Este documento presenta información sobre series de Fourier, transformadas de Fourier y transformadas de Laplace. Explica que las series de Fourier descomponen funciones periódicas en sumas infinitas de funciones senoidales y proporcionan fórmulas para calcular los coeficientes de Fourier. También describe propiedades básicas como linealidad y cambios de escala de las transformadas de Fourier y Laplace, y sus usos en ingeniería para analizar señales.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Defensa
Universidad Nacional Experimental de las Fuerzas Armadas
(U.NE.F.A.)
Guacara Edo. Carabobo
SerieS de Fourier
TranSFormadaS de Fourier
TranSFormadaS de LapLace
Integrantes:
Arnias Leonel 16.154.608
Borjas Juan 15.606.482
Escorcha Karry 18.435.494
Lotero Marvin 15.979.718
Salom Roxany 14.753.527
Sección 005-N

2. Serie de Fourier
Una serie de Fourier es una serie infinita que converge
puntualmente a una función continua y periódica. Las series de
Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis
de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través
de la descomposición de dicha función en una suma infinitesimal
de funciones senoidales mucho más simples (como combinación
de senos y cosenos con frecuencias enteras)
Las series de Fourier tienen la siguiente forma:
Donde y se denominan coeficientes de
Fourier de la serie de Fourier de la función f(x)

3. Si es una función (o señal) periódica y su período es 2T, la serie de
Fourier asociada a es:
• Donde y son los coeficientes de Fourier que toman los
valores:
Por la identidad de Euler, las fórmulas de arriba pueden expresarse
también en su forma compleja:
Los coeficientes ahora
serían:

4. Aplicaciones de la serie de Fourier
• Generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica por
medio de la superposición de senoides generados por osciladores
eléctrónicos de amplitud variable cuyas frecuencias ya están
determinadas.
• Análisis en el comportamiento armónico de una señal
• Reforzamiento de señales.
• Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuital
eléctrica donde la señal de entrada no es senoidal o cosenoidal,
mediante el uso de transformadas de Laplace y/o Solución en
régimen permanente senoidal en el dominio de la frecuencia.

5. Formulación general
• Las propiedades útiles de las series de Fourier se deben
principalmente a la ortogonalidad y a la propiedad de
homomorfismo de las funciones ei n x.
• Otras sucesiones de funciones ortogonales tienen propiedades
similares, aunque algunas identidades útiles, concerniendo por
ejemplo a las convoluciones, no seguirán cumpliéndose si se pierde
la "propiedad de homomorfismo".
• Algunos ejemplos son las secuencias de funciones de Bessel y los
polinomios ortogonales. Tales sucesiones se obtienen normalmente
como soluciones de una ecuación diferencial; una gran clase de
tales sucesiones útiles son soluciones de los llamados problemas
de Sturm-Liouville.

6. Transformada de Fourier
• En matemática, la transformada de Fourier es una aplicación que hace
corresponder a una función f con valores complejos y definida en la recta,
otra función g definida de la manera siguiente:
• Donde f es L1, o sea f tiene que ser una función integrable en el sentido de
la integral de Lebesgue. El factor, que acompaña la integral en definición
facilita el enunciado de algunos de los teoremas referentes a la
transformada de Fourier. Aunque esta forma de normalizar la
transformada de Fourier es la más comúnmente adoptada, no es
universal.

7. Propiedades Básicas de la transformada de Fourier
• La transformada de Fourier es una aplicación lineal:
• Valen las siguientes propiedades para una función absolutamente
integrable f:
• Cambio de escala:
• Traslación:
• Traslación en la variable transformada:
• Transformada de la derivada: Si f y su derivada son integrables,

8. • Derivada de la transformada: Si f y t → f(t) son integrables, la
transformada de Fourier F(f) es diferenciable:
Estas identidades se demuestran por una mudanza de variables o
integración por partes.
En lo que sigue, definimos la convolución de dos funciones f, g en la recta se
define da la manera siguiente:
Nuevamente la presencia del factor delante de la integral simplifica el
enunciado de los resultados como el que sigue: Si f y g son funciones
absolutamente integrables, la convolución también es integrable, y vale la
igualdad:
También puede enunciarse un teorema análogo para la convolución en la
variable transformada:

9. Teorema de inversión
La idea del teorema de inversión es que dada una función f, la
transformada de Fourier inversa aplicada a la transformada de
Fourier de f resulta en la función original, en símbolos:
Sin embargo, el resultado formulado de esta forma no es válido, porque el
dominio de la transformada de Fourier como lo hemos definido en el
primer párrafo de este artículo no es invariante, o sea que la
transformada de Fourier de una función integrable no es necesariamente
integrable.
Para formular el teorema de inversión necesitamos encontrar espacios de
funciones que sean invariantes bajo la transformada de Fourier. De hecho,
hay numerosas posibilidades, la más natural del punto de vista técnico
siendo el espacio de Schwartz de funciones φ rápidamente decrecientes.

10. Series de Fourier de senos y cosenos
Dada una función en el intervalo (0, pi), se pueden definir muchas
funciones en (−pi, pi) que coincidan con ella en (0, pi); cada una de las
extensiones tendrá una serie de Fourier propia. Pero algunas extensiones
tienen especial interés. Teniendo en cuenta la propiedad 4 de la sección
1.3, se puede elegir la extensión de manera que tengamos una función
par y, en ese caso, la serie de Fourier sólo tiene cosenos. Se llama serie de
Fourier de cosenos de la función original y sus coeficientes se calculan por
la fórmula (1.6) (en la que sólo interviene la función dada en el intervalo
original). Del mismo modo, si elegimos una extensión impar, la serie que
resulta es la serie de Fourier de senos de la función dada y sus
coeficientes vienen determinados por (1.7). Se pueden hacer
construcciones semejantes a partir de cualquier intervalo.

11. Uso en la ingenieria
La transformada de Fourier se utiliza para pasar al «dominio
frecuencial» una señal para así obtener información que no es evidente
en el «dominio temporal». Se demuestra matemáticamente que una
señal periódica se puede descomponer en una suma de senos y
cosenos formando una base ortogonal, de esta forma, señales como la
voz o las ondas se pueden descomponer en un sumatorio de señales
trigonométricas. El conjunto de constantes que multiplican a cada
frecuencia forman el espectro de frecuencias. De esta forma se pueden
llegar a diversos experimentos muy interesantes:
• La voz humana recorre el espectro de los 100Hz a los 5.000Hz y la
oída humana se encuentra entre los 20 Hz y los 20.000 Hz.
• Si conocemos la densidad espectral de un sistema y la entrada
podemos conocer la densidad espectral de la salida. Esto es muy
útil para el diseño de filtros de radiotransmisores.
• La transformada de Fourier también es utilizada en el ámbito del
tratamiento digital de imágenes, como por ejemplo para mejorar o
definir más ciertas zonas de una imagen fotográfica o tomada con
una computadora.

12. Transformada de Laplace
• La Transformada de Laplace de una función f(t) definida (en matemáticas
y, en particular, en análisis funcional) para todos los números reales t ≥ 0,
es la función F(s), definida por:
• Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a
la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral,
que se define como sigue:
• La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los
números reales s > a, donde a es una constante que depende del
comportamiento de crecimiento de f(t).

13. Propiedades de la Transformada de Laplace
• Linealidad:
• Potencia enésima:
• Seno:
• Coseno:
• Seno hiperbolico:

14. Propiedades de la Transformada de Laplace
• Coseno hiperbolico:
• Logaritmo natural:
• Raíz enésima:
• Función de Bessel de primera especie:
• Función modificada de Bessel de primera especie: