Este documento presenta las nociones básicas de geometría que es importante que los estudiantes aprendan, incluyendo las definiciones y propiedades de figuras geométricas como polígonos, triángulos, cuadriláteros, círculos y más. Explica las clasificaciones de estas figuras según sus lados, ángulos y otros elementos, y destaca propiedades clave como la suma de los ángulos interiores de un polígono y triángulo. El objetivo es ayudar a los maestros a enseñar estos

1. Unidad V: Enseñanza de las Nociones de geometría y medida
De todos los contenidos que se enseñan en Matemática en la escuela primaria, uno de los más desvalorizados en el momento de su enseñanza es la Geometría, porque
prácticamente su enseñanza se reduce a que el niño identifique los objetos geométricos por sus dibujos y se aprenda de memoria las propiedades de los mismos.
Mientras que para otros conocimientos las prácticas de la enseñanza de la matemática tienden a apoyarse en la resolución de problemas, en el trabajo con geometría
parecen estar ausentes, privilegiándose actividades “basadas en la presentación de los objetos geométricos y sus propiedades” (Doc. N°5, GCBA, 1998:5)
La propuesta de enseñanza de la Geometría consiste en que los niños logren construir un conocimiento geométrico con sentido, y para propiciar esto más allá de las
estrategias de enseñanza, como docentes responsables tenemos que tener bien claras las nociones a enseñar, así que este apunte se estructura con una primera parte
que refuerza las Nociones Básicas de Geometría y una segunda que aporta a la Enseñanza de la Geometría.
Nociones Básicas de Geometría
1. Figuras Geométricas
1.1 Polígonos
Todo multilátero simple cerrado y la región interior que delimita se llama Polígono Simple

2. 1.1.1 Elementos de un polígono
Vértices: A, B, C, D
. Consecutivos: A, B, C, D
. No Consecutivos: A, B, C, D
Lados: segmentos determinados por pares de vértices consecutivos.
Diagonales: segmentos determinados por pares de vértices no consecutivos.
1.1.2 Clasificaciones de acuerdo a algún elemento en particular
 Según sus ángulos interiores en:
- Cóncavos: Polígono en el que algún ángulo interior es cóncavo.
Ángulo Cóncavo: es un ángulo que mide entre 180° y 360°
Ángulo Convexo: Es un ángulo que mide entre 0° y 180°
En los polígonos cóncavos existe algún segmento determinado por un par de puntos que no está incluido en su región interior.

3. - Convexos: Polígono en el que todos sus ángulos interiores son convexos.
Ángulos Exteriores: Son los ángulos adyacentes a los interiores
En los polígonos convexos todo segmento determinado por un par de puntos del polígono está dentro de él.
 Según la longitud de sus lados
Puede ser Regular o Irregular, si todos sus lados son congruentes se lo denomina Regular, si tiene por lo menos uno de ellos diferentes es Irregular.

4.  Según el número de lados
N° de lados Denominación
3 Triángulo
4 Cuadrilátero
5 Pentágono
6 Hexágono
7 Heptágono
8 Octógono
9 Eneágono
10 Decágono
11 Undecágono
12 Dodecágono
15 Pentadecágono
20 Icoságono
Por ejemplo:
(A) (B)
Ambos polígonos son pentágonos, pero en el primero (A) es Irregular y el (B) es Regular.
1.1.3 Propiedades de los Polígonos Convexos
a) N° de diagonales por vértice:
Para un polígono de n lados, el número de diagonales por vértice es (n-3).

5. ¿Por qué cree que puede ser usado es 3 y no un 2 o un 4?
Lo que se resta con ese 3 son los vértices con los cuales no se forman diagonales, que serían: uno el vértice donde se originan las diagonales y dos más que son
los vértices consecutivos al anterior que junto con ese forman los lados. Por eso siempre es restando 3 al número de lados.
Reflexionemos:
¿Cuantas diagonales tiene por vértice un triángulo?
b) N° total de diagonales del polígono
Para esto usamos lo anterior n-3 pero lo debemos multiplicar por los n lados del polígono, pero se lo debe dividir por 2 porque si no hay diagonales que
se cuentan dos veces.
n.(n-3)
2
c) N° de Triángulos determinados por una diagonal
= n-2
Por ejemplo, en un pentágono n=5 por lo tanto, 5-2=3
d) Suma de los ángulos interiores de un polígono
Ya sabemos que una de las propiedades de los triángulos es que la suma de sus ángulos interiores es 180°, en los polígonos de n lados vamos a usar ese conocimiento
que ya se tiene. Por ejemplo, en el pentágono anterior las diagonales de un vértice determinan tres triángulos, por lo tanto, la suma de los ángulos interiores será
3.180°=540°.
e) Suma de los ángulos exteriores siempre es 360°
¿Por qué será?
Sabemos que: 1 Ángulo Interior + 1 Ángulo Exterior = 180°

6. 1 Ángulo Exterior = 180° - Ángulo Interior
Suma de los ángulos exteriores= n.180°- Suma de Ángulos Interiores
Suma de los ángulos exteriores= n.180°- 180°.(n-2) (Prop. Distributiva)
Suma de los ángulos exteriores= n.180°- 180°.n-360° (Prop. Cancelativa)
Suma de los ángulos exteriores= 360°
f) Propiedades de los lados del polígono
 “En todo polígono cada lado es menor a la suma de los restantes”
Condiciones necesarias y suficientes para que dos polígonos sean congruentes
 “Dos polígonos son congruentes si y solo si, los lados correspondientes y los ángulos correspondientes son congruentes”
Condición 1) Si dos polígonos tienen n-1 lados y los n-2 ángulos comprendidos congruentes, entonces son congruentes.
Condición 2) Si dos polígonos tienen n-1 ángulos y los n-2 lados comprendidos congruentes, entonces son congruentes.
1.2 Triángulos
Un triángulo puede ser definido como un polígono de tres lados, o como un polígono con tres vértices. El triángulo es el polígono más simple y el único que no tiene
diagonal. Tres puntos no alineados definen siempre un triángulo.
Se pueden encontrar distintas definiciones, pero eso varía de acuerdo a distintos puntos de vista, esto lo trataremos mas adelante…
1.2.1 Clasificaciones de acuerdo a algún elemento en particular
- Según la longitud de sus lados
Escaleno: tiene sus 3 lados con distintas longitudes.
Isósceles: Tiene por lo menos dos lados de igual longitud, por lo tanto, dos ángulos congruentes también.
Equilátero: Tiene sus tres lados con la misma longitud y cada ángulo mide 60°

