Este documento presenta varios métodos de integración numérica como la regla del trapecio, la regla de Simpson y sus extensiones. Explica las fórmulas matemáticas detrás de cada método y provee ejemplos para ilustrar cómo aplicarlos al cálculo aproximado de integrales definidas.

1. INTEGRACIÓN NUMÉRICA Prof. Alexandra Noguera UNEFM Departamento de Física y Matemática

2. Fórmulas de Newton-Cotes INTRODUCCION METODOS DE INTEGRACIÓN Método de Integración de Romberg Trabajo de Aplicación Sumario Departamento de Física y Matemática

3. La integración numérica es una herramienta esencial que se usa en la ciencia y en la ingeniería para obtener valores aproximados de integrales definidas que no pueden calcularse analíticamente. INTRODUCCION De acuerdo con la definición del diccionario, integrar significa “llevar junto, como partes, en un todo, unir, indicar la cantidad total…” Departamento de Física y Matemática Pero… QUÉ ES INTEGRAR?

4. Matemáticamente la integración se representa por: INTRODUCCION que se tiene para la integral de la función f (x) con respecto a la variable independiente x, evaluada en los límites x=a y x=b Como lo sugiere la definición del diccionario, el “significado” de la Ec 1 es el valor total o sumatoria de f (x) sobre el rango x=a a x=b . De hecho, el símbolo es una letra S estilizada que intenta representar la conexión cercana entre la integración y la sumatoria. Departamento de Física y Matemática Ec 1

5. INTRODUCCION Observe que el proceso representado en la Ec 1 y en la Fig 1 es llamado integración definida Departamento de Física y Matemática Fig 1 a b

6. INTRODUCCION METODOS de INTEGRACIÓN NUMÉRICA Métodos de Integración Numérica Fórmulas de Integración De Newton-Cotes Integración De Romberg Regla Trapezoidal Regla de Simpson Método de Extrapolación De Richadson Regla 1/3 de Simpson Regla 3/8 de Simpson Departamento de Física y Matemática

7. FORMULAS DE NEWTON-COTES Las fórmulas de integración de Newton-Cotes son los esquemas de integración numérica más comunes. Se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o datos tabulados con una función aproximada que sea fácil de integrar: donde f n (x) es igual a un polinomio de la forma: donde n es el orden del polinomio. Departamento de Física y Matemática Ec 2 Ec 3

8. FORMULAS DE NEWTON-COTES Por ejemplo, en la Fig. 2 se usa el polinomio de primer orden (una línea recta) como una aproximación. Mientras que en la Fig. 3 se emplea una parábola para el mismo propósito. Departamento de Física y Matemática Fig 2 Fig 3

9. FORMULAS DE NEWTON-COTES Por ejemplo, en la Fig. 4 se usan tres segmentos de línea recta para aproximar la integral. Pueden utilizarse polinomios de orden superior para los mismos propósitos. Fig 4 Departamento de Física y Matemática

10. Base legal LA REGLA DEL TRAPECIO O TRAPEZOIDAL La Regla Trapezoidal es la primera de las fórmulas de integración cerrada de Newton-Cotes. Corresponde al caso donde el polinomio de la Ec 2 es de primer orden. Geométricamente, la regla del trapecio es equivalente a aproximar el área del trapecio bajo la línea recta que conecta a f (a) y f (b) como se muestra en Fig. 7 . Departamento de Física y Matemática Ec 2 Pero… QUÉ SIGNIFICA LA REGLA TRAPEZOIDAL? Fig. 7

11. Base legal LA REGLA DEL TRAPECIO O TRAPEZOIDAL Entonces, el resultado de la integración es lo que se denomina regla trapezoidal , resumida en la siguiente ecuación; Geométricamente, la regla del trapecio es equivalente a aproximar el área del trapecio bajo la línea recta que conecta a f (a) y f (b) como se muestra en Fig. 7 . Departamento de Física y Matemática Ec 5 Pero… QUÉ SIGNIFICA LA REGLA TRAPEZOIDAL? Fig. 7

12. Base legal LA REGLA DEL TRAPECIO O TRAPEZOIDAL Recuerde, que la fórmula para calcular el área de un trapezoide es la altura por el promedio de las bases, tal y como se muestra en la Fig. 8 . En la Fig. 8 se muestra la fórmula para calcular el área de un trapezoide (altura por el promedio de las bases). En la Fig. 9 para la regla trapezoidal el concepto es el mismo pero ahora el trapezoide está sobre su lado Fig. 8 Fig. 9 Departamento de Física y Matemática

