En el presente documento se describe la parte teórica y un ejemplo resuelto de la Transformada de Laplace.

1. UNIVERSIDAD REGIONAL AMAZÓNICA “IKIAM”
TRANSFORMADA
DIRECTA DE LAPLACE
ESTUDIANTE: DANIEL JAQUE B.
DOCENTE: LUIS DANILO FLORES
MATEMÁTICAS III

2. Índice
• Introducción ……………………………………………………………………………. 3
• Definición Básica ……………………………………………………………………... 4
• Definición Transformada de Laplace ………………………………………... 5
• ℒ es una Transformación Lineal …………………………………………. 6
• Ejemplo ……………………………………………………………………………………. 7
• Referencias ………………………………………………………………………………. 9
2

3. Introducción
• La Transformada de Laplace al igual que la derivación e integración,
constituye una herramienta de transformación de una función a otro.
• Por ejemplo: Sea la función 𝑓 𝑥 = 5𝑥2
• Además de cumplir la propiedad de la linealidad:
Derivada
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 = 5. (2𝑥)
𝑓′
𝑥 = 10𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝛼𝑓 𝑥 + 𝛽𝑔 𝑥 = 𝛼𝑓′
𝑥 + 𝛽𝑔′(𝑥)
Integral
න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 5
𝑥3
3
+ 𝑐
න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
5
3
𝑥3 + 𝑐
න[𝛼𝑓 𝑥 + 𝛽𝑔 𝑥 ]𝑑𝑥 = 𝛼 න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝛽 න 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
(Zill, 2009) 3

4. Definición Básica
• Si f(x) está definida para t≥0, entonces la integral impropia:
‫׬‬0
∞
𝐾 𝑠, 𝑡 . 𝑓 𝑡 𝑑𝑡, corresponde al límite:
න
0
∞
𝐾 𝑠, 𝑡 . 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = lim
𝑏→∞
න
0
𝑏
𝐾 𝑠, 𝑡 . 𝑓 𝑡 𝑑𝑡
• Si el límite existe se dice que la integral existe o es convergente; mientras
que si el límite no existe, la integral no existe y se diría que es divergente.
El límite generalmente existe solo para ciertos valores de s.
• La función K(s,t) se conoce como núcleo de la transformada. Considerando
que el núcleo 𝐾 𝑠, 𝑡 = 𝑒−𝑠𝑡
nos aporta una transformada integral
importante.
(Edwars & David E. Penney, 2009)
(Zill, 2009)
4

5. Definición. Transformada de Laplace
Sea f una función definida para t≥0, entonces se dice que la integral
ℒ 𝑓 𝑡 = න
0
∞
𝑒−𝑠𝑡
𝑓 𝑡 𝑑𝑡
Es la transformada de Laplace de f, siempre que la integral converja.
(Zill, 2009)5

6. ℒ es una Transformación Lineal
• Dada una combinación de funciones
‫׬‬0
∞
𝑒−𝑠𝑡 α𝑓 𝑡 + β𝑔 𝑡 𝑑𝑡 ,
es posible reescribirla de la forma:
α ‫׬‬0
∞
𝑒−𝑠𝑡
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 + β ‫׬‬0
∞
𝑒−𝑠𝑡
𝑔 𝑡 𝑑𝑡 ,
Siempre que ambas sean convergentes pata s>c. Así obtenemos que:
ℒ α𝑓 𝑡 + β𝑔(𝑡) = αℒ 𝑓 𝑡 + βℒ 𝑔 𝑡 = α𝐹 𝑠 + β𝐺(𝑠)
(Zill, 2009)6

7. Ejemplo: Sea 𝑓 𝑡 = 𝑡𝑒4𝑡
• Considerando la definición de la TL, ℒ 𝑓 𝑡 = ‫׬‬0
∞
𝑒−𝑠𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡,
tenemos que:
ℒ 𝑡𝑒4𝑡 = න
0
∞
𝑒−𝑠𝑡 𝑡𝑒4𝑡 𝑑𝑡
• Reescribimos
ℒ 𝑡𝑒4𝑡
= න
0
∞
𝑒−(𝑠−4)𝑡
𝑡𝑑𝑡
• Aplicamos integración por partes:
𝑢 = 𝑡 dv = 𝑒−(𝑠−4)𝑡 𝑑𝑡
d𝑢 = 𝑑𝑡 v = −
𝑒−(𝑠−4)𝑡
(𝑠−4)
7

8. • Armamos y resolvemos la integral:
ℒ 𝑡𝑒4𝑡
= −
𝑒− 𝑠−4 𝑡
𝑠 − 4
𝑡|
∞
0
+ න
0
∞
𝑒− 𝑠−4 𝑡
𝑠 − 4
𝑑𝑡
ℒ 𝑡𝑒4𝑡
= 0 +
1
𝑠 − 4
−
𝑒− 𝑠−4 𝑡
𝑠 − 4
|
∞
0
ℒ 𝑡𝑒4𝑡
= 0 +
1
𝑠 − 4
1
𝑠 − 4
ℒ 𝑡𝑒4𝑡
=
1
(𝑠 − 4)2
Ejemplo: Sea 𝑓 𝑡 = 𝑡𝑒4𝑡
SOLUCIÓN
0
8

9. Referencias:
• Edwars, C. H., & David E. Penney. (2009). Ecuaciones diferenciales y
problemas con valores en la frontera (Cuarta). México: Pearson
Prentice Hall.
• Zill, D. G. (2009). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de
modelado (Novena). México D.F.
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