Este documento presenta un resumen de la teoría de conjuntos. Brevemente describe el origen histórico de la teoría, desde Bolzano hasta Cantor y Zermelo. Luego introduce conceptos básicos como conjunto, elemento, pertenencia, vacío, universal, inclusión e igualdad. Finalmente explica notaciones como { }, , y propiedades como que todo conjunto está incluido en sí mismo y el vacío está incluido en cualquier conjunto.
Este documento define y explica conceptos básicos de conjuntos matemáticos. Define los conjuntos de números naturales, enteros, racionales, reales y complejos. También explica subconjuntos, igualdad de conjuntos, conjunto vacío, operaciones de conjuntos como unión e intersección, y cardinalidad de conjuntos finitos.
El documento introduce los conceptos básicos de conjuntos matemáticos, incluyendo elementos, pertenencia, representación, determinación, tipos (vacío, unitario, binario, infinito, universal) y lenguaje simbólico. Explica cómo definir conjuntos por comprensión o enumeración, y cómo representarlos gráficamente usando diagramas de Venn.
Este documento describe la teoría de conjuntos, incluyendo conceptos como conjuntos, elementos, representaciones extensionales e intencionales de conjuntos, tipos de conjuntos como conjuntos vacíos y universales, relaciones como inclusión e igualdad, y operaciones como unión e intersección.
Este documento presenta conceptos básicos de la teoría de conjuntos. Explica que un conjunto es una colección de objetos y que puede definirse mediante descripción verbal, lista de elementos o comprensión. También define subconjuntos, conjuntos iguales, vacíos, finitos e infinitos.
Este documento define y explica conceptos básicos de conjuntos matemáticos. Introduce los conjuntos numéricos fundamentales como N, Z, Q, R y C, y explica que un conjunto es una colección de objetos bien definidos. Describe formas de representar conjuntos, relaciones entre ellos como subconjuntos e intersección, y operaciones como unión y producto cartesiano.
Este documento resume los principales conceptos de la teoría de conjuntos y los conjuntos numéricos. Define lo que es un conjunto, sus elementos y propiedades como ser finito o infinito. Explica operaciones básicas con conjuntos como unión, intersección y diferencia. Luego introduce los conjuntos numéricos de naturales, enteros, racionales y reales junto con sus propiedades. Finalmente, cubre temas como números primos, divisibilidad y cálculo del mínimo común múltiplo y máximo común divisor.
Este documento trata sobre los conceptos básicos de conjuntos y subconjuntos. Explica que un conjunto es una colección de objetos bien definidos y cómo se representan y notan los conjuntos y sus elementos. También define los subconjuntos, el conjunto vacío y las formas de expresar la igualdad y pertenencia de elementos a conjuntos.
Este documento define y explica conceptos básicos de conjuntos matemáticos. Define los conjuntos de números naturales, enteros, racionales, reales y complejos. También explica subconjuntos, igualdad de conjuntos, conjunto vacío, operaciones de conjuntos como unión e intersección, y cardinalidad de conjuntos finitos.
El documento introduce los conceptos básicos de conjuntos matemáticos, incluyendo elementos, pertenencia, representación, determinación, tipos (vacío, unitario, binario, infinito, universal) y lenguaje simbólico. Explica cómo definir conjuntos por comprensión o enumeración, y cómo representarlos gráficamente usando diagramas de Venn.
Este documento describe la teoría de conjuntos, incluyendo conceptos como conjuntos, elementos, representaciones extensionales e intencionales de conjuntos, tipos de conjuntos como conjuntos vacíos y universales, relaciones como inclusión e igualdad, y operaciones como unión e intersección.
Este documento presenta conceptos básicos de la teoría de conjuntos. Explica que un conjunto es una colección de objetos y que puede definirse mediante descripción verbal, lista de elementos o comprensión. También define subconjuntos, conjuntos iguales, vacíos, finitos e infinitos.
Este documento define y explica conceptos básicos de conjuntos matemáticos. Introduce los conjuntos numéricos fundamentales como N, Z, Q, R y C, y explica que un conjunto es una colección de objetos bien definidos. Describe formas de representar conjuntos, relaciones entre ellos como subconjuntos e intersección, y operaciones como unión y producto cartesiano.
Este documento resume los principales conceptos de la teoría de conjuntos y los conjuntos numéricos. Define lo que es un conjunto, sus elementos y propiedades como ser finito o infinito. Explica operaciones básicas con conjuntos como unión, intersección y diferencia. Luego introduce los conjuntos numéricos de naturales, enteros, racionales y reales junto con sus propiedades. Finalmente, cubre temas como números primos, divisibilidad y cálculo del mínimo común múltiplo y máximo común divisor.
Este documento trata sobre los conceptos básicos de conjuntos y subconjuntos. Explica que un conjunto es una colección de objetos bien definidos y cómo se representan y notan los conjuntos y sus elementos. También define los subconjuntos, el conjunto vacío y las formas de expresar la igualdad y pertenencia de elementos a conjuntos.
El documento presenta los diagramas de Venn y conceptos básicos de conjuntos como subconjuntos, intersección y unión. Explica que los diagramas de Venn representan conjuntos y subconjuntos dentro de un universo mediante regiones ovaladas dentro de un rectángulo. Luego provee ejemplos para ilustrar subconjuntos, igualdad de conjuntos, intersección y unión.
1) Los diagramas lineales ilustran las relaciones entre conjuntos mediante la posición relativa de los conjuntos y líneas de conexión.
2) La teoría de conjuntos se desarrolla axiomáticamente mediante términos, relaciones y axiomas no definidos.
3) Los problemas resueltos incluyen ejercicios sobre notación de conjuntos, igualdad, subconjuntos y el conjunto vacío.
Este documento trata sobre los conjuntos y sus propiedades fundamentales. Explica que un conjunto es una colección de objetos llamados elementos, y que se representan con letras mayúsculas entre llaves. También describe diagramas de Venn para representar conjuntos gráficamente, la cardinalidad como el número de elementos de un conjunto, y las relaciones entre conjuntos como subconjuntos y operaciones con ellos. Finalmente, detalla los diferentes tipos de conjuntos numéricos como naturales, enteros, racionales e irracionales.
Este documento presenta una guía de estudio para la asignatura de Matemáticas I. Incluye cuatro unidades temáticas divididas en módulos y temas. La Unidad I se enfoca en conjuntos y contiene módulos sobre conjuntos, conjuntos cardinales, subconjuntos y operaciones con conjuntos. La guía provee definiciones, ejemplos y actividades de aprendizaje para cada tema.
Este documento presenta conceptos básicos de la teoría de conjuntos, incluyendo la noción de conjunto, notación de conjuntos, determinación de conjuntos, relación de pertenencia, conjuntos especiales como el conjunto vacío y universal, diagramas conjuntistas, relaciones entre conjuntos como inclusión, igualdad y disyunción, y clases de conjuntos como finitos e infinitos.
1) El documento presenta conceptos básicos de teoría de conjuntos como conjuntos, elementos, notación, conjuntos finitos e infinitos, igualdad, subconjuntos, conjunto universal, conjuntos disjuntos y diagramas de Venn. 2) También define operaciones con conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento y presenta ejemplos ilustrativos de cada una. 3) El objetivo es introducir estos conceptos fundamentales de teoría de conjuntos que son una base para el estudio de la estadística y la probabilidad.
Este documento introduce la teoría de conjuntos. Define conceptos básicos como elementos, pertenencia a conjuntos, notación de conjuntos, conjuntos especiales como el conjunto vacío y el conjunto unitario. Explica relaciones entre conjuntos como inclusión, igualdad, disyunción y complemento. Finalmente, presenta ejemplos numéricos de conjuntos y operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia.
Este documento presenta un curso de matemáticas discretas. El curso tiene como objetivo enseñar conceptos y herramientas básicas de matemáticas universitarias para resolver problemas complejos. Cubrirá temas como conjuntos, lógica, demostraciones, teoría de grafos y redes. El estudiante será evaluado a través de exámenes, tareas y asistencia.
George Cantor, un matemático alemán, creó la teoría de conjuntos y defendió la existencia de infinitos. Tuvo como principal opositor a Leopoldo Kronecker, quien creía que solo los números naturales eran reales y se oponía a las demostraciones infinitas. El documento explica la idea de conjunto, cómo se representan y determinan conjuntos, e introduce las clases de conjuntos como finitos e infinitos.