7. - Según la amplitud de sus ángulos
Acutángulo: Todos los ángulos interiores son agudos
Rectángulo: Tiene un ángulo interior recto
Obtusángulo: Tiene un ángulo interior obtuso
Reflexionemos y Justifiquemos
Será cierto que:
“todo triángulo Isósceles es Equilátero”
“en un triángulo puede tener como ángulos interiores un obtuso y un recto”
Completar el siguiente cuadro con las representaciones que corresponden:
Triángulo equilátero isósceles escaleno
acutángulo
rectángulo
obtusángulo

8. 1.2.2 Propiedades de los triángulos
- Indeformabilidad: es una figura que no se deforma, es rígida.
Les propongo que comprobemos esto:
Tomen tres segmentos hechos de cartón con longitudes que permitan formar un triángulo y en cada extremo hagan una perforación. Luego unan por esa perforación
los vértices con ganchitos mariposa e intenten mover y cambiar la forma del triángulo hecho. ¿Qué paso?
- Existencia de los triángulos – Propiedad Triangular
La suma de las longitudes de dos de los lados de un triángulo es siempre mayor que la longitud del tercer lado.
- Invarianza de los ángulos interiores
La suma de los ángulos interiores del triángulo es 180°.
Euclides había demostrado este resultado en sus Elementos (proposición I-32) de la siguiente manera: se traza una paralela a la línea (AB) que pasa por C. Siendo
paralelas, esta recta y la recta (AB) forman con la recta (AC) ángulos iguales, codificados en color rojo en la figura de la derecha (ángulos alternos-internos). Del mismo
modo, los ángulos codificados en color azul son iguales (ángulos correspondientes). Por otro lado, la suma de los tres ángulos del vértice C es el ángulo llano. Así que
la suma de las medidas del ángulo de color rojo, del ángulo verde y del azul es un ángulo de 180°. En conclusión, la suma de los ángulos de un triángulo es 180°.
Esta propiedad es el resultado de la geometría euclidiana. No se verifica en general en la geometría no euclidiana.

9. 1.2.3 Puntos notables de los triángulos
Incentro
Bisectrices del triángulo: son los tres segmentos bisectrices de los ángulos del triángulo

10. La bisectriz de un ángulo es la semirrecta con origen en el vértice del ángulo y que lo divide en dos ángulos de igual medida.
Las bisectrices de un triángulo siempre se cortan en un punto interno del mismo y se lo denomina incentro.
La circunferencia que tiene por centro el punto de intersección de las bisectrices y por radio la distancia del centro a cada lado es tangente a los lados del triángulo se
llama circunferencia inscripta.
Circuncentro
Mediatrices de un triángulo: son las tres rectas mediatrices de los lados del triángulo

11. Las mediatrices de un triángulo se cortan en un punto que equidista de cada uno de los vértices del triángulo, al que se lo denomina como Circuncentro.
La circunferencia que tiene centro el punto de intersección de las mediatrices del triángulo y por radio la distancia de dicho punto a cada vértice se denomina
Circunferencia Circunscripta al triángulo.
La mediatriz de un segmento es la línea recta perpendicular a dicho segmento trazada por su punto medio.
Ortocentro
Alturas del triángulo: son las tres rectas perpendiculares a cada lado hasta el vértice opuesto de cada uno.
Las tres alturas del triángulo (o sus prolongaciones) se cortan en un punto llamado ortocentro .

12. Las alturas podrían estar en el exterior del triángulo, en el caso de que sea un triángulo obtusángulo. El ortocentro también será exterior en los triángulos
obtusángulos. En los rectángulos coincidirá con el vértice del ángulo recto. En los acutángulos, será un punto interior.
Baricentro
Medianas del triángulo: son medianas del triángulo los segmentos determinados por el vértice con el punto medio del lado opuesto.
El punto de intersección de las medianas se lo denomina Baricentro y siempre es interior al triángulo.
Propiedad: la distancia entre el baricentro y su vértice correspondiente es el doble de la distancia entre el baricentro y el lado opuesto. Es decir, la distancia del
baricentro a cada vértice es de 2/3 la longitud de cada mediana.
El Baricentro es el centro de gravedad de una superficie triangular.

13. 1.3 Cuadriláteros
En geometría plana, un cuadrilátero o tetrágono es un polígono de cuatro lados y cuatro vértices.
En la medida que se imponen condiciones se obtienen cuadriláteros más particulares.

14. 1.3.1 Propiedades de los lados y los ángulos de los cuadriláteros
 Si a cualquier cuadrilátero lo condicionamos que tenga por lo menos un par de lados paralelos se genera la familia de los TRAPECIOS.
Estos pueden ser:
Rectángulo: si las bases con uno de sus lados forma 2 ángulos rectos
Isósceles: si tiene los ángulos adyacentes a las bases congruentes y sus lados que no son bases también congruentes.
Paralelogramo: si tiene dos pares de lados paralelos y congruentes. Sus ángulos interiores opuestos son congruentes.
Rectángulo: es resultado de la combinación de las condiciones que cumplen los distintos trapecios.
“TODO RECTANGULO ES PARALELOGRAMO, ES TRAPECIO RECTANGULO Y ES TRAPECIO ISOSCELES”

