El documento explica las funciones booleanas, que son funciones matemáticas que toman valores booleanos (0 o 1) como entrada y salida. Se definen funciones de una y dos variables como ejemplos, y se explica que para n variables de entrada hay 2n posibles combinaciones de salida. También se introducen las tablas de verdad como otra forma de representar funciones booleanas, y cómo obtener expresiones booleanas a partir de tablas de verdad en forma canónica de sumas de productos (minitérminos) o productos de sumas (máxiterminos).

1. Funciones booleanas
Hasta ahora hemos visto en qué operaciones se basa el Algebra
de Boole y algunas de sus propiedades. Para aprender a trabajar
con este nuevo tipo de expresiones booleanas es necesario
practicar, por eso se recomienda que se hagan los ejercicios
propuestos. Utilizando expresiones booleanas, vamos a definir
Funciones booleanas, que son exactamente iguales a las funciones
matemáticas a las que estamos habituados pero con la
particularidad de que las variables son booleanas y que los valores
devueltos por la función también son booleanos, es decir, una
función booleana sólo puede tomar los valores ’0’ o ’1’. Para ello
hay que tener en mente que trabajaremos con variables booleanas
y que por tanto usaremos las operaciones + y . del Algebra de
Boole, y que como ya sabemos, nada tienen que ver con las
operaciones suma y producto a las que estamos habituados.
Por ejemplo, sea la siguiente función booleana de una variable:
_
F(a) = a
El valor devuelto por la función es el negado de la variable. Como
la variable a es booleana, sólo puede tomar los valores ’0’ y ’1’.
Los valores que la función F toma son:
F (0)=1 F (1)= 0
Vamos a definir una función un poco más compleja, usando dos
variables booleanas, a y b:
_
F (a, b) = (a + b). b
¿Cuánto vale F (0,0)? , sólo hay que sustituir en la función los
valores de a y b por ’0’, obteniéndose: F (0,0) = (0+0).1 = 0.1 = 0

2. Fijándonos en esta función tan sencilla, podemos darnos cuenta
de varias cosas: 1. Puesto que las variables de entrada a y b, sólo
pueden tomar los valores ’0’ y ’1’, hay 4 casos distintos: a) a=0, b=0
b) a=0, b=1 c) a=1, b=0 d) a=1, b=1 y en esos casos
F (0,0) = 0 F (0,1) = 0 F (1,0) = 1 Y F (1,1) = 1
Como se puede observar si tenemos una variable obtendremos
un solo valor de la función, si tenemos dos variables podemos
hacer cuatro combinaciones de las mismas y obtendremos cuatro
posible resultados para la función. O sea que si tenemos n
variables podemos tener 2n
posibles combinaciones y obtendremos
la misma cantidad de resultados.
Funciones booleanas y tablas de verdad
Existen dos maneras de representar una función booleana. Una
ya la conocemos, y es utilizando expresiones booleanas, y hemos
visto cómo podemos obtener todos los valores de esta función.
Existe otra manera de especificar una función booleana y es
utilizando las tablas de verdad. En ellas lo que estamos
representando es el valor que debe tomar la función cuando las
variables de entrada toman todos los valores posibles. Así por
ejemplo yo puedo definir una función G de la siguiente manera:
a b G
0 0 0
0 1 1
1 0 0
1 1 1

3. ¿Cuánto vale G si a=0 y b=1? Miramos la tabla y vemos que G
vale 1. Esta forma de definir funciones booleanas es muy sencilla. El
número de filas de la tabla de verdad depende del número de
variables que usemos y es igual al número de combinaciones, o sea
n = 2 número de filas = 22
= 4
¿Cuántas filas tendría la tabla de la verdad de una función con 3
variables?
¿Cuántas la de una con 4 variables?
Obtención de una expresión de una función partiendo de una
tabla de verdad
Cuando trabajamos con circuitos Combinacionales, es muy
normal que tengamos una tabla de verdad a partir de la cual
tengamos que hallar su expresión booleana. En principio
hallaremos la función en su forma canónica, en la cual en todos sus
términos aparecen todas las variable las cuales se podran ir
simplificando mediante la aplicación de los axiomas y teoremas del
algebra de Boole o el teorema de Karnaugh, el cual se explicara
posteriormente. Existen dos formas canónicas una primera forma
integrada por sumas de productos a los cuales llamaremos
Miniterminos, y que por ser una forma canónica, en todos sus
términos se encuentran todas sus variables. Un ejemplo de una
función de 3 variables, expresada en la primera forma canónica es
el siguiente:
_ _ _ _
F = a. b. c + a. b. c + a. b. c
Podemos observar que está constituida por la suma de tres
términos y en cada uno de los términos están todas las variables.

4. Para obtener esta forma partiendo de la tabla de la verdad nos
fijaremos solo en aquellas combinaciones de variables donde la
función resulte en un “1” lógico. Y para cada fila aplicamos la
siguiente regla, Si la variable tiene un valor de “0”, escribiremos la
variable negada, si tiene un valor de “1” escribiremos la variable sin
negar.
Para visualizar mejor esta operación hagamos un ejemplo:
Dada la siguiente tabla de la verdad de una función de tres
variables hallemos la forma canónica expresada en sus
Miniterminos.
a b c f
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
Se puede observar que existen 5 Miniterminos los cuales son
aquellos resultados donde la función vale “1”. De acuerdo con lo
indicado con anterioridad
_ _ _ _ _ _ _ _ _
f = a. b. c + a. b. c + a. b. c + a. b. c + a. b. c
La segunda forma canónica está integrada por un producto de
sumas, a las cuales llamaremos Maxiterminos y en todos sus
términos aparecen todas las variables, negadas o no.
Por ejemplo:

5. _ _ _ _ _ _ _
f = ( a + b + c ). ( a + b + c ). ( a + b+ c )
Para obtener esta segunda forma partiendo de la tabla de la
verdad nos fijaremos solo en aquellas combinaciones de variables
donde la función resulte en un “0” lógico. Y para cada fila
aplicamos la siguiente regla, Si la variable tiene un valor de “0”,
escribiremos la variable sin negar, si tiene un valor de “1”
escribiremos la variable negada.
Para visualizar mejor esta operación hagamos un ejemplo:
Dada la siguiente tabla de la verdad de una función de tres
variables hallemos la forma canónica expresada en sus
Maxiterminos.
a b c f
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
Se puede observar que existen 3 Maxiterminos los cuales son
aquellos resultados donde la función vale “0”. De acuerdo con lo
indicado con anterioridad
_ _ _ _ _ _
f = ( a + b + c ) . ( a + b + c) . ( a + b + c )

6. Si queremos dibujar el circuito lógico de la función debemos
utilizar para el caso de los Miniterminos compuertas NOT,
compuertas AND y al final una compuerta OR.
Si queremos dibujar el circuito lógico de la función debemos
utilizar para el caso de los Maxiterminos compuertas NOT,
compuertas OR y al final una compuerta AND.