Este documento introduce los conceptos básicos de los conjuntos, incluyendo las diferentes clases de conjuntos (finito, infinito, unitario, vacío), formas de representarlos (diagramas, llaves), y operaciones entre ellos (unión, intersección, diferencia, complemento). Explica que un conjunto es un grupo de elementos con una o más características en común, y que pueden determinarse por extensión o comprensión.
Este documento presenta información sobre conjuntos y números naturales hasta 999 para estudiantes de segundo grado de primaria. Incluye definiciones de conjuntos, formas de nombrar conjuntos, ejemplos de conjuntos unitarios y vacíos, y una introducción a la notación y valor posicional de números de tres dígitos. También contiene ejercicios prácticos para que los estudiantes apliquen los conceptos.
Este documento presenta un proyecto de aula sobre la teoría de conjuntos. Explica conceptos básicos como conjuntos, subconjuntos, uniones e intersecciones. Los objetivos son conocer el concepto de aplicación entre conjuntos y entender los conjuntos como el modelo matemático más sencillo. Se describen conjuntos mediante extensiones y comprensión, y se clasifican como finitos, infinitos, universos o vacíos. Finalmente, se presentan ejemplos y conclusiones sobre la importancia de la teoría de conjuntos en aplicaciones como sistemas de
1) Georg Cantor, un matemático alemán del siglo XIX, es considerado el padre de la teoría de conjuntos.
2) Gracias a Cantor ahora podemos hablar de conjuntos de objetos como personas, ciudades o cosas sobre una mesa.
3) A pesar de sus grandes contribuciones a las matemáticas, Cantor murió pobre y sin reconocimiento, aunque hoy se reconoce plenamente su trabajo pionero en la teoría de conjuntos.
El documento explica los conceptos de conjunto potencia y subconjuntos. Un conjunto potencia contiene todos los posibles subconjuntos de un conjunto dado, incluyendo el subconjunto vacío y el conjunto original. El número de elementos de un conjunto potencia es 2 elevado a la cantidad de elementos del conjunto original, debido a que cada elemento puede estar presente o ausente en los subconjuntos.
Este documento trata sobre la teoría de conjuntos. Explica conceptos básicos como elementos, pertenencia a conjuntos, notación de conjuntos, cardinalidad y tipos de conjuntos como vacío, unitario, finito e infinito. También define operaciones entre conjuntos como unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica, así como propiedades de estas operaciones y de relaciones como inclusión. Finalmente, presenta ejemplos numéricos de conjuntos.
Este documento presenta los conceptos básicos de la teoría de conjuntos, incluyendo la definición de conjunto, elementos, notación, tipos de conjuntos (finitos, infinitos, vacíos, unitarios), relaciones entre conjuntos (inclusión, igualdad, disyunción), operaciones con conjuntos (unión, intersección, diferencia, complemento), y diagramas de Venn para representar conjuntos.
Este documento presenta conceptos básicos sobre conjuntos matemáticos como determinación de conjuntos, subconjuntos, intersección y unión. Incluye ejemplos y problemas resueltos sobre conjuntos finitos e infinitos, diagramas de Venn y cardinalidad de conjuntos potencia.
Este documento presenta conceptos básicos de teoría de conjuntos como definiciones de conjunto, determinación de conjuntos, igualdad de conjuntos, operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia, y tipos de conjuntos como finitos, infinitos, vacíos y unitarios. Incluye ejemplos ilustrativos y ejercicios de evaluación sobre estos temas.
Este documento presenta los integrantes del proyecto: Iván Wilfredo Colque Ramos, Miguel Ángel Lara Nava y José Arturo Gómez. A continuación, define conceptos básicos de teoría de conjuntos como conjunto, elemento, cardinalidad y operaciones entre conjuntos como inclusión, igualdad, disyunción y conjunto de conjuntos.
avtor: prof.dr. Iztok Tiselj
Predstavitev na dogodku SLORIC 2014 Slovenska jedrska stroka o izzivih zagotavljanja svojih kompetenc http://bit.ly/1fwhcHr
Este documento pide a las personas que tomen fotografías, hagan videos o dibujos instando a sus ministros de pesca a proteger a los tiburones en Europa. La organización Shark Alliance está recolectando este material para mostrar el apoyo público a la protección de tiburones y ayudar a los ministros de pesca de la UE a tomar medidas para su conservación. Se pide a la gente que envíe sus creaciones con la etiqueta "make the push" para ser compartidas y usarlas para convencer a los ministros.
El documento presenta los diagramas de Venn y conceptos básicos de conjuntos como subconjuntos, intersección y unión. Explica que los diagramas de Venn representan conjuntos y subconjuntos dentro de un universo mediante regiones ovaladas dentro de un rectángulo. Luego provee ejemplos para ilustrar subconjuntos, igualdad de conjuntos, intersección y unión.
1) Los diagramas lineales ilustran las relaciones entre conjuntos mediante la posición relativa de los conjuntos y líneas de conexión.
2) La teoría de conjuntos se desarrolla axiomáticamente mediante términos, relaciones y axiomas no definidos.
3) Los problemas resueltos incluyen ejercicios sobre notación de conjuntos, igualdad, subconjuntos y el conjunto vacío.
Este documento trata sobre los conjuntos y sus propiedades fundamentales. Explica que un conjunto es una colección de objetos llamados elementos, y que se representan con letras mayúsculas entre llaves. También describe diagramas de Venn para representar conjuntos gráficamente, la cardinalidad como el número de elementos de un conjunto, y las relaciones entre conjuntos como subconjuntos y operaciones con ellos. Finalmente, detalla los diferentes tipos de conjuntos numéricos como naturales, enteros, racionales e irracionales.
Este documento presenta una guía de estudio para la asignatura de Matemáticas I. Incluye cuatro unidades temáticas divididas en módulos y temas. La Unidad I se enfoca en conjuntos y contiene módulos sobre conjuntos, conjuntos cardinales, subconjuntos y operaciones con conjuntos. La guía provee definiciones, ejemplos y actividades de aprendizaje para cada tema.
Este documento presenta conceptos básicos de la teoría de conjuntos, incluyendo la noción de conjunto, notación de conjuntos, determinación de conjuntos, relación de pertenencia, conjuntos especiales como el conjunto vacío y universal, diagramas conjuntistas, relaciones entre conjuntos como inclusión, igualdad y disyunción, y clases de conjuntos como finitos e infinitos.
1) El documento presenta conceptos básicos de teoría de conjuntos como conjuntos, elementos, notación, conjuntos finitos e infinitos, igualdad, subconjuntos, conjunto universal, conjuntos disjuntos y diagramas de Venn. 2) También define operaciones con conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento y presenta ejemplos ilustrativos de cada una. 3) El objetivo es introducir estos conceptos fundamentales de teoría de conjuntos que son una base para el estudio de la estadística y la probabilidad.
Este documento introduce la teoría de conjuntos. Define conceptos básicos como elementos, pertenencia a conjuntos, notación de conjuntos, conjuntos especiales como el conjunto vacío y el conjunto unitario. Explica relaciones entre conjuntos como inclusión, igualdad, disyunción y complemento. Finalmente, presenta ejemplos numéricos de conjuntos y operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia.
Este documento presenta un curso de matemáticas discretas. El curso tiene como objetivo enseñar conceptos y herramientas básicas de matemáticas universitarias para resolver problemas complejos. Cubrirá temas como conjuntos, lógica, demostraciones, teoría de grafos y redes. El estudiante será evaluado a través de exámenes, tareas y asistencia.
George Cantor, un matemático alemán, creó la teoría de conjuntos y defendió la existencia de infinitos. Tuvo como principal opositor a Leopoldo Kronecker, quien creía que solo los números naturales eran reales y se oponía a las demostraciones infinitas. El documento explica la idea de conjunto, cómo se representan y determinan conjuntos, e introduce las clases de conjuntos como finitos e infinitos.
Este documento introduce los conceptos básicos de los conjuntos, incluyendo las diferentes clases de conjuntos (finito, infinito, unitario, vacío), formas de representarlos (diagramas, llaves), y operaciones entre ellos (unión, intersección, diferencia, complemento). Explica que un conjunto es un grupo de elementos con una o más características en común, y que pueden determinarse por extensión o comprensión.
Este documento presenta información sobre conjuntos y números naturales hasta 999 para estudiantes de segundo grado de primaria. Incluye definiciones de conjuntos, formas de nombrar conjuntos, ejemplos de conjuntos unitarios y vacíos, y una introducción a la notación y valor posicional de números de tres dígitos. También contiene ejercicios prácticos para que los estudiantes apliquen los conceptos.
