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Grafo Bipartito
                  Contenido
1. Grafo.

2. Que se conoce como bipartito.

3. Grafo bipartito.

4. Grafo bipartito completo.
1. Grafo
    Un grafo G es un par G=(V, E) donde V es un conjunto finito de elementos
llamados vértices o nodos y E un conjunto de pares no ordenados de vértices
que se denominan aristas o arcos.


      Propiedades
    • El número de vértices de un grafo G, es el orden del grafo.
    • El número de aristas de un grafo G, es su tamaño.
    • Dos aristas son independientes si no tienen vértices en común.
    • Si una arista relaciona dos vértices (u,v) se dicen que u y v son vértices.
    adyacentes.
    • Un lazo o bucle es una arista que relaciona al mismo V.
2. Que se conoce como bipartito
    Se conoce como bipartito A todo aquello que esta conformado por dos parte o
dos participantes.


    3. Grafo Bipartito
    Definición 1:
    Sea un grafo G y sea su conjunto de vértices que puede ser expresado como
la unión disjunta de dos subconjuntos de vértices V1 y V2 de forma que cada arista
de G une un vértice de V1 con otro de V2, entonces se dice que G es un grafo
bipartito. Se cumple que V1∩V2=0, V1UV2=V. Un grafo bipartito en el cual todos
los elementos de V1 están unidos con todos los elementos de V2 se denomina
grafo bipartito completo.


                            Figura 1 : Grafo Bipartito
3.1 Grafo bipartito
    Definición 2:
    Es aquel grafo que puede ser “dividido en dos partes” de tal forma que una de
las partes del mismo tiene aristas en las que exclusivamente se conecta a los
vértices de la otra parte. Un ejemplo puede ser el siguiente: En este caso tenemos
las aristas A-E, B-D y C-E. Se podría dividir el grafo en dos partes, la primera parte
contendría a los vértices A, B y C y la otra, a los vértices D y E. El grafo es bipartito,
ya que no existen aristas entre E y D ni tampoco entre A, B y C.




                             Figura 2 :Grafo bipartito
3.2 Grafo Bipartito
    Definición 3:
    Se dice que un grafo simple G = (V,E) es bipartito si el conjunto de vértices V
se puede dividir en dos conjuntos disjuntos V1, V2, (V1 ∪ V2 = V, V1 ∩ V2 = ∅, de
tal manera que toda arista e ∈ E conecta un vértice de V1 con un vértice de V2.


    Esto significa que el subgrafo completo generado por V1 es libre de lados;
asimismo el subgrafo completo generado por V2.
                                                            Prof. José Luis Chacón


    Teorema : Un grafo G es bipartido si y solo si no contiene ciclos de longitud
impar.
    Corolario: Un grafo es bipartido si    y solo si es 2-coloreable, es decir, su
numero cromático es 2.
En teoría de grafo, un grafo bipartito es aquel cuyos vértices se pueden
separar en dos conjuntos disjuntos V1 y V2. En donde las aristas unen los vértices
de un conjunto con los vértices del otro conjunto.


• V1 ∪ V2 = V                                              Como nos damos
• V1 ∩ V2 = ∅                                              cuenta que este es un
                                                           grafo bipartito, fácil
     Ejemplo:                                              verificamos que el
Conjunto 1:(A-B-C)                                         conjunto 1 y 2 tenga
                                                           una partición entre
Conjunto2:(1-2-3-4)                                        ambos.
A1 A2 A3 A4
                                                           Como sabemos que el
B1 B2 B4                                                   grafo no es bipartito si
C1 C3 C4                                                   existiera una unión
                                                           entre ambos vértice
Este es un grafo bipartito.   Figura 3 : Grafo bipartito   de un mismo conjunto.
4. Grafo bipartito completo
    Es igual que el grafo bipartito, la diferencia es que cada vértice perteneciente a
una subdivisión (parte) del grafo completo está conectada a todos los vértices de la
otra subdivisión del grafo. Por ejemplo: En este caso los vértices A, B y C
(Subdivisión 1) están conectados con los vértices D y E (Subdivisión 2), de tal
forma que cada uno de los vértices pertenecientes a ambas subdivisiones se
encuentra conectado al resto delos vértices de la otra subdivisión.




                               Figura 4 : Grafo bipartito
Grafo bipartito completo
    Mucha gente se complica, queriendo saber cuando un grafo bipartito es
completo le mostrare una forma fácil    y sencilla de saberlo. En el siguiente
ejemplo tenemos 2 conjuntos unos de ellos llamado servicios y el otro casas.
    Servicios : agua, luz, gas.
    Casas : 1, 2, 3.
    Para que este sea completo cada servicio debería de estar unido con cada
una de las casas como se muestra en la imagen de abajo.
    Agua-1 ,2,3.
    Luz-1,2,3.
                                                    Como este grafo puede
    Gas-1,2,3.                                      Dejar de ser bipartito,
    1-agua,luz,gas.                                 Si unimos agua con luz
                                                    Y 2 con 3 automáticamente
    2-agua,luz,gas.                                 Este deja de ser bipartito
    3-agua,luz,gas.
El grafo bipartito completo se denomina con la letra Km,n o sea un grafo que
une dos conjuntos.
    Ejemplos:
         K1,1                        K1,2                         K2,4




    Esta claro que podemos tener el total de vértices y aristas de la siguiente
forma.
                                V=(m+n) E=(m*n)
    K1,1                    K1,2                K2,4
    V=(1+1) =2                     V=(1+2) =3                  V=(2+4) = 6
    E=(1*1) =1                     E=(1*2) =2                   E=(2*4) = 8
Algunos de lo temas que fueron           plasmado en esta presentación          se
recopilaron de distintas fuentes, pero para mejor entendimiento se analizo y se
definió cada uno de estos, los cuales fueron acerca de los grafo bipartito, a los
cuales le colocamos imágenes de grafos diseñadas por nosotros mismos. pero
antes de haberle comenzado hablando sobre grafo bipartito le hicimos una pequeña
introducción de lo que era grafo y del significado de bipartito todo esto para tener un
mayor entendimiento de la información que le presentamos, gracias y esperamos
hallan entendido.


      INTEGRANTES:                                                  Asignatura:
                                                                 Teoría de grafo
    María Valdivia    CI:_P1504188                                   Carrera:
    Dukakis muñoz CI:_20286789                                 Ingeniería de Sistemas
                                                                        Año:
                                                                        2012

