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GEOMETRÍA
1.- INTRODUCCIÓN:
Etimológicamente hablando, la palabra Geometría procede del griego y
significa “Medida de la Tierra”. La Geometría es la parte de las Matemáticas que
estudia las idealizaciones del espacio en términos de las propiedades y medidas de las
figuras geométricas.
La Geometría no estudia el espacio real en sí mismo, sino objetos ideales
(también conocidos como objetos matemáticos o geométricos), sus propiedades,
relaciones y teorías, construidos por abstracción de cualidades del espacio real o de
otros objetos ideales creados previamente (en el espacio real no existen círculos,
pentágonos, rectas, puntos, esferas… sino objetos que tienen forma de… o
modelizados por…; la realidad física siempre es menos perfecta que la realidad
geométrica pensada o ideal).
Así, podremos estudiar la forma de una ventana como la de la Ilustración 1 y
sus propiedades.
Ilustración 1
Esta ventana tiene la propiedad de que tiene forma de triángulo, pero no es un
triángulo, ya que un triángulo es un concepto abstracto, ideal, que no puede
encontrarse en la realidad.
Los componentes elementales de las figuras geométricas serán:
1. Punto: Un punto es un objeto que no tiene dimensiones que indica una
posición en el espacio. Se suelen designar con letras mayúsculas A, B,
C,… P,…
2. Recta: Es una línea ilimitada por ambos extremos. Se suele denotar con
letras minúsculas r, s, t,… Como representación en la realidad de una
recta podemos tomar un hilo tenso, o el borde de una regla.
3. Plano: es una superficie ilimitada cuya concreción en el mundo real
puede verse, por ejemplo, en la superficie de una mesa, una hoja de
papel,… Se suele representar con las letras griegas π1, π2, π3,…
Los puntos son objetos de la geometría lineal, puntos y rectas dan lugar a la
geometría plana y los puntos, las rectas y los planos son objetos de la
geometría espacial.
Algunas consideraciones a tener en cuenta en geometría son las siguientes:
Dos puntos distintos determinan una y sólo una línea recta que contiene
a dichos puntos.
Tres o más puntos pueden determinar varias rectas, pero si están todos
contenidos en una se dirá que los puntos son colineales.
Tres puntos no colineales determinan un plano.
El objetivo de la Geometría, por tanto, será describir, clasificar y estudiar las
propiedades de las figuras geométricas.
2.- RECTAS y SEGMENTOS:
Dos rectas contenidas en el plano que no tienen ningún punto en común se
dice que son paralelas (Ilustración 2). Si tienen un solo punto en común se dice que
son concurrentes o secantes (Ilustración 3). Una recta que corta a otras dos se dice
que es una transversal.
Ilustración 2 Ilustración 3
Todo punto P divide a la recta que lo contiene en dos subconjuntos llamados
semirrectas o rayos de extremo P. También podemos construir semiplanos cuando
quitamos a un plano una recta del mismo. Cada una de los dos divisiones hechas será
un semiplano.
Un segmento es un conjunto de puntos comprendido entre dos puntos. Si los
extremos del segmento son los puntos A y B, el segmento se suele representar por AB.
La distancia entre los dos extremos del segmento se llama longitud del segmento.
Además, puede definirse también como la intersección de dos semirrectas contenidas
en una misma recta.
Ilustración 4
3.- ÁNGULOS:
Un ángulo es la región del plano resultado de la intersección de dos semiplanos
cerrados obtenida a partir de dos rectas incidentes.
Para medir los ángulos se pueden distintas unidades:
a) Radianes: un radián es la medida del ángulo cuyo arco tiene una longitud
igual al radio de la circunferencia en la que está comprendido.
b) Grados sexagesimales: es la medida del ángulo cuya longitud de arco es
igual a la 360ava parte de la longitud de la circunferencia. Sus divisiones son
minutos y segundos, que se representan por ‘ y ‘’ respectivamente. Para
operar con ángulos dados de esta forma se trabaja en base 60.
c) Grados centesimales: es la medida del ángulo cuya longitud de arco es igual
a la 400ava parte de la longitud de la circunferencia. Sus divisiones son
minutos y segundos centesimales.
