El documento describe las funciones y sus propiedades. Una función es una relación donde cada elemento del dominio tiene una única imagen en el codominio. Se definen las propiedades de función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva. Se proveen ejemplos para ilustrar estas definiciones y propiedades de las funciones.

1. 2.3 FUNCIONES
Una función es un tipo particular de relación.
Definición N°6: Función
Se llama función de en a una relación de en , que cumple la siguiente
propiedad:
Si es función de en se anota por:
El conjunto se llama dominio y el conjunto se llama codominio.
Si se anota esto es:
Si
Es decir, el dominio de la relación debe ser igual al conjunto de partida ( ), y cada
elemento del conjunto de partida debe tener una única imagen en el codominio.
Si es una función de en se escribe
O bien, si , se escribe , esto es:

2. Esto quiere decir, que cada elemento del conjunto al aplicar la función a ese
elemento obtendremos un elemento en el conjunto , es decir,
obtendremos
Si , se escribe , esto es:
EJEMPLO Nº 18:
a. Sean los conjuntos , y la relación que se
muestra en la figura 2.11, ¿Es la relación una función?
Figura 2.11 Representación Sagital de la Relación
si es función, puesto que cada elemento del conjunto tiene una única imagen
en el conjunto , es decir,
ó
b. Sean los conjuntos y la relación que se muestra
en la figura 2.12. ¿Es la relación una función?

3. Figura 2.12 Representación Sagital de la relación
si es función, puesto que cada elemento del conjunto tiene una única imagen
en el conjunto , es decir,
ó
c. Sean los conjuntos y la relación que se muestra
en la figura 2.13. ¿Es una función?
NO es función, puesto que:
Figura2.13 Representación Sagital de la Relación

4. 2.3.1 DOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN
Definición Nº 7: Dominio de una Función.
El Dominio de una Función, al igual que en una relación son los valores de en
los cuales está definida esta. Además, el dominio de una función está contenido
en el conjunto de partida.
EJEMPLO Nº19:
a. b.
c.
Definición Nº8: Recorrido de una Función
El recorrido de una función, al igual que en una relación son los valores de , los
cuales son obtenidos a partir de , en los cuales está definida ésta.
Además, el recorrido de una función está contenido o puede que sea el mismo
conjunto de llegada o codominio de dicha relación.

5. EJEMPLO Nº20:
Basta en cada una de las funciones despejar el valor de y verificar para que
valores de esta nueva función esta definida.
a. b.
c. d.
e. f.

7. g. Dados
.
La función definida por
. Para todo
Figura 2.14 Gráfica de la función
Y
4
3
2
1
X
1 2 3

8. 2.3.2 FUNCIONES CON DOMINIO RESTRINGIDO
Consideremos la figura 2.15:
Figura 2.15 Representación Sagital de función con
Dominio Restringido
Sea un subconjunto del conjunto y sea la relación del diagrama.
Notemos que:
1. no es función, pues 3 no tiene imagen.
2. es función.(Figura 2.16)
Figura 2.16 Representación Sagital de la
función
Notemos que la relación no es función, ya que el elemento 1 del conjunto A tiene
dos imágenes

9. Sea una función de , entonces . Sin embargo una
relación de puede ser una función definida en un dominio contenido en .
El dominio de la función se llama dominio restringido cuando pero
.
EJEMPLO Nº21:
Sea .
Figura 2.17 Representación Sagital
es una función de , puesto que para elemento del conjunto de partida
existe una imagen en el conjunto .
; ; ;
Figura 2.18 Representación Sagital
es función, puesto que:
; ; ;

10. Figura 2.19 Representación Sagital
Notemos que del ejemplo c, se tiene que:
1. no es función de ya que no tiene imagen en el conjunto de
llegada.
2. es una función con dominio restringido, es función de , puesto que:
;
Figura 2.20 Representación Sagital
no es función de puesto que:
no tiene imagen en el conjunto de llegada.
es función con dominio restringido, es función del conjunto

11. EJEMPLO Nº22:
Analicemos los siguientes gráficos en el plano cartesiano y determinemos cuales
de ellos son el gráfico de una función.
Figura 2.21 Ecuación de la recta
Y
8
6
Notemos que es una función
4
de , puesto que cada
2
X
elemento tiene una, y sólo
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
una imagen
-2
-4
-6
-8
Figura 2.22 Semicircunferencia de
centro y radio
Y
4
3
2 Notemos que es función,
1 puesto que cada elemento de
X
tiene una, y sólo una
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
imagen.
-2
-3
-4

12. Figura 2.23 Gráfica Función
Valor Absoluto
y
8
6
4
2
Notemos que es función,
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
x puesto que cada elemento de
-2
tiene una, y sólo una
-4
imagen.
-6
-8
2.3.3. PROPIEDADES DE FUNCIONES
Ya estudiado el dominio y recorrido de funciones, podemos analizar estas, y
observar algunos tipos especiales que cumplen ciertas propiedades las cuales
veremos a continuación.
a. FUNCION INYECTIVA O 1-1 (UNO A UNO)
Una función es una función inyectiva ó uno a uno si, y sólo si
EJEMPLO Nº23:
a. Sea la función definida por
P.D