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Grafo bipartito

  • 1. Grafo Bipartito Contenido 1. Grafo. 2. Que se conoce como bipartito. 3. Grafo bipartito. 4. Grafo bipartito completo.
  • 2. 1. Grafo Un grafo G es un par G=(V, E) donde V es un conjunto finito de elementos llamados vértices o nodos y E un conjunto de pares no ordenados de vértices que se denominan aristas o arcos. Propiedades • El número de vértices de un grafo G, es el orden del grafo. • El número de aristas de un grafo G, es su tamaño. • Dos aristas son independientes si no tienen vértices en común. • Si una arista relaciona dos vértices (u,v) se dicen que u y v son vértices. adyacentes. • Un lazo o bucle es una arista que relaciona al mismo V.
  • 3. 2. Que se conoce como bipartito Se conoce como bipartito A todo aquello que esta conformado por dos parte o dos participantes. 3. Grafo Bipartito Definición 1: Sea un grafo G y sea su conjunto de vértices que puede ser expresado como la unión disjunta de dos subconjuntos de vértices V1 y V2 de forma que cada arista de G une un vértice de V1 con otro de V2, entonces se dice que G es un grafo bipartito. Se cumple que V1∩V2=0, V1UV2=V. Un grafo bipartito en el cual todos los elementos de V1 están unidos con todos los elementos de V2 se denomina grafo bipartito completo. Figura 1 : Grafo Bipartito
  • 4. 3.1 Grafo bipartito Definición 2: Es aquel grafo que puede ser “dividido en dos partes” de tal forma que una de las partes del mismo tiene aristas en las que exclusivamente se conecta a los vértices de la otra parte. Un ejemplo puede ser el siguiente: En este caso tenemos las aristas A-E, B-D y C-E. Se podría dividir el grafo en dos partes, la primera parte contendría a los vértices A, B y C y la otra, a los vértices D y E. El grafo es bipartito, ya que no existen aristas entre E y D ni tampoco entre A, B y C. Figura 2 :Grafo bipartito
  • 5. 3.2 Grafo Bipartito Definición 3: Se dice que un grafo simple G = (V,E) es bipartito si el conjunto de vértices V se puede dividir en dos conjuntos disjuntos V1, V2, (V1 ∪ V2 = V, V1 ∩ V2 = ∅, de tal manera que toda arista e ∈ E conecta un vértice de V1 con un vértice de V2. Esto significa que el subgrafo completo generado por V1 es libre de lados; asimismo el subgrafo completo generado por V2. Prof. José Luis Chacón Teorema : Un grafo G es bipartido si y solo si no contiene ciclos de longitud impar. Corolario: Un grafo es bipartido si y solo si es 2-coloreable, es decir, su numero cromático es 2.
  • 6. En teoría de grafo, un grafo bipartito es aquel cuyos vértices se pueden separar en dos conjuntos disjuntos V1 y V2. En donde las aristas unen los vértices de un conjunto con los vértices del otro conjunto. • V1 ∪ V2 = V Como nos damos • V1 ∩ V2 = ∅ cuenta que este es un grafo bipartito, fácil Ejemplo: verificamos que el Conjunto 1:(A-B-C) conjunto 1 y 2 tenga una partición entre Conjunto2:(1-2-3-4) ambos. A1 A2 A3 A4 Como sabemos que el B1 B2 B4 grafo no es bipartito si C1 C3 C4 existiera una unión entre ambos vértice Este es un grafo bipartito. Figura 3 : Grafo bipartito de un mismo conjunto.
  • 7. 4. Grafo bipartito completo Es igual que el grafo bipartito, la diferencia es que cada vértice perteneciente a una subdivisión (parte) del grafo completo está conectada a todos los vértices de la otra subdivisión del grafo. Por ejemplo: En este caso los vértices A, B y C (Subdivisión 1) están conectados con los vértices D y E (Subdivisión 2), de tal forma que cada uno de los vértices pertenecientes a ambas subdivisiones se encuentra conectado al resto delos vértices de la otra subdivisión. Figura 4 : Grafo bipartito
  • 8. Grafo bipartito completo Mucha gente se complica, queriendo saber cuando un grafo bipartito es completo le mostrare una forma fácil y sencilla de saberlo. En el siguiente ejemplo tenemos 2 conjuntos unos de ellos llamado servicios y el otro casas. Servicios : agua, luz, gas. Casas : 1, 2, 3. Para que este sea completo cada servicio debería de estar unido con cada una de las casas como se muestra en la imagen de abajo. Agua-1 ,2,3. Luz-1,2,3. Como este grafo puede Gas-1,2,3. Dejar de ser bipartito, 1-agua,luz,gas. Si unimos agua con luz Y 2 con 3 automáticamente 2-agua,luz,gas. Este deja de ser bipartito 3-agua,luz,gas.
  • 9. El grafo bipartito completo se denomina con la letra Km,n o sea un grafo que une dos conjuntos. Ejemplos: K1,1 K1,2 K2,4 Esta claro que podemos tener el total de vértices y aristas de la siguiente forma. V=(m+n) E=(m*n) K1,1 K1,2 K2,4 V=(1+1) =2 V=(1+2) =3 V=(2+4) = 6 E=(1*1) =1 E=(1*2) =2 E=(2*4) = 8
  • 10. Algunos de lo temas que fueron plasmado en esta presentación se recopilaron de distintas fuentes, pero para mejor entendimiento se analizo y se definió cada uno de estos, los cuales fueron acerca de los grafo bipartito, a los cuales le colocamos imágenes de grafos diseñadas por nosotros mismos. pero antes de haberle comenzado hablando sobre grafo bipartito le hicimos una pequeña introducción de lo que era grafo y del significado de bipartito todo esto para tener un mayor entendimiento de la información que le presentamos, gracias y esperamos hallan entendido. INTEGRANTES: Asignatura: Teoría de grafo María Valdivia CI:_P1504188 Carrera: Dukakis muñoz CI:_20286789 Ingeniería de Sistemas Año: 2012