Este documento presenta un proyecto de aula sobre la teoría de conjuntos. Explica conceptos básicos como conjuntos, subconjuntos, uniones e intersecciones. Los objetivos son conocer el concepto de aplicación entre conjuntos y entender los conjuntos como el modelo matemático más sencillo. Se describen conjuntos mediante extensiones y comprensión, y se clasifican como finitos, infinitos, universos o vacíos. Finalmente, se presentan ejemplos y conclusiones sobre la importancia de la teoría de conjuntos en aplicaciones como sistemas de
1) Georg Cantor, un matemático alemán del siglo XIX, es considerado el padre de la teoría de conjuntos.
2) Gracias a Cantor ahora podemos hablar de conjuntos de objetos como personas, ciudades o cosas sobre una mesa.
3) A pesar de sus grandes contribuciones a las matemáticas, Cantor murió pobre y sin reconocimiento, aunque hoy se reconoce plenamente su trabajo pionero en la teoría de conjuntos.
El documento explica los conceptos de conjunto potencia y subconjuntos. Un conjunto potencia contiene todos los posibles subconjuntos de un conjunto dado, incluyendo el subconjunto vacío y el conjunto original. El número de elementos de un conjunto potencia es 2 elevado a la cantidad de elementos del conjunto original, debido a que cada elemento puede estar presente o ausente en los subconjuntos.
Este documento trata sobre la teoría de conjuntos. Explica conceptos básicos como elementos, pertenencia a conjuntos, notación de conjuntos, cardinalidad y tipos de conjuntos como vacío, unitario, finito e infinito. También define operaciones entre conjuntos como unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica, así como propiedades de estas operaciones y de relaciones como inclusión. Finalmente, presenta ejemplos numéricos de conjuntos.
Este documento presenta los conceptos básicos de la teoría de conjuntos, incluyendo la definición de conjunto, elementos, notación, tipos de conjuntos (finitos, infinitos, vacíos, unitarios), relaciones entre conjuntos (inclusión, igualdad, disyunción), operaciones con conjuntos (unión, intersección, diferencia, complemento), y diagramas de Venn para representar conjuntos.
Este documento presenta conceptos básicos sobre conjuntos matemáticos como determinación de conjuntos, subconjuntos, intersección y unión. Incluye ejemplos y problemas resueltos sobre conjuntos finitos e infinitos, diagramas de Venn y cardinalidad de conjuntos potencia.
Este documento presenta conceptos básicos de teoría de conjuntos como definiciones de conjunto, determinación de conjuntos, igualdad de conjuntos, operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia, y tipos de conjuntos como finitos, infinitos, vacíos y unitarios. Incluye ejemplos ilustrativos y ejercicios de evaluación sobre estos temas.
Este documento presenta los integrantes del proyecto: Iván Wilfredo Colque Ramos, Miguel Ángel Lara Nava y José Arturo Gómez. A continuación, define conceptos básicos de teoría de conjuntos como conjunto, elemento, cardinalidad y operaciones entre conjuntos como inclusión, igualdad, disyunción y conjunto de conjuntos.
avtor: prof.dr. Iztok Tiselj
Predstavitev na dogodku SLORIC 2014 Slovenska jedrska stroka o izzivih zagotavljanja svojih kompetenc http://bit.ly/1fwhcHr
Este documento pide a las personas que tomen fotografías, hagan videos o dibujos instando a sus ministros de pesca a proteger a los tiburones en Europa. La organización Shark Alliance está recolectando este material para mostrar el apoyo público a la protección de tiburones y ayudar a los ministros de pesca de la UE a tomar medidas para su conservación. Se pide a la gente que envíe sus creaciones con la etiqueta "make the push" para ser compartidas y usarlas para convencer a los ministros.
Our group project consists of an exhibition dedicated to university students’ life: “UNIBOOK”.
The basic objective of “UNIBOOK” is to represent the life of students in Bologna from the 1940s to the current times. The Museo Della Storia Di Bologna has been chosen to be the hosting place of the exhibition as it is the biggest urban museum of the city.
The Museum of the History of Bologna represents the life of the city from the foundation of the first settlement to the current times. It is placed in one of the oldest buildings in Bologna dating back to the 14th century. The Museum focus on history and changes of the city life over time; attention is given to both turning points in history and everyday life of citizens. The biggest part of collection is devoted to pre-history, medieval history and history of 17-19 century. Unfortunately though, the modern life of the city seems to be out of the focus and the group of citizens which evidently is underrepresented is that of students, although the city of Bologna is perceived as the symbol of University cities not only in Italy but all over the world.
While planning the project and the concept of the exhibition we always kept in mind the Museums activities to design an exhibition which will perfectly fit in the Hosting Organization. We would like to combine the documentation approach with historical overview and the creative approach. For that purpose the historical part of the exhibition will contain the photos of student life, taken from the archives of the University and the modern part is planned to be formed by images of the current students of Unibo. In the following pages you can find the detailed description of our exhibition.
La comprensión: un punto de llegada, un punto de partidanohoraalvarado
Este documento discute estrategias para ayudar a los usuarios a comprender cómo organizar bibliografías recuperadas para proyectos de grado. Propone tres etapas: exploración de bases de datos bibliográficas, aclaración sobre qué información es relevante, y aplicación utilizando un gestor bibliográfico. La comprensión se identificaría al completar con éxito cada etapa.
Os valores discutidos no documento incluem honestidade versus engano, respeito, materialismo e relacionamentos na internet. A honestidade é importante no processo de ensino e aprendizagem, enquanto o engano vai contra os objetivos da educação moral. Existe um conflito entre o dever de ajudar as crianças a aprender e o dever de respeitar sua autonomia. A internet promove igualdade de acesso independentemente da idade ou status social. Ela oferece vantagens, mas também riscos que podem ser mitigados evitando contatos indesejáveis ou
Este documento habla sobre el swap y el grub en Linux. Explica que el swap es un espacio de disco que se usa para almacenar procesos que no caben en la memoria RAM, y recomienda que sea del tamaño de la memoria faltante. También describe al grub como un cargador de arranque que permite iniciar varios sistemas operativos instalados, y advierte no eliminar particiones de Linux desde Windows para no borrar ese sistema.
This document discusses language acquisition and the importance of learning a second language. It defines language acquisition as the process of learning to perceive, comprehend, produce and use language to communicate. The document notes that learning a second language as a child is easier than as an adult, and that becoming bilingual broadens one's worldview, develops intellectual abilities, and expands job opportunities. It also explores how technology can support 21st century language learning through games, videos, songs, video chatting with native speakers, and smart board activities.
Every year in Italy about 30 children die for suffocation. Asl Bt launches a training program for teachers of public kindergartens and a videoeducational for TV and Web.
El documento describe diferentes periféricos y dispositivos de entrada, salida y almacenamiento de una computadora. Explica brevemente el teclado, ratón, scanner, lector de código de barras, monitor, impresora, unidad flash, disco duro, cinta magnética y CD/DVD; y sus funciones principales.
El documento habla sobre la temperatura y el calor. Explica que el calor es una forma de energía causada por el movimiento de átomos y moléculas. También describe tres métodos por los cuales el calor se puede transferir: conducción, convección y radiación. Además, explica que la temperatura es una medida de la energía térmica promedio de las partículas en una sustancia.
El documento proporciona una introducción al dominio de Adquisición e Implementación de TI (AI) según COBIT 4.0. Explica que este dominio se refiere a la identificación, desarrollo y adquisición de soluciones TI para implantarlas e integrarlas a los procesos del negocio. Luego describe los siete procesos que comprende este dominio y los objetivos de control asociados a cada uno de ellos. Finalmente, establece los conceptos, requisitos y audiencia para los que está dirigido el documento.
Este projeto propõe aulas interdisciplinares sobre meio ambiente para alunos do ensino fundamental, com objetivos de valorizar o meio ambiente, conscientizar sobre sua importância e como o homem o afeta, e discutir formas de evitar destruição. As atividades incluem palestras, produção de cartazes e poemas, trabalhos com textos, construção de canteiro, exposições, caminhadas ecológicas e visita a horto florestal.
Este documento presenta información sobre conjuntos matemáticos. Explica que un conjunto es una colección de elementos que comparten una característica común. Los elementos de un conjunto se denominan miembros y los conjuntos se representan con letras mayúsculas. Luego describe formas de determinar conjuntos como por extensión o tabulación e incluyendo propiedades. Finalmente, clasifica diferentes tipos de conjuntos como finitos, infinitos o vacíos y presenta ejemplos de operaciones entre conjuntos como unión e intersección.
El documento define los conceptos básicos de conjuntos y proposiciones lógicas. Explica que un conjunto es una colección de objetos o elementos, y describe formas de definir y representar conjuntos. También introduce operadores lógicos como AND, OR y NOT para formar proposiciones compuestas a partir de proposiciones simples, y explica cómo determinar el valor de verdad de dichas proposiciones.
El documento trata sobre los conjuntos en matemáticas. Explica que un conjunto es una agrupación de objetos o elementos que comparten alguna característica. Luego describe diferentes tipos de conjuntos como los conjuntos finitos e infinitos y las operaciones entre conjuntos como la unión y la intersección. Por último, explica que la teoría de conjuntos fue introducida por Georg Cantor y revolucionó el estudio de los conjuntos infinitos.
Este documento introduce conceptos básicos de teoría de conjuntos. Explica que un conjunto es una colección de objetos llamados elementos, y define términos como subconjunto, unión, intersección y diferencia de conjuntos. También describe las propiedades de conjuntos vacíos, unitarios y finitos e infinitos, y cómo determinar un conjunto por extensión o comprensión.
Este documento presenta los conceptos básicos de la teoría de conjuntos. Define qué es un conjunto y ofrece ejemplos como números y colores. Explica la notación de conjuntos usando corchetes y letras mayúsculas. Describe dos métodos para determinar conjuntos, por comprensión usando una propiedad y por extensión enumerando elementos. Finalmente, define tipos de conjuntos como finitos, vacíos y operaciones entre ellos como intersección, unión y diferencia usando diagramas de Venn.
Este documento presenta el programa de la asignatura Matemática Aplicada a la Economía para el curso 2004. La asignatura se enfoca en aplicar conceptos matemáticos como álgebra, análisis y optimización a problemas económicos. El programa cubre temas como matrices, funciones, derivadas, integrales, funciones de varias variables y métodos de optimización. El objetivo es que los estudiantes adquieran herramientas matemáticas para comprender asignaturas posteriores de economía.
El documento define los conceptos básicos de conjuntos, incluyendo tipos de conjuntos como finitos, infinitos, unitarios, vacíos, homogéneos y heterogéneos. También describe operaciones con conjuntos como unión, intersección, diferencia, complemento y diferencia simétrica. Finalmente, introduce conceptos sobre números reales, incluyendo racionales e irracionales, y propiedades de desigualdades y valor absoluto.
Este documento define y explica conceptos básicos de conjuntos matemáticos. Introduce los conjuntos de números naturales, enteros, racionales, reales y complejos, y explica cómo se representan y notan los conjuntos. También define subconjuntos, conjuntos vacíos, igualdad de conjuntos, comparabilidad y operaciones básicas como unión e intersección.
1) El documento presenta información sobre conjuntos, operaciones con conjuntos, números reales, desigualdades y valor absoluto. 2) Se definen conjuntos, sus elementos y propiedades. También se explican operaciones como unión, intersección, diferencia y producto cartesiano. 3) Los números reales incluyen números racionales e irracionales que pueden ser algebraicos o trascendentes. Finalmente, se describen desigualdades matemáticas y su comportamiento.
1) El documento presenta información sobre conjuntos, operaciones con conjuntos, números reales y desigualdades. 2) Se definen conjuntos, sus elementos y propiedades. También se explican operaciones como unión, intersección, diferencia y producto cartesiano. 3) Los números reales incluyen números racionales e irracionales, que pueden clasificarse como algebraicos o trascendentes.
Este documento define los conceptos básicos de conjuntos y números reales. Explica que un conjunto es una colección de elementos y que pueden ser finitos o infinitos. Define operaciones con conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento. También describe los diferentes tipos de números reales como naturales, enteros, racionales e irracionales y sus propiedades.
1) El documento habla sobre conjuntos y sus elementos. Un conjunto contiene objetos llamados elementos que pueden ser cualquier cosa siempre que tengan una relación entre sí.
2) Explica diferentes operaciones que se pueden realizar con conjuntos como la unión, intersección, diferencia y complemento.
3) También define números reales, que incluyen números racionales e irracionales, y explica algunas de sus propiedades como desigualdades y el valor absoluto.
El documento explica el concepto de conjunto en matemáticas. Un conjunto es una colección de elementos con características similares. Los elementos de un conjunto pueden ser números, colores, letras u otros objetos. Un conjunto se define por sus elementos y no por su orden o repetición. Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos y se representan con letras mayúsculas entre llaves.
Este documento presenta información sobre un curso de cálculo impartido en un Centro de Bachillerato Tecnológico Agropecuario. El documento introduce cuatro temas principales del curso: números reales, intervalos, funciones y operaciones con funciones. Explica conceptos como números racionales e irracionales, tipos de intervalos, elementos y representaciones de funciones, y tipos de operaciones como suma, resta y multiplicación de funciones. El objetivo es auxiliar en la enseñanza de la materia de cálculo.
Este documento presenta conceptos básicos sobre conjuntos. Define conjuntos como colecciones de objetos bien definidos. Explica las formas de definir conjuntos (por extensión y por comprensión), y cómo representar elementos, pertenencia y no pertenencia a conjuntos. También introduce conceptos como subconjuntos, conjuntos vacíos, operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia, y diagramas de Venn para representar conjuntos.
Este documento presenta conceptos básicos sobre conjuntos. Define conjuntos como colecciones de objetos bien definidos. Explica las formas de definir conjuntos (por extensión y por comprensión), y cómo representar elementos, pertenencia y no pertenencia a conjuntos. También introduce conceptos como subconjuntos, conjuntos vacíos, operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia, y diagramas de Venn para representar conjuntos.
Temas vistos en matemáticas durante el año 2014cure-sword
El documento resume los diferentes tipos de conjuntos vistos en matemáticas durante 2014, incluyendo conjuntos finitos e infinitos, unitarios, vacíos, referenciales, disyuntivos, equivalentes, iguales, congruentes, no congruentes, homogéneos y heterogéneos. También cubre conceptos como porcentaje, fracciones, y números primos.
Este documento presenta una clasificación de los diferentes tipos de números, incluyendo números naturales, enteros, racionales, irracionales y complejos. También explica operaciones básicas con conjuntos como la unión, intersección y diferencia. Por último, define conceptos como desigualdades, valor absoluto y números reales en 3 oraciones o menos.
Este documento presenta información sobre conjuntos y números reales. Explica que un conjunto es una colección de objetos y que los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. Describe operaciones básicas entre conjuntos como la unión. Además, define los números reales como cualquier número que se encuentre en la recta numérica, incluyendo números racionales e irracionales. Finalmente, presenta propiedades clave de los números reales como el orden y las operaciones de suma, resta, multiplicación y división.
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...Juan Martín Martín
Criterios de corrección y soluciones al examen de Geografía de Selectividad (EvAU) Junio de 2024 en Castilla La Mancha.
Soluciones al examen.
Convocatoria Ordinaria.
Examen resuelto de Geografía
conocer el examen de geografía de julio 2024 en:
https://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/2024/06/soluciones-examen-de-selectividad.html
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
Presentación de la historia de PowerPoint y sus características más relevantes.
Matemática básica, parte2.
1. CONJUNTOS
BREVE HISTORIA
Aunque la noción de agrupación, clase, familia, etc. están presente durante
todo el desarrollo histórico de la matemática, no había sido tratada como se la
conoce hoy.
La teoría de conjuntos, uno de los pilares de la matemática moderna, tiene una
vida relativamente joven.
La corriente formalista de la matemática, con gran influjo en el siglo XIX, tiene a
B. Bolzano como uno de los iniciadores de este tema, G. Frege con sus
fundamentos de la aritmética basada en la teoría conjuntos, B. Russell analítico
y crítico permanente, G. Cantor que introduce la idea de los conjuntos infinitos,
Zermelo cuyos axiomas dan solidez a las construcciones matemáticas.
INTRODUCCIÓN
Tal vez no reparemos pero en nuestra actividad diaria, en el lugar donde nos
encontramos estamos rodeados de conjuntos.
