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FUNCIONES ORTOGONALES Y SERIES DE FOURIER
INTRODUCCION
El lector ha estudiado ya, en el cálculo infinitesimal, los vectores en el espacio
de dos y tres dimensiones, y sabe que dos vectores no cero son ortogonales
cuando su producto punto, o producto interno, es cero. Al dejar ese nivel, las
nociones de vectores, ortogonalidad y producto interno pierden, con frecuencia,
su interpretación geométrica. Estos conceptos se han generalizado es muy
común imaginar que una función es un vector. En consecuencia, podemos
decir que dos funciones distintas son ortogonales cuando su producto interno
es cero. En este caso, veremos que el producto interno de los vectores es una
integral definida.
Otro concepto que se vio en cálculo infinitesimal fue el desarrollo de una
función f como serie infinita de potencias de x - a, llamada serie de potencias.
En este capítulo aprenderemos a desarrollar una función f en términos de un
conjunto infinito de funciones ortogonales.
FUNCIONES ORTOGONALES
Supongamos que u y v son vectores en el espacio tridimensional. El producto
interno (u, v) de los vectores, que también se escribe u.v, posee las
propiedades siguientes:
i) (u, v) = (v, u)
ii) (ku, v) = k(u, v), donde k es un escalar
iii) (u, u)= 0, si u= 0,y (u,u) > 0 si u ≠ 0
iv) (u + v, w) = (u, w) + (v, w).
Esperamos que una generalización del concepto de producto interno debe
tener las mismas propiedades.
DEFINICIÓN Producto interno
El producto interno de dos funciones ƒ1 y ƒ2 en un intervalo [a, b] es el
número
DEFINICION Funciones ortogonales
Dos funciones ƒ1 y ƒ2 son ortogonales en un intervalo [a, b] si
EJEMPLO 1 Funciones ortogonales
Las funciones ƒ1 (x) = x2
y ƒ2 (x) = x3
son ortogonales en el intervalo [-1, 1]
porque
EJERCICIOS
En los problemas 1 a 6, demuestre que las funciones respectivas son
ortogonales en el intervalo indicado.
Serie de Fourier
Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una
función continua y periódica. Las series de Fourier constituyen la herramienta
matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones
periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma
infinitesimal de funciones senoidales mucho más simples (como combinación
de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al
matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría
cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series
sistemáticamente, y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta
área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico.
Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una
herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de
aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de
imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los
sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes
espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de
un sistema para la señal portadora del mismo. Refiérase al uso de un
analizador de espectros.
Las series de Fourier tienen la forma:
Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de
Fourier de la función
La Serie de Fourier de una función f definida en el intervalo (- L, L) está dada
por
Donde
Ejercicios Propuestos
Encuentre la serie de Fourier de f en el intervalo dado
Funciones Ortogonales y
Series de Fourier
• 12.1 Funciones Ortogonales
• 12.2 Series de Fourier
• 12.3 Series de Fourier de Cosenos y Senos
• 12.4 Series d eFourier Complejas
• 12.5 Problema de Sturm-Liouville
• 12.6 Series de Bessel y Legendre
Ejemplo
• Las funciones f1(x) = x2
, f2(x) = x3
son ortogonales en el intervalo [−1, 1] puesto
que
Conjuntos Ortonormales
La expresión (u, u) = ||u||2
se llama norma cuadrada. Por tanto podemso definir la
norma cuadrada de una función como
(3)
Si {φn(x)} es un conjunto ortogonal en [a, b] con la propiedad de que ||φn(x)|| = 1 para
todo n, entonces se llama conjunto ortonormal en [a, b].
Ejemplo 1
0
6
1
),(
1
1
631
1
2
21 ===
−
−∫ xxdxxff .
,)( 22
∫=
b
a nn dxx φφ ∫=
b
a nn dxxx )()( 2
φφ
,)( 22
∫=
b
a nn dxx φφ ∫=
b
a nn dxxx )()( 2
φφ
Demuestre que el conjunto {1, cos x, cos 2x, …} es ortogonal en [−π, π].
Solución
Sea φ0(x) = 1, φn(x) = cos nx, comprobamos que
Ejemplo 1 (2)
Ejemplo 2
Determine la norma de cada función del Ejemplo 1.
Solución
0,0sin
1
cos)()(),( 00
≠==
==
−
−− ∫∫
nfornx
n
nxdxdxxx nn
π
π
π
π
π
π
φφφφ
nm
nm
xnm
nm
xnm
dxxnmxnm
nxdxmxdxxx nmnm
≠=



