Este documento describe varios métodos numéricos para aproximar el valor de una integral definida, incluida la regla del rectángulo, la regla del punto medio, la regla del trapecio y la regla de Simpson. Explica cómo cada método usa diferentes polinomios de interpolación para aproximar la función integranda y calcular el área bajo la curva. También discute cómo dividir el intervalo en subintervalos puede mejorar la precisión de la aproximación.

1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
VICE RECTORADO ACADEMICO
FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA DE ELECTRICA
Análisis Numérico
Integracion Numerica
Metodos
Autor:
Alfredo Vazquez C.I: 21.564.370
Cabudare, Septiembre 2015

2. Introducción
Constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral
definida y, por extensión, el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos
para resolver ecuaciones diferenciales. El término cuadratura numérica (a menudo
abreviado a cuadratura) es más o menos sinónimo de integración numérica, especialmente
si se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que para el caso de dos o más
dimensiones (integral múltiple) también se utiliza.
El problema básico considerado por la integración numérica es calcular una solución
aproximada a la integral definida:
Este problema también puede ser enunciado como un problema de valor inicial para una
ecuación diferencial ordinaria, como sigue:
Encontrar y(b) es equivalente a calcular la integral. Los métodos desarrollados para
ecuaciones diferenciales ordinarias, como el método de Runge-Kutta, pueden ser aplicados
al problema reformulado. En este artículo se discuten métodos desarrollados
específicamente para el problema formulado como una integral definida.

3. Regla del rectángulo
El método más simple de este tipo es hacer a la función interpoladora ser una función
constante (un polinomio de orden cero) que pasa a través del punto . Este
método se llama la regla del rectángulo:
Regla del punto medio
Si en el método anterior la función pasa a través del punto este
método se llama la regla del punto medio:
El objetivo de esta sección es aproximar la integral definida de una función ƒ(x) en un
intervalo [a, b] es decir
REGLA DEL TRAPECIO
Considérese la función ƒ en el intervalo [a, b], con los puntos (a, ƒ(a)) y (b, ƒ(b)) se
construye el polinomio de Lagrange de grado uno.
ƒ(x) = P1(x) + E, donde E es el error en la aproximación
ahora,

4. si h = b - a
La expresión que aproxima el valor de la integral se conoce como regla del trapecio, porque
geométricamente se puede interpretar que se aproxima el área bajo la curva por el área bajo
un polinomio de grado uno P1(x) y la figura que resulta es un trapecio
Regla de Simpson
La función interpoladora puede ser un polinomio de grado 2 que pasa a través de los puntos
, y . Este método se llama regla de Simpson:
.
Una forma evidente de mejorar la aproximación de una integral es con una mejor
aproximación para el integrando ƒ(x). Esto se puede lograr con un polinomio de grado 2.

5. Considérese la función ƒ(x) en el intervalo [a, b] y x0 = a, x1 = x0 + h, x2 = b, donde
.
Con los puntos (x0, ƒ(x0)), (x1, ƒ(x1)) y (x2, ƒ(x2)) se construye el polinomio de Lagrange de
grado 2,
ahora La integral del polinomio se resuelve por partes y resulta:
reemplazando x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h resulta:
Luego ,
Por lo tanto.

6. Esta expresión se conoce como regla de simpson.
El error en la aproximación es
Ejemplo.
Aproximar usando:
i) La regla del trapecio
ii) La regla de Simpson
Encuentre también una cota para el error en cada aproximación.
Solución:
i) Para la regla del trapecio. entonces
ii) Para la regla de Simpson
, a = x0 = 0, b = x2 = 2, x1 = x0 + h = 1

7. El valor real de la integral es
Observaciones
La regla del trapecio es exacta para funciones lineales (f(x) = mx + c) ya que el término de
error contiene f''(z) y este caso f''(x) = 0 y el error sería cero.
La regla de Simpson es exacta para funciones polinómicas de grado menor o igual a 3, ya
que el error contiene y la cuarta derivada de un polinomio de grado menor o igual que
3 es cero.
Una manera de mejorar la aproximación de una integral definida de una función f en un
intervalo [a,b], consiste en dividir el intervalo [a,b] en varios subintervalos y aplicar en
cada subintervalo la regla del trapecio o la regla de Simpson. Estos métodos se conocen
como regla compuesta o extendida del trapecio y de Simpson respectivamente.
Conclusiones
Los métodos de integración numérica se usan cuando ƒ(x) es difícil o imposible de integrar
analíticamente, o cuando ƒ(x) esta dada como un conjunto de valores tabulados.
La estrategia acostumbrada para desarrollar fórmulas para la integración numérica consiste
en hacer pasar un polinomio por puntos definidos de la función y luego integrar la
aproximación polinomial de la función.