Si nos encontramos en un salón de clase, las ventanas del salón, los medios
usados por el docente para el desarrollo de su clase, los bolígrafos de los
alumnos, constituyen conjuntos; en una oficina, el mobiliario que se encuentra
en ella, los trabajadores de ese recinto, las computadoras que ahí se utilizan,
forman conjuntos; en un estadio deportivo, los jugadores, los espectadores, los
árbitro, son conjuntos de ese ambiente; en un centro de recreaciones, los
juegos recreativos, los empleados del centro, las señoras mayores de 30 años,
las niñas, son conjuntos que los podemos distinguir.
La idea de conjunto resulta importante en el ámbito académico y en particular
en la matemática. Por ejemplo, nos permite precisar en concepto de número,
definir el triángulo o hablar con propiedad de una función.
En ese sentido, su tratamiento mecerá tener el rigor adecuado para un
estudiante que se inicia en la carrera de educación: Por un lado, haciendo uso
con de los conceptos lógicos ya estudiados y el razonamiento deductivo y, por
otro lado, del razonamiento inductivo y la intuición.
2. Noción de conjunto
En nuestro lenguaje común pocas veces utilizamos el término conjunto, más
bien hacemos referencia a agrupaciones, como por ejemplo la Selección
nacional de vóley femenino de 1988; colecciones, como las Obras escogidas
de V.I Lenin; sistemas, como el Sistema planetario solar.
En matemática, las expresiones anteriores nos dan la idea de conjunto. Así,
también son conjuntos.
Los días de la semana.
Los habitantes de Lima.
Las vocales del alfabeto castellano.
Los centros educativos del departamento del Cuzco.
Y los hay de tipo matemáticos.
Los números naturales mayores que 5 pero menores que 7.
Los números reales x tales que 1 < x < 2.
La intersección de dos rectas paralelas y diferentes.
Los puntos de una circunferencia de 30 centímetros de diámetro.
Los números enteros positivos menores que 10.
Aunque en matemática conjunto es un término primitivo, es decir, no definido.
La característica de todo conjunto es que siempre es posible identificar
inequívocamente a sus componentes o elementos..
Notación de conjuntos
Se acostumbra a denotar conjuntos con letras mayúsculas y si los elementos
son letras, con letras minúsculas, así:
A = {los meses del año}
B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }
C = { 6 }
D = { x / x es un habitante de Lima }
E = { p , a , n }
F = { x / x es número real , 1 < x < 2 }
Los componentes o elementos del conjunto A, tienen la característica de ser
mes del año, luego enero es un elemento de A, los once meses restantes
también lo son.
3. Cualquiera de los números enteros positivos menores que 10 son elementos
del conjunto B.
El 6 es el único elemento del conjunto C.
Identifique los elementos de los conjuntos D, E y F.
Relación de pertenencia
Si un objeto es elemento de un conjunto se dice que pertenece al conjunto,
para ello se utiliza el símbolo “ “. Si el elemento no pertenece al conjunto se
utiliza el símbolo “ “.
En el diagrama de Venn siguiente se muestra al conjunto A = {x, y, z}
A
Iiiii .m
. n
donde los elementos del conjunto A son los que se encuentran en el interior de
la figura tales como x , y , z . Los que no pertenecen al conjunto se
encuentran en el exterior de la figura tales como m, n .
Simbólicamente:
x A y A z A
m A n A
que se lee: el elemento x pertenece al conjunto A o simplemente x
pertenece a A, y pertenece a A, z pertenece a A. Además m no pertenece
a A, o n no pertenece a A.
Determinación de un conjunto
Los conjuntos se determinan de dos maneras: por extensión y por
comprensión.
Por extensión: Cuando es posible mostrar a cada uno de los elementos del
conjunto.
Ejemplos:
1. A = { a , e , i , o , u }
2. B = { , , , , , }
. x . y
. z
4. Los conjuntos infinitos no se pueden expresar por extensión, aunque a veces,
abusando de la notación para referirnos al conjunto de los números enteros
positivos, se escribe
C = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ,…... }
donde los puntos suspensivos indican que los números consecutivos siguen sin
fin, es decir, 7 , 8 , 9 etc., también pertenecen al conjunto C .
Para indicar que algunos elementos pertenecen al conjunto C y otros no
pertenecen a C, escribimos:
1 C -2 C 5 C
10 C 0 C 5,5 C
Por comprensión: Cuando se enuncia la propiedad que caracteriza a cada
elemento del conjunto.
La forma general de expresarlo es, A = { x / p ( x ) }
siendo p ( x ) la característica común de cada elemento .
Ejemplos:
1. A = { x / x es vocal del alfabeto }
la característica de los elementos del conjunto A es ser vocal del alfabeto .
2. B = { x / x es conectivo lógico }
la característica de los elementos del conjunto B es ser un conectivo lógico .
3. C = { x / x es número entero positivo }
la característica de cada elemento del conjunto C es ser un número entero
positivo.
Como en matemática generalmente los objetos de estudio son números,
existen notaciones usuales para caracterizarlos, así:
N: Conjunto de los números naturales.
Z: Conjunto de los números enteros.
Q: Conjunto de los números racionales.
R: Conjunto de los números reales.
C: Conjunto de los números complejos.
Para referirnos al conjunto de los números enteros bastará escribir Z.
5. Ejercicios:
1. Para el conjunto A, completa los espacios dejados entre llaves y en la
elipse coloca los elementos del conjunto B.
1.1
A
A = { 2 , 4 , , , 10 }
1.2
B
B = , , ,
2. Escribe tres conjuntos y determínalos por extensión y comprensión.
Haz una representación gráfica para cada uno de ellos.
Por extensión
A =
B =
C =
Por comprensión
A =
B =
C =
Representación gráfica
A B C
.2 .4
.6
.8 .10
. .
. .
6. En las tres líneas siguientes utiliza los símbolos de “” y “” para relacionar los
elementos de los conjuntos A, B y C, con sus elementos
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_____________________
Conjunto vacío y conjunto universal
Conjunto Vacío
Es aquel que no tiene elementos. Se denota por { } o por
Ejemplos:
1. A = {x N / x x }
el conjunto A no tiene elementos pues no existe un número natural que sea
diferente a sí mismo. Se puede escribir A = { } ó A =
2. B = {x / x es diagonal de un triángulo}
es vacío porque no existen triángulos que tienen diagonal, luego B = .
Para reforzar el concepto de conjunto vacío, en los espacios en blanco escribe
dos ejemplos de ellos.
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
______________
Conjunto Universal
Es el conjunto en el que se encuentran todos los elementos del conjunto o de
los conjuntos en estudio. A éste conjunto también se le llama conjunto
referencial. Se le denota con “ U ” y se le representa por un rectángulo.
Ejemplos:
1. Si A = {x / x es un trapecio}
B = {x / x es un cuadrado}
C = {x / x es un rombo}
Un conjunto universal es U = {x / x es un cuadrilátero}.
7. Gráficamente:
U
C B
A
2. Si A = { x / x es número natural par }
B = { x / x es número natural impar }
Escribe y grafica un conjunto universal para los conjuntos A y B.
_____________________________________________________________
U
INCLUSIÓN E IGUALDAD DE CONJUNTOS
Inclusión de conjuntos
En una familia de 6 miembros Juan y María son los padres; Elena, Dalia,
Néstor y Manuel los hijos. Con éstas personas podemos formar los conjuntos
F, H y P referidos a la familia.
F = {x / x es miembro de la familia}
H = {x / x es hijo}
P = {x / x es padre}
8. Donde se cumple que el conjunto P de los padres, es una parte del conjunto F
de los miembros de la familia. También el conjunto H de los hijos es una parte
del conjunto F.
Para indicar que un conjunto es una parte de otro se usa el símbolo “”. Así
para indicar que H es una parte de F, se escribe H F.
¿Cómo se lee y cómo se interpreta P F? Escribe en las dos líneas
siguientes
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_____________
Los siguientes gráficos muestran que un conjunto es una parte de otro
F F
en uno de los gráficos se observa que H F y en el otro P F.
Considerando solo a los conjuntos P de los padres y H de los hijos ¿se
puede decir que P H ?, que ¿ H P ? En ambos casos la respuesta es
no, pues en la familia antes definida ni los hijos tienen la propiedad de ser
padres ni los padres tienen la propiedad de ser hijos.
Cuando un conjunto no es una parte de otro se usa el símbolo “ ”. Así como
H no es una parte de P, se escribe H P. También se cumple que P
H.
En matemática se usan con frecuencia los términos incluido, contenido o
subconjunto como sinónimo de parte de un conjunto.
Así A B se lee: A está incluido en B, A esta contenido en B, A es un
subconjunto de B o A es una parte de B.
