Este documento describe las funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas. Define una función inyectiva como aquella donde cada elemento del rango se asocia con exactamente un elemento del dominio. Una función suprayectiva es aquella donde el rango y el codominio son iguales. Una función biyectiva es a la vez inyectiva y suprayectiva. Se proveen ejemplos para ilustrar cada tipo de función.

1. Cálculo diferencial e integral
UNIDAD I. FUNCIONES Y RELACIONES Inyectiva. Una función es inyectiva si a cada elemento del rango o
imagen se le asocia con uno y solo un elemento del domino.
1.2. Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas
Las funciones pueden clasificarse como inyectivas, suprayectivas y Ejemplo 1: Sea A={1,2,3} B={1,2,3}; f: A→B: f={(1,2), (2,1), (3,3)}
Es decir, gráficamente queda:
biyectivas; para entenderlo debemos recordar las definiciones de
domino, imagen, codomino, variable dependiente y variable
independiente, lo haremos con el siguiente ejemplo: Nótese que cada elemento del
conjunto B recibe solamente una línea.
Sea el conjunto A ={1, 2, 3} ENTONCES ES INYECTIVA.
Le aplicamos la función: f(x) = x + 1
Se obtienen los primeros tres elementos del conjunto B = {2, 3, 4, 5}
Es decir:
Ejemplo 2. Sea A={1,2,3} B={1,2,3}; f: A→B: f={(1,2), (2,1), (3,2)}
A f(x) = x +1 B
(solo se cambio el número indicado en
1 2 rojo) Gráficamente queda:
2 3
3 4 Hay un elemento de B (el número 2) que
5 recibe dos flechas o líneas, por lo tanto
NO ES INYECTIVA.
Al conjunto A se llama dominio de la función.
Al conjunto B se llama codominio de la función.
A los elementos de B obtenidos a partir de f(x) A se les llama imagen Ejemplo 3. Para la siguiente función: f(x) = y = x-1
o rango (en este ejemplo el codomino y la imagen NO tienen los
mismos elementos). A cada elemento del domino se
y = f (x): variable dependiente. le relaciona en la función con
x: variable independiente. UN elemento de la imagen, por
lo tanto ES INYECTIVA.
NOTA: La función del ejemplo anterior también lo podemos indicar en
definiendo los conjuntos A y B; y posteriormente definir la función; es NOTA: El domino y la imagen
decir: son todos los reales:
A = {1, 2, 3} D=ℝ
B = {2, 3, 4, 5} I=ℝ
f = {(1,2), (2,3), (3,4)}
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 1

2. Cálculo diferencial e integral
Ejemplo 4. Si la función fuera f(x) = x2. Estaríamos graficando una Funciones suprayectivas. Cuando el rango y el codomino son iguales
parábola, como la que se muestra a continuación: la función es suprayectiva.
Hay elementos en el domino que Ejemplo 5: Sean los conjuntos:
se le asigna el mismo valor de la A = {1,2,3} y
imagen; por ejemplo la pareja de B = {2,4}
valores P1(2,4) tiene el mismo y la función
valor de la imagen 4; que el f = {(1,2), (2,2), (3,4)}
punto P2(-2,4). Por lo tanto la Gráficamente queda:
función NO ES INYECTIVA.
Al conjunto B = {2,4} se le llama
NOTA: Ahora el domino y la codominio.
imagen son diferentes: El rango de la función también es I = {2,4}
D=ℝ
I = [0, +∞) Como el codominio y el rango son iguales la función es
SUPRAYECTIVA
Ejemplo 6. Sean los mismos
conjuntos anteriores PERO con la
función:
f = {(1,2), (2,2), (3,2)} Gráficamente
queda de la siguiente forma:
El codomino B = {2, 4}
El rango o imagen es: I = {2}
Como el codominio y el rango NO son iguales la función es NO ES
SUPRAYECTIVA
En términos de funciones debe ocuparse todo el eje Y, es decir, la
imagen deben ser todos los reales.
Hacer la pregunta a los estudiantes ¿Qué ocurre con la función y = 1/x?
¿será suprayectiva?
Respuesta oculta: NO LO ES…
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 2

3. Cálculo diferencial e integral
Funciones Biyectivas. Para que una función sea biyectiva se requiere Práctica en clase 1.2.
que sean al mismo tiempo inyectiva y suprayectiva. I.- Para los incisos d), e) y f), indicar si las funciones son inyectivas,
suprayectivas, o biyectivas:
Ejemplo 7. La función f(x)=y = x-1 es al mismo tiempo, inyectiva y
suprayectiva; por lo tanto es biyectiva.
II.- Indicar con una X si la función es inyectiva, suprayectiva o
biyectiva, se muestran dos ejemplos:
La función Inyectiva Suprayectiva Biyectiva
Ejemplo 1: y= x-1 X X X
Ejemplo 2: y = 1/x X
y = -2x + 1
y= x3 - 2
AYUDA EN LÍNEA: Descarga el software GRAPH (si no y= x
lo has hecho) y experimenta las gráficas que has practicado
http://www.padowan.dk/graph/Download.php Elabore una PRÁCTICA DE EJERCICIOS siguiendo las rubricas
correspondientes: http://marcelrzm.comxa.com/Rubricas/Rubricas.htm
Un libro del tema que recomiendo se encuentra en google Puede entregar impreso el trabajo o enviar el documento final por
books, este es el link directo: correo electrónico a las siguientes direcciones:
Marco A Flores Meyer (2007); Temas selectos de marcelrzm@hotmail.com; marcelrzm@yahoo.com.mx y
matemáticas, Nivel superior y medio superior. Editorial marcelrz2002@yahoo.com.mx
Progreso. Delegación Cuahutemoc Mexico DF.
http://books.google.com.mx/books?id=vCMIOfrbYrAC&pg=PA83&dq=Funciones+inyectivas,+suprayectivas+y+biyectivas&ei=AiCHSvDONqbKyQTEhO2fDg#v=onepage&q=&f=false
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 3