Este documento resume los conceptos fundamentales de la síntesis de filtros pasivos, incluyendo el cálculo de los coeficientes de reflexión y transmisión, la relación de inserción, y los métodos para diseñar filtros de Butterworth y Chebyshev. Se proporcionan ejemplos numéricos para ilustrar el diseño de filtros paso bajos de orden 2 de ambos tipos.

1. Departamento de Departamento de
Potencia reflejada
Teoría de la Señal Teoría de la Señal
y Comunicaciones y Comunicaciones
Universidad de Vigo Universidad de Vigo
I1 I2
Rg Filtro +
LC
Vc Rc
Síntesis de circuitos eléctricos y electrónicos Vg
paso
bajo –
Fuente
Ze
2
Vg (j") =R
g
Sesión 8 Potencia máxima a la entrada del filtro: Pm (") = Ze
8R g
2
Síntesis de filtros pasivos (1) Potencia absorbida en la carga: Pc (") =
Vc (j")
2R c
!
Cuadripolo reactivo puro # no absorbe potencia
La potencia que llega a la carga es la que la fuente pone a la entrada del filtro
!
Potencia reflejada: Pr(!) " Pm(!) – Pc(!)
Síntesis de filtr os pasivos (1) 2
Departamento de Departamento de
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Coeficientes de reflexión y transmisión y Comunicaciones
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Síntesis global
2 !1 ! Procedimiento general:
2 Pc (#) j! )$
Coeficiente de transmisión, %(s): "(j#) = $%( 2 2
Pm (#) " Se elige forma para "(j#) — y por ende para T(j")
2 2
Vc (j#) " Se calcula "(j#)
2 2R c 4Rg Vc (j#) 2 4Rg 2 " Se extiende a todo el plano complejo y se halla &(s)
"(j#) = 2
= 2
= T(j#)
! R c V (j#) Rc " Se calcula ! impedancia Ze(s)
la !
Vg (j#) g
(la que presentan en conjunto el filtro y la carga)
!
8Rg " Se desarrolla esta impedancia
# Formas de Foster
!1
2 P (#) 2
"(j#) = 1$ %(j#) = r
)$ 2
Coeficiente de reflexión, &(s): # Formas de Cauer
Pm (#)
(j !
!
$&
Ze (s)# Rg 1± #(s)
"(s) = ± " Z e (s) = R g
Ze (s)+ Rg 1 m #(s)
!
Síntesis de filtr os pasivos (1) 3 Síntesis de filtr os pasivos (1) 4
! !

2. Departamento de Departamento de
Teoría de la Señal
Relación de inserción (1)
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Relación de inserción (2)
Tensión de salida con filtro
Relación de inserción: H(s) = $H(j!)$
Tensión de salida sin filtro
1' 1.41 H
1'
T(s)Vg R g + Rc $T(j!)$ Vg 1.41 F
Rg +
H(s) = = T(s)
Filtro ! Vc Rc Rc Rc Fuente Filtro
Vg – Vg de la
R g + Rc scalada ncia
Fuente rsión e Ve sfere
de tran
función
$H(j!)$
2 2
2 #R g + Rc & (R g + R c )
H(j") = %!
2 2 1' 3.72 H
( T(j") = )(j") $T(j!)$
$ Rc ' 4R gR c 6'
Vg 444 mF
Fuente Filtro
Pérdidas de inserción: PIdB (") = #20log H(j")
!
Síntesis de filtr os pasivos (1) 5 Síntesis de filtr os pasivos (1) 6
!
Departamento de Departamento de
Teoría de la Señal
Diseño de filtros pasivos
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y Comunicaciones
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Filtros pasivos en escalera
Datos ¿Paso bajo? No
Transformar especificaciones ! Las fórmulas de Bossé y Takahasi nos proporcionan los
valores (gm) de los elementos de los filtros prototipo
Sí
paso bajo, normalizados con Rg = 1 ' y !c = 1 rad/s
¿Elíptico?
No Sí
Fórmulas Rg g1 g3
Programas …
explícitas Rc " Rg
Circuito Vg g2 g4 Rc
prototipo Fuente Filtro
¿Paso bajo?
Sí Desnormalizar circuito
(en frecuencia e impedancia)
Rg g2 g4
No Rc ! Rg …
Vg g1 g3 Rc
Desnormalizar circuito
(en impedancia)
Transformar componentes Circuito final
Fuente Filtro
Síntesis de filtr os pasivos (1) 7 Síntesis de filtr os pasivos (1) 8