PH
9. Definición
El conjunto A está incluido en B, si cada elemento del conjunto A es
también elemento del conjunto B.
Simbólicamente
A B ( x: x A x B )
En virtud de la definición anterior, diremos que A no esta incluido en B,
si no todos los elementos de A son elementos de B, equivalentemente, si al
menos un elemento de A no es elemento de B .
Simbólicamente
A B ( x : x A x B )
Ejemplos:
1. Si tomamos como referencia al conjunto de los números naturales
menores que 10.
A = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }
y consideramos los conjuntos
B = { 0 , 2 , 4 , 6 , 8 }
C = { 0 , 3 , 6 , 9 }
D = { 3 , 4 , 5 , 6 }
las relaciones de inclusión que se pueden establecer entre los conjuntos A,
B, C y D, son :
B A A B B C C D
C A A C B D D B
D A A D C B D C
10. En un diagrama de Venn, establecer las relaciones entre los conjuntos A, B, C,
D.
2. Si el conjunto de letras de nuestro alfabeto se representa por A, es
decir,
A = {x / x es letra de nuestro alfabeto}, ¿Cuál es el valor de verdad de la
afirmación
A A?
Para que A A sea verdadera, todos los elementos del primer conjunto A
deben ser elementos del segundo conjunto A. Lo que evidentemente se
cumple, por lo que la proposición es verdadera.
La proposición anterior es una ley matemática o propiedad que se cumple
cualesquiera que sea el conjunto A.
Propiedad
Todo conjunto está incluido en sí mismo. En símbolos:
A, A A; llamada propiedad reflexiva
pues x, x A x A, que se justifica con la ley lógica p p
Esta propiedad ¿regirá también para cuando A = ?
Intuitivamente no es fácil aceptar que , pero siguiendo la definición
podemos verificar que x: x x es verdadera, ¿puedes
justificar por qué?
Propiedad
El conjunto vacío está incluido en cualquier conjunto. En símbolos
A, A
Esta propiedad se puede demostrar, tomando como guía la prueba anterior
¡intenta hacerlo!
Como te habrás percatado en matemática el significado de inclusión o parte de
un conjunto es más amplio que en el lenguaje común, ya que además de
considerar la inclusión propiamente dicha considera también que un conjunto
está incluido en sí mismo. Para referirnos a la inclusión propia, diremos que:
11. Si A B y A B, se dice que A está contenido propiamente en B.
3. Observa el gráfico
Como recordarás N, Z y R representan los conjuntos de los números
naturales, enteros y reales respectivamente.
Escribe la relación de inclusión de conjuntos, tomados de dos en dos.
N ____ ____ R ____ ___ R
En este caso, es posible establecer la relación de inclusión entre los tres
conjuntos N, Z y R así, N Z R
Propiedad
Si un conjunto A está contenido en otro conjunto B y éste está contenido
en un tercer conjunto C, entonces, el primer conjunto A esta contenido en el
tercero C. En símbolos:
( A B B C ) A C, llamada propiedad transitiva
N
Z
R
12. Esta propiedad se puede probar, haciendo uso del silogismo hipotético
( p q q r ) (p r )
Escribe dos grupos de tres conjuntos cada uno, donde se cumpla la propiedad
transitiva de la inclusión.
1. A = __________________________________________________
B = __________________________________________________
C = __________________________________________________
Luego A B C
2. D = _________________________________________________
E = _________________________________________________
F = _________________________________________________
Luego D E F
Igualdad de conjuntos
Para el conjunto de los miembros de la familia tratado anteriormente, como
nos lo recuerda el siguiente gráfico
F
al conjunto de los padres formado por Juan y María, podemos escribirlo
P1 = {Juan, María}
O también
P2 = {María, Juan}
Como P1 y P2 representan al mismo conjunto (de los padres), decimos
que son iguales. Su representación simbólica es:
P1 = P2
Es importante notar que los elementos de P1, Juan y María son también
elementos de P2, esto es, P1 P2. Lo simétrico P2 P1, también se cumple.
P
Juan
María
H
Elena
Manuel
Dalia
Néstor
13. Definición
Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos.
En símbolos
A = B (A B B A)
Esta definición nos dice que si se sabe que A = B entonces A B y B A
y si se sabe que A B y B A entonces A = B.
Por eso se dice que para probar la igualdad de dos conjuntos se debe
probar la mutua inclusión de ellos.
Ejemplo
A = {x N / x es impar}
B = {2y + 1 / y N}
Al construir la tabla
x 1 3 5 7 9 11 13 …
y 0 1 2 3 4 5 6
…
2y+1 1 3 5 7 9 11 13
…
observamos que los elementos x del conjunto A y los elementos 2y +1 del
conjunto B que se muestran en las filas 1 y 3 sombreadas, son iguales, por lo
que intuitivamente podemos decir que los conjuntos A y B son iguales.
Dicho matemáticamente:
Si x pertenece al conjunto A, entonces x es número natural impar y como tal
se puede escribir como 2 y +1, que a su vez es elemento del conjunto B. Como
x es un elemento cualesquiera de A podemos afirmar que todos los elementos
de A son elementos de B. En consecuencia A está incluido en B.
Formalmente.
Sea x A x es impar por definición de A
x = 2 y + 1, y N por definición de número impar
x B por definición de B
14. A B por definición de inclusión ( I )
Análogamente
Sea x B x = 2 y + 1, y N por definición de B
x es impar por definición de número impar
x A por definición de A
B A por definición de inclusión ( I I )
De ( I ) y ( I I ) se tiene que A B B A entonces A = B
Conjunto potencia o conjunto de partes
En un conjunto A finito, es posible obtener un nuevo conjunto formado por
todos los subconjuntos de A. Tal conjunto que se escribe P(A), se llama
conjunto potencia o conjunto de partes del conjunto A.
Definición
El conjunto potencia del conjunto A, es el conjunto de todos los subconjuntos
o partes de A. De allí el nombre de conjunto de partes.
P ( A ) = { B / B A }
Esto es, B P (A) B A
Lo que se lee, el conjunto B es elemento del conjunto de partes P ( A ) si y
sólo si B es subconjunto de A .
Ejemplos:
1. Sea A = { 1 , 4 }
Los subconjuntos de A son : { 1 } , { 4 } , { 1 , 4 } ,
Luego, el conjunto potencia es P ( A ) = { , { 1 } , { 4 } , { 1 , 4 } }
Observa que P ( A ) está formado por 4 elementos, que a su vez son
conjuntos.
2. Sea B = {a ,b,c}
Los subconjuntos de B son : , { a } , { b } , { c } , {a , b} , {a , c} , {b , c} , {a ,
b , c} . Luego el conjunto potencia de B es
P ( B ) = { , { a } , { b } , { c } , { a , b } , { a , c } , { b , c } , { a , b , c } }
Observa que P ( B ) está formado por 8 elementos, que a su vez son
conjuntos.
15. 3. Sea C = { 0 }
P (C) tiene dos elementos. ¿Cuáles son?, escribe el conjunto P (C) = { ,
}
Importante
Si el número de elementos del conjunto A es 2 , n ( A ) = 2 , entonces el
número de elementos del conjunto potencia es 2 2
= 4 , n ( P ( A ) ) = 4.
Si el número de elementos del conjunto B es 3 , n ( B ) = 3 , entonces el
número de elementos del conjunto potencia es 2 3
= 8 , n ( P ( B ) ) = 8.
Si el número de elementos del conjunto C es 1 , n ( C ) = 1 , entonces el
número de elementos del conjunto potencia es 21
= 2 , n ( P ( C ) ) = 2.
En general si el número de elementos del conjunto A es m , n ( A ) = m
entonces el número de elementos del conjunto potencia es, n ( P ( A ) ) = 2m
.
De ésta relación deriva el nombre de conjunto potencia.
OPERACIONES CON CONJUNTOS
Intersección de conjuntos
Supongamos que Luis Enrique se dedica a estudiar y trabajar. Los días que
estudia lo representamos por E y los que trabaja por T, como se muestra.
E = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes}
T = {jueves, viernes, sábado}.
Gráficamente:
Es fácil deducir que los días de semana que Luis Enrique realiza las dos
actividades a la vez - estudia y trabaja- son jueves y viernes, esto es,
decimos que la afirmación “Luis Enrique estudia y trabaja” es verdadera si y
16. sólo si es jueves o viernes. Nótese que la proposición Luis Enrique estudia y
trabaja es un conjunción.