15. ¿Estás de acuerdo o no con esta afirmación? ¿Por qué?
“Si un paralelogramo tiene un ángulo recto es rectángulo”
 Si a cualquier cuadrilátero lo condicionamos a que tenga por lo menos un par de lados consecutivos congruentes se construye el Semiromboide
Si al Semiromboide se le agrega otra condición que tenga dos pares de lados consecutivos congruentes y un par de ángulos opuestos congruentes se puede construir
el Romboide.
Si al Romboide le agrego la condición que tenga los cuatro lados congruentes y que los pares de lados opuestos sean paralelos entre sí se puede construir un Rombo.
¿Estás de acuerdo o no con esta afirmación? ¿Por qué?
“El rombo es un paralelogramo y es un Romboide”
Cuadrado
El cuadrado cumple con todas las propiedades de los lados y los ángulos enunciadas para las distintas clases de cuadriláteros.
Asique si alguna vez te dicen que SOS un CUADRADO… DALE LAS GRACIAS…

16. 1.3.2 Propiedades de las diagonales
 Las diagonales en un polígono convexo se cortan en un punto interior del mismo
 Si las diagonales se cortan en su punto medio de acuerdo a los ángulos que forman entre sí generan una familia de paralelogramos.
- Si las diagonales de un paralelogramo son perpendiculares, el paralelogramo es un rombo
- Si las diagonales son bisectrices de ángulos opuestos correspondientes, el paralelogramo es un rombo.
 Si las diagonales siguen siendo perpendiculares pero que una sola corte a la otra en partes congruentes se genera una familia de romboides. La diagonal
mayor es bisectriz de los ángulos opuestos correspondientes.
 Si las diagonales se cortan en su punto medio y son congruentes se genera una familia de rectángulos.
- Si las diagonales del rectángulo son perpendiculares es un cuadrado
- Si las diagonales del rectángulo son bisectrices de los pares de ángulos opuestos correspondientes, dicho rectángulo es un cuadrado.

17. 1.4 Círculo y Circunferencia
Las nociones de círculo y circunferencia son centrales para la elaboración de las propiedades de la geometría plana, fundamentalmente para validar las
construcciones de las figuras.
1.4.1 Circunferencia
La circunferencia es una curva plana y cerrada donde todos sus puntos de ella están a igual distancia del centro o también puede decirse que es es
el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo llamado centro.
 Centro: Es el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia.
 Radio: Es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.
 Diámetro: El diámetro de una circunferencia es el segmento que une dos puntos de la circunferencia que pasa por el centro de esta. El diámetro mide el doble
del radio.
 Cuerda: La cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. El diámetro es la cuerda de longitud máxima.
 Recta secante: Es la línea que corta a la circunferencia en dos puntos.
 Recta tangente: Es la línea que toca a la circunferencia en un solo punto. Se la puede encontrar trazando una recta perpendicular al radio.
 Punto de Tangencia: es el punto de contacto de la recta tangente con la circunferencia.
 Arco: El arco de la circunferencia es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Un arco de circunferencia se denota con el símbolo
sobre las letras de los puntos extremos del arco.
 Semicircunferencia: cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.

18. 1.4.2 Círculo
Un círculo, en geometría euclídea, es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que una
cantidad constante, llamada radio. En otras palabras, es la región del plano delimitada por una circunferencia y que posee un área definida.
Segmento circular: Dados dos puntos A y B de una circunferencia, se denomina segmento circular a cualquiera de las dos partes de la cuerda AB divide al círculo.
Semicírculo: Si la cuerda AB es un diámetro, las dos partes son semicírculos.
1.4.3 Angulo Central y Sector Circular
Angulo Central: todo ángulo cuyo vértice coincide con el centro de la circunferencia se llama ángulo central

19. Sector Circular: dado un circulo y un ángulo central se llama sector circular a la intersección del circulo con el ángulo central
Propiedades:
 Si en una misma circunferencia o en circunferencias congruentes dos arcos son congruentes, las cuerdas correspondientes son congruentes.
 Si en una misma circunferencia o en circunferencias congruentes un arco es menor que otro, la cuerda correspondiente al primero es menor que la
cuerda correspondiente al segundo si y solo si cada arco es menor o igual que una semicircunferencia.
 En toda circunferencia el diámetro es mayor que cualquier otra cuerda.
¿Cómo trazamos circunferencias?
Para dibujar circunferencias se puede recurrir a distintos tipos de herramientas: tapas, monedas o cualquier objeto redondo y el compás. Pero de
acuerdo lo que se use se pone en juego diferentes relaciones inherentes a la circunferencia.
Si se usa una tapa o moneda se puede representar una circunferencia, pero no se puede identificar su centro, ni su radio, por lo tanto, si se quiere hacer
una circunferencia con un radio determinado no se puede usar un objeto redondo, se debería apelar al uso del compás una herramienta privilegiada
para la construcción de circunferencias.

20. 2. Cuerpos geométricos (La sección de Cuerpos es una adaptación del material teórico que acompaña el libro de texto Matemática 7° (2004) de Chemello y
otros, Editorial Longseller, Buenos Aires)
Si se necesita comunicar la forma y dimensiones de un terreno, de una silla o de una obra de arte es conveniente, y a veces imprescindible, hacer una descripción oral
o dibujada en la que intervienen nociones geométricas.
En el caso de los dibujos de la imagen, las formas tienen características comunes, pueden ser asociadas a una misma idea geométrica, por ejemplo, la de prisma
rectangular.
Descripción de cuerpos geométricos
Para identificar un cuerpo es necesario distinguir aquellos aspectos que lo caracterizan y lo diferencian de otros. Una de las características que se pueden tener en
cuenta es si tienen o no agujeros, y otra es la forma de las caras o superficies que lo limitan. También las relaciones que se establecen entre ellas: si son planas o no, si
son cuadriláteros u otro polígono, si las caras son congruentes entre sí, si entre ellas son paralelas.
Los cuerpos son ideas igual que los números, conceptos abstractos. Los dibujos sirven para analizar y estudiar algunas regularidades, para encontrar argumentos,
pero no sirven para demostrar propiedades.
Cuando se estudian las propiedades de un tipo de cuerpos, las relaciones entre sus distintos elementos, aunque se razone sobre una representación particular, se
pueden obtener conclusiones que valen para todos los cuerpos de ese tipo, cualesquiera que sean sus dimensiones.

