La unidad IV detalla la aplicación de la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales, comenzando por la derivada y su demostración. A través de ejemplos y problemas, se muestra cómo utilizar fracciones parciales y tablas de transformadas para encontrar soluciones efectivas. El documento concluye con un sistema de ecuaciones que permite determinar los valores necesarios para aplicar la transformada inversa.

1. UNIDAD IV
TRANSFORMADA DE
LAPLACE
Tablas de Transformadas de Laplace
Transformada de una derivada
Fracciones Parciales
Saúl Olaf Loaiza Meléndez

2. Transformada de una Derivada
Recurriendo a la definición de la Transformada de Laplace
La Transformada de Laplace ayuda a encontrar la solución de una ecuación
Diferencial, vemos la siguiente demostración:
Recordando la forma como se calculan las integrales impropias y las
propiedades de los límites:
Integrando por partes:

3. Transformada de una Derivada
La integral anterior nos queda
Avanzando los cálculos del primer término:
Así:

4. Transformada de una Derivada
Como la función f(t) es seccionalmente continua y de orden exponencial
Además:
Por lo tanto la ecuación queda:

5. Transformada de una Derivada
Queda demostrado que la transformada de la primera derivada es:
Aplicando le Teorema, para encontrar la segunda derivada

6. Transformada de una Derivada
Transformada de la tercera derivada
Transformadas de las tres primeras derivadas.

7. Problema 1
Use la transformada de Laplace para resolver la EDO
Aplicando la Transformada de Laplace en cada término y separando las
constantes.
Simplificando tenemos

8. Problema 1
Despejando la función Y(s):
Realizando la fracción para tener solo un término para aplicar la transformada
inversa.

9. Problema 1
Aplicando la Transformada inversa de Laplace en ambos lados, encontramos la
solución de la EDO. Aplicando Fracciones Parciales del lado derecho
Para reducir el sistema, el único factor que se puede cancelar es s+3 para
obtener el valor de C,

10. Problema 1
Al sustituir el valor de C en la ecuación anterior, se procede a encontrar los
valores de A y B, desarrollando el sistema de ecuaciones.
Se tiene el sistema lineal igualando los coeficientes de ambos lados.
Al sustituir los valores de A = -2, B = 6 y C = 8 en las fracciones parciales se
puede aplicar las tablas de la transformada inversa de laplace

11. Problema 1
Separando términos y aplicando las tablas de Laplace, tenemos:
Por lo tanto la solución de la EDO es