13. EJERCICIOS DE APLICACIÓN Use la Regla del Trapecio para aproximar los valores de las siguientes integrales: Departamento de Física y Matemática a) b)

14. Base legal APLICACIÓN MULTIPLE DE LA REGLA DEL TRAPECIO Aplicando la Regla del Trapecio a cada una de las integrales, obtenemos: Departamento de Física y Matemática La Regla del Trapecio se puede ampliar si subdividimos el intervalo [a,b] en n subintervalos , todos de la misma longitud Sea la partición que se forma al hacer dicha subdivisión. Usando las propiedades de la integral, tenemos que:

15. Base legal APLICACIÓN MULTIPLE DE LA REGLA DEL TRAPECIO Sustituyendo el valor de h y haciendo uso de la notación sigma (sumatoria), tenemos finalmente: Esta es la regla del trapecio para n subintervalos . Obviamente, esperamos que entre más subintervalos usemos, mejor sea la aproximación a la integral. Ahora bien, ya que los subintervalos tienen la misma longitud h , tenemos que: Departamento de Física y Matemática Ec. 6

16. Base legal APLICACIÓN MULTIPLE DE LA REGLA DEL TRAPECIO Ilustración de la Regla Trapezoidal de aplicación múltiple: a) dos segmentos, b) tres segmentos, c) cuatro segmentos y d) cinco segmentos Fig. 10 Fig. 11 Departamento de Física y Matemática

17. EJERCICIOS DE APLICACIÓN Use la Regla del Trapecio para aproximar el valor de la siguiente integral: Departamento de Física y Matemática Si subdividimos en 5 intervalos

18. TRABAJO DE APLICACIÓN Haciendo uso de algunos Asistentes Matemáticos (por ejemplo, Maple, Matlab, TOOLKIT, entre otros de software privativo, y las herramientas Scilab, Octave y SIPI, entre otras (bajo software libre) es posible discernir sobre las cualidades y defectos de cada uno de los métodos de integración numérica . Los cursantes de esta Unidad Curricular (como futuros profesionales del área de informática con conocimientos matemáticos) deberán indagar autodidácticamente algunos de estas herramientas computarizadas y contrarrestar su uso con lo aprendido en el aula. Seleccione un asistente matemático, explórelo, indague sobre su uso en los métodos de integración numérica. Seleccione una integral de las ofrecidas en la Guía Instruccional y aproxime su valor haciendo uso del asistente matemático seleccionado para ello los métodos de integración numérica estudiados en clase. ENTREGA Y DEFENSA: LUNES 15 DE JUNIO DE 2009 Departamento de Física y Matemática

19. PARA LA PRÓXIMA CLASE ESTUDIAR LA REGLA DE SIMPSON Regla de Simpson Regla 1/3 de Simpson Regla 3/8 de Simpson Departamento de Física y Matemática

20. Base legal REGLA DE SIMPSON Además de aplicar la Regla Trapezoidal con segmentación más fina, otra forma de obtener una estimación más exacta de la integral es con el uso de polinomios de orden superior para conectar los puntos. Por ejemplo, si hay un punto extra a la mitad del camino f (a) y f (b), los tres puntos se pueden conectar en una parábola, tal y como se muestra en la Fig. 12 . Si hay dos puntos igualmente espaciados entre f (a) y f (b), los cuatro puntos se pueden conectar con un polinomio de tercer orden, tal y como se muestra en la Fig. 13 . Las fórmulas que resultan al tomar las integrales bajo estos polinomios son conocidas como Regla de Simpson . Departamento de Física y Matemática Fig. 12 Fig. 13

21. Base legal REGLA DE SIMPSON La Regla de Simpson 1/3 resuelta cuando una interpolación polinomial de segundo orden es sustituida en la ecuación: Si a y b se designan como x o y x 2 y f 2 (x) es representada por un polinomio de Lagrange de segundo orden y la integral se transforma en: Después de la integración y manejo algebraico, resulta la siguiente fórmula: Departamento de Física y Matemática Ec. 7