3. Departamento de Departamento de
Teoría de la Señal
Filtros de Butterworth
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Fórmulas de Bossé
! Elegimos la aproximación de Butterworth: ! Filtro Butterworth prototipo normalizado de orden n:
% u$ (
4R g Filtro + " = (1# K)1/ 2n b u = 1+ " 2 # 2" cos' *
2 2 K Rg
LC & n )
"(j#) = T(j#) = $1 paso
Vc Rc
Rc 1+ # 2n Vg bajo –
$ 2u "1 ' 2x1
Fuente x u = sen& #) g1 =
! % 2n ( 1" #
" En particular, en el origen: !
! 4 xm"1 xm
2 para m = 2, 3, …, n gm =
2 4R g 2 4R g # R c & 4R gR c ! bm"1 gm"1
T(j0) = !
"(j0) =
Rc % R + R ( = (R + R ) 2 = K ) 1
%
Rc $ g (
c' g c
" En el caso particular de que K = 1 (Rg = Rc) las fórmulas de
4R gR c 2 yR
c
Bossé se simplifican y se reducen a la fórmula de Bennet
K= "1 # 0 " (R g $ R c ) Rg !
(R g + R c ) 2 to
( $ 2m "1 '
! C ier g m = 2sen& #) con m = 1,…,n
% 2n (
Síntesis de filtr os pasivos (1) 9 Síntesis de filtr os pasivos (1) 10
!
Departamento de
!
Departamento de
Teoría de la Señal
Ejemplo: paso bajo Butterworth (1)
Teoría de la Señal
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y Comunicaciones
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Ejemplo: paso bajo Butterworth (2)
! Diseñad un filtro pasivo paso bajo Butterworth que se ! Soluciones:
ajuste a la plantilla de la figura y con Rg = Rc = 50 '
50 ' 39.92 mH 39.92 mH
Vg 31.93 µF 50 '
50 ' 79.84 mH
!p = 1 krad/s
Amáx = 1 dB Vg 15.97 µF 15.97 µF 50 '
!s = 3 krad/s
Amín = 20 dB
Síntesis de filtr os pasivos (1) 11 Síntesis de filtr os pasivos (1) 12

4. Departamento de Departamento de
Teoría de la Señal
Filtros de Chebyshev (1)
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Filtros de Chebyshev (2)
! Elegimos la aproximación de Chebyshev: " Cuando el orden es impar:
4R gR c yR
c
4R g 0 " (R g $ R c ) 2
Filtro
2 2 K Rg
LC
+
K= "1 # Rg
"(j#) = T(j#) = 2 2
%1 paso
Vc Rc
(R g + R c ) 2 to
(
Rc 1+ $ C n (#) Vg bajo –
Ci
er
Fuente
" Los máximos de las trasferencias Chebyshev se alcanzan " Cuando el orden es par:
! cuando Cn(!) = 0, por tanto !
4R gR c
K!1 K= 2
(1+ "2 ) # 1 $ 4R gR c "2 # (R g % R c ) 2
(R g + R c )
" En el origen: cumple
No se y R c
# K ( Rg
n impar En particular, con las técnicas descritas en este
4R g 2 4R gR c K % tema, no podrán construirse filtros Chebyshev
T(j0) = = =$
Rc (R g + R c ) 2 1+ "2C 2 (0) % K
n n par ! de orden par en los que Rg y Rc sean iguales
&1+ "2
Síntesis de filtr os pasivos (1) 13 Síntesis de filtr os pasivos (1) 14
! Departamento de Departamento de
Teoría de la Señal
Fórmulas de Takahasi (1)
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y Comunicaciones
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Fórmulas de Takahasi (2)
! Filtro Chebyshev prototipo normalizado de orden n: ! En el caso particular de que K = 1 las fórmulas de
Takahasi se simplifican
1 # 1& 1 $ 1" K '
a = arcsenh% ( ˆ
a = arcsenh& )
n $ "' n % # ( 1 # 1& # u" &
a = arcsenh% ( b u = senh 2 (a) + sen 2 % (
n $ "' $ n '
# u" & # u" &
b u = senh 2 (a) + senh 2 (a) + sen 2 % ( ) 2senh(a)senh(a)cos% (
ˆ ˆ
$ n ' $ n ' $ 2u "1 ' 2 x1
! ! x u = sen& #) g1 =
! % 2n ( ! senh(a)
$ 2u "1 ' 2 x1
x u = sen& #) g1 =
! % 2n ( ˆ
senh(a) " senh(a)
4 xm"1 xm
! para m = 2, 3, …, n! gm =
bm"1 gm"1
4 xm"1 xm
para m = 2, 3, …, n gm =
! ! bm"1 gm"1
Síntesis de filtr os pasivos (1) 15 ! Síntesis de filtr os pasivos (1) 16
!

5. Departamento de Departamento de
Teoría de la Señal
Ejemplo: paso bajo Chebyshev (1)
Teoría de la Señal
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y Comunicaciones
Universidad de Vigo
Ejemplo: paso bajo Chebyshev (2)
! Diseñad un filtro pasivo paso bajo Chebyshev que se ! Soluciones:
ajuste a la plantilla de la figura y con Rg = Rc = 50 '
50 ' 101.2 mH 101.2 mH
Vg 19.88 µF 50 '
50 ' 49.71 mH
!p = 1 krad/s
Amáx = 1 dB Vg 40.47 µF 40.47 µF 50 '
!s = 3 krad/s
Amín = 30 dB
Síntesis de filtr os pasivos (1) 17 Síntesis de filtr os pasivos (1) 18