Para pasar de una a otra medida se utiliza la siguiente equivalencia de unidades:
2π radianes = 360o
sexagesimales = 400 o
centesimales
Por ejemplo, si queremos sumar dos ángulos cuyas medidas en grados
sexagesimales son 27 o
31’ 15’’ y 43 o
42’ 57’’ , lo tendremos que hacer sumando en
base 60. Así,
27o
31’ 15’’
+ 43o
42’ 57’’
71o
14’ 12’’
La operación de diferencia de ángulos se realiza como aprendimos en el tema
del número natural, operando en base 60. Para realizar la siguiente resta
163 o
15’ 43’’
- 96o
37’ 51’’
Podemos transformarla en
162o
74’ 103’’
- 96o
37’ 51’’
66o
37’ 52’’
para obtener el resultado.
También podemos pasar ángulos de una unidad de medida a otra a través de
reglas de tres. Por ejemplo, si queremos pasar 180 o
a radianes, sólo tenemos que
tener en cuenta que 360o
son 2π radianes.
360o
 2 π radianes
180o
 x radianes
Por tanto, x=(180*2* π)/360 radianes = π radianes.
Otro ejemplo, si tenemos radianes, ¿Cuánto mide dicho ángulo en grados
sexagesimales? Basta escribir
360o
 2 π radianes
xo
 radianes
Por lo que x= / 2 π grados sexagesimales = 90o
Los ángulos se pueden clasificar por su medida de esta forma:
Un ángulo puede ser nulo, agudo, recto, obtuso, llano. Busca su definición
como ejercicio.
Se dice que dos ángulos son complementarios si su suma vale 90 o
. Dos ángulos
son suplementarios si su suma vale 180o
. Si nos piden buscar el ángulo complementario a otro
dado, sólo tenemos que restar a 90o
dicho ángulo y si nos piden buscar el ángulo
suplementario a otro dado, sólo tenemos que restar 180o
al ángulo que nos dan.
Por ejemplo: Buscar el ángulo complementario a 27o
31’ 15’’. Calculamos
90o
- 27o
31’ 15’’
que vale
89o
59’ 60’’
- 27o
31’ 15’’
62o
28’ 45’’
4.- Circunferencia:
Una curva se puede describir intuitivamente como el conjunto de puntos que
un lápiz traza al ser desplazado por el plano sin ser levantado. Si el lápiz no pasa por un
mismo punto dos veces, se dice que la curva es simple. Si el lápiz se levanta en el
mismo punto en que se comenzó a trazar la curva, se dice que la curva es cerrada.
Una circunferencia es una curva cerrada que verifica que la distancia a
cualquiera de sus puntos a otro punto fijo que se llama centro es constante. Es el lugar
geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto dado, del centro de la
circunferencia.
Elementos de la circunferencia:
- centro: es el punto fijo equidistante de cualquier punto de la circunferencia.
- Radio: es un segmento que une el centro con un punto cualquiera de la
circunferencia.
- Cuerda: es un segmento que une dos puntos cualesquiera de la
circunferencia.
- Diámetro: es una cuerda que pasa por el centro.
- Arco: cada una de las dos partes en que una cuerda divide a una
circunferencia.
Ilustración 5
5.- Polígonos:
Una curva simple que está formada por segmentos unidos por sus extremos se
dice que es una curva poligonal. Si dicha curva es cerrada se dice que es un polígono.
A estos segmentos se les llama lados y a los extremos de esos segmentos se les llama
vértices.
Si todos los lados de un polígono son iguales se dice que es regular. Los polígonos se
van a nombrar según el número de lados o vértices que tienen (triángulo, cuadrado,
pentágono, hexágono,…)
Polígonos regulares:
- Un polígono que tiene todos sus lados iguales se dice que es equilátero.
- Un polígono convexo cuyos ángulos interiores son todos congruentes se
dice que es equiángulo.
- Un polígono convexo que tiene todos sus lados y ángulos iguales se dice
que es regular. En un polígono regular de n lados, cualquier ángulo con
vértice en el centro y cuyos lados contienen vértices adyacentes del
polígono se dice que es un ángulo central del polígono.