21. Poliedro y cilindro con agujero
2.1 Poliedros
Los cuerpos que poseen todas sus caras planas se denominan poliedros.
Esta palabra deriva del griego “polys” que significa muchos, y “edra” caras. Además, los poliedros poseen aristas, que son los segmentos comunes a dos caras, y vértices,
que son los puntos donde concurren más de dos caras.
2.1.1 Poliedros regulares
Los poliedros cuyas caras son polígonos regulares congruentes se llaman poliedros regulares.
En estos cuerpos, cada vértice está rodeado por un mismo número de caras. Euclides demostró que sólo existen cinco cuerpos con estas características.

22. 2.1.2 Prismas rectangulares
Los poliedros que tienen caras laterales rectangulares se denominan prismas. Tienen dos bases y la distancia entre ellas es la altura del prisma.
También existen prismas cuyas caras no son rectangulares, sino que se trata de paralelogramos; en estos casos se denominan prismas oblicuos.
2.1.3 Pirámides
Los poliedros que tienen caras laterales triangulares se denominan pirámides. Tienen una base y la distancia entre ella y la cúspide es la altura de la pirámide.

23. 2.2 Cuerpos redondos
Entre los cuerpos sin agujeros y que no tienen todas sus caras planas, denominados cuerpos redondos, algunos reciben nombres particulares.
Cilindro: tiene dos caras planas paralelas y circulares, llamadas bases.
Cono: tiene una base plana y circular.
Esfera: no tiene bases ni vértices.
Representación plana de cuerpos
El espacio en donde se desarrollan las actividades humanas es un espacio de tres dimensiones, que se puede relacionar con tres direcciones: arriba-abajo, adelante-
atrás y derecha-izquierda.
Muchas de las representaciones que se hacen del espacio y de los objetos son planas. En revistas, hojas de carpeta, el pizarron y hasta la pantalla del televisor se
muestra una realidad en dos dimensiones.
Tanto las fotos como un mapa de la ciudad están sobre superficies. Aunque correspondan al mismo espacio físico, muestran distintos aspectos, son distintas
representaciones, y su elección depende de la información que se quiera transmitir.
Por ejemplo, estas son distintas representaciones de un cubo, teniendo en cuenta distintas vistas:

24. Otra posibilidad de representación plana es el desarrollo del cuerpo. En el caso del cubo:
Construcción de cuerpos
Si se desarma un envase de cartón de algún medicamento, de alimentos, etc. y no se toman en cuenta las aletas que sirven para pegar sus caras, se obtiene un molde
o patrón como los siguientes:

25. Esta manera de representar un cuerpo en el plano recibe el nombre de desarrollo. Para realizarlo se distribuyen las caras de un cuerpo en una sola pieza. Al plegarlo
por las líneas interiores es posible volver a armar el cuerpo.

26. Aportes a la enseñanza de la Geometría
¿Qué es la geometría?
¿La geometría se trata del estudio de las propiedades de las figuras y de los cuerpos?... ¿Qué piensan ustedes?
¿Qué geometría se enseña en la escuela primaria?
Si hacemos un pequeño recorrido en nuestra memoria, la enseñanza de la geometría se iniciaba con el punto, la recta y el plano, más adelante se proseguía con la
enseñanza de los ángulos, las figuras y los cuerpos y se terminaba con el estudio de los cálculos de área y perímetro de las figuras o cuerpos dados. La construcción
con los instrumentos de geometría también era objeto de enseñanza y se hacía especial hincapié en la precisión del dibujo y su medida.
En muchas ocasiones las propuestas de enseñanza priorizaban también el estudio memorístico de las propiedades, un tratamiento de las figuras geométricas basado
en la percepción y un estudio superficial de los cuerpos “tratándolos ostensivamente como las formas de elementos que nos rodean en la vida cotidiana”.
Hoy seguimos encontrando escuelas primarias en las que no se enseña Geometría para contribuir al desarrollo por parte de los alumnos, sino que se reduce al
aprendizaje de una Geometría en la que se presentan objetos definidos como saberes culturales promoviendo un aprendizaje memorístico, convirtiendo ese saber
hacer en sólo un saber decir sin un sentido verdadero.
“La geometría a enseñar en la escuela primaria debe incluir, en principio, el trabajo con objetos geométricos considerados como modelos del espacio físico. Esta
modelización toma como punto de partida la relación del niño con el espacio sensible en el que vive, que constituye su primer campo de experiencias.
En este sentido, las figuras consideradas como dibujos por los niños en los primeros grados de la escuela primaria, dan cuenta de esta relación con el espacio
sensible. Esta concepción, en la que se superponen la figura y su representación, debería evolucionar hacia otra, que no adquiere más que por vía del aprendizaje:
las figuras caracterizadas por las propiedades que cumplen y el texto que las describe, objetos geométricos propios del espacio geométrico en el sentido
euclidiano” (Chemello, Agrasar, Chara, Crippa, 2014)
Por lo tanto, la geometría se debe encargar del estudio de objetos teóricos ideales. Uno de los propósitos de su enseñanza es el estudio de las propiedades de las
figuras y los cuerpos geométricos, pero además lo que se propone también el lograr que el niño logre desarrollar un pensamiento deductivo, un pensamiento propio
del saber geométrico.
Reflexionemos los que Broitman, C y Itzcovich, H (2007) expresan:
“Un desafío actual -preocupación compartida por muchos docentes”- es cómo reinstalar la geometría en las aulas con la misma fuerza que tenía
anteriormente, pero sin que su enseñanza esté centrada en la transmisión de nombres y técnicas de construcción. Y a la vez, cómo promover un
tratamiento de los objetos geométricos a la enseñanza que se aproxime lo más “fielmente” posible a la actividad geométrica. Esta intención de
“fidelidad” exigirá dejar de forzar relaciones con la vida cotidiana y promover en cambio el interés y el placer de los alumnos en la resolución de
problemas estrictamente geométricos”.

27. Un poco de historia antes de avanzar…
¿Hay una geometría o muchas?
Hay varias geometrías, se puede decir y a continuación, les mencionaremos algunas de ellas, pero obviamente no vamos a desarrollarlas, porque al fin de cuentas en
esta instancia “las geometrías” no son el objeto de enseñanza.
Entre las distintas ramas de la geometría que se han desarrollado con el paso de los años están las siguientes:
 Euclidiana
 Analítica
 Descriptiva
 No Euclidiana
 Proyectiva
 Fractal
 Topológica
De todas las que hemos nombrado la Euclidiana, la Analítica y quizás la Descriptiva son las que podemos llegar conocer un poquito más, aunque sólo sea por su
nombre…
En la primera, la “Geometría Euclidiana”, Euclides, en su libro los “Elementos” recupera los trabajos que otros matemáticos habían hecho hasta el momento y los
ordena sistemáticamente estableciendo una sucesión lógica de proposiciones, con axiomas, postulados y definiciones, un desarrollo innovador en ese momento y que
luego fue imitado por otras materias.
Los postulados de Euclides son afirmaciones que seguramente las hemos estudiado en algún momento. ¿Los conocen?
Postulados de Euclides
1. Dos puntos cualesquiera determinan un segmento de recta
2. Un segmento de recta se puede extender indefinidamente en una línea recta
3. Se puede trazar una circunferencia dados un centro y un radio cualesquiera
4. Todos los ángulos rectos son iguales entre si
5. Por un punto exterior a una recta se puede trazar solo una paralela.
y… ¿los conocían?
Otra rama de la Geometría es la Analítica, Fermat y Descartes fueron los que principalmente la desarrollaron. En esta geometría se estableció una conexión entre la
geometría y el álgebra. Se introduce el uso de sistemas de coordenadas cartesianas en el plano, y se ubica puntos mediante dos datos, incluso se logra representar por
medio de fórmulas a las figuras geométricas.
En la Geometría Descriptiva, el objeto de enseñanza que involucra es el cómo debe confeccionarse la representación plana de un objeto de modo que pueda deducirse
su forma precisa, así como la distribución de las dimensiones de sus elementos constitutivos. Esta geometría suministra las bases teóricas del dibujo técnico.

28. Podríamos seguir detallando cada una de las otras, pero esa es tarea suya, si quieren…
Con distintas geometrías ¿distintos objetos geométricos?
Los objetos geométricos se pueden considerar de diferentes modos porque justamente se los puede asociar a diferentes geometrías. Por ejemplo, la circunferencia
puede ser abordada como un trazo hecho con el compás, o como una línea curva cerrada en la cual los puntos de esta línea equidistan de un punto llamado centro
desde la geometría euclidiana o también como el conjunto de puntos del plano que satisfacen una ecuación a partir de la geometría analítica, pero en fin, sigue siendo
el mismo objeto, una circunferencia.
Es importante destacar que son distintos puntos de vista para mirar un mismo objeto “una geometría no es más o menos verdadera, sino más o menos cómoda para
ser aplicada a un cierto mundo”. (J. H. Poincaré 1854-1912)
Nosotros en general en primaria tenemos en cuenta los aportes de la Geometría Euclidiana, ya en el Nivel Secundario se trabaja la Analítica y quizás unos comienzos
de la Descriptiva.
Entonces, vamos definiendo los Objetos Geométricos…
Las figuras y los cuerpos no solo pueden ser considerados desde distintos puntos de vista de acuerdo a las distintas geometrías, sino pueden ser definidos de varias
formas desde un único punto de vista.
Por ejemplo, en la geometría euclidiana puedo definir al cuadrado de distintas maneras utilizando diferentes propiedades.
 Paralelogramo con sus 4 lados congruentes y sus 4 ángulos congruentes
 Paralelogramo con sus diagonales congruentes, que se cortan en su punto medio y los ángulos determinados entre ellas congruentes también.
 Rombo con sus 4 ángulos internos congruentes.
Cada una de estas definiciones permiten asociar la figura con un conjunto de propiedades para determinar otras que quizás no están explicitadas. Esto es muy
importante que el alumno logre reflexionarlo, porque le va a permitir reconocer que a una figura se la puede concebir desde sus propiedades y que cada figura tiene
sus condiciones propias y no otras.
¿Cómo producimos el conocimiento geométrico y como logramos validarlo?
Para la enseñanza de la geometría se propone también que el conocimiento geométrico se construya por medio de la resolución de problemas con su posterior
reflexión, como lo hemos visto en otras ocasiones. ¿Verdad?
Pero…, ¿Qué problemas se pueden plantear? ¿y qué procedimientos se pueden desplegar para resolver?

29. Para la resolución de los problemas geométricos se puede recurrir a distintos tipos de procedimientos y estos también forman parte de la construcción del sentido de
ese conocimiento. La historia de la geometría nos ha dado pequeñas muestras que desde el principio se realizaba un trabajo geométrico enmarcado más en lo
pragmático-experimental que en lo intelectual-anticipatorio, pero eso fue evolucionando y ese cambio dependió también del grado de conceptualización del
conocimiento que tenía la persona que resolvía el problema.
Por lo tanto, los procedimientos que se pueden utilizar para resolver los problemas geométricos van a ir cambiando en función del conocimiento que el niño va
elaborando.
En conclusión, el trabajo que puede realizar el alumno para resolver el problema también puede ser pensado como:
 Experimental: el alumno solo recurre para resolver el problema a la acción física, medición, superposición, recorte, plegado, etc. Acciones que caracterizan
la geometría que se trabaja más en un primer ciclo.
 Anticipatorio: el alumno relaciona los elementos del problema con algunos conocimientos que ya posee, en este caso se construye el objeto a partir de las
propiedades que no están explicitadas en el enunciado y se establece el carácter necesario de los resultados de manera independiente de la experimentación.
¿Qué es necesario para poner en juego un procedimiento anticipatorio para resolver un problema?
Es necesario decidir a partir de los datos y con el apoyo de las propiedades y relaciones que no están enunciadas pero que llevan al resultado
independientemente de la experimentación.
Por ejemplo:
Si el segmento BD es mediatriz del segmento AC ¿Qué puedo decir de la figura ABCD?
Anticipación:
Este tipo de situación permite un trabajo anticipatorio, porque de acuerdo a los datos dados el segmento BD es mediatriz de AC, significa que BD divide en dos
segmentos congruentes a AC, cualquiera fuese su longitud y como la mediatriz es un segmento que divide en forma perpendicular a otro por lo tanto los mismos son
diagonales del cuadrilátero y ellas son perpendiculares y una de ellas divide a la otra en segmentos congruentes. Por lo tanto con esas relaciones que no están
enunciadas se puede llegar a un resultado independiente de la experimentación
Las figuras que tienen como propiedad la perpendicularidad de las diagonales son los romboides, rombos o cuadrados, pero como el dato nos dice que solo una es
mediatriz de la otra es el romboide el que satisface esta condición, ya que en el rombo y el cuadrado ambas diagonales se cortan en su punto medio.

30. Representación:
Dibujo vs Representación del objeto geométrico
Porras y Martinez (1998:74) señalan la sobrevaloración del rol del dibujo como un rasgo característico en la enseñanza de la geometría y sostienen que “la
experiencia con los objetos geométricos se basa en la imagen que brindan los dibujos, llegando a transformarse estos últimos en el objeto de estudio
mismo”
Según Pazysz “la figura es el objeto geométrico descripto por el texto que la define, una idea, una creación del espíritu, en tanto que el dibujo es una
representación de este objeto”
En los primeros años los niños asocian los objetos geométricos con los dibujos de ellos, sin tener en cuenta que la representación se diferencia de los objetos mismos.
A medida que pasa el tiempo el trabajo geométrico que puede lograr el niño va evolucionando a lo largo del nivel de una forma pragmática a una más intelectual,
logrando reconocer esa diferencia desde “el texto que la define”.
Para el niño una figura muchas veces es la representación de la misma, porque es lo que percibe directamente desde la observación. Otras veces puede ser que no sea
solo el dibujo lo que ve, sino que identifica en esa figura las propiedades y relaciones que también la definen y es en esta instancia que el dibujo es la representación.
Por lo tanto, con las propiedades, las relaciones y la representación esa figura toma el status de objeto geométrico.
En conclusión, el dibujo es insuficiente para definir un objeto, porque para ello es necesario el explicitación de las relaciones que caracterizan el objeto.
Las relaciones entre dibujo y figura son complejas y como todo, van cambiando en función de los conocimientos que el niño va elaborando.
Información de las figuras
Además del contorno de las figuras, en las representaciones se incluyen otras informaciones como marcas que determinan relaciones de lados, ángulos y otros
elementos.

31. La notación con letras mayúsculas o minúsculas (sólo depende de una decisión del docente al respecto de que notación usará), cualquiera que fuese es importante
que se utilice alguna porque de esa manera la figura se determina como objeto geométrico y se permite indicar de forma más sencilla los elementos, propiedades y
relaciones que pueden encontrarse.
¿La construcción grafica es objeto de enseñanza?
“El dibujo es la representación de un objeto geométrico ideal denominado figura. Cuando aparece en un primer plano y de manera exclusiva el trabajo con
dibujos, esta diferencia parece perderse, al mismo tiempo en que pareciera circular implícita la idea según la cual todos los dibujos, en todas las ocasiones,
deben tener el mismo grado de exactitud, cuando en realidad hay situaciones en las que con uno muy aproximado nos alcanza para discutir un problema.
En este intento porque los alumnos identifiquen las figuras los dibujos suelen aparecer repitiéndose a partir de un mismo modelo, una especie de forma
ejemplar o arquetipo en el que están estandarizadas las dimensiones y también las posiciones.
De esta manera se corre el riesgo de que los alumnos crean que las dimensiones del dibujo y las posiciones en las que aparecen forman parte de las
características propias de la figura” (Ponce, 2006)
Las construcciones son un medio para conocer las figuras, las diferentes maneras de gestionar las construcciones en la clase supondrán para los alumnos
distintas formas de desplegar el conocimiento geométrico.
Se pueden presentar situaciones en las que los alumnos reproduzcan figuras ya construidas y situaciones en las que los niños deban construir. Pero, las
propuestas dependerán de los saberes que se quieren enseñar.
Cada una de estas modalidades aportan desde el punto de vista didáctico algún aspecto particular que la otra no lo hace, por lo tanto, no se debe plantear sin reflexionar
el propósito una actividad, porque quizás otra sea más pertinente para el objetivo que se tiene.
Entre las actividades que involucran reproducción o construcción podemos mencionar el:
 Dictado de figuras
 Copiado de figuras

32.  Copiado de figuras a distinta escala
 Construcción a partir de pedido de datos
 Construcción a partir de datos dados.
“La reproducción de figuras supone por parte del niño la búsqueda de elementos y relaciones pertinentes para caracterizarlas, pero estas relaciones
permanecen implícitas. La explicitación de las relaciones y las elaboraciones que surgen al tener en cuenta las exigencias de la comunicación, son aportes de
la actividad del dictado. El pedido de datos, al inhibir la posibilidad de acceso al modelo previo a la construcción, pone al alumno, por primera vez, en contacto
con la necesidad de concebir una figura genérica. Finalmente, las construcciones a partir de ciertos datos ofrecen la posibilidad de discutir con los niños el
problema de la constructibilidad de una figura y el de la cantidad de soluciones.” (Sadovsky, Parra, Itzcovich, Broitman , 1998)
Ante la utilización de cualquiera de las anteriores tareas propuestas hay que tener en cuenta las variables que pueden enriquecer o no el momento de enseñanza y el
proceso de aprendizaje del niño.
Son aspectos cuya modificación produce cambios en las estrategias de resolución en su relación con las nociones puestas en juego.
 Tipo de hoja (lisa o cuadriculada)
 Instrumentos propuestos a utilizar en la actividad
 La posición de hacer la copia
 El tamaño en el que debe hacerse la reproducción
 La presencia o no del modelo a copiar
 La cantidad de instrucciones
 Dictado de figuras
Este tipo de actividad supone describir la figura a través de un texto y además se intenta trascender la interpretación perceptiva y comenzar a buscar los elementos
y relaciones que definen la figura.
- El dictado de figuras permite tanto desplegar las concepciones de los alumnos en relación a las figuras como avanzar en la elaboración del
conocimiento.
Quizás los primeros mensajes que redacten los niños contengan informaciones que no son pertinentes, son excesivas, ambiguas o insuficientes y
posiblemente algunos de esos mensajes sean inentendibles. Por lo tanto, ante esto se debería presentar una secuencia de actividades que permitan ir
evolucionando en redacción de los mensajes que los niños producen.