−
−
+
+
+
=
−++=
⋅==
−
−
−−
∫
∫∫
,0
)sin()sin(
2
1
])cos()[cos(
2
1
coscos)()(),(
π
π
π
π
π
π
π
π
φφφφ
0,||||
)2cos1(
2
1
cos||||
,cos
22
>=
=+==
=
∫∫ −−
n
dxnxnxdx
nx
n
n
n
πφ
πφ
φ
π
π
π
π
πφπφφ
π
π
22,1 0
2
00 =⇒=== ∫−
dx
0,||||
)2cos1(
2
1
cos||||
,cos
22
>=
=+==
=
∫∫ −−
n
dxnxnxdx
nx
n
n
n
πφ
πφ
φ
π
π
π
π
Analogía con Vectores
Recordando de la teoría de vectores en 3 dimensiones que tenemos
(4)
(5)
Así podemos hacer una analogía entre funciones y vectores.
Desarrollo en Series Ortogonales
• Suponga que {φn(x)} es un conjunto ortogonal en [a, b]. Si f(x) está definida en
[a, b], escribimos primero
(6)
Entonces
Como {φn(x)} es un conjunto ortogonal en [a, b], cada término en el lado derecho es
nulo, excepto m = n. En este caso tenemos
,332211 vvvu ccc ++=
∑
=
=++=
3
1
232
3
3
22
2
2
12
1
1
||||
),(
||||
),(
||||
),(
||||
),(
n
n
n
n
v
v
vu
v
v
vu
v
v
vu
v
v
vu
u
?)()()()( 1100  ++++= xcxcxcxf nnφφφ



++++=
++
++=
∫
∫∫
∫
),(),(),(
)()(
)()()()(
)()(
1100
1100
mnnmm
b
a mnn
b
a m
b
a m
b
a m
ccc
dxxxc
dxxxcdxxxc
dxxxf
φφφφφφ
φφ
φφφφ
φ
,...2,1,0,
)(
)()(
)(),()()(
2
2
==
==
∫
∫
∫∫
n
dxx
dxxxf
c
dxxccdxxxf
b
a n
b
a n
n
b
a nnnnn
b
a n
φ
φ
φφφφ
En otras palabras,
(7)
(8)
Entonces (7) se transforma en
(9)
Conjuntos Completos
Conjuntos Completos
Un conjunto ortogonal es completo si la única función ortogonal continua a cada
miembro del conjunto es función nula.
12.2 Series de Fourier
• Una Serie Trigonométrica
Podemos demostrar que el conjunto
(1)
es orthogonal en [−p, p]. Así una función f definida en [−p, p] puede escribirse
como
(2)
∑
∞
=
=
0
),()(
n
nn xcxf φ
2
||)(||
)()(
x
dxxxf
c
n
b
a n
n
φ
φ∫=
∑
∞
=
=
0
2
)(
||)(||
),(
)(
n
n
n
n
x
x
f
xf φ
φ
φ






 ,
3
sin,
2
sin,sin,,
3
cos,
2
cos,cos,1 x
p
x
p
x
p
x
p
x
p
x
p
ππππππ
∑
∞
=






++=
1
0
sincos
2
)(
n
nn x
p
n
bx
p
n
a
a
xf
ππ
• Ahora calculamos los coeficientes.
(3)
Como cos(nπx/p) y sin(nπx/p) son ortogonales a 1 en este intervalo, entonces
(3) se transforma en
Así tenemos
(4)
• Además,
(5)
por ortogonalidad tenemos
Y
Así (5) se reduce a
y por tanto
∑ ∫∫∫∫
∞
=
−−−−






++=
1
0
sincos
2
)(
n
p
pn
p
pn
p
p
p
p
dxx
p
n
bdxx
p
n
adx
a
dxxf
ππ
0
00
22
)( pax
a
dx
a
dxxf
p
p
p
p
p
p
===
−
−− ∫∫
∫−
=
p
p
dxxf
p
a )(
1
0
∑ ∫∫
∫
∫
∞
=
−−
−
−






+
+=
1
0
sincoscoscos
cos
2
cos)(
n
p
pn
p
pn
p
p
p
p
dxx
p
n
x
p
m
bdxx
p
m
x
p
m
a
dxx
p
ma
dxx
p
m
xf
ππππ
π
π
0sincos
0,0cos
=
>=
∫
∫
−
−
p
p
p
p
xdx
p
n
x
p
m
mxdx
p
m
ππ
π



=
≠
=∫− nmp
nm
xdx
p
n
x
p
mp
p ,
0,
coscos
ππ
paxdx
p
n
xf n
p
p
=∫−
π
cos)(
(6)
Finalmente, si multiplicamos (2) por sin(mπx/p) y usamos
y
obtenemos que
(7)
∫−
=
p
pn dxx
p
n
xf
p
a
π
cos)(
1
0sinsin
0,0sin
=
>=
∫
∫
−
−
p
p
p
p
xdx
p
n
x
p
m
mxdx
p
m
ππ
π



=
≠
=∫− nmp
nm
xdx
p
n
x
p
mp
p ,
0,
sinsin
ππ
∫−



=
≠
=
p
p nmp
nm
dxx
p
n
x
p
m
,
,0
sinsin
ππ
Ejemplo 1
Desarrolle (12) en una serie de Fourier.
Solución
La gráfica de f se muestra en la Fig 12.1 con p = π.
Ejemplo 1 (2)
Ejemplo 1 (3)
De (11) tenemos
Po tanto
(13)



<≤−
<<−
=
ππ
π
xx
x
xf
0,
0,0
)(
[ ]
22
1
)(0
1
)(
1
0
2
0
0
0
π
π
π
π
ππ
π
π
π
π
π
=





−=
−+== ∫∫∫ −−
x
x
dxxdxdxxfa
[ ]
ππ
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
22
0
0
0
0
0
)1(11cos
cos1
sin
1sin
)(
1
cos)(0
1
cos)(
1
nn
n
n
nx
n
dxnx
nn
nx
x
dxnxxdx
dxnxxfa
n
n
−−
=
+−
=
−=






+−=
−+=
=
∫
∫∫
∫
−
−
n
nxdxxbn
1
sin)(
1
0
=−= ∫
π
π
π
∑
∞
= 





+
−−
+=
1
2
sin
1
cos
)1(1
4
)(
n
n
nx
n
nx
n
xf
π
π
∑
∞
= 





+
−−
+=
1
2
sin
1
cos
)1(1
4
)(
n
n
nx
n
nx
n
xf
π
π
Fig 12.1
Ejemplo 2
• La función f en el Ejemplo 1, es continua en (−π, π) excepto en x = 0. Así que la
serie (13) converge a
en x = 0.
Extensión Periódica
• Fig 12.2 es la extensión periódica de la función f del Ejemplo 1. Así que la
discontinuidad en x = 0, ±2π, ±4π, … converge a
y en x = ±π, ±3π, … converge a
22
0
2
)0()0( ππ
=
+
=
−++ ff
22
)0()0( π
=
−++ ff
0
2
)0()(
=
−++ ff π
22
)0()0( π
=
−++ ff
0
2
)0()(
=
−++ ff π
Fig 12.2
Secuencia de Sumas Parciales
• Secuencia de Sumas Parciales
Para (13), escribimos las sums parciales como
Fig 12.3
xxxS
xxSS
2sin
2
1
sincos
2
4
,sincos
2
4
,
4
3
21
+++=
++==
π
π
π
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calculo real y vectorial en varias variables (carlos martinez)
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Funciones ortogonales (1)