22. Base legal REGLA DE SIMPSON Esta ecuación es conocida como Regla de Simpson de 1/3. Es la segunda fórmula de integración cerrada de Newton-Cotes. La especificación “1/3” surge del hecho de que h está dividida entre 3 en la ecuación anterior. Recuerde que x 1 es el punto medio entre a y b. Departamento de Física y Matemática Ec. 8

23. EJERCICIOS DE APLICACIÓN Use la Regla de Simpson de 1/3 para aproximar el valor de las siguientes integrales: Departamento de Física y Matemática a) b)

24. Base legal REGLA DE SIMPSON 1/3 DE APLICACIÓN MÚLTIPLE Al sustituir la Regla de Simpson de 1/3 a cada una de las integrales, obtenemos: Departamento de Física y Matemática La Regla de Simpson se puede ampliar si subdividimos el intervalo [a,b] en n subintervalos , todos de la misma longitud Sea la partición que se forma al hacer dicha subdivisión y sea el conjunto de los untos medios de los subintervalos. Usando las propiedades de la integral, tenemos que:

25. Base legal REGLA DE SIMPSON DE APLICACIÓN MÚLTIPLE Fig. 14: Representación gráfica de la Regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple. Observe que el método se puede emplear sólo si el número de segmentos es par Departamento de Física y Matemática Combinando términos y sustituyendo nos queda: Ec. 9

26. EJERCICIOS DE APLICACIÓN Use la Regla de Simpson de 1/3 para aproximar el valor de la siguiente integral y sibdividiendo en 5 intervalos a) Use la Regla de Simpson de 1/3 para aproximar el valor de la siguiente integral y sibdividiendo en 4 intervalos b) Departamento de Física y Matemática

27. Base legal REGLA DE SIMPSON de 3/8 CLASE 3 Departamento de Física y Matemática

28. Base legal REGLA DE SIMPSON de 3/8 En una manera similar a la derivación de la Regla Trapezoidal y Regla de Simpson 1/3, un polinomio de Lagrange de tercer orden se puede ajustar a cuatro puntos e integrarse: Para obtener: Departamento de Física y Matemática Ec. 10 Donde . Esta ecuación se llama Regla e Simpson de 3/8 debido a que h se multiplica por 3/8. NOTE QUE x 1 Y x 2 SON LOS PUNTOS QUE DIVIDEN EN TRES PARTES IGUALES EL INTERVALO [a,b]

29. Base legal REGLA DE SIMPSON de 3/8 Ésta es la tercera fórmula de integración cerrada de Newton-Cotes. La Regla de Simpson 3/8 se puede expresar también de la forma: Departamento de Física y Matemática Ec. 11 Fig. 15: Ilustración de cómo se puede usar en conjunto las Reglas de Simpson de 1/3 y 3/8 para menejar aplicaciones múltiples con números nones de intervalos.

30. EJERCICIOS DE APLICACIÓN Aproximar la siguiente integral usando la Regla de Simpson de 3/8: Departamento de Física y Matemática a)

31. Base legal REGLA DE SIMPSON de 3/8 MÚLTIPLE Al igual que en los casos anteriores, la Regla de Simpson de 3/8 se puede extender si subdividimos el intervalo [a.b] en n intervalos de la misma longitud h . Aplicado la Regla de Simpson de 3/8 en cada uno de los intervalos, tenemos: Departamento de Física y Matemática Sea la partición determinada de esta forma. Cada subintervalo lo dividimos en tres partes iguales, y sean y los puntos determinados así:

32. EJERCICIOS DE APLICACIÓN Aproximar la siguiente integral usando la Regla de Simpson de 3/8, subdividiendo en 3 intervalos: Departamento de Física y Matemática a)

33. RESUMEN DE FÓRMULAS REGLA DEL TRAPECIO SIMPLE REGLA DEL TRAPECIO COMPUESTA REGLA DE SIMPSON DE 1/3 SIMPLE REGLA DE SIMPSON DE 1/3 COMPUESTA Departamento de Física y Matemática

34. TALLER CALCULAR EL VALOR DE LA INTEGRAL: HACIENDO USO DE: REGLA DEL TRAPECIO SIMPLE REGLA DEL TRAPACIO COMPUESTO EN n=3 REGLA DE SIMPSON DE 1/3 SIMPLE REGLA DE SIMPSON DE 1/3 COMPUESTO CON n=3 REGLA DE SIMPSON DE 3/8 SIMPLE Departamento de Física y Matemática