En matemática, al conjunto formado por los días jueves y viernes, se le conoce
como la intersección de los conjuntos de los días que estudia con los días que
trabaja.
Seguramente nos vamos dando cuenta que existe una relación directa entre la
conjunción de dos proposiciones y la intersección de dos conjuntos, como se
evidencia en la siguiente definición.
Definición
La intersección de los conjuntos A y B, es el conjunto que se escribe A B y
está formado por los elementos comunes de A y de B.
Simbólicamente
A B = { x / x A x B }
Dicho de otra manera
x A B , x A x B
esto es, el elemento x pertenece al conjunto A B si y sólo si pertenece al
conjunto A y al conjunto B, a la vez.
Ejemplos:
1. A = {personas mayores de 20 años}
B = {personas menores de 40 años}
A B = {personas mayores de 20 años pero menores de 40años}
Lo que nos indica que pertenece al conjunto A B toda persona cuya edad
supera los 20 años y que al mismo tiempo no llega a 40 años. Su
representación gráfica es:
La región rayada representa al conjunto A B
17. Z
Nótese que una persona cuya edad es de 15 años pertenece al conjunto B
pero no pertenece a A B; asimismo, una persona de 50 años que es
elemento del conjunto A no es elemento de A B. Esto, porque la persona de
15 años no pertenece a A y la persona de 50 años no pertenece a B.
En general, de la definición de intersección y la propiedad contra-
recíproca se tiene
x A B x A x B
Lo que significa que un elemento no pertenece a A B sí y solo sí tal
elemento no pertenece a A o no pertenece a B.
2. Para los conjuntos numéricos
N = { x / x es número natural }
Z = { x / x es número entero }
la intersección es
N Z = { x / x es número natural } = N,
porque todos los números naturales son enteros.
Gráficamente
Ahora en la línea siguiente escribe tres elementos que no pertenecen a N Z
_____________________________________________________________
¿Es lo mismo N Z que Z N? _________________________________
3. Si se tiene los conjuntos A y B tales que
A = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, ……… }
B = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, ………}
N N Z
18. entonces A B = . Di por qué esta intersección carece de elementos
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
Cuando la intersección de dos conjuntos A y B es vacía, se dice que los
conjuntos son disjuntos.
El gráfico muestra que A y B son conjuntos disjuntos.
Unión De Conjuntos
Recordando las actividades que realiza Luis Enrique durante la semana,
diremos que los días que estudia o trabaja son: lunes, martes, miércoles,
jueves, viernes y sábado. Esto es, el nuevo conjunto (estudia o trabaja) está
formado por los días que estudia, los días que trabaja y los días que estudia y
trabaja.
Al nuevo conjunto, se le conoce con el nombre de unión de los conjuntos de
los días que estudia con los días que trabaja.
Debemos notar que existe una relación directa entre la disjunción de dos
proposiciones y la unión de dos conjuntos, como se afirma en la siguiente
Definición
La unión de los conjuntos A y B, es el conjunto que se escribe A B y está
formado por los elementos de A, de B y los comunes a A y B.
Simbólicamente
A B = { x / x A x B }
Dicho de otra manera
x A B ( x A x B )
A B
19. esto es, el elemento x pertenece a A B si y sólo si pertenece a A,
pertenece a B o pertenece a ambos.
Se dice que x no pertenece a A B si no pertenece a A ni tampoco
pertenece a B. En símbolos
x A B ( x A x B )
Ejemplos:
1. A = {personas mayores de 20 años}
B = {personas menores de 40 años}
La unión es, A B = {personas de todas las edades}
Lo que nos indica que pertenece al conjunto A B toda persona cuya edad
no supera los 20 años (pertenecen a B), no es menor de 40 años (pertenece a
A), y aquellos que tienen entre 20 y 40 años (pertenece a A y a B), es decir,
todas las personas.
Su representación gráfica es:
La región sombreada representa al conjunto A B.
2. Sean los conjuntos (semiplanos)
A = {(x, y) R X R / x 0}
B = {(x, y) R X R / y 0}
La unión es, A B = {(x, y) R X R / x 0 y 0}
Es decir, son elementos de A B los pares de números reales ( x , y ) con x
mayor o igual que cero, con y mayor o igual que cero y los pares con x e y
mayor o igual que cero.
20. Gráficamente
La región sombreada corresponde al conjunto A B.
Se puede observar que los elementos que no pertenecen a A B son los
pares (x, y) con x menor que cero e y menor que cero.
3. Para los siguientes conjuntos
A = {1, 3, 5, 7, 9}
B = {2, 4, 6, 8}
La unión es A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Importante : Si en éste último ejemplo consideramos al conjunto A como el
representante del número 5 y al conjunto B como representante del número 4,
el conjunto A B representa al número 9, es decir, A B define al número
5 + 4 que se llama la suma de los números 5 y 4. Queda claro que sólo se
cumple si los conjuntos A y B son disjuntos.
Explica brevemente ¿qué pasa con A B si A tiene 3 elementos y B tiene 4
elementos, siendo A y B no disjuntos ?
_______________________________________________________________
_____________________________________________________________
En este último caso, por definición de unión de conjuntos se puede afirmar que
B A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Es decir, se cumple que A B = B A. Lo que pasamos a demostrar.
4. Se cumple la propiedad conmutativa de la unión de conjuntos
A , B, A B = B A.
21. Quedará probada la igualdad de los dos conjuntos, cuando probemos que
están mutuamente incluidos: i. A B B A y ii. B A A B.
Probemos la inclusión i. A B B A.
1. Sea x un elemento cualesquiera de A B hipótesis.
2. entonces x A v x B definición de unión.
3. pero, x B v x A p. conmutativa de la disyunción.
4. de donde x B A definición de unión.
5. de los pasos 1 y 4 decimos que como todo elemento x de A B, también es
elemento de B A , entonces, A B B A definición de inclusión.
Análogamente, probemos la inclusión ii. B A A B.
1’. Sea x B A hipótesis.
2’. entonces x B v x A definición de unión.
3’. pero x A v x B prop. conmutativa de la
disyunción. 4’. de donde x A B
definición de unión.
5’. de los pasos 1’ y 4’ decimos que como todo elemento x de B A también
es elemento de A B, entonces, B A A B definición de inclusión.
Por tanto, de 5 y 5’ se concluye que A B = B A definición de igualdad.
Diferencia De Conjuntos
Volviendo al caso de Luis Enrique, diremos que los días que estudia pero no
trabaja son: lunes, martes y miércoles. Estos tres días forman un nuevo
conjunto, llamado el conjunto diferencia de los días que estudia menos los
días que trabaja (E menos T).
Aunque no se ve directamente, no es difícil darse cuenta que existe una
relación entre la negación del condicional de dos proposiciones y la diferencia
de dos conjuntos.
Definición
La diferencia de los conjuntos A y B (en ése orden), es el conjunto que se
escribe A – B y está formado por los elementos de A pero no de B.
22. Simbólicamente
A – B = { x / x A x B }
Dicho de otra manera
x A – B ( x A x B )
esto es, el elemento x pertenece a A – B si y sólo si pertenece a A, pero no
pertenece a B.
Se dice que x no pertenece a A – B si y sólo si no pertenece a A
o pertenece a B.
En símbolos
Ejemplos:
. 1. Para los conjuntos
A = {x N / x < 10}
B = {x N / x > 5}
La diferencia A – B, está formada por los números naturales menores que 10
pero no mayores que cinco, es decir, del cero al 5, esto es
A – B = { x N / x < 6 } . Cuya gráfica es
La región sombreada representa al conjunto A – B
x A – B ( x A x B )
23. En cambio la diferencia B – A, está formada por los números naturales
mayores que cinco pero no menores que 10, es decir, los mayores que 9. Esto
es,
B – A = { x N / x > 9 } . Cuya gráfica es
La región sombreada representa al conjunto B – A.
Nótese que la diferencia A – B no es igual a la diferencia B – A, A – B B – A.
2. Para los conjuntos
A = {x / x es una letra del alfabeto castellano}
B = {x / x es una vocal}
La diferencia A – B está formada por las consonantes, pues,
pertenecen a A (letras del alfabeto) pero no pertenecen a B (vocales). Lo que
se escribe
A – B = {x / x es una consonante}
Una representación gráfica es
La región sombreada corresponde al conjunto A – B
24. 3. Para los conjuntos
N = {x / x es un número natural}
I = {x / x es un número natural impar}
Como todo número natural par tiene la propiedad de no ser impar, entonces,
N – I = {x / x es un número natural par}
Encuentre el conjunto I – N __________________
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO
Al recordar las actividades que realiza Luis Enrique podemos hacer
afirmaciones como:
1. Luis Enrique no estudia los días sábados y domingos. Al conjunto
formado por ésos días de la semana, se le llama complemento del conjunto de
los días que estudia.
2. Luis Enrique no trabaja los días domingo, lunes, martes y miércoles.
Éstos forman el complemento del conjunto de los días que trabaja.
Es fácil notar que existe una relación entre la negación de una
proposición y el complemento de un conjunto, como se observa en la siguiente
Definición
Si A B, el complemento de A respecto de B que se escribe CBA, es el
conjunto formado por los elementos que pertenecen a B pero no pertenecen a
A. Al conjunto B se le conoce como conjunto referencial.
CBA = { x / x B x A }
Observa que es la misma definición de B – A, o sea CBA = B – A
Si el conjunto referencial es el universal U, el complemento de A respecto
de U se escribe A΄. Simbólicamente
Si B = U CUA = A΄= {x / x U x A} = U – A
O también CUA = A΄= {x U / x A} = U – A
Ejemplos:
1. A = {x / x es departamento de la costa peruana}
U = {x / x es departamento del Perú}
25. El complemento de A respecto de U, lo conforman los departamentos no
costeños del Perú. En símbolos
A΄= U – A = {x / x es departamento no costeño del Perú}
Gráficamente
La región sombreada representa a A’
De la definición y del gráfico salen de inmediato x A’ x A
2. A = {x / x es múltiplo de 3}
Z = {x / x es número entero}
El complemento de A los forman todos los números enteros que no son
múltiplos de 3, que se puede escribir
A΄ = Z – A = {x Z / x 3 k , k Z }
3. Para los siguientes conjuntos.
A: es el conjunto formado por los esposos, Antonio y Zenobia
B: es el conjunto unitario formado por Antonio
C: es el conjunto formado por Zenobia .
Completa los espacios en blanco
CAB: es el conjunto formado por _____________________________
CAC: es el conjunto _________________________________________
CAA: es __________________________________________________
Completa el gráfico para cada uno de los conjuntos anteriores.
26. Diferencia Simétrica
Recordemos que los días que Luis Enrique estudia pero no trabaja son: lunes,
martes y miércoles; asimismo Luis Enrique trabaja pero no estudia los
sábados. Los días lunes, martes, miércoles y sábado; forman el conjunto de los
días que Luis Enrique solamente estudia o solamente trabaja. A este nuevo
conjunto se le conoce como la diferencia simétrica del conjunto de los días que
estudia con el conjunto de los días que trabaja.
Si recordamos definiciones anteriores coincidiremos que existe una relación
entre la disyunción exclusiva de dos proposiciones y la diferencia simétrica de
dos conjuntos.
Definición
La diferencia simétrica de los conjuntos A y B, es el conjunto que se escribe A
Δ B y está formado por los elementos de A o de B, pero no de ambos.
Simbólicamente
A Δ B = { x / x ( A U B ) , x ( A B ) } = ( A U B ) – ( A B )
Esto es
x A Δ B x ( A U B ) , x ( A B )
De donde
x A Δ B x A B V x ( A U B )
De la definición de diferencia simétrica se deduce otra equivalente
A Δ B = ( A – B ) U ( B – A )
Ejemplos:
1. Para los conjuntos
A = { 1, 2, 3, 4 } ; B = { 3, 4, 5, 6 }
Como A U B = { 1, 2 , 3, 4, 5, 6 } y A B = { 3, 4 } , entonces
A Δ B = { 1, 2 , 5 , 6 }
27. Su representación gráfica es:
La región sombreada representa la diferencia simétrica de A y B
2. Para los conjuntos
K = { x R / 2 < x < 8 }
M = { x R / -2 < x < 5 }
Como K U M = { x R / -2 < x < 8 } y K M = { x R / 2 < x < 5 }
entonces K Δ M = { x R / -2 < x 2 v 5 x < 8 }
Gráficamente
********************* [*************
-2 2 5 8
Ahora, halla M Δ K
_____________________________________________________________
y verifica que se cumple K Δ M = M Δ K. Lo que pasaremos a
demostrar.
3. La diferencia simétrica es conmutativa, es decir,
A, B, A Δ B = B Δ A
Recordemos que para probar la igualdad de dos conjuntos, debemos
probar que están mutuamente incluidos, o sea
A Δ B B Δ A y B Δ A A Δ B
Probemos la primera inclusión ( A Δ B B Δ A )
1. Sea x A Δ B hipótesis.
2. luego x ( A U B ) , x ( A B ) definición de diferencia simétrica.
28. 3. pero x ( B U A ) , x ( B A ) propiedad de unión e intersección.
4. de donde x B Δ A definición de diferencia simétrica.
5. de los pasos 1 y 4 decimos que como todo elemento x de A Δ B, también es
elemento de B Δ A, entonces, A Δ B B Δ A definición de inclusión.
A modo de ejercicio y siguiendo de manera inversa, completa la verificación de
la segunda inclusión, B Δ A A Δ B.
1’. Sea x B Δ A hipótesis.
2’. _____________________________ definición de diferencia simétrica.
3’. _____________________________ propiedad de unión e intersección.
.
4’. de donde x ___ Δ ___ definición de __________________
5’.de 1’ y 4’ B Δ A A Δ B. __________________________________
Como se ha verificado la doble inclusión podemos afirmar que
A Δ B = B Δ A
Cardinal o número de elementos de un conjunto
Definición
El cardinal de un conjunto A, que se escribe n ( A ), es el número de elementos
diferentes que tiene el conjunto A.
Ejemplos:
1. Si volvemos a las actividades que realiza Luis Enrique, representados
por los conjuntos E y T:
E = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes}
T = {jueves, viernes, sábado}
entonces n (E) = 5 , N (T) = 3
Como E T = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado}
Luego, n ( E T ) = 6. Es decir, el número de elementos de E T es 6 y no 8
que es el resultado de sumar de 5 con 3. ¿Por qué la diferencia? Porque hay
dos elementos que se repiten en ambos conjuntos, esto es, n(ET) = 2.
Pudiéndose expresar el resultado de la siguiente manera:
n ( E T ) = n ( E ) + n ( T ) – n ( E T ) = 5 + 3 – 2 = 6
29. Lo que podemos escribirlo como una Propiedad: Si A y B son dos
conjuntos cualesquiera, entonces
n ( A B ) = n ( A ) + n ( B ) – n ( A B )
Si n ( A B ) = entonces n ( A B ) = n ( A ) + n ( B )
2. En una biblioteca donde hay 20 personas, de los cuales 10 leen libros
de ciencias; 11 leen obras literarias y 5 leen libros de ciencias y obras literarias
¿Cuántas personas no leen libros de ciencias ni obras literarias?
Como te podrás dar cuenta para resolver el problema se pueden aplicar
diferentes estrategias. Esta vez seguiremos el camino donde apliquemos la
propiedad enunciada en el ejercicio anterior.
Si C es el conjunto de personas que leen ciencias, entonces n (C) = 10
Si L es el conjunto de personas que leen obras literarias, entonces n (L) = 11..
Además n ( C L) = 5 y n ( U ) = 20 , luego:
n ( C L ) = n ( C ) + n ( L ) – n ( C L ) = 10 +11 – 5 = 16
que son las personas que leen ciencias u obras literarias. Por lo tanto, los que
no leen ni ciencias ni obras literarias son
n ( U ) – n ( C L ) = 20 – 16 = 4 personas .
3. Resolver el problema anterior, haciendo uso de diagramas de Venn.
De los datos n(C) = 10 , n (L) = 11, n ( C L) = 5, n ( U ) = 20, se tiene:
10 – 5 = 5 personas que leen ciencias pero no obras literarias, n ( C– L) = 5
11 – 5 = 6 personas que leen obras literarias pero no ciencias, n ( L– C) = 6
Graficamos los diagramas de Venn y coloquemos las cantidades 5 , 5 y 6 en
las regiones correspondientes a los conjuntos C – L , C L y L – C
respectivamente.
30. Puedes observar que del total de 20 lectores, la cantidad de personas
que no se encuentran en uno u otro región son 4, que es el número que da la
respuesta al problema.
La propiedad anterior se puede ampliar para hallar el cardinal de la unión
de tres conjuntos. Si A, B y C son tres conjuntos cualesquiera, entonces:
n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A B) – n(A C) – n(BC) + n (A B C )