Ilustración 6
Ejercicio:
Busca información acerca de:
- Rectas notables de un triángulo.
- Clasificación de los triángulos en función de sus ángulos
- Clasificación de los triángulos en función de sus lados.
- Clasificación de los cuadriláteros.
6.- Proporcionalidad geométrica y el Teorema de Thales:
Dados dos segmentos AB y CD, se llama razón entre dichos segmentos al
cociente de dividir la longitud del segmento AB entre la longitud del segmento CD.
Si la razón de dos segmentos AB y CD es igual a la razón de los segmentos FG y MN,
decimos que AB y CD son proporcionales a FG y MN.
Dos polígonos son semejantes si los ángulos correspondientes son iguales y los
lados correspondientes son proporcionales. Por ejemplo, los polígonos de la siguiente
ilustración son semejantes.
Ilustración 7
Por ejemplo, los siguientes polígonos son semejantes.
Todos sus lados son proporcionales. La razón de proporcionalidad entre F1 y
F2 es
Intenta calcular la razón de proporcionalidad entre F1 y F3 y la razón de
proporcionalidad entre F2 y F3.
Teorema de Thales:
Vamos a escribir algún ejemplo de aplicación del teorema de Thales.
Ejemplo 1:
Consideramos la siguiente figura. Sabemos que AB’ mide 5 cm y AB mide 8 cm.
Además, AC’ mide 4 cm. ¿Cuánto mide AC?
Según el teorema de Thales, tenemos que
Por tanto,
Luego AC mide 32/5=6,4 cm.
Ejemplo2:
Calcular la medida que falta en el siguiente triángulo.
Si por un triángulo se traza un segmento paralel a cualquiera
de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.
Basta aplicar el Teorema de Thales de forma que tenemos que los lados de los
triángulos que aparecen en la figura son proporcionales. Así,
De lo anterior tenemos que 5/(5+7)=5/12=0.417.
Así que x/(5+x)=0.417. Obtenemos una ecuación que podemos resolver en x,
obteniendo x= 3,57. Para calcular y sólo tenemos que resolver 3/y=0.417, es decir,
y=7,19.

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  • 1. GEOMETRÍA 1.- INTRODUCCIÓN: Etimológicamente hablando, la palabra Geometría procede del griego y significa “Medida de la Tierra”. La Geometría es la parte de las Matemáticas que estudia las idealizaciones del espacio en términos de las propiedades y medidas de las figuras geométricas. La Geometría no estudia el espacio real en sí mismo, sino objetos ideales (también conocidos como objetos matemáticos o geométricos), sus propiedades, relaciones y teorías, construidos por abstracción de cualidades del espacio real o de otros objetos ideales creados previamente (en el espacio real no existen círculos, pentágonos, rectas, puntos, esferas… sino objetos que tienen forma de… o modelizados por…; la realidad física siempre es menos perfecta que la realidad geométrica pensada o ideal). Así, podremos estudiar la forma de una ventana como la de la Ilustración 1 y sus propiedades. Ilustración 1 Esta ventana tiene la propiedad de que tiene forma de triángulo, pero no es un triángulo, ya que un triángulo es un concepto abstracto, ideal, que no puede encontrarse en la realidad. Los componentes elementales de las figuras geométricas serán: 1. Punto: Un punto es un objeto que no tiene dimensiones que indica una posición en el espacio. Se suelen designar con letras mayúsculas A, B, C,… P,… 2. Recta: Es una línea ilimitada por ambos extremos. Se suele denotar con letras minúsculas r, s, t,… Como representación en la realidad de una recta podemos tomar un hilo tenso, o el borde de una regla.