13. Por lo tanto es una función inyectiva.
b. Sea una función definida por . ¿ Es inyectiva?
P.D
Vemos que para tener igual imagen no es necesario que sean iguales. Por
ejemplo, si , tenemos que con .
Por lo tanto no es función inyectiva.
Figura 2.24 Representación Sagital
de una Función uno a uno

14. b. FUNCION SOBREYECTIVA O EPIYECTIVA
Una función es Epiyectiva o Sobreyectiva si, y sólo si el recorrido es igual
al conjunto , es decir:
EJEMPLO Nº24:
a. Sea definida por . Demostraremos que es
sobreyectiva.
Sea . Despejemos el valor de en función de .
Sea Definamos , notemos que
Entonces,
Así
Por lo tanto es una función sobreyectiva.
Figura 2.25 Representación Sagital de
Función Sobreyectiva
Notemos que y
Por lo tanto es una función sobreyectiva

15. a. La Gráfica de la Función Cuadrática.
Figura 2.26 Gráfico de la
Función Cuadrada
Y
2
.
1
X
-2 -1 1 2
Sea la función definida por .
Notemos que el .
Por lo tanto es una función sobreyectiva.
2.3.4 RESTRICCIONES PARA QUE UNA FUNCION SEA SOBREYECTIVA
Sea la función definida por:
Para que es la función sobreyectiva debe verificar que

16. Calculemos el recorrido:
Luego
Por lo tanto no es una función sobreyectiva.
Sin embargo podemos hacer que sea una función sobreyectiva, para esto basta
con restringir el conjunto de llegada al recorrido obtenido, esto es:
c. FUNCION BIYECTIVA
Una función de en , es una función biyectiva si, y sólo si es inyectiva y
sobreyectiva simultáneamente.
EJEMPLO Nº25:
a. Sea una función definida por:
Figura 2.27 Representación Sagital de
la Función Biyectiva.

17. Notemos que:
; ;
Por lo tanto es una función inyectiva.
Además,
Por lo tanto es una función sobreyectiva.
Por lo tanto es una función biyectiva.
d. FUNCIONES CRECIENTES
Sea una función real, es una función creciente si, y solo si
Es decir, a medida que el valor de x crece, su imagen también crece. La figura 28,
muestra una función creciente.
e. FUNCIONES DECRECIENTES
Sea una función real, es una función decreciente si, y solo si
Es decir, a medida que el valor de crece, su imagen decrece.
Figura 2.28 Función Figura 2.29 Función
Creciente Decreciente
Y
Y
4
4
3 3
2 2
1 1
X X
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1 -1
-2 -2
-3 -3
-4 -4

18. 2.3.5. FUNCIÓN INVERSA
En matemáticas, si f es una aplicación o función que lleva elementos de I en
-1
elementos de J, en ciertas condiciones será posible definir la función f que
-1
realice el camino de vuelta de J a I. En ese caso diremos que f es la función
aplicación inversa de f.
Una función tiene su correspondiente función inversa , si
es una función biyectiva (inyectiva y sobreyectiva).
Además si es una función biyectiva, entonces también será una función
biyectiva.
EJEMPLO Nº 26:
Figura 2.30 Función Biyectiva
Notemos que es una función, pues:
I.
II.
Por lo tanto es una función inyectiva.
Además, .
Por lo tanto es una función biyectiva.

19. Luego, Figura 2.31 Función Inversa
EJEMPLO Nº27:
a. Sea una función biyectiva definida por
Hacemos , esto es:
Despejamos el valor de ,
Luego, donde este una variable , la cambiamos por la variable , esto es:
Así se define la inversa de la función por
b. Observemos la siguiente gráfica de la función biyectiva
Su función inversa es:

20. Figura 2.32 Representación Gráfica de la función
y la gráfica de su Función Inversa.
Y
4
3
2
1
X
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4

21. 2.3.7 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
En matemática, una función compuesta es una función formada por la
composición o aplicación sucesiva de otras dos funciones.
Formalmente, dadas dos funciones f: X → Y y g: Y → Z, donde la imagen está
contenida en el dominio de g, se define la función composición
(g ο f ): X → Z como (g ο f)(x) = g (f(x)), para todos los elementos x de X.
A ) se le llama composición de f y g. Nótese que se nombra no siguiendo el
orden de escritura, sino el orden en que se aplican las funciones a su argumento.
La función compuesta, existe y puede ser calculada si y solo si ocurre que
En caso de que la condición no se cumpliese, se redefine la función para que
ocurra dicha condición.
EJEMPLO Nº28:
Figura 2.33 Función Compuesta.

22. Figura 2.34 Representación sagital del resultado de
una función compuesta.
b. Si y son las funciones definidas por
Entonces, queda definida de la siguiente manera:
Veamos la siguiente tabla con valores para :
1 5 8
2 10 13
3 15 18
Luego,

23. c. Sea funciones definidas por:
Si entonces
Si , entonces
Entonces busquemos
Notemos que,
i. , entonces
Luego,
ii. , entonces
Luego,