  • 1. FUNCIONES ORTOGONALES Y SERIES DE FOURIER INTRODUCCION El lector ha estudiado ya, en el cálculo infinitesimal, los vectores en el espacio de dos y tres dimensiones, y sabe que dos vectores no cero son ortogonales cuando su producto punto, o producto interno, es cero. Al dejar ese nivel, las nociones de vectores, ortogonalidad y producto interno pierden, con frecuencia, su interpretación geométrica. Estos conceptos se han generalizado es muy común imaginar que una función es un vector. En consecuencia, podemos decir que dos funciones distintas son ortogonales cuando su producto interno es cero. En este caso, veremos que el producto interno de los vectores es una integral definida. Otro concepto que se vio en cálculo infinitesimal fue el desarrollo de una función f como serie infinita de potencias de x - a, llamada serie de potencias. En este capítulo aprenderemos a desarrollar una función f en términos de un conjunto infinito de funciones ortogonales. FUNCIONES ORTOGONALES Supongamos que u y v son vectores en el espacio tridimensional. El producto interno (u, v) de los vectores, que también se escribe u.v, posee las propiedades siguientes: i) (u, v) = (v, u) ii) (ku, v) = k(u, v), donde k es un escalar iii) (u, u)= 0, si u= 0,y (u,u) > 0 si u ≠ 0 iv) (u + v, w) = (u, w) + (v, w). Esperamos que una generalización del concepto de producto interno debe tener las mismas propiedades. DEFINICIÓN Producto interno El producto interno de dos funciones ƒ1 y ƒ2 en un intervalo [a, b] es el número
  • 2. DEFINICION Funciones ortogonales Dos funciones ƒ1 y ƒ2 son ortogonales en un intervalo [a, b] si EJEMPLO 1 Funciones ortogonales Las funciones ƒ1 (x) = x2 y ƒ2 (x) = x3 son ortogonales en el intervalo [-1, 1] porque EJERCICIOS En los problemas 1 a 6, demuestre que las funciones respectivas son ortogonales en el intervalo indicado.
  • 3. Serie de Fourier Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función continua y periódica. Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinitesimal de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico. Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refiérase al uso de un analizador de espectros. Las series de Fourier tienen la forma: Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función La Serie de Fourier de una función f definida en el intervalo (- L, L) está dada por Donde
  • 4. Ejercicios Propuestos Encuentre la serie de Fourier de f en el intervalo dado
  • 5. Funciones Ortogonales y Series de Fourier • 12.1 Funciones Ortogonales • 12.2 Series de Fourier • 12.3 Series de Fourier de Cosenos y Senos • 12.4 Series d eFourier Complejas • 12.5 Problema de Sturm-Liouville • 12.6 Series de Bessel y Legendre Ejemplo • Las funciones f1(x) = x2 , f2(x) = x3 son ortogonales en el intervalo [−1, 1] puesto que Conjuntos Ortonormales La expresión (u, u) = ||u||2 se llama norma cuadrada. Por tanto podemso definir la norma cuadrada de una función como (3) Si {φn(x)} es un conjunto ortogonal en [a, b] con la propiedad de que ||φn(x)|| = 1 para todo n, entonces se llama conjunto ortonormal en [a, b]. Ejemplo 1 0 6 1 ),( 1 1 631 1 2 21 === − −∫ xxdxxff . ,)( 22 ∫= b a nn dxx φφ ∫= b a nn dxxx )()( 2 φφ ,)( 22 ∫= b a nn dxx φφ ∫= b a nn dxxx )()( 2 φφ
  • 6. Demuestre que el conjunto {1, cos x, cos 2x, …} es ortogonal en [−π, π]. Solución Sea φ0(x) = 1, φn(x) = cos nx, comprobamos que Ejemplo 1 (2) Ejemplo 2 Determine la norma de cada función del Ejemplo 1. Solución 0,0sin 1 cos)()(),( 00 ≠== == − −− ∫∫ nfornx n nxdxdxxx nn π π π π π π φφφφ nm nm xnm nm xnm dxxnmxnm nxdxmxdxxx nmnm ≠=    − − + + + = −++= ⋅== − − −− ∫ ∫∫ ,0 )sin()sin( 2 1 ])cos()[cos( 2 1 coscos)()(),( π π π π π π π π φφφφ 0,|||| )2cos1( 2 1 cos|||| ,cos 22 >= =+== = ∫∫ −− n dxnxnxdx nx n n n πφ πφ φ π π π π πφπφφ π π 22,1 0 2 00 =⇒=== ∫− dx 0,|||| )2cos1( 2 1 cos|||| ,cos 22 >= =+== = ∫∫ −− n dxnxnxdx nx n n n πφ πφ φ π π π π
  • 7. Analogía con Vectores Recordando de la teoría de vectores en 3 dimensiones que tenemos (4) (5) Así podemos hacer una analogía entre funciones y vectores. Desarrollo en Series Ortogonales • Suponga que {φn(x)} es un conjunto ortogonal en [a, b]. Si f(x) está definida en [a, b], escribimos primero (6) Entonces Como {φn(x)} es un conjunto ortogonal en [a, b], cada término en el lado derecho es nulo, excepto m = n. En este caso tenemos ,332211 vvvu ccc ++= ∑ = =++= 3 1 232 3 3 22 2 2 12 1 1 |||| ),( |||| ),( |||| ),( |||| ),( n n n n v v vu v v vu v v vu v v vu u ?)()()()( 1100  ++++= xcxcxcxf nnφφφ    ++++= ++ ++= ∫ ∫∫ ∫ ),(),(),( )()( )()()()( )()( 1100 1100 mnnmm b a mnn b a m b a m b a m ccc dxxxc dxxxcdxxxc dxxxf φφφφφφ φφ φφφφ φ ,...2,1,0, )( )()( )(),()()( 2 2 == == ∫ ∫ ∫∫ n dxx dxxxf c dxxccdxxxf b a n b a n n b a nnnnn b a n φ φ φφφφ
  • 8. En otras palabras, (7) (8) Entonces (7) se transforma en (9) Conjuntos Completos Conjuntos Completos Un conjunto ortogonal es completo si la única función ortogonal continua a cada miembro del conjunto es función nula. 12.2 Series de Fourier • Una Serie Trigonométrica Podemos demostrar que el conjunto (1) es orthogonal en [−p, p]. Así una función f definida en [−p, p] puede escribirse como (2) ∑ ∞ = = 0 ),()( n nn xcxf φ 2 ||)(|| )()( x dxxxf c n b a n n φ φ∫= ∑ ∞ = = 0 2 )( ||)(|| ),( )( n n n n x x f xf φ φ φ        , 3 sin, 2 sin,sin,, 3 cos, 2 cos,cos,1 x p x p x p x p x p x p ππππππ ∑ ∞ =       ++= 1 0 sincos 2 )( n nn x p n bx p n a a xf ππ
  • 9. • Ahora calculamos los coeficientes. (3) Como cos(nπx/p) y sin(nπx/p) son ortogonales a 1 en este intervalo, entonces (3) se transforma en Así tenemos (4) • Además, (5) por ortogonalidad tenemos Y Así (5) se reduce a y por tanto ∑ ∫∫∫∫ ∞ = −−−−       ++= 1 0 sincos 2 )( n p pn p pn p p p p dxx p n bdxx p n adx a dxxf ππ 0 00 22 )( pax a dx a dxxf p p p p p p === − −− ∫∫ ∫− = p p dxxf p a )( 1 0 ∑ ∫∫ ∫ ∫ ∞ = −− − −       + += 1 0 sincoscoscos cos 2 cos)( n p pn p pn p p p p dxx p n x p m bdxx p m x p m a dxx p ma dxx p m xf ππππ π π 0sincos 0,0cos = >= ∫ ∫ − − p p p p xdx p n x p m mxdx p m ππ π    = ≠ =∫− nmp nm xdx p n x p mp p , 0, coscos ππ paxdx p n xf n p p =∫− π cos)(
  • 10. (6) Finalmente, si multiplicamos (2) por sin(mπx/p) y usamos y obtenemos que (7) ∫− = p pn dxx p n xf p a π cos)( 1 0sinsin 0,0sin = >= ∫ ∫ − − p p p p xdx p n x p m mxdx p m ππ π    = ≠ =∫− nmp nm xdx p n x p mp p , 0, sinsin ππ ∫−    = ≠ = p p nmp nm dxx p n x p m , ,0 sinsin ππ
  • 11. Ejemplo 1 Desarrolle (12) en una serie de Fourier. Solución La gráfica de f se muestra en la Fig 12.1 con p = π. Ejemplo 1 (2) Ejemplo 1 (3) De (11) tenemos Po tanto (13)    <≤− <<− = ππ π xx x xf 0, 0,0 )( [ ] 22 1 )(0 1 )( 1 0 2 0 0 0 π π π π ππ π π π π π =      −= −+== ∫∫∫ −− x x dxxdxdxxfa [ ] ππ π π π π π π π π π π π π π π 22 0 0 0 0 0 )1(11cos cos1 sin 1sin )( 1 cos)(0 1 cos)( 1 nn n n nx n dxnx nn nx x dxnxxdx dxnxxfa n n −− = +− = −=       +−= −+= = ∫ ∫∫ ∫ − − n nxdxxbn 1 sin)( 1 0 =−= ∫ π π π ∑ ∞ =       + −− += 1 2 sin 1 cos )1(1 4 )( n n nx n nx n xf π π ∑ ∞ =       + −− += 1 2 sin 1 cos )1(1 4 )( n n nx n nx n xf π π
  • 12. Fig 12.1 Ejemplo 2 • La función f en el Ejemplo 1, es continua en (−π, π) excepto en x = 0. Así que la serie (13) converge a en x = 0. Extensión Periódica • Fig 12.2 es la extensión periódica de la función f del Ejemplo 1. Así que la discontinuidad en x = 0, ±2π, ±4π, … converge a y en x = ±π, ±3π, … converge a 22 0 2 )0()0( ππ = + = −++ ff 22 )0()0( π = −++ ff 0 2 )0()( = −++ ff π 22 )0()0( π = −++ ff 0 2 )0()( = −++ ff π
  • 13. Fig 12.2 Secuencia de Sumas Parciales • Secuencia de Sumas Parciales Para (13), escribimos las sums parciales como Fig 12.3 xxxS xxSS 2sin 2 1 sincos 2 4 ,sincos 2 4 , 4 3 21 +++= ++== π π π ππ