  • 2. 3. Plano: es una superficie ilimitada cuya concreción en el mundo real puede verse, por ejemplo, en la superficie de una mesa, una hoja de papel,… Se suele representar con las letras griegas π1, π2, π3,… Los puntos son objetos de la geometría lineal, puntos y rectas dan lugar a la geometría plana y los puntos, las rectas y los planos son objetos de la geometría espacial. Algunas consideraciones a tener en cuenta en geometría son las siguientes: Dos puntos distintos determinan una y sólo una línea recta que contiene a dichos puntos. Tres o más puntos pueden determinar varias rectas, pero si están todos contenidos en una se dirá que los puntos son colineales. Tres puntos no colineales determinan un plano. El objetivo de la Geometría, por tanto, será describir, clasificar y estudiar las propiedades de las figuras geométricas. 2.- RECTAS y SEGMENTOS: Dos rectas contenidas en el plano que no tienen ningún punto en común se dice que son paralelas (Ilustración 2). Si tienen un solo punto en común se dice que son concurrentes o secantes (Ilustración 3). Una recta que corta a otras dos se dice que es una transversal. Ilustración 2 Ilustración 3
  • 3. Todo punto P divide a la recta que lo contiene en dos subconjuntos llamados semirrectas o rayos de extremo P. También podemos construir semiplanos cuando quitamos a un plano una recta del mismo. Cada una de los dos divisiones hechas será un semiplano. Un segmento es un conjunto de puntos comprendido entre dos puntos. Si los extremos del segmento son los puntos A y B, el segmento se suele representar por AB. La distancia entre los dos extremos del segmento se llama longitud del segmento. Además, puede definirse también como la intersección de dos semirrectas contenidas en una misma recta. Ilustración 4 3.- ÁNGULOS: Un ángulo es la región del plano resultado de la intersección de dos semiplanos cerrados obtenida a partir de dos rectas incidentes. Para medir los ángulos se pueden distintas unidades: a) Radianes: un radián es la medida del ángulo cuyo arco tiene una longitud igual al radio de la circunferencia en la que está comprendido. b) Grados sexagesimales: es la medida del ángulo cuya longitud de arco es igual a la 360ava parte de la longitud de la circunferencia. Sus divisiones son minutos y segundos, que se representan por ‘ y ‘’ respectivamente. Para operar con ángulos dados de esta forma se trabaja en base 60. c) Grados centesimales: es la medida del ángulo cuya longitud de arco es igual a la 400ava parte de la longitud de la circunferencia. Sus divisiones son minutos y segundos centesimales. Para pasar de una a otra medida se utiliza la siguiente equivalencia de unidades: 2π radianes = 360o sexagesimales = 400 o centesimales
  • 4. Por ejemplo, si queremos sumar dos ángulos cuyas medidas en grados sexagesimales son 27 o 31’ 15’’ y 43 o 42’ 57’’ , lo tendremos que hacer sumando en base 60. Así, 27o 31’ 15’’ + 43o 42’ 57’’ 71o 14’ 12’’ La operación de diferencia de ángulos se realiza como aprendimos en el tema del número natural, operando en base 60. Para realizar la siguiente resta 163 o 15’ 43’’ - 96o 37’ 51’’ Podemos transformarla en 162o 74’ 103’’ - 96o 37’ 51’’ 66o 37’ 52’’ para obtener el resultado. También podemos pasar ángulos de una unidad de medida a otra a través de reglas de tres. Por ejemplo, si queremos pasar 180 o a radianes, sólo tenemos que tener en cuenta que 360o son 2π radianes. 360o  2 π radianes 180o  x radianes Por tanto, x=(180*2* π)/360 radianes = π radianes. Otro ejemplo, si tenemos radianes, ¿Cuánto mide dicho ángulo en grados sexagesimales? Basta escribir 360o  2 π radianes xo  radianes Por lo que x= / 2 π grados sexagesimales = 90o
  • 5. Los ángulos se pueden clasificar por su medida de esta forma: Un ángulo puede ser nulo, agudo, recto, obtuso, llano. Busca su definición como ejercicio. Se dice que dos ángulos son complementarios si su suma vale 90 o . Dos ángulos son suplementarios si su suma vale 180o . Si nos piden buscar el ángulo complementario a otro dado, sólo tenemos que restar a 90o dicho ángulo y si nos piden buscar el ángulo suplementario a otro dado, sólo tenemos que restar 180o al ángulo que nos dan. Por ejemplo: Buscar el ángulo complementario a 27o 31’ 15’’. Calculamos 90o - 27o 31’ 15’’ que vale 89o 59’ 60’’ - 27o 31’ 15’’ 62o 28’ 45’’ 4.- Circunferencia: Una curva se puede describir intuitivamente como el conjunto de puntos que un lápiz traza al ser desplazado por el plano sin ser levantado. Si el lápiz no pasa por un mismo punto dos veces, se dice que la curva es simple. Si el lápiz se levanta en el mismo punto en que se comenzó a trazar la curva, se dice que la curva es cerrada. Una circunferencia es una curva cerrada que verifica que la distancia a cualquiera de sus puntos a otro punto fijo que se llama centro es constante. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto dado, del centro de la circunferencia. Elementos de la circunferencia: - centro: es el punto fijo equidistante de cualquier punto de la circunferencia. - Radio: es un segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia. - Cuerda: es un segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia. - Diámetro: es una cuerda que pasa por el centro.