33. Además, es muy importante ir poniendo en común en distintos momentos sus producciones para analizar las razones por las cuales sus receptores no
logran realizar las construcciones, porque de esa manera los niños comenzaran a ampliar los conocimientos de las nociones que el docente se propone
enseñar.
La producción de mensajes debe:
 Permitir reproducir dibujos que se superpongan con el modelo original
 Dar lugar a una única figura
 Contener la mínima cantidad de información.
La producción de mensajes da lugar a la elaboración de propiedades que permiten identificar una figura y el vocabulario necesario para formular dichas
propiedades.
Pensar las Prácticas
La seño de 5° grado les propuso a sus alumnos la siguiente actividad
Representamos de acuerdo a la información que nos dan en cada caso
a) Dibujar un paralelogramo que tiene de lado 6cm y otro de 4 cm
b) Dibujar un paralelogramo que tiene de lado 6 cm y diagonal 10cm
c) Dibujar un paralelogramo que tiene de lado 6 cm, otro 4 y la diagonal de 10,5cm
Comparemos con lo que hicieron nuestros compañeros. ¿Todos representaron las mismas figuras? ¿Por qué?
¿Cuál creen es el objetivo de plantear esta actividad?
 Copiado de figuras
Este tipo de actividad no exige la explicitación de las relaciones que se identifican ni hay otro al que deba comunicar. Las conceptualizaciones que logre el niño hacer
a través del copiado dependerá de como se presente la actividad. Si:
- El dibujo se hace con modelo presente
- El modelo está alejado de la vista del alumno
El dibujo se realiza con el modelo presente: El docente le proporciona un dibujo al niño y él lo debe copiar de manera que se pueda superponer con el modelo
entregado. Este tipo de actividad requiere un bajo nivel de anticipación porque el niño puede ir haciendo correcciones sobre la marcha.
El copiado con modelo presente se la puede utilizar para que los alumnos al copiar comiencen a identificar nuevos elementos y relaciones.

34. Pensar las Prácticas
La seño de 4° grado les dio a sus alumnos la siguiente consigna
Copien el siguiente dibujo
¿Qué nociones creen que la docente quiere introducir con esta actividad?
El dibujo se realiza sin el modelo presente: En este caso se exige anticipar cuales son las informaciones necesarias para poder hacerlo y encontrar una manera para
registrarlas. En este tipo de actividad hay que ser muy claro en la cantidad de veces que se puede buscar información sobre el modelo, no es lo mismo si solo puedo
levantarme una vez o si puedo levantarme varias veces a buscar la información para la reproducción.
El copiado sin el modelo presente promueve que el niño logre anticipar que información se necesita para la reproducción del dibujo.
Quizás sea interesante proponer una secuencia de actividades en las que se trabaje las dos formar de copiado, primero con el modelo presente y luego sin el modelo
al alcance del niño.
 Copiado de figuras a distinta escala
Este es un caso particular de copiado y aporta mucho su introducción durante el proceso de enseñanza, ya que es necesario para reproducir establecer relaciones con
el modelo original.
En esta instancia el niño no va a poder superponer su resultado con el modelo y para validar su trabajo deberá mostrar las relaciones constantes que se mantienen
con el dibujo original.
 Pedir datos para reproducir una figura.
Esta actividad promueve la reproducción de una figura que los niños no ven a partir de datos sobre la misma que ellos solicitan.
El niño escribe un mensaje detallando los datos que cree necesarios para construir la figura. A medida que evolucionen las conceptualizaciones, los datos que pedirán
los niños serán más precisos y en menor cantidad. (Al pedir los datos se manejan con la representación interna que ellos tienen de la figura con la que trabajan)
El pedido de datos supone que el niño logre identificar relaciones entre los elementos de las figuras que resultan sustanciales para la construcción.

35.  Construir a partir de ciertos datos
En este caso la figura no está construida, y el niño debe hacerlo a partir de la información que se le brinda. Este tipo de actividad permite poner en juego aspectos que
que no se los puede tener en cuenta cuando se reproducen figuras de modelos.
Estas situaciones permiten trabajar sobre:
- La compatibilidad de los datos para construir la figura
- La cantidad de soluciones
Pensar las Prácticas
La seño de 5° grado les propone a sus alumnos las siguientes actividades:
Resuelva y reflexione
1. Construir un triángulo que tenga lados de 4cm, 5cm y 12cm
2. Se pueden construir un triángulo que tenga dos ángulos rectos. ¿Por qué?
3. Completar la figura para que resulte un rombo de lado AB
En cada uno de los casos ¿Qué se intenta problematizar?
En geometría no solo se trabaja con problemas de construcción, sino que se puede trabajar con problemas usando relaciones e información que provee la figura sin
necesidad de medir o construir:
- Preguntas de V o F
- Preguntas para argumentar
- Armado de clasificaciones
A
B

36. Instrumentos de Geometría
El instrumento de geometría debe estar al servicio de la resolución de los problemas y conceptualizaciones de nociones que si son objetos de estudio de la geometría.
El uso o la técnica no debe ser tomado como objeto de enseñanza porque es eso solamente una técnica, aunque no hay que dejarlo de lado porque es muy importante
que el niño se enfrente a situaciones que ayuden a mejorar su destreza en el uso de los instrumentos.
Siro dice que: “Si trazo dos circunferencias que tengan el mismo radio cuyos centros se encuentran en la misma recta, es posible construir más de una figura con ese
instructivo” ¿Estás de acuerdo con él? ¿Por qué?
Usando sólo el compás y una regla no graduada, inventa, en una hoja blanca un logo utilizando segmentos de la misma longitud que estos. Los segmentos pueden estar
en cualquier posición.
Seguí las instrucciones para dibujar la figura en la carpeta, usando los instrumentos adecuados.
- Traza una circunferencia con centro O y diámetro MN de 4 cm
- Traza un diámetro AB perpendicular a MN
- Marca los puntos medios de OA y de OB. Llámalos A y B, respectivamente.
- Traza una circunferencia con centro en A que pase por O y otra con centro en B que pase por O
- Borra los diámetros trazados.

37. En cada una de las actividades anteriores eran necesarios los instrumentos de geometría, pero justamente son usados como herramienta para la resolución de las
actividades propuestas, pero no son objeto de enseñanza en sí mismos.
La enseñanza en torno a los Cuerpos Geométricos
En muchas ocasiones la enseñanza de los cuerpos geométricos se liga al reconocimiento y descripción de los objetos físicos reales que tienen una determinada forma,
y no se lo trata como un objeto geométrico teórico.
Según los Cuadernos para el Aula en Segundo Ciclo el trabajo en torno a los cuerpos geométricos debe:
 Describir, comparar y clasificar cuerpos en base a las propiedades conocidas.
 Producir y comparar desarrollos planos de cuerpos argumentando sobre su pertinencia.
 Copiar y construir cuerpos a partir de diferentes informaciones sobre propiedades.
 Componer y descomponer cuerpos y argumentar sobre las propiedades de las figuras obtenidas utilizando aquellas de los cuerpos iniciales
 Analizar afirmaciones acerca de las propiedades de los cuerpos y argumentar sobre su validez.
La complejidad de las tareas en torno a los cuerpos geométricos estará dada por:
-Repertorio de Cuerpos
-Propiedades involucradas
- Materiales/Recursos/ Instrumentos
Como ya hemos dicho las construcciones son un medio para conocer el objeto geométrico, pero hay que tener en cuenta que no siempre que se trabaja con
construcciones en el plano, se trabaja con el dibujo en perspectiva o mediante el desarrollo en el plano (para la construcción o reproducción
tridimensional)
¿Qué propuestas podemos trabajar en torno al tratamiento de los cuerpos?
 Designación y Reconocimiento
En este caso pueden ser utilizados los juegos de adivinanzas, y son muy útiles para que los niños desarrollen el vocabulario apropiado, reconozcan elementos,
propiedades y relaciones nuevas que quizás antes desconocían. Para complejizar este tipo de actividad se le puede dar como condición una cierta cantidad de
preguntas como límite, de manera que los niños terminen identificando propiedades sustanciales de los cuerpos que se proponen.
 Reproducción
Es una propuesta muy interesante porque en la reproducción se puede hacer hincapié en si esta se hace respetando las medidas del cuerpo original o si solo
se la hace semejante al modelo.
En esta ocasión es muy importante seleccionar pertinentemente el material didáctico que se va a trabajar con el alumno y gestionarlo muy bien. Por ejemplo:
No es el mismo trabajo que se va a realizar si la actividad promueve el uso de palillos y plastilina, que otra en la que se utiliza cartulina, tijera y pegamento.

38.  Construcción
En las propuestas de construcción el desarrollo plano cobra protagonismo, pero también se pueden dar actividades que permitan analizar y establecer
conclusiones sobre la relación entre la forma de la base del cuerpo y sus caras laterales. Se puede realizar la validación de esto de manera argumentativa
apoyándose en los conocimientos previos o bien recortando y armando los cuerpos.
Como ya se dijo antes con las figuras, en geometría no solo se trabaja con problemas de construcción, sino que se puede trabajar con problemas usando relaciones e
información que provee el cuerpo en esta ocasión sin necesidad de medir o construir:
- Preguntas de V o F
- Preguntas para argumentar
- Armado de clasificaciones
Bibliografía
Chemello, Agrasar, Chara, Crippa. (2014). Clase 13. Los aportes de la historia y las tradiciones en la enseñanza de la Geometría. Buenos Aires: Ministerio de Educación de la
Nación.
Ponce, H. (2006). Enseñar y Aprender Matemática. Colonia, Mexico: Novedades Educativas.
Sadovsky, Parra, Itzcovich, Broitman . (1998). Documento de trabajo N°5. La enseñanza de la Geometría en Segundo Ciclo. Buenos Aires: Ministerio de Educación.
Instituto Nacional de Formación Docente. Clase 05: El trabajo escolar con los cuerpos geométricos. Módulo: Enseñanza de la Geometría. 2do. Ciclo. Especialización Docente
de Nivel Superior en Enseñanza de la Matemática en la Escuela Primaria. Buenos Aires: Ministerio de Educación y Deportes de la Nación.
MINISTERIO DE EDUCACIÓN DE LA NACIÓN (2003-2006). “Cuadernos para el aula” cuarto a sexto grado.

39. ESTRATEGIAS PARA LA CLASE DE GEOMETRÍA
Cuadro elaborado por Viviana Romero, Profesora de Didáctica de la Matemática II en el ISFD y T N°9 -002
ESTRATEGIA
OBJETIVO
Adivinanzas
Pistas
Reproducción: copiado
Plegados
Cubrimiento
Desarrollos
planos
Modelo a
la vista
Modelo
lejos de la
vista
Mensajes escritos
Huellas Revestimiento
Codificación Decodific.
1
Identificar
características y
propiedades de las
figuras
2
Explicitar propiedades
de las figuras:
describirlas
3
Ampliar y precisar el
vocabulario
4
Compara figuras:
establecer relaciones
entre formas
5 Anticipar formas