El documento aborda la transformada de Laplace, una herramienta matemática esencial para transformar funciones de una forma a otra. Se presentan definiciones clave, propiedades de linealidad y ejemplos de cálculos, así como la convergencia de integrales. También se mencionan referencias relevantes para un estudio más profundo del tema.

1. UNIVERSIDAD REGIONAL AMAZÓNICA “IKIAM”
TRANSFORMADA
DIRECTA DE LAPLACE
ESTUDIANTE: DANIEL JAQUE B.
DOCENTE: LUIS DANILO FLORES
MATEMÁTICAS III

2. Índice
• Introducción ……………………………………………………………………………. 3
• Definición Básica ……………………………………………………………………... 4
• Definición Transformada de Laplace ………………………………………... 5
• ℒ es una Transformación Lineal …………………………………………. 6
• Ejemplo ……………………………………………………………………………………. 7
• Referencias ………………………………………………………………………………. 9
2

3. Introducción
• La Transformada de Laplace al igual que la derivación e integración,
constituye una herramienta de transformación de una función a otro.
• Por ejemplo: Sea la función 𝑓 𝑥 = 5𝑥2
• Además de cumplir la propiedad de la linealidad:
Derivada
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 = 5. (2𝑥)
𝑓′
𝑥 = 10𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝛼𝑓 𝑥 + 𝛽𝑔 𝑥 = 𝛼𝑓′
𝑥 + 𝛽𝑔′(𝑥)
Integral
න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 5
𝑥3
3
+ 𝑐
න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
5
3
𝑥3 + 𝑐
න[𝛼𝑓 𝑥 + 𝛽𝑔 𝑥 ]𝑑𝑥 = 𝛼 න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝛽 න 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
(Zill, 2009) 3

4. Definición Básica
• Si f(x) está definida para t≥0, entonces la integral impropia:
‫׬‬0
∞
𝐾 𝑠, 𝑡 . 𝑓 𝑡 𝑑𝑡, corresponde al límite:
න
0
∞
𝐾 𝑠, 𝑡 . 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = lim
𝑏→∞
න
0
𝑏
𝐾 𝑠, 𝑡 . 𝑓 𝑡 𝑑𝑡
• Si el límite existe se dice que la integral existe o es convergente; mientras
que si el límite no existe, la integral no existe y se diría que es divergente.
El límite generalmente existe solo para ciertos valores de s.
• La función K(s,t) se conoce como núcleo de la transformada. Considerando
que el núcleo 𝐾 𝑠, 𝑡 = 𝑒−𝑠𝑡
nos aporta una transformada integral
importante.
(Edwars & David E. Penney, 2009)
(Zill, 2009)
4

5. Definición. Transformada de Laplace
Sea f una función definida para t≥0, entonces se dice que la integral
ℒ 𝑓 𝑡 = න
0
∞
𝑒−𝑠𝑡
𝑓 𝑡 𝑑𝑡
Es la transformada de Laplace de f, siempre que la integral converja.
(Zill, 2009)5

6. ℒ es una Transformación Lineal
• Dada una combinación de funciones
‫׬‬0
∞
𝑒−𝑠𝑡 α𝑓 𝑡 + β𝑔 𝑡 𝑑𝑡 ,
es posible reescribirla de la forma:
α ‫׬‬0
∞
𝑒−𝑠𝑡
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 + β ‫׬‬0
∞
𝑒−𝑠𝑡
𝑔 𝑡 𝑑𝑡 ,
Siempre que ambas sean convergentes pata s>c. Así obtenemos que:
ℒ α𝑓 𝑡 + β𝑔(𝑡) = αℒ 𝑓 𝑡 + βℒ 𝑔 𝑡 = α𝐹 𝑠 + β𝐺(𝑠)
(Zill, 2009)6

7. Ejemplo: Sea 𝑓 𝑡 = 𝑡𝑒4𝑡
• Considerando la definición de la TL, ℒ 𝑓 𝑡 = ‫׬‬0
∞
𝑒−𝑠𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡,
tenemos que:
ℒ 𝑡𝑒4𝑡 = න
0
∞
𝑒−𝑠𝑡 𝑡𝑒4𝑡 𝑑𝑡
• Reescribimos
ℒ 𝑡𝑒4𝑡
= න
0
∞
𝑒−(𝑠−4)𝑡
𝑡𝑑𝑡
• Aplicamos integración por partes:
𝑢 = 𝑡 dv = 𝑒−(𝑠−4)𝑡 𝑑𝑡
d𝑢 = 𝑑𝑡 v = −
𝑒−(𝑠−4)𝑡
(𝑠−4)
7

8. • Armamos y resolvemos la integral:
ℒ 𝑡𝑒4𝑡
= −
𝑒− 𝑠−4 𝑡
𝑠 − 4
𝑡|
∞
0
+ න
0
∞
𝑒− 𝑠−4 𝑡
𝑠 − 4
𝑑𝑡
ℒ 𝑡𝑒4𝑡
= 0 +
1
𝑠 − 4
−
𝑒− 𝑠−4 𝑡
𝑠 − 4
|
∞
0
ℒ 𝑡𝑒4𝑡
= 0 +
1
𝑠 − 4
1
𝑠 − 4
ℒ 𝑡𝑒4𝑡
=
1
(𝑠 − 4)2
Ejemplo: Sea 𝑓 𝑡 = 𝑡𝑒4𝑡
SOLUCIÓN
0
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9. Referencias:
• Edwars, C. H., & David E. Penney. (2009). Ecuaciones diferenciales y
problemas con valores en la frontera (Cuarta). México: Pearson
Prentice Hall.
• Zill, D. G. (2009). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de
modelado (Novena). México D.F.
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