x cot α = 1
Teorema de Pitágoras.
En todo triángulo rectángulo se cumple:
“La suma de los cuadrados de los
catetos es igual al cuadrado de la
hipotenusa”
a2
+ c2
= b2
Propiedad de la tangente y cotangente
tan α =
𝑠𝑒𝑛 𝛼
cos 𝛼
; cot α =
cos 𝛼
𝑠𝑒𝑛 𝛼
Ángulo mitad:
Actividad:
1. Se sabe que tanx = 0,333… Calcular:
R= sen2x – cos2x + cot2x
a) 22/9 b) 8,2 3/8 d) 2,8 e) 1
2. Si: sec θ = 1,25 ; además: Csc β = 4cot θ + csc θ
Calcular: cot β
a) √3 b) 2√3 c) 3√3 d) 4√3 e) 5√3
3. Se tiene un triángulo rectángulo ABC. Calcular:
b b c
P senA senC tgA
a c a
a) a+b+c b) 2a c) b d) 2c e) 3
4. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", se
cumple que: 3tanA = 2cscC.
Calcular: M = √5 tgA + 6secC
a) 5 b) 7 c) 9 d) 11 e) 13
5. Sabiendo que: 23+tg
= 43; donde "" es un
ángulo agudo, calcular: C = 2sec2 + 10sen2
a) 17 b) 19 c) 21 d) 25 e) 29
6. En el triángulo ABC, recto en “B”, se sabe que:
5 Cos A = 3; hallar el valor de:
12 tan A cot A
R
5secA
a) 6 b) 3 c) 5 d) 9 e) 12
7. En un triángulo rectángulo ABC (C = 90°) se verifica
que:
a b 7
a b 5
Hallar: E = SenA + SenB
a)
37
7
b)
5√37
37
c)
7√37
71
d)
7√37
37
e)
5
37
8. Si:
2sen2
cos cos
; hallar:
N=Cosθ+Cotθ
a)
5√3
4
b)
5√15
4
c)
2√3
3
d)
3√3
2
e)
5√3
2
9. Si:
3cot8
tan tan
; hallar:
N= sen2θ + Tan2θ
a) 15 b) 4/15 c) 15/4 d) 3/13 e) 13/3
C
BA
b
a
c
Elementos:
- a: cateto opuesto al
ángulo
- c: cateto adyacente
al ángulo .
- b: hipotenusa
I
N
V
E
R
S
A
S
inversas
tan
𝜃
2
= csc θ – cot θ
cot
𝜃
2
= csc θ + cot θ
12. Reforzamiento – Pre – Matemática – 2017
Lic. Luis Cañedo Cortez Página 12
10. Sabiendo que:
2 2
2 2
a b
sen
a b
El valor de: T = ab(sec θ – tan θ), es:
a) 0 b) a2 c) b2 d) – a2 e) – b2
11. Si A y B son los ángulos agudos de un triángulo
rectángulo. Simplíficar:
senA cosA
T cscB cscA
cscB secB
A) 4ab B) 3bc C) 2 D) a E) b
12. Del triángulo rectángulo mostrado, calcular la
tangente del mayor ángulo agudo:
A) 2,4
B) 3,5
C) 5,2
D) 6,5
E) 60
13. Hallar: E = 2 cot
𝜃
2
– 3
a) √3 b) 2 √3 c) √5 d) √7 e) 2 √5
14. A partir del gráfico mostrado, calcular;
N = tg
𝜃
2
+ cot
𝜃
2
A) 4
B) 2,5
C) 8
D) 10
E) 12
Propiedades de las razones trigonométricas.
Reciprocas.
Complementario.
sen = cos
tg = ctg
sec = csc
Ejercicios de aplicación.
1. Si : tan 3x . cot(x + 40°) = 1. Calcular : Cos 3x
a) 1 b) ½ c) 3 d) 3 /2 e) 3/5
2. Hallar “x” si : cos(2x – 10°) sec(x + 30°) = 1
a) 10° b) 20° c) 30° d) 40° e) 50°
3. Si: sen 7x sec 2x = 1.
Calcular:
E = tg2
6x + tg(x + 42º - y) . tg(3x + y + 8°)
a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
4. Determine “x” :
sec(2x - 8) = sen 40° csc 40° +
º75ctg
º15tg
a) 17° b) 20° c) 28° d) 30° e) 34°
5. Calcular:
º50csc
º40sec3
º70ctg
º20tg2
º80cos
º10sen
E
a) 1 b) 2 c) 0 d) -1 e) -2
sen . csc = 1
cos . sec = 1
tg . ctg = 1
Siempre y cuando:
=
Siempre y cuando:
+ = 90°
(Complementarios
)
13. Reforzamiento – Pre – Matemática – 2017
Lic. Luis Cañedo Cortez Página 13
Razones trigonométricas de ángulos notables.
Estas razones se obtienen a partir de triángulos
rectángulos notables donde la proporción entre sus lados
y la medida de sus ángulos interiores es conocida.
Triángulos notables.
Triángulos aproximados.
Ejercicios de aplicación.
1. Calcular: E = (sen30º + cos60º)tg37º
a) 1 b) 2 c) ¼ d) 3/4 e) 4/3
2. Determine el valor de “m” para que “x” sea
30º.
1m
1m
x2cos
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
3. Del gráfico hallar: ctg
a) 1,6
b) 1,7
c) 0,4
d) 0,6
e) 1,4
4. Calcular:
E = (sec245º + tg45º) ctg37º - 2cos60º
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
5. Calcular: “x”
3xsec53º - tg45º = sec60º(sec45º + sen45º)csc30º
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
6. Calcular: E = (tg60º + sec30º - sen60º)sec60º
a) 25/12 b) 25/24 c) 49/12 d) 49/24 e) 7/18
7. Calcular:
º45sen
º30cosº37senº60secº30tg
E
2
a)
5
3
b)
5
311
c)
5
33
d)
3
35
e)
5
32
a
a
45
45
a
2a
60º
30º
a
5a 3a
37º
53º
4a
25a 7a
16º
74º
24a
a
8º
82º
7a
x + 3
2x + 1 5x - 3
45º