  • 6. - Arco: cada una de las dos partes en que una cuerda divide a una circunferencia. Ilustración 5 5.- Polígonos: Una curva simple que está formada por segmentos unidos por sus extremos se dice que es una curva poligonal. Si dicha curva es cerrada se dice que es un polígono. A estos segmentos se les llama lados y a los extremos de esos segmentos se les llama vértices. Si todos los lados de un polígono son iguales se dice que es regular. Los polígonos se van a nombrar según el número de lados o vértices que tienen (triángulo, cuadrado, pentágono, hexágono,…) Polígonos regulares: - Un polígono que tiene todos sus lados iguales se dice que es equilátero. - Un polígono convexo cuyos ángulos interiores son todos congruentes se dice que es equiángulo. - Un polígono convexo que tiene todos sus lados y ángulos iguales se dice que es regular. En un polígono regular de n lados, cualquier ángulo con vértice en el centro y cuyos lados contienen vértices adyacentes del polígono se dice que es un ángulo central del polígono. Ilustración 6
  • 7. Ejercicio: Busca información acerca de: - Rectas notables de un triángulo. - Clasificación de los triángulos en función de sus ángulos - Clasificación de los triángulos en función de sus lados. - Clasificación de los cuadriláteros. 6.- Proporcionalidad geométrica y el Teorema de Thales: Dados dos segmentos AB y CD, se llama razón entre dichos segmentos al cociente de dividir la longitud del segmento AB entre la longitud del segmento CD. Si la razón de dos segmentos AB y CD es igual a la razón de los segmentos FG y MN, decimos que AB y CD son proporcionales a FG y MN. Dos polígonos son semejantes si los ángulos correspondientes son iguales y los lados correspondientes son proporcionales. Por ejemplo, los polígonos de la siguiente ilustración son semejantes. Ilustración 7 Por ejemplo, los siguientes polígonos son semejantes. Todos sus lados son proporcionales. La razón de proporcionalidad entre F1 y F2 es
  • 8. Intenta calcular la razón de proporcionalidad entre F1 y F3 y la razón de proporcionalidad entre F2 y F3. Teorema de Thales: Vamos a escribir algún ejemplo de aplicación del teorema de Thales. Ejemplo 1: Consideramos la siguiente figura. Sabemos que AB’ mide 5 cm y AB mide 8 cm. Además, AC’ mide 4 cm. ¿Cuánto mide AC? Según el teorema de Thales, tenemos que Por tanto, Luego AC mide 32/5=6,4 cm. Ejemplo2: Calcular la medida que falta en el siguiente triángulo. Si por un triángulo se traza un segmento paralel a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.
  • 9. Basta aplicar el Teorema de Thales de forma que tenemos que los lados de los triángulos que aparecen en la figura son proporcionales. Así, De lo anterior tenemos que 5/(5+7)=5/12=0.417. Así que x/(5+x)=0.417. Obtenemos una ecuación que podemos resolver en x, obteniendo x= 3,57. Para calcular y sólo tenemos que resolver 3/y=0.417, es decir, y=7,19.